Theorem caofref 7707

Description: Transfer a reflexive law to the function relation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caofref.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
caofref.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
caofref.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥𝑅𝑥)

Assertion

Ref	Expression
caofref	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∘r 𝑅𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem caofref

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → 𝑥 = (𝐹‘𝑤))
2	1, 1	breq12d 5121	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → (𝑥𝑅𝑥 ↔ (𝐹‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤)))
3		caofref.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥𝑅𝑥)
4	3	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥𝑅𝑥)
5	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥𝑅𝑥)
6		caofref.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
7	6	ffvelcdmda 7079	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝑆)
8	2, 5, 7	rspcdva 3581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤))
9	8	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤))
10	6	ffnd 6706	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
11		caofref.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		inidm 4178	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
13		eqidd 2763	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
14	10, 10, 11, 11, 12, 13, 13	ofrfval 7686	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘r 𝑅𝐹 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤)))
15	9, 14	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∘r 𝑅𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078   class class class wbr 5108  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536   ∘_r cofr 7675

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ofr 7677

This theorem is used by:  psrridm  22123  itg2itg1  25906  itg20  25907