Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntreq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntreq0 21770
 Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntreq0 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ntreq0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21ntrval 21729 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
32eqeq1d 2761 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅))
4 neq0 4245 . . . . 5 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
54con1bii 361 . . . 4 (¬ ∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅)
6 ancom 465 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥))
7 elin 3875 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆))
87anbi1i 627 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥) ↔ ((𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥))
9 anass 473 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
106, 8, 93bitri 301 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
1110exbii 1850 . . . . . . . 8 (∃𝑥(𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
12 eluni 4802 . . . . . . . 8 (𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥(𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)))
13 df-rex 3077 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
1411, 12, 133bitr4i 307 . . . . . . 7 (𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
1514exbii 1850 . . . . . 6 (∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑦𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
16 rexcom4 3178 . . . . . 6 (∃𝑥𝐽𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑦𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
17 19.42v 1955 . . . . . . 7 (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
1817rexbii 3176 . . . . . 6 (∃𝑥𝐽𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
1915, 16, 183bitr2i 303 . . . . 5 (∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
2019notbii 324 . . . 4 (¬ ∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
215, 20bitr3i 280 . . 3 ( (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
22 ralinexa 3189 . . 3 (∀𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
23 velpw 4500 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑥𝑆)
24 neq0 4245 . . . . . 6 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑥)
2524con1bii 361 . . . . 5 (¬ ∃𝑦 𝑦𝑥𝑥 = ∅)
2623, 25imbi12i 355 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
2726ralbii 3098 . . 3 (∀𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
2821, 22, 273bitr2i 303 . 2 ( (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
293, 28bitrdi 290 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  ∃wrex 3072   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ∅c0 4226  𝒫 cpw 4495  ∪ cuni 4799  ‘cfv 6336  Topctop 21586  intcnt 21710 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-top 21587  df-ntr 21713 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator