MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2itg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2itg1 24899
Description: The integral of a nonnegative simple function using 2 is the same as its value under 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2itg1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫2𝐹) = (∫1𝐹))

Proof of Theorem itg2itg1
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 24838 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 xrge0f 24894 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
31, 2sylan 580 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
4 itg2cl 24895 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
6 itg1cl 24847 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
76adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
87rexrd 11026 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫1𝐹) ∈ ℝ*)
9 itg1le 24876 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1𝑔r𝐹) → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹))
1093expia 1120 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹)))
1110ancoms 459 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹)))
1211ralrimiva 3110 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹)))
1312adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹)))
14 itg2leub 24897 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫1𝐹) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ (∫1𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹))))
153, 8, 14syl2anc 584 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → ((∫2𝐹) ≤ (∫1𝐹) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔r𝐹 → (∫1𝑔) ≤ (∫1𝐹))))
1613, 15mpbird 256 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫2𝐹) ≤ (∫1𝐹))
17 simpl 483 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
18 reex 10963 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1918a1i 11 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
20 leid 11071 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥𝑥)
2120adantl 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥𝑥)
2219, 1, 21caofref 7556 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹r𝐹)
2322adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹r𝐹)
24 itg2ub 24896 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹 ∈ dom ∫1𝐹r𝐹) → (∫1𝐹) ≤ (∫2𝐹))
253, 17, 23, 24syl3anc 1370 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫1𝐹) ≤ (∫2𝐹))
265, 8, 16, 25xrletrid 12888 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫2𝐹) = (∫1𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  Vcvv 3431   class class class wbr 5079  dom cdm 5590  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7271  r cofr 7526  cr 10871  0cc0 10872  +∞cpnf 11007  *cxr 11009  cle 11011  [,]cicc 13081  1citg1 24777  2citg2 24778  0𝑝c0p 24831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-ofr 7528  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-dju 9660  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xadd 12848  df-ioo 13082  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-sum 15396  df-xmet 20588  df-met 20589  df-ovol 24626  df-vol 24627  df-mbf 24781  df-itg1 24782  df-itg2 24783  df-0p 24832
This theorem is referenced by:  itg20  24900  itg2const  24903  itg2i1fseq  24918  i1fibl  24970  itgitg1  24971  ftc1anclem5  35850  ftc1anclem7  35852  ftc1anclem8  35853
  Copyright terms: Public domain W3C validator