Theorem cntrss 19269

Description: The center is a subset of the base field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntrss	⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem cntrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntrss.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
3	1, 2	cntrval 19257	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) = (Cntr‘𝑀)
4	1, 2	cntzssv 19266	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstrri 3996	1 ⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3916  ‘cfv 6513  Basecbs 17185  Cntzccntz 19253  Cntrccntr 19254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-cntz 19255  df-cntr 19256

This theorem is referenced by:  cntrcmnd  19778  primefld  20720  zrhcntr  33975