MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2itg1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2itg1 25587
Description: The integral of a nonnegative simple function using ∫2 is the same as its value under ∫1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2itg1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜πΉ) = (∫1β€˜πΉ))
Proof of Theorem itg2itg1
Dummy variables π‘₯ 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 25526 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 xrge0f 25582 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
31, 2sylan 579 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
4 itg2cl 25583 . . 3 (𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
6 itg1cl 25535 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
76adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
87rexrd 11271 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
9 itg1le 25564 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ))
1093expia 1120 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ)))
1110ancoms 458 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ)))
1211ralrimiva 3145 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ)))
1312adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ)))
14 itg2leub 25585 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ*) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ))))
153, 8, 14syl2anc 583 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ((∫2β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘” ∈ dom ∫1(𝑔 ∘r ≀ 𝐹 β†’ (∫1β€˜π‘”) ≀ (∫1β€˜πΉ))))
1613, 15mpbird 257 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜πΉ) ≀ (∫1β€˜πΉ))
17 simpl 482 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
18 reex 11207 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1918a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
20 leid 11317 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
2120adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
2219, 1, 21caofref 7703 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐹)
2322adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 ∘r ≀ 𝐹)
24 itg2ub 25584 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐹 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΉ))
253, 17, 23, 24syl3anc 1370 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜πΉ) ≀ (∫2β€˜πΉ))
265, 8, 16, 25xrletrid 13141 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜πΉ) = (∫1β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘r cofr 7673  β„cr 11115  0cc0 11116  +∞cpnf 11252  β„*cxr 11254   ≀ cle 11256  [,]cicc 13334  βˆ«1citg1 25465  βˆ«2citg2 25466  0𝑝c0p 25519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xadd 13100  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-xmet 21227  df-met 21228  df-ovol 25314  df-vol 25315  df-mbf 25469  df-itg1 25470  df-itg2 25471  df-0p 25520
This theorem is referenced by:  itg20  25588  itg2const  25591  itg2i1fseq  25606  i1fibl  25658  itgitg1  25659  ftc1anclem5  37032  ftc1anclem7  37034  ftc1anclem8  37035
  Copyright terms: Public domain W3C validator