Theorem lmicqusker 33458

Description: The image 𝐻 of a module homomorphism 𝐹 is isomorphic with the quotient module 𝑄 over 𝐹's kernel 𝐾. This is part of what is sometimes called the first isomorphism theorem for modules. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
lmhmqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻))
lmhmqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
lmhmqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
lmhmqusker.s	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lmicqusker	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 𝐻)

Proof of Theorem lmicqusker

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmqusker.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
2		lmhmqusker.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻))
3		lmhmqusker.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
4		lmhmqusker.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5		lmhmqusker.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
6		imaeq2 6081	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝐹 “ 𝑝) = (𝐹 “ 𝑞))
7	6	unieqd 4928	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ∪ (𝐹 “ 𝑝) = ∪ (𝐹 “ 𝑞))
8	7	cbvmptv 5264	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	lmhmqusker 33457	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 LMIso 𝐻))
10		brlmici 21095	. 2 ⊢ ((𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 LMIso 𝐻) → 𝑄 ≃𝑚 𝐻)
11	9, 10	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4634  ∪ cuni 4915   class class class wbr 5151   ↦ cmpt 5234  ^◡ccnv 5692  ran crn 5694   “ cima 5696  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254  0_gc0g 17495   /_s cqus 17561   ~_QG cqg 19162   LMHom clmhm 21045   LMIso clmim 21046   ≃_𝑚 clmic 21047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-er 8753  df-ec 8755  df-qs 8759  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-sup 9489  df-inf 9490  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-fz 13554  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-ip 17325  df-tset 17326  df-ple 17327  df-ds 17329  df-0g 17497  df-imas 17564  df-qus 17565  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-gim 19299  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20886  df-lss 20957  df-lmhm 21048  df-lmim 21049  df-lmic 21050

This theorem is referenced by:  r1pquslmic  33643