Theorem lmicsym 21089

Description: Module isomorphism is symmetric. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmicsym	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)

Proof of Theorem lmicsym

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 21085	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4359	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
3		lmimcnv 21084	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑅))
4		brlmici 21086	. . . . 5 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑅) → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
6	5	exlimiv 1928	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
7	2, 6	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∅c0 4339   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5688  (class class class)co 7431   LMIso clmim 21037   ≃_𝑚 clmic 21038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-map 8867  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-ghm 19244  df-lmod 20877  df-lmhm 21039  df-lmim 21040  df-lmic 21041

This theorem is referenced by:  lmisfree  21880