Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2itg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2itg1 24340
 Description: The integral of a nonnegative simple function using ∫2 is the same as its value under ∫1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2itg1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫2𝐹) = (∫1𝐹))

Proof of Theorem itg2itg1
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 24280 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 xrge0f 24335 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
31, 2sylan 582 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
4 itg2cl 24336 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
6 itg1cl 24289 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
76adantr 483 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
87rexrd 10694 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫1𝐹) ∈ ℝ*)
9 itg1le 24317 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1𝑔r𝐹) → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹))
1093expia 1117 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹)))
1110ancoms 461 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹)))
1211ralrimiva 3185 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹)))
1312adantr 483 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹)))
14 itg2leub 24338 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫1𝐹) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ (∫1𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹))))
153, 8, 14syl2anc 586 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → ((∫2𝐹) ≤ (∫1𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹))))
1613, 15mpbird 259 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫2𝐹) ≤ (∫1𝐹))
17 simpl 485 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
18 reex 10631 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1918a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
20 leid 10739 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥𝑥)
2120adantl 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥𝑥)
2219, 1, 21caofref 7438 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹r𝐹)
2322adantr 483 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹r𝐹)
24 itg2ub 24337 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1𝐹r𝐹) → (∫1𝐹) ≤ (∫2𝐹))
253, 17, 23, 24syl3anc 1367 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫1𝐹) ≤ (∫2𝐹))
265, 8, 16, 25xrletrid 12551 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫2𝐹) = (∫1𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  Vcvv 3497   class class class wbr 5069  dom cdm 5558  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∘r cofr 7411  ℝcr 10539  0cc0 10540  +∞cpnf 10675  ℝ*cxr 10677   ≤ cle 10679  [,]cicc 12744  ∫1citg1 24219  ∫2citg2 24220  0𝑝c0p 24273 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-disj 5035  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-ofr 7413  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-dju 9333  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xadd 12511  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-xmet 20541  df-met 20542  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-mbf 24223  df-itg1 24224  df-itg2 24225  df-0p 24274 This theorem is referenced by:  itg20  24341  itg2const  24344  itg2i1fseq  24359  i1fibl  24411  itgitg1  24412  ftc1anclem5  34975  ftc1anclem7  34977  ftc1anclem8  34978
 Copyright terms: Public domain W3C validator