Theorem brlmic 21344

Description: The relation "is isomorphic to" for modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brlmic	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brlmic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lmic 21300	. 2 ⊢ ≃𝑚 = (◡ LMIso “ (V ∖ 1o))
2		lmimfn 21302	. 2 ⊢ LMIso Fn (LMod × LMod)
3	1, 2	brwitnlem 8516	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ≠ wne 2955  ∅c0 4278   class class class wbr 5102   × cxp 5648  (class class class)co 7420  LModclmod 21136   LMIso clmim 21296   ≃_𝑚 clmic 21297

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8477  df-lmim 21299  df-lmic 21300

This theorem is used by:  brlmici  21345  lmiclcl  21346  lmicrcl  21347  lmicsym  21348  lmiclbs  22144  lmictra  22152  lmicdim  34280  lnmlmic  44166