Theorem cntrcmnd 19387

Description: The center of a monoid is a commutative submonoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrcmnd.z	⊢ 𝑍 = (𝑀 ↾s (Cntr‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cntrcmnd	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ CMnd)

Proof of Theorem cntrcmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2	1	cntrss 18880	. . 3 ⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
3		cntrcmnd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑀 ↾s (Cntr‘𝑀))
4	3, 1	ressbas2 16893	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀) → (Cntr‘𝑀) = (Base‘𝑍))
5	2, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (Cntr‘𝑀) = (Base‘𝑍))
6		fvex 6774	. . 3 ⊢ (Cntr‘𝑀) ∈ V
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
8	3, 7	ressplusg 16944	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
9	6, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
11	1, 10	cntrval 18869	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) = (Cntr‘𝑀)
12		ssid 3944	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
13	1, 10	cntzsubm 18886	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)) → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubMnd‘𝑀))
14	12, 13	mpan2 687	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubMnd‘𝑀))
15	11, 14	eqeltrrid 2842	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (Cntr‘𝑀) ∈ (SubMnd‘𝑀))
16	3	submmnd 18396	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑍 ∈ Mnd)
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ Mnd)
18		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀))
19		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀))
20	2, 19	sselid 3920	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))
21		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Cntr‘𝑀) = (Cntr‘𝑀)
22	1, 7, 21	cntri 18881	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥))
23	18, 20, 22	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥))
24	5, 9, 17, 23	iscmnd 19343	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3427   ⊆ wss 3888  ‘cfv 6423  (class class class)co 7260  Basecbs 16856   ↾_s cress 16885  +_gcplusg 16906  Mndcmnd 18329  SubMndcsubmnd 18373  Cntzccntz 18865  Cntrccntr 18866  CMndccmn 19330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-er 8461  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-nn 11920  df-2 11982  df-sets 16809  df-slot 16827  df-ndx 16839  df-base 16857  df-ress 16886  df-plusg 16919  df-0g 17096  df-mgm 18270  df-sgrp 18319  df-mnd 18330  df-submnd 18375  df-cntz 18867  df-cntr 18868  df-cmn 19332

This theorem is referenced by:  cntrabl  19388  cntrcrng  31264