Theorem cntri 19237

Description: Defining property of the center of a group. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntri.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
cntri.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
cntri.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntri	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑍 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem cntri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntri.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
2		cntri.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
4	2, 3	cntrval 19224	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) = (Cntr‘𝑀)
5	1, 4	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ 𝑍 = ((Cntz‘𝑀)‘𝐵)
6	5	eleq2i 2825	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑍 ↔ 𝑋 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵))
7		cntri.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
8	7, 3	cntzi 19234	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
9	6, 8	sylanb 581	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑍 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  Cntzccntz 19220  Cntrccntr 19221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-cntz 19222  df-cntr 19223

This theorem is referenced by:  cntrcmnd  19751  primefld  20564  sraassab  21641