Theorem lmicqusker 33969

Description: The image 𝐻 of a module homomorphism 𝐹 is isomorphic with the quotient module 𝑄 over 𝐹's kernel 𝐾. This is part of what is sometimes called the first isomorphism theorem for modules. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
lmhmqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻))
lmhmqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
lmhmqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
lmhmqusker.s	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lmicqusker	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 𝐻)

Proof of Theorem lmicqusker

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmqusker.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
2		lmhmqusker.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻))
3		lmhmqusker.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
4		lmhmqusker.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5		lmhmqusker.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
6		imaeq2 6047	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝐹 “ 𝑝) = (𝐹 “ 𝑞))
7	6	unieqd 4879	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ∪ (𝐹 “ 𝑝) = ∪ (𝐹 “ 𝑞))
8	7	cbvmptv 5208	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	lmhmqusker 33968	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 LMIso 𝐻))
10		brlmici 21344	. 2 ⊢ ((𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 LMIso 𝐻) → 𝑄 ≃𝑚 𝐻)
11	9, 10	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4583  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649  ran crn 5651   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  0_gc0g 17610   /_s cqus 17677   ~_QG cqg 19332   LMHom clmhm 21294   LMIso clmim 21295   ≃_𝑚 clmic 21296

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-0g 17612  df-imas 17680  df-qus 17681  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-ghm 19428  df-gim 19473  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lmhm 21297  df-lmim 21298  df-lmic 21299

This theorem is used by:  r1pquslmic  34142