MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzssv 19116
Description: The centralizer is unconditionally a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzrcl.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzssv (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต

Proof of Theorem cntzssv
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4360 . . 3 โˆ… โŠ† ๐ต
2 sseq1 3973 . . 3 ((๐‘โ€˜๐‘†) = โˆ… โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต โ†” โˆ… โŠ† ๐ต))
31, 2mpbiri 258 . 2 ((๐‘โ€˜๐‘†) = โˆ… โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต)
4 n0 4310 . . 3 ((๐‘โ€˜๐‘†) โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘ฅ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
5 cntzrcl.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
6 cntzrcl.z . . . . . . 7 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
75, 6cntzrcl 19115 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘€ โˆˆ V โˆง ๐‘† โŠ† ๐ต))
8 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐‘€) = (+gโ€˜๐‘€)
95, 8, 6cntzval 19109 . . . . . 6 (๐‘† โŠ† ๐ต โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)})
107, 9simpl2im 505 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)})
11 ssrab2 4041 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)} โŠ† ๐ต
1210, 11eqsstrdi 4002 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต)
1312exlimiv 1934 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต)
144, 13sylbi 216 . 2 ((๐‘โ€˜๐‘†) โ‰  โˆ… โ†’ (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต)
153, 14pm2.61ine 3025 1 (๐‘โ€˜๐‘†) โŠ† ๐ต
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  Cntzccntz 19103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-cntz 19105
This theorem is referenced by:  cntrss  19118  cntz2ss  19121  cntzsubm  19124  cntzsubg  19125  cntzidss  19126  cntzmhm  19127  cntzmhm2  19128  cntzcmn  19626  cntzspan  19630  cntzsubr  20298  cntzsdrg  20312
  Copyright terms: Public domain W3C validator