MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntreq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntreq0 21613
Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntreq0 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ntreq0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21ntrval 21572 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
32eqeq1d 2820 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅))
4 neq0 4306 . . . . 5 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
54con1bii 358 . . . 4 (¬ ∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅)
6 ancom 461 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥))
7 elin 4166 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆))
87anbi1i 623 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥) ↔ ((𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥))
9 anass 469 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
106, 8, 93bitri 298 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
1110exbii 1839 . . . . . . . 8 (∃𝑥(𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
12 eluni 4833 . . . . . . . 8 (𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥(𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)))
13 df-rex 3141 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
1411, 12, 133bitr4i 304 . . . . . . 7 (𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
1514exbii 1839 . . . . . 6 (∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑦𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
16 rexcom4 3246 . . . . . 6 (∃𝑥𝐽𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑦𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
17 19.42v 1945 . . . . . . 7 (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
1817rexbii 3244 . . . . . 6 (∃𝑥𝐽𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
1915, 16, 183bitr2i 300 . . . . 5 (∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
2019notbii 321 . . . 4 (¬ ∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
215, 20bitr3i 278 . . 3 ( (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
22 ralinexa 3261 . . 3 (∀𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
23 velpw 4543 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑥𝑆)
24 neq0 4306 . . . . . 6 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑥)
2524con1bii 358 . . . . 5 (¬ ∃𝑦 𝑦𝑥𝑥 = ∅)
2623, 25imbi12i 352 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
2726ralbii 3162 . . 3 (∀𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
2821, 22, 273bitr2i 300 . 2 ( (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
293, 28syl6bb 288 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  cin 3932  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535   cuni 4830  cfv 6348  Topctop 21429  intcnt 21553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-top 21430  df-ntr 21556
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator