MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzssv 19236
Description: The centralizer is unconditionally a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzrcl.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzssv (๐‘โ€˜๐‘†) โІ ๐ต

Proof of Theorem cntzssv
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4389 . . 3 โˆ… โІ ๐ต
2 sseq1 4000 . . 3 ((๐‘โ€˜๐‘†) = โˆ… โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘†) โІ ๐ต โ†” โˆ… โІ ๐ต))
31, 2mpbiri 258 . 2 ((๐‘โ€˜๐‘†) = โˆ… โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โІ ๐ต)
4 n0 4339 . . 3 ((๐‘โ€˜๐‘†) โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฅ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
5 cntzrcl.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
6 cntzrcl.z . . . . . . 7 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
75, 6cntzrcl 19235 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘€ โˆˆ V โˆง ๐‘† โІ ๐ต))
8 eqid 2724 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐‘€) = (+gโ€˜๐‘€)
95, 8, 6cntzval 19229 . . . . . 6 (๐‘† โІ ๐ต โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)})
107, 9simpl2im 503 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)})
11 ssrab2 4070 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)} โІ ๐ต
1210, 11eqsstrdi 4029 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โІ ๐ต)
1312exlimiv 1925 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โІ ๐ต)
144, 13sylbi 216 . 2 ((๐‘โ€˜๐‘†) โ‰  โˆ… โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โІ ๐ต)
153, 14pm2.61ine 3017 1 (๐‘โ€˜๐‘†) โІ ๐ต
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โˆ€wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   โІ wss 3941  โˆ…c0 4315  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  +gcplusg 17198  Cntzccntz 19223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-cntz 19225
This theorem is referenced by:  cntrss  19239  cntzsgrpcl  19242  cntz2ss  19243  cntzsubm  19246  cntzsubg  19247  cntzidss  19248  cntzmhm  19249  cntzmhm2  19250  cntzcmn  19752  cntzspan  19756  cntzsubrng  20459  cntzsubr  20500  cntzsdrg  20645
  Copyright terms: Public domain W3C validator