MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmicsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmicsym 20910
Description: Module isomorphism is symmetric. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmicsym (𝑅𝑚 𝑆𝑆𝑚 𝑅)

Proof of Theorem lmicsym
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 20906 . 2 (𝑅𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 4338 . . 3 ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
3 lmimcnv 20905 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑅))
4 brlmici 20907 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑅) → 𝑆𝑚 𝑅)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆𝑚 𝑅)
65exlimiv 1925 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆𝑚 𝑅)
72, 6sylbi 216 . 2 ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝑆𝑚 𝑅)
81, 7sylbi 216 1 (𝑅𝑚 𝑆𝑆𝑚 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1773  wcel 2098  wne 2932  c0 4314   class class class wbr 5138  ccnv 5665  (class class class)co 7401   LMIso clmim 20858  𝑚 clmic 20859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-1o 8461  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-ghm 19129  df-lmod 20698  df-lmhm 20860  df-lmim 20861  df-lmic 20862
This theorem is referenced by:  lmisfree  21705
  Copyright terms: Public domain W3C validator