Theorem caofref 7748

Description: Transfer a reflexive law to the function relation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caofref.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
caofref.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
caofref.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥𝑅𝑥)

Assertion

Ref	Expression
caofref	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∘r 𝑅𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem caofref

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → 𝑥 = (𝐹‘𝑤))
2	1, 1	breq12d 5119	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → (𝑥𝑅𝑥 ↔ (𝐹‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤)))
3		caofref.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥𝑅𝑥)
4	3	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥𝑅𝑥)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥𝑅𝑥)
6		caofref.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
7	6	ffvelcdmda 7108	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝑆)
8	2, 5, 7	rspcdva 3581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤))
9	8	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤))
10	6	ffnd 6732	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
11		caofref.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		inidm 4126	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
13		eqidd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
14	10, 10, 11, 11, 12, 13, 13	ofrfval 7727	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘r 𝑅𝐹 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤)))
15	9, 14	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∘r 𝑅𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5106  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558   ∘_r cofr 7716

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ofr 7718

This theorem is used by:  psrridm  22300  itg2itg1  26087  itg20  26088