Theorem cntrss 18926

Description: The center is a subset of the base field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntrss	⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem cntrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntrss.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
3	1, 2	cntrval 18915	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) = (Cntr‘𝑀)
4	1, 2	cntzssv 18924	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstrri 3961	1 ⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1542   ⊆ wss 3892  ‘cfv 6431  Basecbs 16902  Cntzccntz 18911  Cntrccntr 18912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-ov 7272  df-cntz 18913  df-cntr 18914

This theorem is referenced by:  cntrcmnd  19433  primefld  20063