MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrridm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrridm 19876
Description: The identity element of the ring of power series is a right identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z 0 = (0g𝑅)
psr1cl.o 1 = (1r𝑅)
psr1cl.u 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrlidm.t · = (.r𝑆)
psrlidm.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrridm (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑆   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrridm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2797 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 psr1cl.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4 psr1cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 psrlidm.t . . . . 5 · = (.r𝑆)
6 psrring.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 psrlidm.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
8 psrring.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
9 psr1cl.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
10 psr1cl.o . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
11 psr1cl.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
121, 8, 6, 3, 9, 10, 11, 4psr1cl 19874 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐵)
131, 4, 5, 6, 7, 12psrmulcl 19860 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) ∈ 𝐵)
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 19851 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1514ffnd 6390 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) Fn 𝐷)
161, 2, 3, 4, 7psrelbas 19851 . . 3 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 6390 . 2 (𝜑𝑋 Fn 𝐷)
18 eqid 2797 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
197adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑋𝐵)
2012adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑈𝐵)
21 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
221, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21psrmulval 19858 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))))))
23 breq1 4971 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑦 → (𝑔𝑟𝑦𝑦𝑟𝑦))
248adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐼𝑉)
253psrbagf 19837 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
268, 25sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
27 nn0re 11760 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℝ)
2827leidd 11060 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧𝑧)
2928adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧𝑧)
3024, 26, 29caofref 7300 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦𝑟𝑦)
3123, 21, 30elrabd 3623 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
3231snssd 4655 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑦} ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
3332resmptd 5796 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {𝑦}) = (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))))
3433oveq2d 7039 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))))))
35 ringcmn 19025 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
366, 35syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
3736adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
38 ovex 7055 . . . . . . 7 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
393, 38rab2ex 5136 . . . . . 6 {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∈ V
4039a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∈ V)
416ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑅 ∈ Ring)
4216ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
43 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
44 breq1 4971 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑧 → (𝑔𝑟𝑦𝑧𝑟𝑦))
4544elrab 3621 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↔ (𝑧𝐷𝑧𝑟𝑦))
4643, 45sylib 219 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑧𝐷𝑧𝑟𝑦))
4746simpld 495 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧𝐷)
4842, 47ffvelrnd 6724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑋𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
491, 2, 3, 4, 20psrelbas 19851 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
5049adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
518ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝐼𝑉)
5221adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑦𝐷)
533psrbagf 19837 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝐷) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
5451, 47, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
5546simprd 496 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧𝑟𝑦)
563psrbagcon 19843 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦𝐷𝑧:𝐼⟶ℕ0𝑧𝑟𝑦)) → ((𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦𝑓𝑧) ∘𝑟𝑦))
5751, 52, 54, 55, 56syl13anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → ((𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦𝑓𝑧) ∘𝑟𝑦))
5857simpld 495 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷)
5950, 58ffvelrnd 6724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
602, 18ringcl 19005 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
6141, 48, 59, 60syl3anc 1364 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
6261fmpttd 6749 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}⟶(Base‘𝑅))
63 eldifi 4030 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
6463, 58sylan2 592 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷)
65 eqeq1 2801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦𝑓𝑧) → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ (𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0})))
6665ifbid 4409 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦𝑓𝑧) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = if((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
6710fvexi 6559 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
689fvexi 6559 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
6967, 68ifex 4435 . . . . . . . . . . 11 if((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V
7066, 11, 69fvmpt 6642 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)) = if((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
7164, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)) = if((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
72 eldifsni 4635 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧𝑦)
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑧𝑦)
7473necomd 3041 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑦𝑧)
75 nn0sscn 11756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ⊆ ℂ
76 fss 6402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
7726, 75, 76sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
7877adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
79 fss 6402 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
8054, 75, 79sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
81 ofsubeq0 11489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑧:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
8251, 78, 80, 81syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → ((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
8363, 82sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
8483necon3bbid 3023 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → (¬ (𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦𝑧))
8574, 84mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → ¬ (𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}))
8685iffalsed 4398 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → if((𝑦𝑓𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 0 )
8771, 86eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)) = 0 )
8887oveq2d 7039 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))) = ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ))
892, 18, 9ringrz 19032 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
9041, 48, 89syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
9163, 90sylan2 592 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
9288, 91eqtrd 2833 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))) = 0 )
9392, 40suppss2 7722 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {𝑦})
9440mptexd 6860 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∈ V)
95 funmpt 6270 . . . . . . 7 Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))))
9695a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))))
9768a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 0 ∈ V)
98 snfi 8449 . . . . . . 7 {𝑦} ∈ Fin
9998a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑦} ∈ Fin)
100 suppssfifsupp 8701 . . . . . 6 ((((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({𝑦} ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {𝑦})) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) finSupp 0 )
10194, 96, 97, 99, 93, 100syl32anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) finSupp 0 )
1022, 9, 37, 40, 62, 93, 101gsumres 18758 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))))))
1036adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
104 ringmnd 19000 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
105103, 104syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ Mnd)
106 eqid 2797 . . . . . . . . . . 11 𝑦 = 𝑦
107 ofsubeq0 11489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦𝑓𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
10824, 77, 77, 107syl3anc 1364 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑦𝑓𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
109106, 108mpbiri 259 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑦𝑓𝑦) = (𝐼 × {0}))
110109fveq2d 6549 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝑦𝑓𝑦)) = (𝑈‘(𝐼 × {0})))
111 fconstmpt 5507 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 × {0}) = (𝑤𝐼 ↦ 0)
1123fczpsrbag 19839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑉 → (𝑤𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
1138, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
114111, 113syl5eqel 2889 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
115114adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
116 iftrue 4393 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 1 )
117116, 11, 67fvmpt 6642 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
118115, 117syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
119110, 118eqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝑦𝑓𝑦)) = 1 )
120119oveq2d 7039 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅) 1 ))
12116ffvelrnda 6723 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
1222, 18, 10ringridm 19016 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅) 1 ) = (𝑋𝑦))
123103, 121, 122syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅) 1 ) = (𝑋𝑦))
124120, 123eqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))) = (𝑋𝑦))
125124, 121eqeltrd 2885 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
126 fveq2 6545 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑋𝑧) = (𝑋𝑦))
127 oveq2 7031 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑦𝑓𝑧) = (𝑦𝑓𝑦))
128127fveq2d 6549 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑈‘(𝑦𝑓𝑧)) = (𝑈‘(𝑦𝑓𝑦)))
129126, 128oveq12d 7041 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))))
1302, 129gsumsn 18798 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐷 ∧ ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))))
131105, 21, 125, 130syl3anc 1364 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))))
13234, 102, 1313eqtr3d 2841 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦𝑓𝑦))))
13322, 132, 1243eqtrd 2837 . 2 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑋𝑦))
13415, 17, 133eqfnfvd 6677 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  {crab 3111  Vcvv 3440  cdif 3862  wss 3865  ifcif 4387  {csn 4478   class class class wbr 4968  cmpt 5047   × cxp 5448  ccnv 5449  cres 5452  cima 5453  Fun wfun 6226  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  𝑓 cof 7272  𝑟 cofr 7273   supp csupp 7688  𝑚 cmap 8263  Fincfn 8364   finSupp cfsupp 8686  cc 10388  0cc0 10390  cle 10529  cmin 10723  cn 11492  0cn0 11751  Basecbs 16316  .rcmulr 16399  0gc0g 16546   Σg cgsu 16547  Mndcmnd 17737  CMndccmn 18637  1rcur 18945  Ringcrg 18991   mPwSer cmps 19823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-ofr 7275  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-tset 16417  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-psr 19828
This theorem is referenced by:  psrring  19883  psr1  19884
  Copyright terms: Public domain W3C validator