MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrridm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrridm 21834
Description: The identity element of the ring of power series is a right identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z 0 = (0g𝑅)
psr1cl.o 1 = (1r𝑅)
psr1cl.u 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrlidm.t · = (.r𝑆)
psrlidm.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrridm (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑆   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrridm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2724 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 psr1cl.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4 psr1cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 psrlidm.t . . . . 5 · = (.r𝑆)
6 psrring.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 psrlidm.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
8 psrring.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
9 psr1cl.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
10 psr1cl.o . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
11 psr1cl.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
121, 8, 6, 3, 9, 10, 11, 4psr1cl 21832 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐵)
131, 4, 5, 6, 7, 12psrmulcl 21817 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) ∈ 𝐵)
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 21807 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1514ffnd 6708 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) Fn 𝐷)
161, 2, 3, 4, 7psrelbas 21807 . . 3 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 6708 . 2 (𝜑𝑋 Fn 𝐷)
18 eqid 2724 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
197adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑋𝐵)
2012adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑈𝐵)
21 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
221, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21psrmulval 21815 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))))))
23 breq1 5141 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑦 → (𝑔r𝑦𝑦r𝑦))
248adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐼𝑉)
253psrbagf 21780 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0)
2625adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
27 nn0re 12478 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℝ)
2827leidd 11777 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧𝑧)
2928adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧𝑧)
3024, 26, 29caofref 7692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦r𝑦)
3123, 21, 30elrabd 3677 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦})
3231snssd 4804 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑦} ⊆ {𝑔𝐷𝑔r𝑦})
3332resmptd 6030 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) ↾ {𝑦}) = (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))))
3433oveq2d 7417 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))))))
35 ringcmn 20171 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
366, 35syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
3736adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
38 ovex 7434 . . . . . . 7 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
393, 38rab2ex 5325 . . . . . 6 {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∈ V
4039a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∈ V)
416ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑅 ∈ Ring)
4216ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
43 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦})
44 breq1 5141 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑧 → (𝑔r𝑦𝑧r𝑦))
4544elrab 3675 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↔ (𝑧𝐷𝑧r𝑦))
4643, 45sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → (𝑧𝐷𝑧r𝑦))
4746simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑧𝐷)
4842, 47ffvelcdmd 7077 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → (𝑋𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
491, 2, 3, 4, 20psrelbas 21807 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
5049adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
5121adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑦𝐷)
523psrbagf 21780 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐷𝑧:𝐼⟶ℕ0)
5347, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
5446simprd 495 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑧r𝑦)
553psrbagcon 21792 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐷𝑧:𝐼⟶ℕ0𝑧r𝑦) → ((𝑦f𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦f𝑧) ∘r𝑦))
5651, 53, 54, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → ((𝑦f𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦f𝑧) ∘r𝑦))
5756simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → (𝑦f𝑧) ∈ 𝐷)
5850, 57ffvelcdmd 7077 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → (𝑈‘(𝑦f𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
592, 18ringcl 20145 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑈‘(𝑦f𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
6041, 48, 58, 59syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
6160fmpttd 7106 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))):{𝑔𝐷𝑔r𝑦}⟶(Base‘𝑅))
62 eldifi 4118 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦})
6362, 57sylan2 592 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑦f𝑧) ∈ 𝐷)
64 eqeq1 2728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦f𝑧) → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ (𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0})))
6564ifbid 4543 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦f𝑧) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = if((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
6610fvexi 6895 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
679fvexi 6895 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
6866, 67ifex 4570 . . . . . . . . . . 11 if((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V
6965, 11, 68fvmpt 6988 . . . . . . . . . 10 ((𝑦f𝑧) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝑦f𝑧)) = if((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
7063, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦f𝑧)) = if((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
71 eldifsni 4785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧𝑦)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑧𝑦)
7372necomd 2988 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑦𝑧)
7424adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝐼𝑉)
75 nn0sscn 12474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ⊆ ℂ
76 fss 6724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
7726, 75, 76sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
79 fss 6724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
8053, 75, 79sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
81 ofsubeq0 12206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑧:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
8274, 78, 80, 81syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → ((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
8362, 82sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
8483necon3bbid 2970 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → (¬ (𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦𝑧))
8573, 84mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → ¬ (𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}))
8685iffalsed 4531 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → if((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 0 )
8770, 86eqtrd 2764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦f𝑧)) = 0 )
8887oveq2d 7417 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))) = ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ))
892, 18, 9ringrz 20183 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
9041, 48, 89syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
9162, 90sylan2 592 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
9288, 91eqtrd 2764 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))) = 0 )
9392, 40suppss2 8180 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {𝑦})
9440mptexd 7217 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) ∈ V)
95 funmpt 6576 . . . . . . 7 Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))))
9695a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))))
9767a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 0 ∈ V)
98 snfi 9040 . . . . . . 7 {𝑦} ∈ Fin
9998a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑦} ∈ Fin)
100 suppssfifsupp 9374 . . . . . 6 ((((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({𝑦} ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {𝑦})) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) finSupp 0 )
10194, 96, 97, 99, 93, 100syl32anc 1375 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) finSupp 0 )
1022, 9, 37, 40, 61, 93, 101gsumres 19823 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))))))
1036adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
104 ringmnd 20138 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
105103, 104syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ Mnd)
106 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 𝑦 = 𝑦
107 ofsubeq0 12206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦f𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
10824, 77, 77, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑦f𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
109106, 108mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑦f𝑦) = (𝐼 × {0}))
110109fveq2d 6885 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝑦f𝑦)) = (𝑈‘(𝐼 × {0})))
111 fconstmpt 5728 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 × {0}) = (𝑤𝐼 ↦ 0)
1123fczpsrbag 21785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑉 → (𝑤𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
1138, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
114111, 113eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
115114adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
116 iftrue 4526 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 1 )
117116, 11, 66fvmpt 6988 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
118115, 117syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
119110, 118eqtrd 2764 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝑦f𝑦)) = 1 )
120119oveq2d 7417 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅) 1 ))
12116ffvelcdmda 7076 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
1222, 18, 10ringridm 20159 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅) 1 ) = (𝑋𝑦))
123103, 121, 122syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅) 1 ) = (𝑋𝑦))
124120, 123eqtrd 2764 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))) = (𝑋𝑦))
125124, 121eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
126 fveq2 6881 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑋𝑧) = (𝑋𝑦))
127 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑦f𝑧) = (𝑦f𝑦))
128127fveq2d 6885 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑈‘(𝑦f𝑧)) = (𝑈‘(𝑦f𝑦)))
129126, 128oveq12d 7419 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))))
1302, 129gsumsn 19864 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐷 ∧ ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))))
131105, 21, 125, 130syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))))
13234, 102, 1313eqtr3d 2772 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))))
13322, 132, 1243eqtrd 2768 . 2 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑋𝑦))
13415, 17, 133eqfnfvd 7025 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  {crab 3424  Vcvv 3466  cdif 3937  wss 3940  ifcif 4520  {csn 4620   class class class wbr 5138  cmpt 5221   × cxp 5664  ccnv 5665  cres 5668  cima 5669  Fun wfun 6527  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  f cof 7661  r cofr 7662   supp csupp 8140  m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  cc 11104  0cc0 11106  cle 11246  cmin 11441  cn 12209  0cn0 12469  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  0gc0g 17384   Σg cgsu 17385  Mndcmnd 18657  CMndccmn 19690  1rcur 20076  Ringcrg 20128   mPwSer cmps 21766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-psr 21771
This theorem is referenced by:  psrring  21841  psr1  21842
  Copyright terms: Public domain W3C validator