Theorem itg20 25237

Description: The integral of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg20	⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0

Proof of Theorem itg20

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1f0 25186	. . 3 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
2		reex 11197	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ V)
4		i1ff 25175	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
5	1, 4	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}):ℝ⟶ℝ)
6		leid 11306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ 𝑥)
7	6	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝑥)
8	3, 5, 7	caofref 7694	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}) ∘r ≤ (ℝ × {0}))
9		ax-resscn 11163	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
11	5	ffnd 6715	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
12	10, 11	0pledm 25172	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0}) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (ℝ × {0})))
13	8, 12	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0}))
14	13	mptru 1549	. . 3 ⊢ 0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0})
15		itg2itg1 25236	. . 3 ⊢ (((ℝ × {0}) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ (ℝ × {0})) → (∫2‘(ℝ × {0})) = (∫1‘(ℝ × {0})))
16	1, 14, 15	mp2an 691	. 2 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = (∫1‘(ℝ × {0}))
17		itg10 25187	. 2 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
18	16, 17	eqtri 2761	1 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   × cxp 5673  dom cdm 5675  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540   ∘_r cofr 7664  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106   ≤ cle 11245  ∫₁citg1 25114  ∫₂citg2 25115  0_𝑝c0p 25168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-ofr 7666  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20922  df-met 20923  df-ovol 24963  df-vol 24964  df-mbf 25118  df-itg1 25119  df-itg2 25120  df-0p 25169

This theorem is referenced by:  itg2mulc  25247  itg0  25279  itgz  25280  itgvallem3  25285  iblposlem  25291  bddmulibl  25338  iblempty  44616