MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcntr 19348
Description: Elementhood in the center of a magma. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
elcntr.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
elcntr.p + = (+g𝑀)
elcntr.z 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
elcntr (𝐴𝑍 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐴 + 𝑦) = (𝑦 + 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑦, +   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑀
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem elcntr
StepHypRef Expression
1 elcntr.z . . . 4 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
2 elcntr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
3 eqid 2737 . . . . 5 (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
42, 3cntrval 19337 . . . 4 ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) = (Cntr‘𝑀)
51, 4eqtr4i 2768 . . 3 𝑍 = ((Cntz‘𝑀)‘𝐵)
65eleq2i 2833 . 2 (𝐴𝑍𝐴 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵))
7 ssid 4006 . . 3 𝐵𝐵
8 elcntr.p . . . 4 + = (+g𝑀)
92, 8, 3elcntz 19340 . . 3 (𝐵𝐵 → (𝐴 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐴 + 𝑦) = (𝑦 + 𝐴))))
107, 9ax-mp 5 . 2 (𝐴 ∈ ((Cntz‘𝑀)‘𝐵) ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐴 + 𝑦) = (𝑦 + 𝐴)))
116, 10bitri 275 1 (𝐴𝑍 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐴 + 𝑦) = (𝑦 + 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Cntzccntz 19333  Cntrccntr 19334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-cntz 19335  df-cntr 19336
This theorem is referenced by:  sraassab  21888  zrhcntr  33980  elmgpcntrd  48894
  Copyright terms: Public domain W3C validator