MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmicsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmicsym 20962
Description: Module isomorphism is symmetric. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmicsym (𝑅𝑚 𝑆𝑆𝑚 𝑅)

Proof of Theorem lmicsym
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 20958 . 2 (𝑅𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 4348 . . 3 ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
3 lmimcnv 20957 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑅))
4 brlmici 20959 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑅) → 𝑆𝑚 𝑅)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆𝑚 𝑅)
65exlimiv 1925 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑆𝑚 𝑅)
72, 6sylbi 216 . 2 ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝑆𝑚 𝑅)
81, 7sylbi 216 1 (𝑅𝑚 𝑆𝑆𝑚 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1773  wcel 2098  wne 2936  c0 4324   class class class wbr 5150  ccnv 5679  (class class class)co 7424   LMIso clmim 20910  𝑚 clmic 20911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-1o 8491  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-ghm 19173  df-lmod 20750  df-lmhm 20912  df-lmim 20913  df-lmic 20914
This theorem is referenced by:  lmisfree  21781
  Copyright terms: Public domain W3C validator