Theorem cntrcmnd 19812

Description: The center of a monoid is a commutative submonoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrcmnd.z	⊢ 𝑍 = (𝑀 ↾s (Cntr‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cntrcmnd	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ CMnd)

Proof of Theorem cntrcmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2	1	cntrss 19301	. . 3 ⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
3		cntrcmnd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑀 ↾s (Cntr‘𝑀))
4	3, 1	ressbas2 17203	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀) → (Cntr‘𝑀) = (Base‘𝑍))
5	2, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (Cntr‘𝑀) = (Base‘𝑍))
6		fvex 6844	. . 3 ⊢ (Cntr‘𝑀) ∈ V
7		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
8	3, 7	ressplusg 17249	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
9	6, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
10		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
11	1, 10	cntrval 19289	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) = (Cntr‘𝑀)
12		ssid 3939	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
13	1, 10	cntzsubm 19308	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)) → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubMnd‘𝑀))
14	12, 13	mpan2 698	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubMnd‘𝑀))
15	11, 14	eqeltrrid 2846	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (Cntr‘𝑀) ∈ (SubMnd‘𝑀))
16	3	submmnd 18776	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑍 ∈ Mnd)
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ Mnd)
18		simp2 1144	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀))
19		simp3 1145	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀))
20	2, 19	sselid 3915	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))
21		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Cntr‘𝑀) = (Cntr‘𝑀)
22	1, 7, 21	cntri 19302	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥))
23	18, 20, 22	syl2anc 591	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥))
24	5, 9, 17, 23	iscmnd 19764	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  +_gcplusg 17215  Mndcmnd 18697  SubMndcsubmnd 18745  Cntzccntz 19285  Cntrccntr 19286  CMndccmn 19750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-cntz 19287  df-cntr 19288  df-cmn 19752

This theorem is referenced by:  cntrabl  19813  cntrcrng  33166