Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzssv 18454
 Description: The centralizer is unconditionally a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrcl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
cntzrcl.z 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
cntzssv (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem cntzssv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4304 . . 3 ∅ ⊆ 𝐵
2 sseq1 3940 . . 3 ((𝑍𝑆) = ∅ → ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 ↔ ∅ ⊆ 𝐵))
31, 2mpbiri 261 . 2 ((𝑍𝑆) = ∅ → (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵)
4 n0 4260 . . 3 ((𝑍𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
5 cntzrcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
6 cntzrcl.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
75, 6cntzrcl 18453 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑆𝐵))
8 eqid 2798 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑀)
95, 8, 6cntzval 18447 . . . . . 6 (𝑆𝐵 → (𝑍𝑆) = {𝑥𝐵 ∣ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑦(+g𝑀)𝑥)})
107, 9simpl2im 507 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) → (𝑍𝑆) = {𝑥𝐵 ∣ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑦(+g𝑀)𝑥)})
11 ssrab2 4007 . . . . 5 {𝑥𝐵 ∣ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑦(+g𝑀)𝑥)} ⊆ 𝐵
1210, 11eqsstrdi 3969 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) → (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵)
1312exlimiv 1931 . . 3 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) → (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵)
144, 13sylbi 220 . 2 ((𝑍𝑆) ≠ ∅ → (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵)
153, 14pm2.61ine 3070 1 (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {crab 3110  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Cntzccntz 18441 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-cntz 18443 This theorem is referenced by:  cntrss  18456  cntz2ss  18459  cntzsubm  18462  cntzsubg  18463  cntzidss  18464  cntzmhm  18465  cntzmhm2  18466  cntzcmn  18957  cntzspan  18961  cntzsubr  19565  cntzsdrg  19578
 Copyright terms: Public domain W3C validator