Theorem psrridm 19876

Description: The identity element of the ring of power series is a right identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1cl.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrlidm.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrlidm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrridm	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrridm

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr1cl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		psr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psrlidm.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑆)
6		psrring.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		psrlidm.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		psrring.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
9		psr1cl.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		psr1cl.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
11		psr1cl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
12	1, 8, 6, 3, 9, 10, 11, 4	psr1cl 19874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
13	1, 4, 5, 6, 7, 12	psrmulcl 19860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 13	psrelbas 19851	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈):𝐷⟶(Base‘𝑅))
15	14	ffnd 6390	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) Fn 𝐷)
16	1, 2, 3, 4, 7	psrelbas 19851	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6390	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐷)
18		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	12	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑈 ∈ 𝐵)
21		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
22	1, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21	psrmulval 19858	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))))
23		breq1 4971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑦 → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑦))
24	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
25	3	psrbagf 19837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
26	8, 25	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
27		nn0re 11760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℝ)
28	27	leidd 11060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ≤ 𝑧)
29	28	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ≤ 𝑧)
30	24, 26, 29	caofref 7300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑦)
31	23, 21, 30	elrabd 3623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦})
32	31	snssd 4655	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑦} ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦})
33	32	resmptd 5796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) ↾ {𝑦}) = (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))))
34	33	oveq2d 7039	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))))
35		ringcmn 19025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
36	6, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
37	36	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
38		ovex 7055	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V
39	3, 38	rab2ex 5136	. . . . . 6 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∈ V)
41	6	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑅 ∈ Ring)
42	16	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
43		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦})
44		breq1 4971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑧 → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦))
45	44	elrab 3621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↔ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦))
46	43, 45	sylib 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦))
47	46	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∈ 𝐷)
48	42, 47	ffvelrnd 6724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → (𝑋‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
49	1, 2, 3, 4, 20	psrelbas 19851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
50	49	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
51	8	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
52	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑦 ∈ 𝐷)
53	3	psrbagf 19837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
54	51, 47, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
55	46	simprd 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦)
56	3	psrbagcon 19843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦)) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∘𝑟 ≤ 𝑦))
57	51, 52, 54, 55, 56	syl13anc 1365	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∘𝑟 ≤ 𝑦))
58	57	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝐷)
59	50, 58	ffvelrnd 6724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
60	2, 18	ringcl 19005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
61	41, 48, 59, 60	syl3anc 1364	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
62	61	fmpttd 6749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}⟶(Base‘𝑅))
63		eldifi 4030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦})
64	63, 58	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝐷)
65		eqeq1 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0})))
66	65	ifbid 4409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = if((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
67	10	fvexi 6559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
68	9	fvexi 6559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
69	67, 68	ifex 4435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V
70	66, 11, 69	fvmpt 6642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) = if((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
71	64, 70	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) = if((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
72		eldifsni 4635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧 ≠ 𝑦)
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑧 ≠ 𝑦)
74	73	necomd 3041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑦 ≠ 𝑧)
75		nn0sscn 11756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
76		fss 6402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
77	26, 75, 76	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
79		fss 6402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
80	54, 75, 79	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
81		ofsubeq0 11489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑧:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
82	51, 78, 80, 81	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
83	63, 82	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
84	83	necon3bbid 3023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (¬ (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 ≠ 𝑧))
85	74, 84	mpbird 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ¬ (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}))
86	85	iffalsed 4398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → if((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 0 )
87	71, 86	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) = 0 )
88	87	oveq2d 7039	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ))
89	2, 18, 9	ringrz 19032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
90	41, 48, 89	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
91	63, 90	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
92	88, 91	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = 0 )
93	92, 40	suppss2 7722	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {𝑦})
94	40	mptexd 6860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) ∈ V)
95		funmpt 6270	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))
96	95	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))))
97	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
98		snfi 8449	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
99	98	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑦} ∈ Fin)
100		suppssfifsupp 8701	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({𝑦} ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {𝑦})) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) finSupp 0 )
101	94, 96, 97, 99, 93, 100	syl32anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) finSupp 0 )
102	2, 9, 37, 40, 62, 93, 101	gsumres 18758	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))))
103	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
104		ringmnd 19000	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
105	103, 104	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Mnd)
106		eqid 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 = 𝑦
107		ofsubeq0 11489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
108	24, 77, 77, 107	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
109	106, 108	mpbiri 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑦 ∘𝑓 − 𝑦) = (𝐼 × {0}))
110	109	fveq2d 6549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦)) = (𝑈‘(𝐼 × {0})))
111		fconstmpt 5507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ 0)
112	3	fczpsrbag 19839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
113	8, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
114	111, 113	syl5eqel 2889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
116		iftrue 4393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 1 )
117	116, 11, 67	fvmpt 6642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
118	115, 117	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
119	110, 118	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦)) = 1 )
120	119	oveq2d 7039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅) 1 ))
121	16	ffvelrnda 6723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
122	2, 18, 10	ringridm 19016	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑋‘𝑦))
123	103, 121, 122	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑋‘𝑦))
124	120, 123	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))) = (𝑋‘𝑦))
125	124, 121	eqeltrd 2885	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
126		fveq2 6545	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘𝑦))
127		oveq2 7031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))
128	127	fveq2d 6549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) = (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦)))
129	126, 128	oveq12d 7041	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))))
130	2, 129	gsumsn 18798	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))))
131	105, 21, 125, 130	syl3anc 1364	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))))
132	34, 102, 131	3eqtr3d 2841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))))
133	22, 132, 124	3eqtrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑋‘𝑦))
134	15, 17, 133	eqfnfvd 6677	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986  {crab 3111  Vcvv 3440   ∖ cdif 3862   ⊆ wss 3865  ifcif 4387  {csn 4478   class class class wbr 4968   ↦ cmpt 5047   × cxp 5448  ^◡ccnv 5449   ↾ cres 5452   “ cima 5453  Fun wfun 6226  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023   ∘_𝑓 cof 7272   ∘_𝑟 cofr 7273   supp csupp 7688   ↑_𝑚 cmap 8263  Fincfn 8364   finSupp cfsupp 8686  ℂcc 10388  0cc0 10390   ≤ cle 10529   − cmin 10723  ℕcn 11492  ℕ₀cn0 11751  Basecbs 16316  ._rcmulr 16399  0_gc0g 16546   Σ_g cgsu 16547  Mndcmnd 17737  CMndccmn 18637  1_rcur 18945  Ringcrg 18991   mPwSer cmps 19823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-ofr 7275  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-tset 16417  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-psr 19828

This theorem is referenced by:  psrring  19883  psr1  19884