Theorem brlmic 21376

Description: The relation "is isomorphic to" for modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brlmic	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brlmic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lmic 21332	. 2 ⊢ ≃𝑚 = (◡ LMIso “ (V ∖ 1o))
2		lmimfn 21334	. 2 ⊢ LMIso Fn (LMod × LMod)
3	1, 2	brwitnlem 8546	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ≠ wne 2959  ∅c0 4281   class class class wbr 5106   × cxp 5654  (class class class)co 7446  LModclmod 21168   LMIso clmim 21328   ≃_𝑚 clmic 21329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-1o 8507  df-lmim 21331  df-lmic 21332

This theorem is used by:  brlmici  21377  lmiclcl  21378  lmicrcl  21379  lmicsym  21380  lmiclbs  22176  lmictra  22184  lmicdim  34320  lnmlmic  44294