MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntreq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntreq0 21177
Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntreq0 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ntreq0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21ntrval 21136 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
32eqeq1d 2767 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅))
4 neq0 4096 . . . . 5 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
54con1bii 347 . . . 4 (¬ ∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅)
6 ancom 452 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥))
7 elin 3960 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆))
87anbi1i 617 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥) ↔ ((𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥))
9 anass 460 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
106, 8, 93bitri 288 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
1110exbii 1943 . . . . . . . 8 (∃𝑥(𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
12 eluni 4599 . . . . . . . 8 (𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥(𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)))
13 df-rex 3061 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
1411, 12, 133bitr4i 294 . . . . . . 7 (𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
1514exbii 1943 . . . . . 6 (∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑦𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
16 rexcom4 3378 . . . . . 6 (∃𝑥𝐽𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑦𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
17 19.42v 2048 . . . . . . 7 (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
1817rexbii 3188 . . . . . 6 (∃𝑥𝐽𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
1915, 16, 183bitr2i 290 . . . . 5 (∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
2019notbii 311 . . . 4 (¬ ∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
215, 20bitr3i 268 . . 3 ( (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
22 ralinexa 3143 . . 3 (∀𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
23 selpw 4324 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑥𝑆)
24 neq0 4096 . . . . . 6 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑥)
2524con1bii 347 . . . . 5 (¬ ∃𝑦 𝑦𝑥𝑥 = ∅)
2623, 25imbi12i 341 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
2726ralbii 3127 . . 3 (∀𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
2821, 22, 273bitr2i 290 . 2 ( (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
293, 28syl6bb 278 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  cin 3733  wss 3734  c0 4081  𝒫 cpw 4317   cuni 4596  cfv 6070  Topctop 20993  intcnt 21117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-top 20994  df-ntr 21120
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator