MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmictra Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmictra 20989
Description: Module isomorphism is transitive. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
lmictra ((𝑅𝑚 𝑆𝑆𝑚 𝑇) → 𝑅𝑚 𝑇)

Proof of Theorem lmictra
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brlmic 19840 . 2 (𝑅𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2 brlmic 19840 . 2 (𝑆𝑚 𝑇 ↔ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅)
3 n0 4293 . . 3 ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4 n0 4293 . . 3 ((𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
5 lmimco 20988 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆)) → (𝑓𝑔) ∈ (𝑅 LMIso 𝑇))
6 brlmici 19841 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑔) ∈ (𝑅 LMIso 𝑇) → 𝑅𝑚 𝑇)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆)) → 𝑅𝑚 𝑇)
87ex 416 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅𝑚 𝑇))
98exlimiv 1932 . . . . . 6 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅𝑚 𝑇))
109com12 32 . . . . 5 (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝑅𝑚 𝑇))
1110exlimiv 1932 . . . 4 (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝑅𝑚 𝑇))
1211imp 410 . . 3 ((∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → 𝑅𝑚 𝑇)
133, 4, 12syl2anb 600 . 2 (((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅𝑚 𝑇)
141, 2, 13syl2anb 600 1 ((𝑅𝑚 𝑆𝑆𝑚 𝑇) → 𝑅𝑚 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  c0 4276   class class class wbr 5052  ccom 5546  (class class class)co 7149   LMIso clmim 19792  𝑚 clmic 19793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-1o 8098  df-map 8404  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-ghm 18356  df-lmod 19636  df-lmhm 19794  df-lmim 19795  df-lmic 19796
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator