Theorem itg20 25654

Description: The integral of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg20	⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0

Proof of Theorem itg20

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f0 25604	. . 3 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
2		reex 11119	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ V)
4		i1ff 25593	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
5	1, 4	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
6		leid 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ 𝑥)
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝑥)
8	3, 5, 7	caofref 7648	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}) ∘r ≤ (ℝ × {0}))
9		ax-resscn 11085	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
11	5	ffnd 6657	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
12	10, 11	0pledm 25590	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0}) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (ℝ × {0})))
13	8, 12	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0}))
14	13	mptru 1547	. . 3 ⊢ 0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0})
15		itg2itg1 25653	. . 3 ⊢ (((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0})) → (∫2‘(ℝ × {0})) = (∫1‘(ℝ × {0})))
16	1, 14, 15	mp2an 692	. 2 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = (∫1‘(ℝ × {0}))
17		itg10 25605	. 2 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
18	16, 17	eqtri 2752	1 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579   class class class wbr 5095   × cxp 5621  dom cdm 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486   ∘_r cofr 7616  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   ≤ cle 11169  ∫₁citg1 25532  ∫₂citg2 25533  0_𝑝c0p 25586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xadd 13033  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-xmet 21272  df-met 21273  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536  df-itg1 25537  df-itg2 25538  df-0p 25587

This theorem is referenced by:  itg2mulc  25664  itg0  25697  itgz  25698  itgvallem3  25703  iblposlem  25709  bddmulibl  25756  iblempty  45947