Theorem cntrss 19260

Description: The center is a subset of the base field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntrss	⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem cntrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntrss.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
3	1, 2	cntrval 19248	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) = (Cntr‘𝑀)
4	1, 2	cntzssv 19257	. 2 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstrri 3981	1 ⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  Cntzccntz 19244  Cntrccntr 19245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-cntz 19246  df-cntr 19247

This theorem is referenced by:  cntrcmnd  19771  primefld  20738  zrhcntr  34136