MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntrss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntrss 18926
Description: The center is a subset of the base field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cntrss.1 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
cntrss (Cntr‘𝑀) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem cntrss
StepHypRef Expression
1 cntrss.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
2 eqid 2740 . . 3 (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
31, 2cntrval 18915 . 2 ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) = (Cntr‘𝑀)
41, 2cntzssv 18924 . 2 ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) ⊆ 𝐵
53, 4eqsstrri 3961 1 (Cntr‘𝑀) ⊆ 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wss 3892  cfv 6431  Basecbs 16902  Cntzccntz 18911  Cntrccntr 18912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-ov 7272  df-cntz 18913  df-cntr 18914
This theorem is referenced by:  cntrcmnd  19433  primefld  20063
  Copyright terms: Public domain W3C validator