MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  primefld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem primefld 20073
Description: The smallest sub division ring of a division ring, here named 𝑃, is a field, called the Prime Field of 𝑅. (Suggested by GL, 4-Aug-2023.) (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
primefld.1 𝑃 = (𝑅s (SubDRing‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
primefld (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Field)

Proof of Theorem primefld
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 primefld.1 . . 3 𝑃 = (𝑅s (SubDRing‘𝑅))
2 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ DivRing)
3 issdrg 20063 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑠) ∈ DivRing))
43simp2bi 1145 . . . . 5 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅))
54ssriv 3925 . . . 4 (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅)
65a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅))
7 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
87sdrgid 20064 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
98ne0d 4269 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅)
103simp3bi 1146 . . . 4 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅s 𝑠) ∈ DivRing)
1110adantl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → (𝑅s 𝑠) ∈ DivRing)
121, 2, 6, 9, 11subdrgint 20071 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ DivRing)
13 drngring 19998 . . . 4 (𝑃 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
15 ssidd 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
16 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
17 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Cntz‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
187, 16, 17cntzsdrg 20070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅))
192, 15, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅))
20 intss1 4894 . . . . . . . . . . . . 13 (((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅) → (SubDRing‘𝑅) ⊆ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)))
2216, 7mgpbas 19726 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2322, 17cntrval 18925 . . . . . . . . . . . 12 ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
2421, 23sseqtrdi 3971 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
2522cntrss 18936 . . . . . . . . . . 11 (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ⊆ (Base‘𝑅)
2624, 25sstrdi 3933 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
271, 7ressbas2 16949 . . . . . . . . . 10 ( (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) → (SubDRing‘𝑅) = (Base‘𝑃))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) = (Base‘𝑃))
2928, 24eqsstrrd 3960 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
3029adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (Base‘𝑃) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
31 simprl 768 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
3230, 31sseldd 3922 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
3328, 26eqsstrrd 3960 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑅))
3433adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑅))
35 simprr 770 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
3634, 35sseldd 3922 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
37 eqid 2738 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3816, 37mgpplusg 19724 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
39 eqid 2738 . . . . . . 7 (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
4022, 38, 39cntri 18937 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
4132, 36, 40syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
428, 26ssexd 5248 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ V)
431, 37ressmulr 17017 . . . . . . 7 ( (SubDRing‘𝑅) ∈ V → (.r𝑅) = (.r𝑃))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → (.r𝑅) = (.r𝑃))
4544oveqdr 7303 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑃)𝑦))
4644oveqdr 7303 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (𝑦(.r𝑃)𝑥))
4741, 45, 463eqtr3d 2786 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) = (𝑦(.r𝑃)𝑥))
4847ralrimivva 3123 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑥(.r𝑃)𝑦) = (𝑦(.r𝑃)𝑥))
49 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
50 eqid 2738 . . . 4 (.r𝑃) = (.r𝑃)
5149, 50iscrng2 19802 . . 3 (𝑃 ∈ CRing ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑥(.r𝑃)𝑦) = (𝑦(.r𝑃)𝑥)))
5214, 48, 51sylanbrc 583 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ CRing)
53 isfld 20000 . 2 (𝑃 ∈ Field ↔ (𝑃 ∈ DivRing ∧ 𝑃 ∈ CRing))
5412, 52, 53sylanbrc 583 1 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Field)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3432  wss 3887   cint 4879  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  s cress 16941  .rcmulr 16963  Cntzccntz 18921  Cntrccntr 18922  mulGrpcmgp 19720  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784  DivRingcdr 19991  Fieldcfield 19992  SubRingcsubrg 20020  SubDRingcsdrg 20061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-cntr 18924  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-field 19994  df-subrg 20022  df-sdrg 20062
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator