Theorem primefld 19577

Description: The smallest sub division ring of a division ring, here named 𝑃, is a field, called the Prime Field of 𝑅. (Suggested by GL, 4-Aug-2023.) (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
primefld.1	⊢ 𝑃 = (𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
primefld	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Field)

Proof of Theorem primefld

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primefld.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ DivRing)
3		issdrg 19567	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing))
4	3	simp2bi 1143	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅))
5	4	ssriv 3919	. . . 4 ⊢ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅))
7		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	7	sdrgid 19568	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
9	8	ne0d 4251	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅)
10	3	simp3bi 1144	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing)
11	10	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing)
12	1, 2, 6, 9, 11	subdrgint 19575	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ DivRing)
13		drngring 19502	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
15		ssidd 3938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
16		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
17		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Cntz‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
18	7, 16, 17	cntzsdrg 19574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅))
19	2, 15, 18	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅))
20		intss1 4853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅) → ∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)))
22	16, 7	mgpbas 19238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
23	22, 17	cntrval 18441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
24	21, 23	sseqtrdi 3965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
25	22	cntrss 18452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ⊆ (Base‘𝑅)
26	24, 25	sstrdi 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
27	1, 7	ressbas2 16547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (Base‘𝑃))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (Base‘𝑃))
29	28, 24	eqsstrrd 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
30	29	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (Base‘𝑃) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
31		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
32	30, 31	sseldd 3916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
33	28, 26	eqsstrrd 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑅))
34	33	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑅))
35		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
36	34, 35	sseldd 3916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
37		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
38	16, 37	mgpplusg 19236	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
39		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
40	22, 38, 39	cntri 18453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
41	32, 36, 40	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
42	8, 26	ssexd 5192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ V)
43	1, 37	ressmulr 16617	. . . . . . 7 ⊢ (∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ V → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑃))
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑃))
45	44	oveqdr 7163	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑃)𝑦))
46	44	oveqdr 7163	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑃)𝑥))
47	41, 45, 46	3eqtr3d 2841	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑃)𝑥))
48	47	ralrimivva 3156	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑃)𝑥))
49		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
50		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
51	49, 50	iscrng2 19309	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ CRing ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑃)𝑥)))
52	14, 48, 51	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ CRing)
53		isfld 19504	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ Field ↔ (𝑃 ∈ DivRing ∧ 𝑃 ∈ CRing))
54	12, 52, 53	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Field)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∩ cint 4838  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  ._rcmulr 16558  Cntzccntz 18437  Cntrccntr 18438  mulGrpcmgp 19232  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291  DivRingcdr 19495  Fieldcfield 19496  SubRingcsubrg 19524  SubDRingcsdrg 19565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-cntr 18440  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-field 19498  df-subrg 19526  df-sdrg 19566

This theorem is referenced by: (None)