Theorem cntrss 19236

Description: The center is a subset of the base field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntrss	⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem cntrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntrss.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
3	1, 2	cntrval 19224	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) = (Cntr‘𝑀)
4	1, 2	cntzssv 19233	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstrri 4016	1 ⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1539   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6542  Basecbs 17148  Cntzccntz 19220  Cntrccntr 19221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-cntz 19222  df-cntr 19223

This theorem is referenced by:  cntrcmnd  19751  primefld  20564