MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcntr 19242
Description: Elementhood in the center of a magma. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
elcntr.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
elcntr.p + = (+gโ€˜๐‘€)
elcntr.z ๐‘ = (Cntrโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
elcntr (๐ด โˆˆ ๐‘ โ†” (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐ด + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ, +   ๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฆ,๐ต   ๐‘ฆ,๐‘€
Allowed substitution hint:   ๐‘(๐‘ฆ)

Proof of Theorem elcntr
StepHypRef Expression
1 elcntr.z . . . 4 ๐‘ = (Cntrโ€˜๐‘€)
2 elcntr.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
3 eqid 2724 . . . . 5 (Cntzโ€˜๐‘€) = (Cntzโ€˜๐‘€)
42, 3cntrval 19231 . . . 4 ((Cntzโ€˜๐‘€)โ€˜๐ต) = (Cntrโ€˜๐‘€)
51, 4eqtr4i 2755 . . 3 ๐‘ = ((Cntzโ€˜๐‘€)โ€˜๐ต)
65eleq2i 2817 . 2 (๐ด โˆˆ ๐‘ โ†” ๐ด โˆˆ ((Cntzโ€˜๐‘€)โ€˜๐ต))
7 ssid 3997 . . 3 ๐ต โІ ๐ต
8 elcntr.p . . . 4 + = (+gโ€˜๐‘€)
92, 8, 3elcntz 19234 . . 3 (๐ต โІ ๐ต โ†’ (๐ด โˆˆ ((Cntzโ€˜๐‘€)โ€˜๐ต) โ†” (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐ด + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐ด))))
107, 9ax-mp 5 . 2 (๐ด โˆˆ ((Cntzโ€˜๐‘€)โ€˜๐ต) โ†” (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐ด + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐ด)))
116, 10bitri 275 1 (๐ด โˆˆ ๐‘ โ†” (๐ด โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐ด + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053   โІ wss 3941  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Cntzccntz 19227  Cntrccntr 19228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-cntz 19229  df-cntr 19230
This theorem is referenced by:  sraassab  21751
  Copyright terms: Public domain W3C validator