Theorem lmictra 21865

Description: Module isomorphism is transitive. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lmictra	⊢ ((𝑅 ≃𝑚 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑚 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)

Proof of Theorem lmictra

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 21067	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ (𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brlmic 21067	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑚 𝑇 ↔ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅)
3		n0 4353	. . 3 ⊢ ((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆))
4		n0 4353	. . 3 ⊢ ((𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇))
5		lmimco 21864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 LMIso 𝑇))
6		brlmici 21068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝑅 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆)) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
8	7	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
9	8	exlimiv 1930	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
10	9	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
11	10	exlimiv 1930	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇))
12	11	imp 406	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑅 LMIso 𝑆) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
13	3, 4, 12	syl2anb 598	. 2 ⊢ (((𝑅 LMIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 LMIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)
14	1, 2, 13	syl2anb 598	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑚 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑚 𝑇) → 𝑅 ≃𝑚 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   ∘ ccom 5689  (class class class)co 7431   LMIso clmim 21019   ≃_𝑚 clmic 21020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-map 8868  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-ghm 19231  df-lmod 20860  df-lmhm 21021  df-lmim 21022  df-lmic 21023

This theorem is referenced by: (None)