Theorem psrridm 21872

Description: The identity element of the ring of power series is a right identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1cl.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrlidm.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrlidm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrridm	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrridm

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr1cl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		psr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psrlidm.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑆)
6		psrring.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		psrlidm.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		psrring.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
9		psr1cl.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		psr1cl.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
11		psr1cl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
12	1, 8, 6, 3, 9, 10, 11, 4	psr1cl 21870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
13	1, 4, 5, 6, 7, 12	psrmulcl 21855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 13	psrelbas 21843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈):𝐷⟶(Base‘𝑅))
15	14	ffnd 6689	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) Fn 𝐷)
16	1, 2, 3, 4, 7	psrelbas 21843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6689	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐷)
18		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑈 ∈ 𝐵)
21		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
22	1, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21	psrmulval 21853	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))))
23		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑦 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ∘r ≤ 𝑦))
24	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
25	3	psrbagf 21827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
27		nn0re 12451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℝ)
28	27	leidd 11744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ≤ 𝑧)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ≤ 𝑧)
30	24, 26, 29	caofref 7684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∘r ≤ 𝑦)
31	23, 21, 30	elrabd 3661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦})
32	31	snssd 4773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑦} ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦})
33	32	resmptd 6011	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ↾ {𝑦}) = (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))))
34	33	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))))
35		ringcmn 20191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
36	6, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
38		ovex 7420	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
39	3, 38	rab2ex 5297	. . . . . 6 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∈ V)
41	6	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑅 ∈ Ring)
42	16	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
43		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦})
44		breq1 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑧 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ∘r ≤ 𝑦))
45	44	elrab 3659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↔ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘r ≤ 𝑦))
46	43, 45	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘r ≤ 𝑦))
47	46	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∈ 𝐷)
48	42, 47	ffvelcdmd 7057	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → (𝑋‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
49	1, 2, 3, 4, 20	psrelbas 21843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
50	49	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
51	21	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑦 ∈ 𝐷)
52	3	psrbagf 21827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
53	47, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
54	46	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∘r ≤ 𝑦)
55	3	psrbagcon 21834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑧 ∘r ≤ 𝑦) → ((𝑦 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘f − 𝑧) ∘r ≤ 𝑦))
56	51, 53, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → ((𝑦 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘f − 𝑧) ∘r ≤ 𝑦))
57	56	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → (𝑦 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷)
58	50, 57	ffvelcdmd 7057	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
59	2, 18	ringcl 20159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
60	41, 48, 58, 59	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
61	60	fmpttd 7087	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}⟶(Base‘𝑅))
62		eldifi 4094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦})
63	62, 57	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑦 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷)
64		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∘f − 𝑧) → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ (𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0})))
65	64	ifbid 4512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∘f − 𝑧) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = if((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
66	10	fvexi 6872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
67	9	fvexi 6872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
68	66, 67	ifex 4539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V
69	65, 11, 68	fvmpt 6968	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) = if((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
70	63, 69	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) = if((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
71		eldifsni 4754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧 ≠ 𝑦)
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑧 ≠ 𝑦)
73	72	necomd 2980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑦 ≠ 𝑧)
74	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
75		nn0sscn 12447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
76		fss 6704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
77	26, 75, 76	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
79		fss 6704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
80	53, 75, 79	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
81		ofsubeq0 12183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑧:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
82	74, 78, 80, 81	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → ((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
83	62, 82	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
84	83	necon3bbid 2962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (¬ (𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 ≠ 𝑧))
85	73, 84	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ¬ (𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}))
86	85	iffalsed 4499	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → if((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 0 )
87	70, 86	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) = 0 )
88	87	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) = ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ))
89	2, 18, 9	ringrz 20203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
90	41, 48, 89	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
91	62, 90	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
92	88, 91	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) = 0 )
93	92, 40	suppss2 8179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {𝑦})
94	40	mptexd 7198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ∈ V)
95		funmpt 6554	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))
96	95	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))))
97	67	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
98		snfi 9014	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
99	98	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑦} ∈ Fin)
100		suppssfifsupp 9331	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({𝑦} ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {𝑦})) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) finSupp 0 )
101	94, 96, 97, 99, 93, 100	syl32anc 1380	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) finSupp 0 )
102	2, 9, 37, 40, 61, 93, 101	gsumres 19843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))))
103	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
104		ringmnd 20152	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
105	103, 104	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Mnd)
106		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 = 𝑦
107		ofsubeq0 12183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦 ∘f − 𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
108	24, 77, 77, 107	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑦 ∘f − 𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
109	106, 108	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑦 ∘f − 𝑦) = (𝐼 × {0}))
110	109	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦)) = (𝑈‘(𝐼 × {0})))
111		fconstmpt 5700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ 0)
112	3	fczpsrbag 21830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
113	8, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
114	111, 113	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
116		iftrue 4494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 1 )
117	116, 11, 66	fvmpt 6968	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
118	115, 117	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
119	110, 118	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦)) = 1 )
120	119	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅) 1 ))
121	16	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
122	2, 18, 10	ringridm 20179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑋‘𝑦))
123	103, 121, 122	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑋‘𝑦))
124	120, 123	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))) = (𝑋‘𝑦))
125	124, 121	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
126		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘𝑦))
127		oveq2 7395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝑦 ∘f − 𝑦))
128	127	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) = (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦)))
129	126, 128	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))))
130	2, 129	gsumsn 19884	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))))
131	105, 21, 125, 130	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))))
132	34, 102, 131	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))))
133	22, 132, 124	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑋‘𝑦))
134	15, 17, 133	eqfnfvd 7006	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3405  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  ifcif 4488  {csn 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640   “ cima 5641  Fun wfun 6505  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651   ∘_r cofr 7652   supp csupp 8139   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918   finSupp cfsupp 9312  ℂcc 11066  0cc0 11068   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18661  CMndccmn 19710  1_rcur 20090  Ringcrg 20142   mPwSer cmps 21813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-psr 21818

This theorem is referenced by:  psrring  21879  psr1  21880