Theorem cntrcmnd 19358

Description: The center of a monoid is a commutative submonoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrcmnd.z	⊢ 𝑍 = (𝑀 ↾s (Cntr‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
cntrcmnd	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ CMnd)

Proof of Theorem cntrcmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2	1	cntrss 18851	. . 3 ⊢ (Cntr‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
3		cntrcmnd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑀 ↾s (Cntr‘𝑀))
4	3, 1	ressbas2 16875	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀) → (Cntr‘𝑀) = (Base‘𝑍))
5	2, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (Cntr‘𝑀) = (Base‘𝑍))
6		fvex 6769	. . 3 ⊢ (Cntr‘𝑀) ∈ V
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
8	3, 7	ressplusg 16926	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
9	6, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑍))
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
11	1, 10	cntrval 18840	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) = (Cntr‘𝑀)
12		ssid 3939	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
13	1, 10	cntzsubm 18857	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)) → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubMnd‘𝑀))
14	12, 13	mpan2 687	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubMnd‘𝑀))
15	11, 14	eqeltrrid 2844	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (Cntr‘𝑀) ∈ (SubMnd‘𝑀))
16	3	submmnd 18367	. . 3 ⊢ ((Cntr‘𝑀) ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑍 ∈ Mnd)
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ Mnd)
18		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀))
19		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀))
20	2, 19	sselid 3915	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))
21		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Cntr‘𝑀) = (Cntr‘𝑀)
22	1, 7, 21	cntri 18852	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥))
23	18, 20, 22	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Cntr‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Cntr‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥))
24	5, 9, 17, 23	iscmnd 19314	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  +_gcplusg 16888  Mndcmnd 18300  SubMndcsubmnd 18344  Cntzccntz 18836  Cntrccntr 18837  CMndccmn 19301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-cntz 18838  df-cntr 18839  df-cmn 19303

This theorem is referenced by:  cntrabl  19359  cntrcrng  31224