Theorem itg20 25699

Description: The integral of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg20	⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0

Proof of Theorem itg20

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f0 25649	. . 3 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
2		reex 11122	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ V)
4		i1ff 25638	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
5	1, 4	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
6		leid 11234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ 𝑥)
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝑥)
8	3, 5, 7	caofref 7656	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}) ∘r ≤ (ℝ × {0}))
9		ax-resscn 11088	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
11	5	ffnd 6664	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
12	10, 11	0pledm 25635	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0}) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (ℝ × {0})))
13	8, 12	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0}))
14	13	mptru 1549	. . 3 ⊢ 0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0})
15		itg2itg1 25698	. . 3 ⊢ (((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0})) → (∫2‘(ℝ × {0})) = (∫1‘(ℝ × {0})))
16	1, 14, 15	mp2an 693	. 2 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = (∫1‘(ℝ × {0}))
17		itg10 25650	. 2 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
18	16, 17	eqtri 2760	1 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  {csn 4581   class class class wbr 5099   × cxp 5623  dom cdm 5625  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493   ∘_r cofr 7624  ℂcc 11029  ℝcr 11030  0cc0 11031   ≤ cle 11172  ∫₁citg1 25577  ∫₂citg2 25578  0_𝑝c0p 25631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-inf2 9555  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109  ax-addf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-dju 9818  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-q 12867  df-rp 12911  df-xadd 13032  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13717  df-seq 13930  df-exp 13990  df-hash 14259  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-clim 15416  df-sum 15615  df-xmet 21307  df-met 21308  df-ovol 25426  df-vol 25427  df-mbf 25581  df-itg1 25582  df-itg2 25583  df-0p 25632

This theorem is referenced by:  itg2mulc  25709  itg0  25742  itgz  25743  itgvallem3  25748  iblposlem  25754  bddmulibl  25801  iblempty  46286