Theorem itg2itg1 26090

Description: The integral of a nonnegative simple function using ∫₂ is the same as its value under ∫₁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2itg1	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹))

Proof of Theorem itg2itg1

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 26030	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		xrge0f 26085	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
3	1, 2	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
4		itg2cl 26086	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ*)
6		itg1cl 26039	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
8	7	rexrd 11389	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ*)
9		itg1le 26067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))
10	9	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
11	10	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
12	11	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹)))
14		itg2leub 26088	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫1‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))))
15	3, 8, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ((∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≤ 𝐹 → (∫1‘𝑔) ≤ (∫1‘𝐹))))
16	13, 15	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) ≤ (∫1‘𝐹))
17		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
18		reex 11321	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
20		leid 11436	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ 𝑥)
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ 𝑥)
22	19, 1, 21	caofref 7751	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∘r ≤ 𝐹)
23	22	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 ∘r ≤ 𝐹)
24		itg2ub 26087	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))
25	3, 17, 23, 24	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) ≤ (∫2‘𝐹))
26	5, 8, 16, 25	xrletrid 13314	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫2‘𝐹) = (∫1‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   class class class wbr 5106  dom cdm 5656  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∘_r cofr 7719  ℝcr 11229  0cc0 11230  +∞cpnf 11370  ℝ^*cxr 11372   ≤ cle 11374  [,]cicc 13509  ∫₁citg1 25969  ∫₂citg2 25970  0_𝑝c0p 26023

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-ofr 7721  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-dju 10012  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xadd 13272  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-sum 15886  df-xmet 21704  df-met 21705  df-ovol 25818  df-vol 25819  df-mbf 25973  df-itg1 25974  df-itg2 25975  df-0p 26024

This theorem is used by:  itg20  26091  itg2const  26094  itg2i1fseq  26109  i1fibl  26161  itgitg1  26162  ftc1anclem5  38820  ftc1anclem7  38822  ftc1anclem8  38823