MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2itg1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2itg1 25245
Description: The integral of a nonnegative simple function using ∫2 is the same as its value under ∫1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2itg1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜πΉ) = (∫1β€˜πΉ))
Proof of Theorem itg2itg1
Dummy variables π‘₯ 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 25184 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 xrge0f 25240 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
31, 2sylan 580 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
4 itg2cl 25241 . . 3 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
6 itg1cl 25193 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
76adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
87rexrd 11260 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
9 itg1le 25222 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ))
1093expia 1121 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ)))
1110ancoms 459 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ)))
1211ralrimiva 3146 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ)))
1312adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ)))
14 itg2leub 25243 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ))))
153, 8, 14syl2anc 584 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ))))
1613, 15mpbird 256 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΉ))
17 simpl 483 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
18 reex 11197 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1918a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
20 leid 11306 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
2120adantl 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
2219, 1, 21caofref 7695 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐹)
2322adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐹)
24 itg2ub 25242 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΉ))
253, 17, 23, 24syl3anc 1371 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΉ))
265, 8, 16, 25xrletrid 13130 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜πΉ) = (∫1β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘r cofr 7665  β„cr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245  [,]cicc 13323  βˆ«1citg1 25123  βˆ«2citg2 25124  0𝑝c0p 25177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-0p 25178
This theorem is referenced by:  itg20  25246  itg2const  25249  itg2i1fseq  25264  i1fibl  25316  itgitg1  25317  ftc1anclem5  36553  ftc1anclem7  36555  ftc1anclem8  36556
  Copyright terms: Public domain W3C validator