Theorem lmicqusker 33638

Description: The image 𝐻 of a module homomorphism 𝐹 is isomorphic with the quotient module 𝑄 over 𝐹's kernel 𝐾. This is part of what is sometimes called the first isomorphism theorem for modules. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
lmhmqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻))
lmhmqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
lmhmqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
lmhmqusker.s	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lmicqusker	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 𝐻)

Proof of Theorem lmicqusker

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmqusker.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
2		lmhmqusker.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻))
3		lmhmqusker.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
4		lmhmqusker.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5		lmhmqusker.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
6		imaeq2 6048	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝐹 “ 𝑝) = (𝐹 “ 𝑞))
7	6	unieqd 4880	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ∪ (𝐹 “ 𝑝) = ∪ (𝐹 “ 𝑞))
8	7	cbvmptv 5208	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	lmhmqusker 33637	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 LMIso 𝐻))
10		brlmici 21156	. 2 ⊢ ((𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 LMIso 𝐻) → 𝑄 ≃𝑚 𝐻)
11	9, 10	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑚 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {csn 4585  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652   “ cima 5654  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  0_gc0g 17480   /_s cqus 17547   ~_QG cqg 19176   LMHom clmhm 21106   LMIso clmim 21107   ≃_𝑚 clmic 21108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17482  df-imas 17550  df-qus 17551  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-nsg 19178  df-eqg 19179  df-ghm 19272  df-gim 19317  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lmhm 21109  df-lmim 21110  df-lmic 21111

This theorem is referenced by:  r1pquslmic  33812