![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cntzssv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The centralizer is unconditionally a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
cntzrcl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
cntzrcl.z | โข ๐ = (Cntzโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
cntzssv | โข (๐โ๐) โ ๐ต |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0ss 4360 | . . 3 โข โ โ ๐ต | |
2 | sseq1 3973 | . . 3 โข ((๐โ๐) = โ โ ((๐โ๐) โ ๐ต โ โ โ ๐ต)) | |
3 | 1, 2 | mpbiri 258 | . 2 โข ((๐โ๐) = โ โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
4 | n0 4310 | . . 3 โข ((๐โ๐) โ โ โ โ๐ฅ ๐ฅ โ (๐โ๐)) | |
5 | cntzrcl.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
6 | cntzrcl.z | . . . . . . 7 โข ๐ = (Cntzโ๐) | |
7 | 5, 6 | cntzrcl 19115 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ (๐โ๐) โ (๐ โ V โง ๐ โ ๐ต)) |
8 | eqid 2733 | . . . . . . 7 โข (+gโ๐) = (+gโ๐) | |
9 | 5, 8, 6 | cntzval 19109 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ (๐โ๐) = {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ)}) |
10 | 7, 9 | simpl2im 505 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ (๐โ๐) โ (๐โ๐) = {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ)}) |
11 | ssrab2 4041 | . . . . 5 โข {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ)} โ ๐ต | |
12 | 10, 11 | eqsstrdi 4002 | . . . 4 โข (๐ฅ โ (๐โ๐) โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
13 | 12 | exlimiv 1934 | . . 3 โข (โ๐ฅ ๐ฅ โ (๐โ๐) โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
14 | 4, 13 | sylbi 216 | . 2 โข ((๐โ๐) โ โ โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
15 | 3, 14 | pm2.61ine 3025 | 1 โข (๐โ๐) โ ๐ต |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1542 โwex 1782 โ wcel 2107 โ wne 2940 โwral 3061 {crab 3406 Vcvv 3447 โ wss 3914 โ c0 4286 โcfv 6500 (class class class)co 7361 Basecbs 17091 +gcplusg 17141 Cntzccntz 19103 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-id 5535 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-ov 7364 df-cntz 19105 |
This theorem is referenced by: cntrss 19118 cntz2ss 19121 cntzsubm 19124 cntzsubg 19125 cntzidss 19126 cntzmhm 19127 cntzmhm2 19128 cntzcmn 19626 cntzspan 19630 cntzsubr 20298 cntzsdrg 20312 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |