Theorem brlmic 21158

Description: The relation "is isomorphic to" for modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brlmic	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brlmic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lmic 21114	. 2 ⊢ ≃𝑚 = (◡ LMIso “ (V ∖ 1o))
2		lmimfn 21116	. 2 ⊢ LMIso Fn (LMod × LMod)
3	1, 2	brwitnlem 8480	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ≠ wne 2960  ∅c0 4288   class class class wbr 5105   × cxp 5650  (class class class)co 7400  LModclmod 20950   LMIso clmim 21110   ≃_𝑚 clmic 21111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8441  df-lmim 21113  df-lmic 21114

This theorem is referenced by:  brlmici  21159  lmiclcl  21160  lmicrcl  21161  lmicsym  21162  lmiclbs  21947  lmictra  21955  lmicdim  33912  lnmlmic  43677