Theorem dchrisum0fval 27832

Description: Value of the function 𝐹, the divisor sum of a Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum0f.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0fval	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡, 1   𝑡,𝐹   𝑞,𝑏,𝑡,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐷   𝐿,𝑏,𝑡,𝑣   𝑋,𝑏,𝑡,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣, 𝑞, 𝑏)   𝐷(𝑣, 𝑞, 𝑏)   1 (𝑣, 𝑞, 𝑏)   𝐹(𝑣, 𝑞, 𝑏)   𝐺(𝑣, 𝑡, 𝑞, 𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣, 𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣, 𝑡, 𝑞, 𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0fval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑞 ∥ 𝑏 ↔ 𝑞 ∥ 𝐴))
2	1	rabbidv 3420	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴})
3	2	sumeq1d 15867	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
4		2fveq3 6890	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑡 → (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))
5	4	cbvsumv 15863	. . 3 ⊢ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡))
6	3, 5	eqtrdi 2812	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))
7		dchrisum0f.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
8		sumex 15855	. 2 ⊢ Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6993	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  ℕcn 12335  Σcsu 15853   ∥ cdvds 16422  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  ℤRHomczrh 21805  ℤ/nℤczn 21808  DChrcdchr 27559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-iota 6494  df-fun 6540  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-seq 14145  df-sum 15854

This theorem is used by:  dchrisum0fmul  27833  dchrisum0flblem1  27835  dchrisum0  27847