Theorem cntzssv 19359

Description: The centralizer is unconditionally a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
cntzrcl.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzssv	⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem cntzssv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4406	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
2		sseq1 4021	. . 3 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = ∅ → ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ↔ ∅ ⊆ 𝐵))
3	1, 2	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = ∅ → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
4		n0 4359	. . 3 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
5		cntzrcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
6		cntzrcl.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
7	5, 6	cntzrcl 19358	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵))
8		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
9	5, 8, 6	cntzval 19352	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑍‘𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥)})
10	7, 9	simpl2im 503	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑍‘𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥)})
11		ssrab2 4090	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥)} ⊆ 𝐵
12	10, 11	eqsstrdi 4050	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
13	12	exlimiv 1928	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
14	4, 13	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ≠ ∅ → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
15	3, 14	pm2.61ine 3023	1 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Cntzccntz 19346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-cntz 19348

This theorem is referenced by:  cntrss  19362  cntzsgrpcl  19365  cntz2ss  19366  cntzsubm  19369  cntzsubg  19370  cntzidss  19371  cntzmhm  19372  cntzmhm2  19373  cntzcmn  19873  cntzspan  19877  cntzsubrng  20584  cntzsubr  20623  cntzsdrg  20820