Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrridm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrridm 20737
 Description: The identity element of the ring of power series is a right identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z 0 = (0g𝑅)
psr1cl.o 1 = (1r𝑅)
psr1cl.u 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrlidm.t · = (.r𝑆)
psrlidm.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrridm (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑆   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrridm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2758 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 psr1cl.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4 psr1cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 psrlidm.t . . . . 5 · = (.r𝑆)
6 psrring.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 psrlidm.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
8 psrring.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
9 psr1cl.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
10 psr1cl.o . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
11 psr1cl.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
121, 8, 6, 3, 9, 10, 11, 4psr1cl 20735 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐵)
131, 4, 5, 6, 7, 12psrmulcl 20721 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) ∈ 𝐵)
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 20712 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1514ffnd 6503 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) Fn 𝐷)
161, 2, 3, 4, 7psrelbas 20712 . . 3 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 6503 . 2 (𝜑𝑋 Fn 𝐷)
18 eqid 2758 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
197adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑋𝐵)
2012adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑈𝐵)
21 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
221, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21psrmulval 20719 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))))))
23 breq1 5038 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑦 → (𝑔r𝑦𝑦r𝑦))
248adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐼𝑉)
253psrbagf 20685 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0)
2625adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
27 nn0re 11948 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℝ)
2827leidd 11249 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧𝑧)
2928adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧𝑧)
3024, 26, 29caofref 7438 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦r𝑦)
3123, 21, 30elrabd 3606 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦})
3231snssd 4702 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑦} ⊆ {𝑔𝐷𝑔r𝑦})
3332resmptd 5884 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) ↾ {𝑦}) = (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))))
3433oveq2d 7171 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))))))
35 ringcmn 19407 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
366, 35syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
3736adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
38 ovex 7188 . . . . . . 7 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
393, 38rab2ex 5208 . . . . . 6 {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∈ V
4039a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∈ V)
416ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑅 ∈ Ring)
4216ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
43 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦})
44 breq1 5038 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑧 → (𝑔r𝑦𝑧r𝑦))
4544elrab 3604 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↔ (𝑧𝐷𝑧r𝑦))
4643, 45sylib 221 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → (𝑧𝐷𝑧r𝑦))
4746simpld 498 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑧𝐷)
4842, 47ffvelrnd 6848 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → (𝑋𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
491, 2, 3, 4, 20psrelbas 20712 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
5049adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
5121adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑦𝐷)
523psrbagf 20685 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐷𝑧:𝐼⟶ℕ0)
5347, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
5446simprd 499 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑧r𝑦)
553psrbagcon 20697 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐷𝑧:𝐼⟶ℕ0𝑧r𝑦) → ((𝑦f𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦f𝑧) ∘r𝑦))
5651, 53, 54, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → ((𝑦f𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦f𝑧) ∘r𝑦))
5756simpld 498 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → (𝑦f𝑧) ∈ 𝐷)
5850, 57ffvelrnd 6848 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → (𝑈‘(𝑦f𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
592, 18ringcl 19387 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑈‘(𝑦f𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
6041, 48, 58, 59syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
6160fmpttd 6875 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))):{𝑔𝐷𝑔r𝑦}⟶(Base‘𝑅))
62 eldifi 4034 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦})
6362, 57sylan2 595 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑦f𝑧) ∈ 𝐷)
64 eqeq1 2762 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦f𝑧) → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ (𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0})))
6564ifbid 4446 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦f𝑧) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = if((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
6610fvexi 6676 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
679fvexi 6676 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
6866, 67ifex 4473 . . . . . . . . . . 11 if((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V
6965, 11, 68fvmpt 6763 . . . . . . . . . 10 ((𝑦f𝑧) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝑦f𝑧)) = if((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
7063, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦f𝑧)) = if((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
71 eldifsni 4683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧𝑦)
7271adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑧𝑦)
7372necomd 3006 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑦𝑧)
7424adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝐼𝑉)
75 nn0sscn 11944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ⊆ ℂ
76 fss 6516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
7726, 75, 76sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
7877adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
79 fss 6516 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
8053, 75, 79sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
81 ofsubeq0 11676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑧:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
8274, 78, 80, 81syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → ((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
8362, 82sylan2 595 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
8483necon3bbid 2988 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → (¬ (𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦𝑧))
8573, 84mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → ¬ (𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}))
8685iffalsed 4434 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → if((𝑦f𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 0 )
8770, 86eqtrd 2793 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦f𝑧)) = 0 )
8887oveq2d 7171 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))) = ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ))
892, 18, 9ringrz 19414 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
9041, 48, 89syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦}) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
9162, 90sylan2 595 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅) 0 ) = 0 )
9288, 91eqtrd 2793 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔r𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))) = 0 )
9392, 40suppss2 7879 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {𝑦})
9440mptexd 6983 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) ∈ V)
95 funmpt 6377 . . . . . . 7 Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))))
9695a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))))
9767a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 0 ∈ V)
98 snfi 8619 . . . . . . 7 {𝑦} ∈ Fin
9998a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑦} ∈ Fin)
100 suppssfifsupp 8886 . . . . . 6 ((((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({𝑦} ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {𝑦})) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) finSupp 0 )
10194, 96, 97, 99, 93, 100syl32anc 1375 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) finSupp 0 )
1022, 9, 37, 40, 61, 93, 101gsumres 19106 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))))))
1036adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
104 ringmnd 19380 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
105103, 104syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ Mnd)
106 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 𝑦 = 𝑦
107 ofsubeq0 11676 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦f𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
10824, 77, 77, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑦f𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
109106, 108mpbiri 261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑦f𝑦) = (𝐼 × {0}))
110109fveq2d 6666 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝑦f𝑦)) = (𝑈‘(𝐼 × {0})))
111 fconstmpt 5587 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 × {0}) = (𝑤𝐼 ↦ 0)
1123fczpsrbag 20690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑉 → (𝑤𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
1138, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
114111, 113eqeltrid 2856 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
115114adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
116 iftrue 4429 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 1 )
117116, 11, 66fvmpt 6763 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
118115, 117syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
119110, 118eqtrd 2793 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝑦f𝑦)) = 1 )
120119oveq2d 7171 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅) 1 ))
12116ffvelrnda 6847 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
1222, 18, 10ringridm 19398 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅) 1 ) = (𝑋𝑦))
123103, 121, 122syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅) 1 ) = (𝑋𝑦))
124120, 123eqtrd 2793 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))) = (𝑋𝑦))
125124, 121eqeltrd 2852 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
126 fveq2 6662 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑋𝑧) = (𝑋𝑦))
127 oveq2 7163 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑦f𝑧) = (𝑦f𝑦))
128127fveq2d 6666 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑈‘(𝑦f𝑧)) = (𝑈‘(𝑦f𝑦)))
129126, 128oveq12d 7173 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))))
1302, 129gsumsn 19147 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐷 ∧ ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))))
131105, 21, 125, 130syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))))
13234, 102, 1313eqtr3d 2801 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔r𝑦} ↦ ((𝑋𝑧)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑧))))) = ((𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑈‘(𝑦f𝑦))))
13322, 132, 1243eqtrd 2797 . 2 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑋𝑦))
13415, 17, 133eqfnfvd 6800 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  {crab 3074  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857   ⊆ wss 3860  ifcif 4423  {csn 4525   class class class wbr 5035   ↦ cmpt 5115   × cxp 5525  ◡ccnv 5526   ↾ cres 5529   “ cima 5530  Fun wfun 6333  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ∘f cof 7408   ∘r cofr 7409   supp csupp 7840   ↑m cmap 8421  Fincfn 8532   finSupp cfsupp 8871  ℂcc 10578  0cc0 10580   ≤ cle 10719   − cmin 10913  ℕcn 11679  ℕ0cn0 11939  Basecbs 16546  .rcmulr 16629  0gc0g 16776   Σg cgsu 16777  Mndcmnd 17982  CMndccmn 18978  1rcur 19324  Ringcrg 19370   mPwSer cmps 20671 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-ofr 7411  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-hash 13746  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-tset 16647  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-mulg 18297  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-psr 20676 This theorem is referenced by:  psrring  20744  psr1  20745
 Copyright terms: Public domain W3C validator