MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  primefld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem primefld 19696
Description: The smallest sub division ring of a division ring, here named 𝑃, is a field, called the Prime Field of 𝑅. (Suggested by GL, 4-Aug-2023.) (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
primefld.1 𝑃 = (𝑅s (SubDRing‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
primefld (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Field)

Proof of Theorem primefld
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 primefld.1 . . 3 𝑃 = (𝑅s (SubDRing‘𝑅))
2 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ DivRing)
3 issdrg 19686 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑠) ∈ DivRing))
43simp2bi 1147 . . . . 5 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅))
54ssriv 3879 . . . 4 (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅)
65a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅))
7 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
87sdrgid 19687 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
98ne0d 4222 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅)
103simp3bi 1148 . . . 4 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅s 𝑠) ∈ DivRing)
1110adantl 485 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → (𝑅s 𝑠) ∈ DivRing)
121, 2, 6, 9, 11subdrgint 19694 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ DivRing)
13 drngring 19621 . . . 4 (𝑃 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
15 ssidd 3898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
16 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
17 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Cntz‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
187, 16, 17cntzsdrg 19693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅))
192, 15, 18syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅))
20 intss1 4848 . . . . . . . . . . . . 13 (((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅) → (SubDRing‘𝑅) ⊆ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)))
2216, 7mgpbas 19357 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2322, 17cntrval 18560 . . . . . . . . . . . 12 ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
2421, 23sseqtrdi 3925 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
2522cntrss 18571 . . . . . . . . . . 11 (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ⊆ (Base‘𝑅)
2624, 25sstrdi 3887 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
271, 7ressbas2 16651 . . . . . . . . . 10 ( (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) → (SubDRing‘𝑅) = (Base‘𝑃))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) = (Base‘𝑃))
2928, 24eqsstrrd 3914 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
3029adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (Base‘𝑃) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
31 simprl 771 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
3230, 31sseldd 3876 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
3328, 26eqsstrrd 3914 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑅))
3433adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑅))
35 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
3634, 35sseldd 3876 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
37 eqid 2738 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3816, 37mgpplusg 19355 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
39 eqid 2738 . . . . . . 7 (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
4022, 38, 39cntri 18572 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
4132, 36, 40syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
428, 26ssexd 5189 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ V)
431, 37ressmulr 16721 . . . . . . 7 ( (SubDRing‘𝑅) ∈ V → (.r𝑅) = (.r𝑃))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → (.r𝑅) = (.r𝑃))
4544oveqdr 7192 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑃)𝑦))
4644oveqdr 7192 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (𝑦(.r𝑃)𝑥))
4741, 45, 463eqtr3d 2781 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) = (𝑦(.r𝑃)𝑥))
4847ralrimivva 3103 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑥(.r𝑃)𝑦) = (𝑦(.r𝑃)𝑥))
49 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
50 eqid 2738 . . . 4 (.r𝑃) = (.r𝑃)
5149, 50iscrng2 19428 . . 3 (𝑃 ∈ CRing ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑥(.r𝑃)𝑦) = (𝑦(.r𝑃)𝑥)))
5214, 48, 51sylanbrc 586 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ CRing)
53 isfld 19623 . 2 (𝑃 ∈ Field ↔ (𝑃 ∈ DivRing ∧ 𝑃 ∈ CRing))
5412, 52, 53sylanbrc 586 1 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Field)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  Vcvv 3397  wss 3841   cint 4833  cfv 6333  (class class class)co 7164  Basecbs 16579  s cress 16580  .rcmulr 16662  Cntzccntz 18556  Cntrccntr 18557  mulGrpcmgp 19351  Ringcrg 19409  CRingccrg 19410  DivRingcdr 19614  Fieldcfield 19615  SubRingcsubrg 19643  SubDRingcsdrg 19684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-0g 16811  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-subg 18387  df-cntz 18558  df-cntr 18559  df-cmn 19019  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-cring 19412  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-dvr 19548  df-drng 19616  df-field 19617  df-subrg 19645  df-sdrg 19685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator