Theorem brlmic 20906

Description: The relation "is isomorphic to" for modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brlmic	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brlmic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lmic 20862	. 2 ⊢ ≃𝑚 = (◡ LMIso “ (V ∖ 1o))
2		lmimfn 20864	. 2 ⊢ LMIso Fn (LMod × LMod)
3	1, 2	brwitnlem 8502	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ≠ wne 2932  ∅c0 4314   class class class wbr 5138   × cxp 5664  (class class class)co 7401  LModclmod 20696   LMIso clmim 20858   ≃_𝑚 clmic 20859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-1o 8461  df-lmim 20861  df-lmic 20862

This theorem is referenced by:  brlmici  20907  lmiclcl  20908  lmicrcl  20909  lmicsym  20910  lmiclbs  21700  lmictra  21708  lmicdim  33168  lnmlmic  42319