Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbslcic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbslcic 20533
 Description: A module with a basis is isomorphic to a free module with the same cardinality. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslcic.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbslcic.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbslcic ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝐼))

Proof of Theorem lbslcic
Dummy variables 𝑒 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝐼𝐵)
2 bren 8505 . . 3 (𝐼𝐵 ↔ ∃𝑒 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵)
31, 2sylib 221 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → ∃𝑒 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵)
4 eqid 2801 . . . 4 (𝐹 freeLMod 𝐼) = (𝐹 freeLMod 𝐼)
5 eqid 2801 . . . 4 (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼))
6 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7 eqid 2801 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
8 eqid 2801 . . . 4 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
9 eqid 2801 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑊)𝑒))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑊)𝑒)))
10 simpl1 1188 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
11 relen 8501 . . . . . . 7 Rel ≈
1211brrelex1i 5576 . . . . . 6 (𝐼𝐵𝐼 ∈ V)
13123ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝐼 ∈ V)
1413adantr 484 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝐼 ∈ V)
15 lbslcic.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
1615a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
17 f1ofo 6601 . . . . 5 (𝑒:𝐼1-1-onto𝐵𝑒:𝐼onto𝐵)
1817adantl 485 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑒:𝐼onto𝐵)
19 lbslcic.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
2019lbslinds 20525 . . . . . . . 8 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)
2120sseli 3914 . . . . . . 7 (𝐵𝐽𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
22213ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
2322adantr 484 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
24 f1of1 6593 . . . . . 6 (𝑒:𝐼1-1-onto𝐵𝑒:𝐼1-1𝐵)
2524adantl 485 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑒:𝐼1-1𝐵)
26 f1linds 20517 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑒:𝐼1-1𝐵) → 𝑒 LIndF 𝑊)
2710, 23, 25, 26syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑒 LIndF 𝑊)
286, 19, 8lbssp 19847 . . . . . 6 (𝐵𝐽 → ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = (Base‘𝑊))
29283ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = (Base‘𝑊))
3029adantr 484 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = (Base‘𝑊))
314, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 27, 30indlcim 20532 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑊)𝑒))) ∈ ((𝐹 freeLMod 𝐼) LMIso 𝑊))
32 lmimcnv 19835 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑊)𝑒))) ∈ ((𝐹 freeLMod 𝐼) LMIso 𝑊) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑊)𝑒))) ∈ (𝑊 LMIso (𝐹 freeLMod 𝐼)))
33 brlmici 19837 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑊)𝑒))) ∈ (𝑊 LMIso (𝐹 freeLMod 𝐼)) → 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝐼))
3431, 32, 333syl 18 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝐼))
353, 34exlimddv 1936 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ◡ccnv 5522  –1-1→wf1 6325  –onto→wfo 6326  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391   ≈ cen 8493  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564   Σg cgsu 16709  LModclmod 19630  LSpanclspn 19739   LMIso clmim 19788   ≃𝑚 clmic 19789  LBasisclbs 19842   freeLMod cfrlm 20438   LIndF clindf 20496  LIndSclinds 20497 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lmhm 19790  df-lmim 19791  df-lmic 19792  df-lbs 19843  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-nzr 20027  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-uvc 20475  df-lindf 20498  df-linds 20499 This theorem is referenced by:  lmisfree  20534  frlmisfrlm  20540
 Copyright terms: Public domain W3C validator