MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcntr 19361
Description: Elementhood in the center of a magma. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
elcntr.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
elcntr.p + = (+g𝑀)
elcntr.z 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
elcntr (𝐴𝑍 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐴 + 𝑦) = (𝑦 + 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑦, +   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑀
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem elcntr
StepHypRef Expression
1 elcntr.z . . . 4 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
2 elcntr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
3 eqid 2735 . . . . 5 (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
42, 3cntrval 19350 . . . 4 ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) = (Cntr‘𝑀)
51, 4eqtr4i 2766 . . 3 𝑍 = ((Cntz‘𝑀)‘𝐵)
65eleq2i 2831 . 2 (𝐴𝑍𝐴 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵))
7 ssid 4018 . . 3 𝐵𝐵
8 elcntr.p . . . 4 + = (+g𝑀)
92, 8, 3elcntz 19353 . . 3 (𝐵𝐵 → (𝐴 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐴 + 𝑦) = (𝑦 + 𝐴))))
107, 9ax-mp 5 . 2 (𝐴 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐴 + 𝑦) = (𝑦 + 𝐴)))
116, 10bitri 275 1 (𝐴𝑍 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐴 + 𝑦) = (𝑦 + 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Cntzccntz 19346  Cntrccntr 19347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-cntz 19348  df-cntr 19349
This theorem is referenced by:  sraassab  21906  zrhcntr  33942  elmgpcntrd  48794
  Copyright terms: Public domain W3C validator