Theorem lmicsym 21024

Description: Module isomorphism is symmetric. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmicsym	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)

Proof of Theorem lmicsym

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 21020	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4305	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
3		lmimcnv 21019	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑅))
4		brlmici 21021	. . . . 5 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑅) → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
6	5	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
7	2, 6	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
8	1, 7	sylbi 217	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  ^◡ccnv 5623  (class class class)co 7358   LMIso clmim 20972   ≃_𝑚 clmic 20973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-1o 8397  df-map 8765  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-ghm 19142  df-lmod 20813  df-lmhm 20974  df-lmim 20975  df-lmic 20976

This theorem is referenced by:  lmisfree  21797