MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrridm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrridm 19678
Description: The identity element of the ring of power series is a right identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z 0 = (0g𝑅)
psr1cl.o 1 = (1r𝑅)
psr1cl.u 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrlidm.t · = (.r𝑆)
psrlidm.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrridm (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑆   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrridm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2765 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 psr1cl.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4 psr1cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 psrlidm.t . . . . 5 · = (.r𝑆)
6 psrring.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 psrlidm.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
8 psrring.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
9 psr1cl.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
10 psr1cl.o . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
11 psr1cl.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
121, 8, 6, 3, 9, 10, 11, 4psr1cl 19676 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐵)
131, 4, 5, 6, 7, 12psrmulcl 19662 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) ∈ 𝐵)
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 19653 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1514ffnd 6224 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) Fn 𝐷)
161, 2, 3, 4, 7psrelbas 19653 . . 3 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 6224 . 2 (𝜑𝑋 Fn 𝐷)
18 eqid 2765 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
197adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑋𝐵)
2012adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑈𝐵)
21 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
221, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21psrmulval 19660 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))))))
238adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐼𝑉)
243psrbagf 19639 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
258, 24sylan 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
26 nn0re 11548 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℝ)
2726leidd 10848 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧𝑧)
2827adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧𝑧)
2923, 25, 28caofref 7121 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦𝑟𝑦)
30 breq1 4812 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑦 → (𝑔𝑟𝑦𝑦𝑟𝑦))
3130elrab 3519 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↔ (𝑦𝐷𝑦𝑟𝑦))
3221, 29, 31sylanbrc 578 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
3332snssd 4494 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑦} ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
3433resmptd 5629 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {𝑦}) = (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))))
3534oveq2d 6858 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))))))
36 ringcmn 18848 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
376, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
3837adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
39 ovex 6874 . . . . . . 7 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
403, 39rab2ex 4976 . . . . . 6 {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∈ V
4140a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∈ V)
426ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑅 ∈ Ring)
4316ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
44 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
45 breq1 4812 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑧 → (𝑔𝑟𝑦𝑧𝑟𝑦))
4645elrab 3519 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↔ (𝑧𝐷𝑧𝑟𝑦))
4744, 46sylib 209 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑧𝐷𝑧𝑟𝑦))
4847simpld 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧𝐷)
4943, 48ffvelrnd 6550 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑋𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
501, 2, 3, 4, 20psrelbas 19653 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
5150adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
528ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝐼𝑉)
5321adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑦𝐷)
543psrbagf 19639 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝐷) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
5552, 48, 54syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
5647simprd 489 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧𝑟𝑦)
573psrbagcon 19645 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦𝐷𝑧:𝐼⟶ℕ0𝑧𝑟𝑦)) → ((𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦𝑓𝑧) ∘𝑟𝑦))
5852, 53, 55, 56, 57syl13anc 1491 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → ((𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦𝑓𝑧) ∘𝑟𝑦))
5958simpld 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷)
6051, 59ffvelrnd 6550 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
612, 18ringcl 18828 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
6242, 49, 60, 61syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
6362fmpttd 6575 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}⟶(Base‘𝑅))
64 eldifi 3894 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
6564, 59sylan2 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷)
66 eqeq1 2769 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦𝑓𝑧) → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ (𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0})))
6766ifbid 4265 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦𝑓𝑧) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = if((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
6810fvexi 6389 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
699fvexi 6389 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
7068, 69ifex 4291 . . . . . . . . . . 11 if((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V
7167, 11, 70fvmpt 6471 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)) = if((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
7265, 71syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)) = if((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
73 eldifsni 4476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧𝑦)
7473adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑧𝑦)
7574necomd 2992 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑦𝑧)
76 nn0sscn 11543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ⊆ ℂ
77 fss 6236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
7825, 76, 77sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
7978adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
80 fss 6236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
8155, 76, 80sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
82 ofsubeq0 11271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑧:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
8352, 79, 81, 82syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → ((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
8464, 83sylan2 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
8584necon3bbid 2974 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → (¬ (𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦𝑧))
8675, 85mpbird 248 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → ¬ (𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}))
8786iffalsed 4254 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → if((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 0 )
8872, 87eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)) = 0 )
8988oveq2d 6858 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))) = ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ))
902, 18, 9ringrz 18855 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
9142, 49, 90syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
9264, 91sylan2 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
9389, 92eqtrd 2799 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))) = 0 )
9493, 41suppss2 7532 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {𝑦})
95 mptexg 6677 . . . . . . 7 ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∈ V → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∈ V)
9641, 95syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∈ V)
97 funmpt 6106 . . . . . . 7 Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))))
9897a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))))
9969a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 0 ∈ V)
100 snfi 8245 . . . . . . 7 {𝑦} ∈ Fin
101100a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑦} ∈ Fin)
102 suppssfifsupp 8497 . . . . . 6 ((((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({𝑦} ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {𝑦})) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) finSupp 0 )
10396, 98, 99, 101, 94, 102syl32anc 1497 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) finSupp 0 )
1042, 9, 38, 41, 63, 94, 103gsumres 18580 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))))))
1056adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
106 ringmnd 18823 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
107105, 106syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ Mnd)
108 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 𝑦 = 𝑦
109 ofsubeq0 11271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦𝑓𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
11023, 78, 78, 109syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑦𝑓𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
111108, 110mpbiri 249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑦𝑓𝑦) = (𝐼 × {0}))
112111fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝑦𝑓𝑦)) = (𝑈‘(𝐼 × {0})))
113 fconstmpt 5333 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 × {0}) = (𝑤𝐼 ↦ 0)
1143fczpsrbag 19641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑉 → (𝑤𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
1158, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
116113, 115syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
117116adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
118 iftrue 4249 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 1 )
119118, 11, 68fvmpt 6471 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
120117, 119syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
121112, 120eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝑦𝑓𝑦)) = 1 )
122121oveq2d 6858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅) 1 ))
12316ffvelrnda 6549 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
1242, 18, 10ringridm 18839 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅) 1 ) = (𝑋𝑦))
125105, 123, 124syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅) 1 ) = (𝑋𝑦))
126122, 125eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))) = (𝑋𝑦))
127126, 123eqeltrd 2844 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
128 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑋𝑧) = (𝑋𝑦))
129 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑦𝑓𝑧) = (𝑦𝑓𝑦))
130129fveq2d 6379 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)) = (𝑈‘(𝑦𝑓𝑦)))
131128, 130oveq12d 6860 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))))
1322, 131gsumsn 18620 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐷 ∧ ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))))
133107, 21, 127, 132syl3anc 1490 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))))
13435, 104, 1333eqtr3d 2807 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))))
13522, 134, 1263eqtrd 2803 . 2 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑋𝑦))
13615, 17, 135eqfnfvd 6504 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3729  wss 3732  ifcif 4243  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  ccnv 5276  cres 5279  cima 5280  Fun wfun 6062  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093  𝑟 cofr 7094   supp csupp 7497  𝑚 cmap 8060  Fincfn 8160   finSupp cfsupp 8482  cc 10187  0cc0 10189  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  0cn0 11538  Basecbs 16130  .rcmulr 16215  0gc0g 16366   Σg cgsu 16367  Mndcmnd 17560  CMndccmn 18459  1rcur 18768  Ringcrg 18814   mPwSer cmps 19625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-tset 16233  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-psr 19630
This theorem is referenced by:  psrring  19685  psr1  19686
  Copyright terms: Public domain W3C validator