Theorem dchrisum0fmul 27628

Description: The function 𝐹, the divisor sum of a Dirichlet character, is a multiplicative function (but not completely multiplicative). Equation 9.4.27 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum0f.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
dchrisum0f.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0fmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
dchrisum0fmul.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
dchrisum0fmul.m	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0fmul	⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) · (𝐹‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝐵,𝑏,𝑞,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0fmul

Dummy variables 𝑘 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrisum0fmul.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		dchrisum0fmul.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		dchrisum0fmul.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴}
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐵} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐵}
6		eqid 2765	. . 3 ⊢ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)}
7		rpvmasum2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
8		rpvmasum.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9		rpvmasum2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
10		rpvmasum.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
11		dchrisum0f.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
12	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴}) → 𝑋 ∈ 𝐷)
13		elrabi 3649	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} → 𝑗 ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12608	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} → 𝑗 ∈ ℤ)
15	14	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴}) → 𝑗 ∈ ℤ)
16	7, 8, 9, 10, 12, 15	dchrzrhcl 27367	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴}) → (𝑋‘(𝐿‘𝑗)) ∈ ℂ)
17	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐵}) → 𝑋 ∈ 𝐷)
18		elrabi 3649	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐵} → 𝑘 ∈ ℕ)
19	18	nnzd 12608	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐵} → 𝑘 ∈ ℤ)
20	19	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℤ)
21	7, 8, 9, 10, 17, 20	dchrzrhcl 27367	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐵}) → (𝑋‘(𝐿‘𝑘)) ∈ ℂ)
22	14, 19	anim12i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} ∧ 𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐵}) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
23	11	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
24		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
25		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
26	7, 8, 9, 10, 23, 24, 25	dchrzrhmul 27368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑗)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑘))))
27	26	eqcomd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑗)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑘))) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
28	22, 27	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} ∧ 𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐵})) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑗)) · (𝑋‘(𝐿‘𝑘))) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
29		2fveq3 6876	. . 3 ⊢ (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 21, 28, 29	fsumdvdsmul 27317	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐵} (𝑋‘(𝐿‘𝑘))) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
31		rpvmasum.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
32		rpvmasum2.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
33		dchrisum0f.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
34	8, 10, 31, 7, 9, 32, 33	dchrisum0fval 27627	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑗)))
35	1, 34	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑗)))
36	8, 10, 31, 7, 9, 32, 33	dchrisum0fval 27627	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐵} (𝑋‘(𝐿‘𝑘)))
37	2, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐵} (𝑋‘(𝐿‘𝑘)))
38	35, 37	oveq12d 7418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐹‘𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐴} (𝑋‘(𝐿‘𝑗)) · Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝐵} (𝑋‘(𝐿‘𝑘))))
39	1, 2	nnmulcld 12280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
40	8, 10, 31, 7, 9, 32, 33	dchrisum0fval 27627	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
41	39, 40	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
42	30, 38, 41	3eqtr4rd 2811	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) · (𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1c1 11089   · cmul 11093  ℕcn 12224  ℤcz 12582  Σcsu 15727   ∥ cdvds 16300   gcd cgcd 16542  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  ℤRHomczrh 21609  ℤ/nℤczn 21612  DChrcdchr 27354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-dvds 16301  df-gcd 16543  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-0g 17484  df-imas 17552  df-qus 17553  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-nsg 19181  df-eqg 19182  df-ghm 19275  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-rhm 20545  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-lidl 21301  df-rsp 21302  df-2idl 21351  df-cnfld 21483  df-zring 21557  df-zrh 21613  df-zn 21616  df-dchr 27355

This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  27631