Theorem cntzssv 19261

Description: The centralizer is unconditionally a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
cntzrcl.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzssv	⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem cntzssv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐵
2		sseq1 3960	. . 3 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = ∅ → ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ↔ ∅ ⊆ 𝐵))
3	1, 2	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) = ∅ → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
4		n0 4306	. . 3 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
5		cntzrcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
6		cntzrcl.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
7	5, 6	cntzrcl 19260	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵))
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
9	5, 8, 6	cntzval 19254	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑍‘𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥)})
10	7, 9	simpl2im 503	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑍‘𝑆) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥)})
11		ssrab2 4033	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥)} ⊆ 𝐵
12	10, 11	eqsstrdi 3979	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
13	12	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
14	4, 13	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ≠ ∅ → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
15	3, 14	pm2.61ine 3016	1 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3400  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  Cntzccntz 19248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-cntz 19250

This theorem is referenced by:  cntrss  19264  cntzsgrpcl  19267  cntz2ss  19268  cntzsubm  19271  cntzsubg  19272  cntzidss  19273  cntzmhm  19274  cntzmhm2  19275  cntzcmn  19773  cntzspan  19777  cntzsubrng  20504  cntzsubr  20543  cntzsdrg  20739