MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2itg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2itg1 25104
Description: The integral of a nonnegative simple function using ∫2 is the same as its value under ∫1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2itg1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜πΉ) = (∫1β€˜πΉ))

Proof of Theorem itg2itg1
Dummy variables π‘₯ 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 25043 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 xrge0f 25099 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
31, 2sylan 581 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
4 itg2cl 25100 . . 3 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
6 itg1cl 25052 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
76adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
87rexrd 11206 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
9 itg1le 25081 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ))
1093expia 1122 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ)))
1110ancoms 460 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ)))
1211ralrimiva 3144 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ)))
1312adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ)))
14 itg2leub 25102 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ))))
153, 8, 14syl2anc 585 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ))))
1613, 15mpbird 257 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΉ))
17 simpl 484 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
18 reex 11143 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1918a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
20 leid 11252 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
2120adantl 483 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
2219, 1, 21caofref 7647 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐹)
2322adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐹)
24 itg2ub 25101 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΉ))
253, 17, 23, 24syl3anc 1372 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΉ))
265, 8, 16, 25xrletrid 13075 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜πΉ) = (∫1β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3446   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘r cofr 7617  β„cr 11051  0cc0 11052  +∞cpnf 11187  β„*cxr 11189   ≀ cle 11191  [,]cicc 13268  βˆ«1citg1 24982  βˆ«2citg2 24983  0𝑝c0p 25036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xadd 13035  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-xmet 20792  df-met 20793  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986  df-itg1 24987  df-itg2 24988  df-0p 25037
This theorem is referenced by:  itg20  25105  itg2const  25108  itg2i1fseq  25123  i1fibl  25175  itgitg1  25176  ftc1anclem5  36158  ftc1anclem7  36160  ftc1anclem8  36161
  Copyright terms: Public domain W3C validator