Theorem lmictra 21995

Description: Module isomorphism is transitive. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lmictra	⊢ ((𝑅 ≃𝑚 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑚 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)

Proof of Theorem lmictra

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 21189	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brlmic 21189	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑚 𝑇 ↔ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅)
3		n0 4307	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4		n0 4307	. . 3 ⊢ ((𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
5		lmimco 21994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 LMIso 𝑇))
6		brlmici 21190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆)) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
8	7	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
9	8	exlimiv 1960	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
10	9	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
11	10	exlimiv 1960	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
12	11	imp 411	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
13	3, 4, 12	syl2anb 609	. 2 ⊢ (((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
14	1, 2, 13	syl2anb 609	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑚 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑚 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286   class class class wbr 5109   ∘ ccom 5665  (class class class)co 7410   LMIso clmim 21141   ≃_𝑚 clmic 21142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-1o 8449  df-map 8822  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-grp 18998  df-ghm 19279  df-lmod 20983  df-lmhm 21143  df-lmim 21144  df-lmic 21145

This theorem is referenced by: (None)