MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzssv 19191
Description: The centralizer is unconditionally a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzrcl.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzssv (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต

Proof of Theorem cntzssv
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4396 . . 3 โˆ… โŠ† ๐ต
2 sseq1 4007 . . 3 ((๐‘โ€˜๐‘†) = โˆ… โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต โ†” โˆ… โŠ† ๐ต))
31, 2mpbiri 257 . 2 ((๐‘โ€˜๐‘†) = โˆ… โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต)
4 n0 4346 . . 3 ((๐‘โ€˜๐‘†) โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฅ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
5 cntzrcl.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
6 cntzrcl.z . . . . . . 7 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
75, 6cntzrcl 19190 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘€ โˆˆ V โˆง ๐‘† โŠ† ๐ต))
8 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐‘€) = (+gโ€˜๐‘€)
95, 8, 6cntzval 19184 . . . . . 6 (๐‘† โŠ† ๐ต โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)})
107, 9simpl2im 504 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)})
11 ssrab2 4077 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)} โŠ† ๐ต
1210, 11eqsstrdi 4036 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต)
1312exlimiv 1933 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต)
144, 13sylbi 216 . 2 ((๐‘โ€˜๐‘†) โ‰  โˆ… โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต)
153, 14pm2.61ine 3025 1 (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Cntzccntz 19178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-cntz 19180
This theorem is referenced by:  cntrss  19194  cntzsgrpcl  19197  cntz2ss  19198  cntzsubm  19201  cntzsubg  19202  cntzidss  19203  cntzmhm  19204  cntzmhm2  19205  cntzcmn  19707  cntzspan  19711  cntzsubr  20352  cntzsdrg  20417  cntzsubrng  46736
  Copyright terms: Public domain W3C validator