Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  primefld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem primefld 19570
 Description: The smallest sub division ring of a division ring, here named 𝑃, is a field, called the Prime Field of 𝑅. (Suggested by GL, 4-Aug-2023.) (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
primefld.1 𝑃 = (𝑅s (SubDRing‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
primefld (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Field)

Proof of Theorem primefld
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 primefld.1 . . 3 𝑃 = (𝑅s (SubDRing‘𝑅))
2 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ DivRing)
3 issdrg 19560 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑠) ∈ DivRing))
43simp2bi 1143 . . . . 5 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅))
54ssriv 3955 . . . 4 (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅)
65a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅))
7 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
87sdrgid 19561 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
98ne0d 4282 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅)
103simp3bi 1144 . . . 4 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅s 𝑠) ∈ DivRing)
1110adantl 485 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → (𝑅s 𝑠) ∈ DivRing)
121, 2, 6, 9, 11subdrgint 19568 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ DivRing)
13 drngring 19495 . . . 4 (𝑃 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
15 ssidd 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
16 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
17 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Cntz‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
187, 16, 17cntzsdrg 19567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅))
192, 15, 18syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅))
20 intss1 4872 . . . . . . . . . . . . 13 (((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅) → (SubDRing‘𝑅) ⊆ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)))
2216, 7mgpbas 19234 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2322, 17cntrval 18438 . . . . . . . . . . . 12 ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
2421, 23sseqtrdi 4001 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
2522cntrss 18449 . . . . . . . . . . 11 (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ⊆ (Base‘𝑅)
2624, 25sstrdi 3963 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
271, 7ressbas2 16544 . . . . . . . . . 10 ( (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) → (SubDRing‘𝑅) = (Base‘𝑃))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) = (Base‘𝑃))
2928, 24eqsstrrd 3990 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
3029adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (Base‘𝑃) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
31 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
3230, 31sseldd 3952 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
3328, 26eqsstrrd 3990 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑅))
3433adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑅))
35 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
3634, 35sseldd 3952 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
37 eqid 2824 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3816, 37mgpplusg 19232 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
39 eqid 2824 . . . . . . 7 (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
4022, 38, 39cntri 18450 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
4132, 36, 40syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
428, 26ssexd 5209 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ V)
431, 37ressmulr 16614 . . . . . . 7 ( (SubDRing‘𝑅) ∈ V → (.r𝑅) = (.r𝑃))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → (.r𝑅) = (.r𝑃))
4544oveqdr 7166 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑃)𝑦))
4644oveqdr 7166 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (𝑦(.r𝑃)𝑥))
4741, 45, 463eqtr3d 2867 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) = (𝑦(.r𝑃)𝑥))
4847ralrimivva 3185 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑥(.r𝑃)𝑦) = (𝑦(.r𝑃)𝑥))
49 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
50 eqid 2824 . . . 4 (.r𝑃) = (.r𝑃)
5149, 50iscrng2 19302 . . 3 (𝑃 ∈ CRing ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑥(.r𝑃)𝑦) = (𝑦(.r𝑃)𝑥)))
5214, 48, 51sylanbrc 586 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ CRing)
53 isfld 19497 . 2 (𝑃 ∈ Field ↔ (𝑃 ∈ DivRing ∧ 𝑃 ∈ CRing))
5412, 52, 53sylanbrc 586 1 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Field)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132  Vcvv 3479   ⊆ wss 3918  ∩ cint 4857  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  Basecbs 16472   ↾s cress 16473  .rcmulr 16555  Cntzccntz 18434  Cntrccntr 18435  mulGrpcmgp 19228  Ringcrg 19286  CRingccrg 19287  DivRingcdr 19488  Fieldcfield 19489  SubRingcsubrg 19517  SubDRingcsdrg 19558 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-0g 16704  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-subg 18265  df-cntz 18436  df-cntr 18437  df-cmn 18897  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-cring 19289  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-dvr 19422  df-drng 19490  df-field 19491  df-subrg 19519  df-sdrg 19559 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator