Theorem cntzssv 19296

Description: The centralizer is unconditionally a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
cntzrcl.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzssv	⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem cntzssv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4373	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
2		sseq1 3982	. . 3 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = ∅ → ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ↔ ∅ ⊆ 𝐵))
3	1, 2	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = ∅ → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
4		n0 4326	. . 3 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
5		cntzrcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
6		cntzrcl.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
7	5, 6	cntzrcl 19295	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵))
8		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
9	5, 8, 6	cntzval 19289	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑍‘𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥)})
10	7, 9	simpl2im 503	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑍‘𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥)})
11		ssrab2 4053	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥)} ⊆ 𝐵
12	10, 11	eqsstrdi 4001	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
13	12	exlimiv 1929	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
14	4, 13	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ≠ ∅ → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
15	3, 14	pm2.61ine 3014	1 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  {crab 3413  Vcvv 3457   ⊆ wss 3924  ∅c0 4306  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  Basecbs 17213  +_gcplusg 17256  Cntzccntz 19283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-id 5545  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7402  df-cntz 19285

This theorem is referenced by:  cntrss  19299  cntzsgrpcl  19302  cntz2ss  19303  cntzsubm  19306  cntzsubg  19307  cntzidss  19308  cntzmhm  19309  cntzmhm2  19310  cntzcmn  19806  cntzspan  19810  cntzsubrng  20512  cntzsubr  20551  cntzsdrg  20747