Theorem primefld 20714

Description: The smallest sub division ring of a division ring, here named 𝑃, is a field, called the Prime Field of 𝑅. (Suggested by GL, 4-Aug-2023.) (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
primefld.1	⊢ 𝑃 = (𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
primefld	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Field)

Proof of Theorem primefld

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primefld.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ DivRing)
3		issdrg 20697	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing))
4	3	simp2bi 1146	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅))
5	4	ssriv 3950	. . . 4 ⊢ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅))
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	7	sdrgid 20701	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
9	8	ne0d 4305	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅)
10	3	simp3bi 1147	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing)
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing)
12	1, 2, 6, 9, 11	subdrgint 20712	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ DivRing)
13		drngring 20645	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
15		ssidd 3970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
16		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
17		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Cntz‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
18	7, 16, 17	cntzsdrg 20711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅))
19	2, 15, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅))
20		intss1 4927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅) → ∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)))
22	16, 7	mgpbas 20054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
23	22, 17	cntrval 19251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
24	21, 23	sseqtrdi 3987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
25	22	cntrss 19263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ⊆ (Base‘𝑅)
26	24, 25	sstrdi 3959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
27	1, 7	ressbas2 17208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (Base‘𝑃))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (Base‘𝑃))
29	28, 24	eqsstrrd 3982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (Base‘𝑃) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
31		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
32	30, 31	sseldd 3947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
33	28, 26	eqsstrrd 3982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑅))
34	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑅))
35		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
36	34, 35	sseldd 3947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
37		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
38	16, 37	mgpplusg 20053	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
39		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
40	22, 38, 39	cntri 19264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
41	32, 36, 40	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
42	8, 26	ssexd 5279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ V)
43	1, 37	ressmulr 17270	. . . . . . 7 ⊢ (∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ V → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑃))
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑃))
45	44	oveqdr 7415	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑃)𝑦))
46	44	oveqdr 7415	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑃)𝑥))
47	41, 45, 46	3eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑃)𝑥))
48	47	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑃)𝑥))
49		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
50		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
51	49, 50	iscrng2 20161	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ CRing ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑃)𝑥)))
52	14, 48, 51	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ CRing)
53		isfld 20649	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ Field ↔ (𝑃 ∈ DivRing ∧ 𝑃 ∈ CRing))
54	12, 52, 53	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Field)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∩ cint 4910  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221  Cntzccntz 19247  Cntrccntr 19248  mulGrpcmgp 20049  Ringcrg 20142  CRingccrg 20143  SubRingcsubrg 20478  DivRingcdr 20638  Fieldcfield 20639  SubDRingcsdrg 20695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-cntr 19250  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-dvr 20310  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-drng 20640  df-field 20641  df-sdrg 20696

This theorem is referenced by: (None)