Theorem primefld 21063

Description: The smallest sub division ring of a division ring, here named 𝑃, is a field, called the Prime Field of 𝑅. (Suggested by GL, 4-Aug-2023.) (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
primefld.1	⊢ 𝑃 = (𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
primefld	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Field)

Proof of Theorem primefld

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primefld.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑅 ↾s ∩ (SubDRing‘𝑅))
2		id 23	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ DivRing)
3		issdrg 21046	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing))
4	3	simp2bi 1164	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅))
5	4	ssriv 3912	. . . 4 ⊢ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅))
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	7	sdrgid 21050	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
9	8	ne0d 4287	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅)
10	3	simp3bi 1165	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing)
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing)
12	1, 2, 6, 9, 11	subdrgint 21061	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ DivRing)
13		drngring 20988	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
15		ssidd 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
16		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
17		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Cntz‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
18	7, 16, 17	cntzsdrg 21060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅))
19	2, 15, 18	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅))
20		intss1 4922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubDRing‘𝑅) → ∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)))
22	16, 7	mgpbas 20366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
23	22, 17	cntrval 19534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
24	21, 23	sseqtrdi 3948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
25	22	cntrss 19546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ⊆ (Base‘𝑅)
26	24, 25	sstrdi 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
27	1, 7	ressbas2 17417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∩ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅) → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (Base‘𝑃))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (Base‘𝑃))
29	28, 24	eqsstrrd 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (Base‘𝑃) ⊆ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
31		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
32	30, 31	sseldd 3909	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
33	28, 26	eqsstrrd 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑅))
34	33	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘𝑅))
35		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
36	34, 35	sseldd 3909	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
37		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
38	16, 37	mgpplusg 20365	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
39		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
40	22, 38, 39	cntri 19547	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
41	32, 36, 40	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
42	8, 26	ssexd 5285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ V)
43	1, 37	ressmulr 17479	. . . . . . 7 ⊢ (∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ V → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑃))
44	42, 43	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑃))
45	44	oveqdr 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑃)𝑦))
46	44	oveqdr 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑃)𝑥))
47	41, 45, 46	3eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑃)𝑥))
48	47	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑃)𝑥))
49		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
50		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
51	49, 50	iscrng2 20480	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ CRing ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑃)𝑥)))
52	14, 48, 51	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ CRing)
53		isfld 20994	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ Field ↔ (𝑃 ∈ DivRing ∧ 𝑃 ∈ CRing))
54	12, 52, 53	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Field)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∩ cint 4906  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388   ↾_s cress 17409  ._rcmulr 17430  Cntzccntz 19530  Cntrccntr 19531  mulGrpcmgp 20361  Ringcrg 20460  CRingccrg 20461  SubRingcsubrg 20822  DivRingcdr 20981  Fieldcfield 20982  SubDRingcsdrg 21044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-subg 19334  df-cntz 19532  df-cntr 19533  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-cring 20463  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-invr 20619  df-dvr 20632  df-subrng 20799  df-subrg 20823  df-drng 20983  df-field 20984  df-sdrg 21045

This theorem is used by: (None)