Theorem lmictra 20992

Description: Module isomorphism is transitive. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lmictra	⊢ ((𝑅 ≃𝑚 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑚 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)

Proof of Theorem lmictra

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 19843	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brlmic 19843	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑚 𝑇 ↔ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅)
3		n0 4313	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4		n0 4313	. . 3 ⊢ ((𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
5		lmimco 20991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 LMIso 𝑇))
6		brlmici 19844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆)) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
8	7	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
9	8	exlimiv 1930	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
10	9	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
11	10	exlimiv 1930	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
12	11	imp 409	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
13	3, 4, 12	syl2anb 599	. 2 ⊢ (((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
14	1, 2, 13	syl2anb 599	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑚 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑚 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398  ∃wex 1779   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∅c0 4294   class class class wbr 5069   ∘ ccom 5562  (class class class)co 7159   LMIso clmim 19795   ≃_𝑚 clmic 19796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-1o 8105  df-map 8411  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-grp 18109  df-ghm 18359  df-lmod 19639  df-lmhm 19797  df-lmim 19798  df-lmic 19799

This theorem is referenced by: (None)