Theorem lmicsym 19438

Description: Module isomorphism is symmetric. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmicsym	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)

Proof of Theorem lmicsym

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 19434	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4162	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
3		lmimcnv 19433	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑅))
4		brlmici 19435	. . . . 5 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑅) → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
6	5	exlimiv 2029	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
7	2, 6	sylbi 209	. 2 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
8	1, 7	sylbi 209	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1878   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∅c0 4146   class class class wbr 4875  ^◡ccnv 5345  (class class class)co 6910   LMIso clmim 19386   ≃_𝑚 clmic 19387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-1o 7831  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-ghm 18016  df-lmod 19228  df-lmhm 19388  df-lmim 19389  df-lmic 19390

This theorem is referenced by:  lmisfree  20555