Theorem lmictra 21835

Description: Module isomorphism is transitive. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lmictra	⊢ ((𝑅 ≃𝑚 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑚 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)

Proof of Theorem lmictra

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 21055	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brlmic 21055	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑚 𝑇 ↔ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅)
3		n0 4294	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4		n0 4294	. . 3 ⊢ ((𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
5		lmimco 21834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 LMIso 𝑇))
6		brlmici 21056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆)) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
8	7	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
9	8	exlimiv 1932	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
10	9	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
11	10	exlimiv 1932	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
12	11	imp 406	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
13	3, 4, 12	syl2anb 599	. 2 ⊢ (((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
14	1, 2, 13	syl2anb 599	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑚 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑚 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274   class class class wbr 5086   ∘ ccom 5628  (class class class)co 7360   LMIso clmim 21007   ≃_𝑚 clmic 21008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8398  df-map 8768  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-grp 18903  df-ghm 19179  df-lmod 20848  df-lmhm 21009  df-lmim 21010  df-lmic 21011

This theorem is referenced by: (None)