Theorem dchrisum0fval 26244

Description: Value of the function 𝐹, the divisor sum of a Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum0f.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0fval	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡, 1   𝑡,𝐹   𝑞,𝑏,𝑡,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐷   𝐿,𝑏,𝑡,𝑣   𝑋,𝑏,𝑡,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑡,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑡,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0fval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5035	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑞 ∥ 𝑏 ↔ 𝑞 ∥ 𝐴))
2	1	rabbidv 3382	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴})
3	2	sumeq1d 15154	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
4		2fveq3 6682	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑡 → (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))
5	4	cbvsumv 15149	. . 3 ⊢ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡))
6	3, 5	eqtrdi 2790	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))
7		dchrisum0f.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
8		sumex 15140	. 2 ⊢ Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6778	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3058   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6340  ℕcn 11719  Σcsu 15138   ∥ cdvds 15702  Basecbs 16589  0_gc0g 16819  ℤRHomczrh 20323  ℤ/nℤczn 20326  DChrcdchr 25971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pr 5297

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-iota 6298  df-fun 6342  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-seq 13464  df-sum 15139

This theorem is referenced by:  dchrisum0fmul  26245  dchrisum0flblem1  26247  dchrisum0  26259