![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cntzssv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The centralizer is unconditionally a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
cntzrcl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
cntzrcl.z | โข ๐ = (Cntzโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
cntzssv | โข (๐โ๐) โ ๐ต |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0ss 4389 | . . 3 โข โ โ ๐ต | |
2 | sseq1 4000 | . . 3 โข ((๐โ๐) = โ โ ((๐โ๐) โ ๐ต โ โ โ ๐ต)) | |
3 | 1, 2 | mpbiri 258 | . 2 โข ((๐โ๐) = โ โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
4 | n0 4339 | . . 3 โข ((๐โ๐) โ โ โ โ๐ฅ ๐ฅ โ (๐โ๐)) | |
5 | cntzrcl.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
6 | cntzrcl.z | . . . . . . 7 โข ๐ = (Cntzโ๐) | |
7 | 5, 6 | cntzrcl 19235 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ (๐โ๐) โ (๐ โ V โง ๐ โ ๐ต)) |
8 | eqid 2724 | . . . . . . 7 โข (+gโ๐) = (+gโ๐) | |
9 | 5, 8, 6 | cntzval 19229 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ (๐โ๐) = {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ)}) |
10 | 7, 9 | simpl2im 503 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ (๐โ๐) โ (๐โ๐) = {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ)}) |
11 | ssrab2 4070 | . . . . 5 โข {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ (๐ฅ(+gโ๐)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐)๐ฅ)} โ ๐ต | |
12 | 10, 11 | eqsstrdi 4029 | . . . 4 โข (๐ฅ โ (๐โ๐) โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
13 | 12 | exlimiv 1925 | . . 3 โข (โ๐ฅ ๐ฅ โ (๐โ๐) โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
14 | 4, 13 | sylbi 216 | . 2 โข ((๐โ๐) โ โ โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
15 | 3, 14 | pm2.61ine 3017 | 1 โข (๐โ๐) โ ๐ต |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1533 โwex 1773 โ wcel 2098 โ wne 2932 โwral 3053 {crab 3424 Vcvv 3466 โ wss 3941 โ c0 4315 โcfv 6534 (class class class)co 7402 Basecbs 17145 +gcplusg 17198 Cntzccntz 19223 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-ral 3054 df-rex 3063 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-id 5565 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-ov 7405 df-cntz 19225 |
This theorem is referenced by: cntrss 19239 cntzsgrpcl 19242 cntz2ss 19243 cntzsubm 19246 cntzsubg 19247 cntzidss 19248 cntzmhm 19249 cntzmhm2 19250 cntzcmn 19752 cntzspan 19756 cntzsubrng 20459 cntzsubr 20500 cntzsdrg 20645 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |