Theorem itg20 25638

Description: The integral of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg20	⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0

Proof of Theorem itg20

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f0 25588	. . 3 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
2		reex 11159	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ V)
4		i1ff 25577	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
5	1, 4	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
6		leid 11270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ 𝑥)
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝑥)
8	3, 5, 7	caofref 7684	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}) ∘r ≤ (ℝ × {0}))
9		ax-resscn 11125	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
11	5	ffnd 6689	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
12	10, 11	0pledm 25574	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0}) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (ℝ × {0})))
13	8, 12	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0}))
14	13	mptru 1547	. . 3 ⊢ 0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0})
15		itg2itg1 25637	. . 3 ⊢ (((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0})) → (∫2‘(ℝ × {0})) = (∫1‘(ℝ × {0})))
16	1, 14, 15	mp2an 692	. 2 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = (∫1‘(ℝ × {0}))
17		itg10 25589	. 2 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
18	16, 17	eqtri 2752	1 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  {csn 4589   class class class wbr 5107   × cxp 5636  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511   ∘_r cofr 7652  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   ≤ cle 11209  ∫₁citg1 25516  ∫₂citg2 25517  0_𝑝c0p 25570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xadd 13073  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-xmet 21257  df-met 21258  df-ovol 25365  df-vol 25366  df-mbf 25520  df-itg1 25521  df-itg2 25522  df-0p 25571

This theorem is referenced by:  itg2mulc  25648  itg0  25681  itgz  25682  itgvallem3  25687  iblposlem  25693  bddmulibl  25740  iblempty  45963