Theorem lmicsym 21174

Description: Module isomorphism is symmetric. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmicsym	⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)

Proof of Theorem lmicsym

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 21170	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4308	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
3		lmimcnv 21169	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → ◡𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑅))
4		brlmici 21171	. . . . 5 ⊢ (◡𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑅) → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
6	5	exlimiv 1960	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
7	2, 6	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)
8	1, 7	sylbi 220	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 → 𝑆 ≃𝑚 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4287   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5662  (class class class)co 7412   LMIso clmim 21122   ≃_𝑚 clmic 21123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8454  df-map 8827  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-ghm 19285  df-lmod 20964  df-lmhm 21124  df-lmim 21125  df-lmic 21126

This theorem is referenced by:  lmisfree  21973