Theorem itg2itg1 25703

Description: The integral of a nonnegative simple function using ∫₂ is the same as its value under ∫₁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2itg1	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹))

Proof of Theorem itg2itg1

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 25643	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		xrge0f 25698	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
4		itg2cl 25699	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
6		itg1cl 25652	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
8	7	rexrd 11195	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ*)
9		itg1le 25680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))
10	9	3expia 1122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
11	10	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
12	11	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
14		itg2leub 25701	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫1‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))))
15	3, 8, 14	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))))
16	13, 15	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹))
17		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
18		reex 11129	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
20		leid 11242	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ 𝑥)
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝑥)
22	19, 1, 21	caofref 7662	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∘r ≤ 𝐹)
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 ∘r ≤ 𝐹)
24		itg2ub 25700	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))
25	3, 17, 23, 24	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))
26	5, 8, 16, 25	xrletrid 13106	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_r cofr 7630  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180  [,]cicc 13301  ∫₁citg1 25582  ∫₂citg2 25583  0_𝑝c0p 25636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-xmet 21345  df-met 21346  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-mbf 25586  df-itg1 25587  df-itg2 25588  df-0p 25637

This theorem is referenced by:  itg20  25704  itg2const  25707  itg2i1fseq  25722  i1fibl  25775  itgitg1  25776  ftc1anclem5  38018  ftc1anclem7  38020  ftc1anclem8  38021