MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg20 24320
Description: The integral of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg20 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0

Proof of Theorem itg20
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1f0 24270 . . 3 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
2 reex 10605 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ∈ V)
4 i1ff 24259 . . . . . . 7 ((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
51, 4mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
6 leid 10713 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥𝑥)
76adantl 485 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥𝑥)
83, 5, 7caofref 7410 . . . . 5 (⊤ → (ℝ × {0}) ∘r ≤ (ℝ × {0}))
9 ax-resscn 10571 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
109a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
115ffnd 6488 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
1210, 110pledm 24256 . . . . 5 (⊤ → (0𝑝r ≤ (ℝ × {0}) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (ℝ × {0})))
138, 12mpbird 260 . . . 4 (⊤ → 0𝑝r ≤ (ℝ × {0}))
1413mptru 1545 . . 3 0𝑝r ≤ (ℝ × {0})
15 itg2itg1 24319 . . 3 (((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r ≤ (ℝ × {0})) → (∫2‘(ℝ × {0})) = (∫1‘(ℝ × {0})))
161, 14, 15mp2an 691 . 2 (∫2‘(ℝ × {0})) = (∫1‘(ℝ × {0}))
17 itg10 24271 . 2 (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
1816, 17eqtri 2844 1 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wtru 1539  wcel 2115  Vcvv 3471  wss 3910  {csn 4540   class class class wbr 5039   × cxp 5526  dom cdm 5528  wf 6324  cfv 6328  r cofr 7383  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514  cle 10653  1citg1 24198  2citg2 24199  0𝑝c0p 24252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-disj 5005  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-ofr 7385  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xadd 12486  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022  df-xmet 20514  df-met 20515  df-ovol 24047  df-vol 24048  df-mbf 24202  df-itg1 24203  df-itg2 24204  df-0p 24253
This theorem is referenced by:  itg2mulc  24330  itg0  24362  itgz  24363  itgvallem3  24368  iblposlem  24374  bddmulibl  24421  iblempty  42426
  Copyright terms: Public domain W3C validator