MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbslcic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbslcic 21615
Description: A module with a basis is isomorphic to a free module with the same cardinality. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslcic.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lbslcic.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lbslcic ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) β†’ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod 𝐼))

Proof of Theorem lbslcic
Dummy variables 𝑒 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1138 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) β†’ 𝐼 β‰ˆ 𝐡)
2 bren 8951 . . 3 (𝐼 β‰ˆ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘’ 𝑒:𝐼–1-1-onto→𝐡)
31, 2sylib 217 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘’ 𝑒:𝐼–1-1-onto→𝐡)
4 eqid 2732 . . . 4 (𝐹 freeLMod 𝐼) = (𝐹 freeLMod 𝐼)
5 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝐼))
6 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
7 eqid 2732 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
8 eqid 2732 . . . 4 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
9 eqid 2732 . . . 4 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))
10 simpl1 1191 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) ∧ 𝑒:𝐼–1-1-onto→𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
11 relen 8946 . . . . . . 7 Rel β‰ˆ
1211brrelex1i 5732 . . . . . 6 (𝐼 β‰ˆ 𝐡 β†’ 𝐼 ∈ V)
13123ad2ant3 1135 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ V)
1413adantr 481 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) ∧ 𝑒:𝐼–1-1-onto→𝐡) β†’ 𝐼 ∈ V)
15 lbslcic.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
1615a1i 11 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) ∧ 𝑒:𝐼–1-1-onto→𝐡) β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š))
17 f1ofo 6840 . . . . 5 (𝑒:𝐼–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝑒:𝐼–onto→𝐡)
1817adantl 482 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) ∧ 𝑒:𝐼–1-1-onto→𝐡) β†’ 𝑒:𝐼–onto→𝐡)
19 lbslcic.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
2019lbslinds 21607 . . . . . . . 8 𝐽 βŠ† (LIndSβ€˜π‘Š)
2120sseli 3978 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ 𝐡 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
22213ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
2322adantr 481 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) ∧ 𝑒:𝐼–1-1-onto→𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
24 f1of1 6832 . . . . . 6 (𝑒:𝐼–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝑒:𝐼–1-1→𝐡)
2524adantl 482 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) ∧ 𝑒:𝐼–1-1-onto→𝐡) β†’ 𝑒:𝐼–1-1→𝐡)
26 f1linds 21599 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝑒:𝐼–1-1→𝐡) β†’ 𝑒 LIndF π‘Š)
2710, 23, 25, 26syl3anc 1371 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) ∧ 𝑒:𝐼–1-1-onto→𝐡) β†’ 𝑒 LIndF π‘Š)
286, 19, 8lbssp 20834 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π΅) = (Baseβ€˜π‘Š))
29283ad2ant2 1134 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π΅) = (Baseβ€˜π‘Š))
3029adantr 481 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) ∧ 𝑒:𝐼–1-1-onto→𝐡) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜π΅) = (Baseβ€˜π‘Š))
314, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 27, 30indlcim 21614 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) ∧ 𝑒:𝐼–1-1-onto→𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) ∈ ((𝐹 freeLMod 𝐼) LMIso π‘Š))
32 lmimcnv 20822 . . 3 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) ∈ ((𝐹 freeLMod 𝐼) LMIso π‘Š) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) ∈ (π‘Š LMIso (𝐹 freeLMod 𝐼)))
33 brlmici 20824 . . 3 (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) ∈ (π‘Š LMIso (𝐹 freeLMod 𝐼)) β†’ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod 𝐼))
3431, 32, 333syl 18 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) ∧ 𝑒:𝐼–1-1-onto→𝐡) β†’ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod 𝐼))
353, 34exlimddv 1938 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐼 β‰ˆ 𝐡) β†’ π‘Š β‰ƒπ‘š (𝐹 freeLMod 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   β‰ˆ cen 8938  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205   Ξ£g cgsu 17390  LModclmod 20614  LSpanclspn 20726   LMIso clmim 20775   β‰ƒπ‘š clmic 20776  LBasisclbs 20829   freeLMod cfrlm 21520   LIndF clindf 21578  LIndSclinds 21579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-nzr 20404  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lmhm 20777  df-lmim 20778  df-lmic 20779  df-lbs 20830  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-uvc 21557  df-lindf 21580  df-linds 21581
This theorem is referenced by:  lmisfree  21616  frlmisfrlm  21622
  Copyright terms: Public domain W3C validator