Theorem lmictra 22144

Description: Module isomorphism is transitive. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lmictra	⊢ ((𝑅 ≃𝑚 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑚 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)

Proof of Theorem lmictra

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 21336	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brlmic 21336	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑚 𝑇 ↔ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅)
3		n0 4300	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4		n0 4300	. . 3 ⊢ ((𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
5		lmimco 22143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 LMIso 𝑇))
6		brlmici 21337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆)) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
8	7	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
9	8	exlimiv 1963	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
10	9	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
11	10	exlimiv 1963	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
12	11	imp 412	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
13	3, 4, 12	syl2anb 610	. 2 ⊢ (((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
14	1, 2, 13	syl2anb 610	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑚 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑚 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ∘ ccom 5655  (class class class)co 7418   LMIso clmim 21288   ≃_𝑚 clmic 21289

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8469  df-map 8842  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-grp 19140  df-ghm 19421  df-lmod 21130  df-lmhm 21290  df-lmim 21291  df-lmic 21292

This theorem is used by: (None)