MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg20 25611
Description: The integral of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg20 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0

Proof of Theorem itg20
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1f0 25560 . . 3 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
2 reex 11198 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ∈ V)
4 i1ff 25549 . . . . . . 7 ((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
51, 4mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
6 leid 11309 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥𝑥)
76adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥𝑥)
83, 5, 7caofref 7693 . . . . 5 (⊤ → (ℝ × {0}) ∘r ≤ (ℝ × {0}))
9 ax-resscn 11164 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
109a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
115ffnd 6709 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
1210, 110pledm 25546 . . . . 5 (⊤ → (0𝑝r ≤ (ℝ × {0}) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (ℝ × {0})))
138, 12mpbird 257 . . . 4 (⊤ → 0𝑝r ≤ (ℝ × {0}))
1413mptru 1540 . . 3 0𝑝r ≤ (ℝ × {0})
15 itg2itg1 25610 . . 3 (((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r ≤ (ℝ × {0})) → (∫2‘(ℝ × {0})) = (∫1‘(ℝ × {0})))
161, 14, 15mp2an 689 . 2 (∫2‘(ℝ × {0})) = (∫1‘(ℝ × {0}))
17 itg10 25561 . 2 (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
1816, 17eqtri 2752 1 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  Vcvv 3466  wss 3941  {csn 4621   class class class wbr 5139   × cxp 5665  dom cdm 5667  wf 6530  cfv 6534  r cofr 7663  cc 11105  cr 11106  0cc0 11107  cle 11248  1citg1 25488  2citg2 25489  0𝑝c0p 25542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-disj 5105  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xadd 13094  df-ioo 13329  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-xmet 21227  df-met 21228  df-ovol 25337  df-vol 25338  df-mbf 25492  df-itg1 25493  df-itg2 25494  df-0p 25543
This theorem is referenced by:  itg2mulc  25621  itg0  25653  itgz  25654  itgvallem3  25659  iblposlem  25665  bddmulibl  25712  iblempty  45226
  Copyright terms: Public domain W3C validator