Theorem cntrcmnd 19970

Description: The center of a monoid is a commutative submonoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrcmnd.z	⊢ 𝑍 = (𝑀 ↾s (Cntr‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cntrcmnd	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ CMnd)

Proof of Theorem cntrcmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2	1	cntrss 19459	. . 3 ⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
3		cntrcmnd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑀 ↾s (Cntr‘𝑀))
4	3, 1	ressbas2 17334	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀) → (Cntr‘𝑀) = (Base‘𝑍))
5	2, 4	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (Cntr‘𝑀) = (Base‘𝑍))
6		fvex 6895	. . 3 ⊢ (Cntr‘𝑀) ∈ V
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
8	3, 7	ressplusg 17380	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
9	6, 8	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
11	1, 10	cntrval 19447	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) = (Cntr‘𝑀)
12		ssid 3956	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
13	1, 10	cntzsubm 19466	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)) → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubMnd‘𝑀))
14	12, 13	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubMnd‘𝑀))
15	11, 14	eqeltrrid 2867	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (Cntr‘𝑀) ∈ (SubMnd‘𝑀))
16	3	submmnd 18923	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑍 ∈ Mnd)
17	15, 16	syl 18	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ Mnd)
18		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀))
19		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀))
20	2, 19	sselid 3932	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))
21		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Cntr‘𝑀) = (Cntr‘𝑀)
22	1, 7, 21	cntri 19460	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥))
23	18, 20, 22	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥))
24	5, 9, 17, 23	iscmnd 19922	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ CMnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  +_gcplusg 17346  Mndcmnd 18838  SubMndcsubmnd 18891  Cntzccntz 19443  Cntrccntr 19444  CMndccmn 19908

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-cntz 19445  df-cntr 19446  df-cmn 19910

This theorem is used by:  cntrabl  19971  cntrcrng  33508