Theorem cntrcmnd 19443

Description: The center of a monoid is a commutative submonoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrcmnd.z	⊢ 𝑍 = (𝑀 ↾s (Cntr‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cntrcmnd	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ CMnd)

Proof of Theorem cntrcmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2	1	cntrss 18936	. . 3 ⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
3		cntrcmnd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑀 ↾s (Cntr‘𝑀))
4	3, 1	ressbas2 16949	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀) → (Cntr‘𝑀) = (Base‘𝑍))
5	2, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (Cntr‘𝑀) = (Base‘𝑍))
6		fvex 6787	. . 3 ⊢ (Cntr‘𝑀) ∈ V
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
8	3, 7	ressplusg 17000	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
9	6, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
11	1, 10	cntrval 18925	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) = (Cntr‘𝑀)
12		ssid 3943	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
13	1, 10	cntzsubm 18942	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)) → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubMnd‘𝑀))
14	12, 13	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubMnd‘𝑀))
15	11, 14	eqeltrrid 2844	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (Cntr‘𝑀) ∈ (SubMnd‘𝑀))
16	3	submmnd 18452	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑍 ∈ Mnd)
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ Mnd)
18		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀))
19		simp3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀))
20	2, 19	sselid 3919	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))
21		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Cntr‘𝑀) = (Cntr‘𝑀)
22	1, 7, 21	cntri 18937	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥))
23	18, 20, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥))
24	5, 9, 17, 23	iscmnd 19399	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  +_gcplusg 16962  Mndcmnd 18385  SubMndcsubmnd 18429  Cntzccntz 18921  Cntrccntr 18922  CMndccmn 19386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-cntz 18923  df-cntr 18924  df-cmn 19388

This theorem is referenced by:  cntrabl  19444  cntrcrng  31322