Theorem dchrisum0fval 27564

Description: Value of the function 𝐹, the divisor sum of a Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum0f.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0fval	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑡, 1   𝑡,𝐹   𝑞,𝑏,𝑡,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐷   𝐿,𝑏,𝑡,𝑣   𝑋,𝑏,𝑡,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑡,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑡,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0fval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5152	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑞 ∥ 𝑏 ↔ 𝑞 ∥ 𝐴))
2	1	rabbidv 3441	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴})
3	2	sumeq1d 15733	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
4		2fveq3 6912	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑡 → (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))
5	4	cbvsumv 15729	. . 3 ⊢ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡))
6	3, 5	eqtrdi 2791	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))
7		dchrisum0f.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
8		sumex 15721	. 2 ⊢ Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 7016	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑡 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  ℕcn 12264  Σcsu 15719   ∥ cdvds 16287  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  ℤRHomczrh 21528  ℤ/nℤczn 21531  DChrcdchr 27291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-iota 6516  df-fun 6565  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seq 14040  df-sum 15720

This theorem is referenced by:  dchrisum0fmul  27565  dchrisum0flblem1  27567  dchrisum0  27579