Theorem cntzssv 18722

Description: The centralizer is unconditionally a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
cntzrcl.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzssv	⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem cntzssv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4311	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
2		sseq1 3926	. . 3 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = ∅ → ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ↔ ∅ ⊆ 𝐵))
3	1, 2	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = ∅ → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
4		n0 4261	. . 3 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
5		cntzrcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
6		cntzrcl.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
7	5, 6	cntzrcl 18721	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵))
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
9	5, 8, 6	cntzval 18715	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑍‘𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥)})
10	7, 9	simpl2im 507	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑍‘𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥)})
11		ssrab2 3993	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥)} ⊆ 𝐵
12	10, 11	eqsstrdi 3955	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
13	12	exlimiv 1938	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
14	4, 13	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ≠ ∅ → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
15	3, 14	pm2.61ine 3025	1 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  Cntzccntz 18709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-cntz 18711

This theorem is referenced by:  cntrss  18724  cntz2ss  18727  cntzsubm  18730  cntzsubg  18731  cntzidss  18732  cntzmhm  18733  cntzmhm2  18734  cntzcmn  19225  cntzspan  19229  cntzsubr  19833  cntzsdrg  19846