MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbslcic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbslcic 21879
Description: A module with a basis is isomorphic to a free module with the same cardinality. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslcic.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbslcic.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbslcic ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝐼))

Proof of Theorem lbslcic
Dummy variables 𝑒 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝐼𝐵)
2 bren 8994 . . 3 (𝐼𝐵 ↔ ∃𝑒 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵)
31, 2sylib 218 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → ∃𝑒 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵)
4 eqid 2735 . . . 4 (𝐹 freeLMod 𝐼) = (𝐹 freeLMod 𝐼)
5 eqid 2735 . . . 4 (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼))
6 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7 eqid 2735 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
8 eqid 2735 . . . 4 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
9 eqid 2735 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑊)𝑒))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑊)𝑒)))
10 simpl1 1190 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
11 relen 8989 . . . . . . 7 Rel ≈
1211brrelex1i 5745 . . . . . 6 (𝐼𝐵𝐼 ∈ V)
13123ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝐼 ∈ V)
1413adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝐼 ∈ V)
15 lbslcic.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
1615a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
17 f1ofo 6856 . . . . 5 (𝑒:𝐼1-1-onto𝐵𝑒:𝐼onto𝐵)
1817adantl 481 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑒:𝐼onto𝐵)
19 lbslcic.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
2019lbslinds 21871 . . . . . . . 8 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)
2120sseli 3991 . . . . . . 7 (𝐵𝐽𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
22213ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
2322adantr 480 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
24 f1of1 6848 . . . . . 6 (𝑒:𝐼1-1-onto𝐵𝑒:𝐼1-1𝐵)
2524adantl 481 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑒:𝐼1-1𝐵)
26 f1linds 21863 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑒:𝐼1-1𝐵) → 𝑒 LIndF 𝑊)
2710, 23, 25, 26syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑒 LIndF 𝑊)
286, 19, 8lbssp 21096 . . . . . 6 (𝐵𝐽 → ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = (Base‘𝑊))
29283ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = (Base‘𝑊))
3029adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = (Base‘𝑊))
314, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 27, 30indlcim 21878 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑊)𝑒))) ∈ ((𝐹 freeLMod 𝐼) LMIso 𝑊))
32 lmimcnv 21084 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑊)𝑒))) ∈ ((𝐹 freeLMod 𝐼) LMIso 𝑊) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑊)𝑒))) ∈ (𝑊 LMIso (𝐹 freeLMod 𝐼)))
33 brlmici 21086 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑊)𝑒))) ∈ (𝑊 LMIso (𝐹 freeLMod 𝐼)) → 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝐼))
3431, 32, 333syl 18 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝐼))
353, 34exlimddv 1933 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  1-1wf1 6560  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cen 8981  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302   Σg cgsu 17487  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987   LMIso clmim 21037  𝑚 clmic 21038  LBasisclbs 21091   freeLMod cfrlm 21784   LIndF clindf 21842  LIndSclinds 21843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lmhm 21039  df-lmim 21040  df-lmic 21041  df-lbs 21092  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-uvc 21821  df-lindf 21844  df-linds 21845
This theorem is referenced by:  lmisfree  21880  frlmisfrlm  21886
  Copyright terms: Public domain W3C validator