Theorem dchrisum0fval 27008

Description: Value of the function 𝐹, the divisor sum of a Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum0f.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0fval	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡, 1   𝑡,𝐹   𝑞,𝑏,𝑡,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐷   𝐿,𝑏,𝑡,𝑣   𝑋,𝑏,𝑡,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑡,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑡,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0fval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑞 ∥ 𝑏 ↔ 𝑞 ∥ 𝐴))
2	1	rabbidv 3441	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴})
3	2	sumeq1d 15647	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
4		2fveq3 6897	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑡 → (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))
5	4	cbvsumv 15642	. . 3 ⊢ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡))
6	3, 5	eqtrdi 2789	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))
7		dchrisum0f.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
8		sumex 15634	. 2 ⊢ Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6999	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  ℕcn 12212  Σcsu 15632   ∥ cdvds 16197  Basecbs 17144  0_gc0g 17385  ℤRHomczrh 21049  ℤ/nℤczn 21052  DChrcdchr 26735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-iota 6496  df-fun 6546  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seq 13967  df-sum 15633

This theorem is referenced by:  dchrisum0fmul  27009  dchrisum0flblem1  27011  dchrisum0  27023