MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0fmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0fmul 26870
Description: The function 𝐹, the divisor sum of a Dirichlet character, is a multiplicative function (but not completely multiplicative). Equation 9.4.27 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
dchrisum0f.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0fmul.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
dchrisum0fmul.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•)
dchrisum0fmul.m (πœ‘ β†’ (𝐴 gcd 𝐡) = 1)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fmul (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΉβ€˜π΅)))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,π‘ž   𝐡,𝑏,π‘ž,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐷(𝑣,π‘ž,𝑏)   1 (𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐹(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐺(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐿(π‘ž)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(π‘ž)   𝑍(𝑣,π‘ž,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0fmul
Dummy variables π‘˜ 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum0fmul.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
2 dchrisum0fmul.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•)
3 dchrisum0fmul.m . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 gcd 𝐡) = 1)
4 eqid 2737 . . 3 {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐴} = {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐴}
5 eqid 2737 . . 3 {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐡} = {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐡}
6 eqid 2737 . . 3 {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝐴 Β· 𝐡)} = {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝐴 Β· 𝐡)}
7 rpvmasum2.g . . . 4 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
8 rpvmasum.z . . . 4 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
9 rpvmasum2.d . . . 4 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
10 rpvmasum.l . . . 4 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
11 dchrisum0f.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
1211adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐴}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
13 elrabi 3644 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐴} β†’ 𝑗 ∈ β„•)
1413nnzd 12533 . . . . 5 (𝑗 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐴} β†’ 𝑗 ∈ β„€)
1514adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐴}) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
167, 8, 9, 10, 12, 15dchrzrhcl 26609 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐴}) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘—)) ∈ β„‚)
1711adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐡}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
18 elrabi 3644 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐡} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1918nnzd 12533 . . . . 5 (π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐡} β†’ π‘˜ ∈ β„€)
2019adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐡}) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
217, 8, 9, 10, 17, 20dchrzrhcl 26609 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐡}) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
2214, 19anim12i 614 . . . 4 ((𝑗 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐴} ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐡}) β†’ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€))
2311adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
24 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
25 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
267, 8, 9, 10, 23, 24, 25dchrzrhmul 26610 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑗 Β· π‘˜))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘—)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))))
2726eqcomd 2743 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘—)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑗 Β· π‘˜))))
2822, 27sylan2 594 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐴} ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐡})) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘—)) Β· (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑗 Β· π‘˜))))
29 2fveq3 6852 . . 3 (𝑖 = (𝑗 Β· π‘˜) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘–)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑗 Β· π‘˜))))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 21, 28, 29fsumdvdsmul 26560 . 2 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐴} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘—)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐡} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))) = Σ𝑖 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝐴 Β· 𝐡)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘–)))
31 rpvmasum.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
32 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0gβ€˜πΊ)
33 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
348, 10, 31, 7, 9, 32, 33dchrisum0fval 26869 . . . 4 (𝐴 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π΄) = Σ𝑗 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐴} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘—)))
351, 34syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = Σ𝑗 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐴} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘—)))
368, 10, 31, 7, 9, 32, 33dchrisum0fval 26869 . . . 4 (𝐡 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π΅) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐡} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))
372, 36syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐡} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))
3835, 37oveq12d 7380 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΉβ€˜π΅)) = (Σ𝑗 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐴} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘—)) Β· Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝐡} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜))))
391, 2nnmulcld 12213 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„•)
408, 10, 31, 7, 9, 32, 33dchrisum0fval 26869 . . 3 ((𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = Σ𝑖 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝐴 Β· 𝐡)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘–)))
4139, 40syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = Σ𝑖 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝐴 Β· 𝐡)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘–)))
4230, 38, 413eqtr4rd 2788 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐡)) = ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΉβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059   Β· cmul 11063  β„•cn 12160  β„€cz 12506  Ξ£csu 15577   βˆ₯ cdvds 16143   gcd cgcd 16381  Basecbs 17090  0gc0g 17328  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  26873
  Copyright terms: Public domain W3C validator