MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0fmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0fmul 26088
Description: The function 𝐹, the divisor sum of a Dirichlet character, is a multiplicative function (but not completely multiplicative). Equation 9.4.27 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0fmul.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
dchrisum0fmul.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
dchrisum0fmul.m (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fmul (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹𝐴) · (𝐹𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝐵,𝑏,𝑞,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0fmul
Dummy variables 𝑘 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum0fmul.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 dchrisum0fmul.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 dchrisum0fmul.m . . 3 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
4 eqid 2822 . . 3 {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}
5 eqid 2822 . . 3 {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}
6 eqid 2822 . . 3 {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)}
7 rpvmasum2.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
8 rpvmasum.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9 rpvmasum2.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐺)
10 rpvmasum.l . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
11 dchrisum0f.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
1211adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}) → 𝑋𝐷)
13 elrabi 3650 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} → 𝑗 ∈ ℕ)
1413nnzd 12074 . . . . 5 (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} → 𝑗 ∈ ℤ)
1514adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}) → 𝑗 ∈ ℤ)
167, 8, 9, 10, 12, 15dchrzrhcl 25827 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}) → (𝑋‘(𝐿𝑗)) ∈ ℂ)
1711adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → 𝑋𝐷)
18 elrabi 3650 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} → 𝑘 ∈ ℕ)
1918nnzd 12074 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} → 𝑘 ∈ ℤ)
2019adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → 𝑘 ∈ ℤ)
217, 8, 9, 10, 17, 20dchrzrhcl 25827 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℂ)
2214, 19anim12i 615 . . . 4 ((𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} ∧ 𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
2311adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑋𝐷)
24 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
25 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
267, 8, 9, 10, 23, 24, 25dchrzrhmul 25828 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))) = ((𝑋‘(𝐿𝑗)) · (𝑋‘(𝐿𝑘))))
2726eqcomd 2828 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑋‘(𝐿𝑗)) · (𝑋‘(𝐿𝑘))) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
2822, 27sylan2 595 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} ∧ 𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵})) → ((𝑋‘(𝐿𝑗)) · (𝑋‘(𝐿𝑘))) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
29 2fveq3 6657 . . 3 (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → (𝑋‘(𝐿𝑖)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 21, 28, 29fsumdvdsmul 25778 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)) · Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘))) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿𝑖)))
31 rpvmasum.a . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
32 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0g𝐺)
33 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
348, 10, 31, 7, 9, 32, 33dchrisum0fval 26087 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) = Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)))
351, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) = Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)))
368, 10, 31, 7, 9, 32, 33dchrisum0fval 26087 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐹𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
372, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
3835, 37oveq12d 7158 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · (𝐹𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)) · Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘))))
391, 2nnmulcld 11678 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
408, 10, 31, 7, 9, 32, 33dchrisum0fval 26087 . . 3 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿𝑖)))
4139, 40syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿𝑖)))
4230, 38, 413eqtr4rd 2868 1 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹𝐴) · (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  {crab 3134   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cfv 6334  (class class class)co 7140  1c1 10527   · cmul 10531  cn 11625  cz 11969  Σcsu 15033  cdvds 15598   gcd cgcd 15832  Basecbs 16474  0gc0g 16704  ℤRHomczrh 20191  ℤ/nczn 20194  DChrcdchr 25814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-0g 16706  df-imas 16772  df-qus 16773  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-nsg 18268  df-eqg 18269  df-ghm 18347  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-rnghom 19461  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-lidl 19937  df-rsp 19938  df-2idl 19996  df-cnfld 20090  df-zring 20162  df-zrh 20195  df-zn 20198  df-dchr 25815
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  26091
  Copyright terms: Public domain W3C validator