MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0fmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0fmul 26764
Description: The function 𝐹, the divisor sum of a Dirichlet character, is a multiplicative function (but not completely multiplicative). Equation 9.4.27 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0fmul.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
dchrisum0fmul.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
dchrisum0fmul.m (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fmul (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹𝐴) · (𝐹𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝐵,𝑏,𝑞,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0fmul
Dummy variables 𝑘 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum0fmul.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 dchrisum0fmul.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 dchrisum0fmul.m . . 3 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
4 eqid 2737 . . 3 {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}
5 eqid 2737 . . 3 {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}
6 eqid 2737 . . 3 {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} = {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)}
7 rpvmasum2.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
8 rpvmasum.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9 rpvmasum2.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐺)
10 rpvmasum.l . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
11 dchrisum0f.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
1211adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}) → 𝑋𝐷)
13 elrabi 3634 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} → 𝑗 ∈ ℕ)
1413nnzd 12535 . . . . 5 (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} → 𝑗 ∈ ℤ)
1514adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}) → 𝑗 ∈ ℤ)
167, 8, 9, 10, 12, 15dchrzrhcl 26503 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴}) → (𝑋‘(𝐿𝑗)) ∈ ℂ)
1711adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → 𝑋𝐷)
18 elrabi 3634 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} → 𝑘 ∈ ℕ)
1918nnzd 12535 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} → 𝑘 ∈ ℤ)
2019adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → 𝑘 ∈ ℤ)
217, 8, 9, 10, 17, 20dchrzrhcl 26503 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℂ)
2214, 19anim12i 614 . . . 4 ((𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} ∧ 𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵}) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
2311adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑋𝐷)
24 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℤ)
25 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
267, 8, 9, 10, 23, 24, 25dchrzrhmul 26504 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))) = ((𝑋‘(𝐿𝑗)) · (𝑋‘(𝐿𝑘))))
2726eqcomd 2743 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑋‘(𝐿𝑗)) · (𝑋‘(𝐿𝑘))) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
2822, 27sylan2 594 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} ∧ 𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵})) → ((𝑋‘(𝐿𝑗)) · (𝑋‘(𝐿𝑘))) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
29 2fveq3 6839 . . 3 (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → (𝑋‘(𝐿𝑖)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑗 · 𝑘))))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 21, 28, 29fsumdvdsmul 26454 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)) · Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘))) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿𝑖)))
31 rpvmasum.a . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
32 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0g𝐺)
33 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
348, 10, 31, 7, 9, 32, 33dchrisum0fval 26763 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) = Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)))
351, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) = Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)))
368, 10, 31, 7, 9, 32, 33dchrisum0fval 26763 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐹𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
372, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
3835, 37oveq12d 7364 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · (𝐹𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐴} (𝑋‘(𝐿𝑗)) · Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝐵} (𝑋‘(𝐿𝑘))))
391, 2nnmulcld 12136 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
408, 10, 31, 7, 9, 32, 33dchrisum0fval 26763 . . 3 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿𝑖)))
4139, 40syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = Σ𝑖 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝐴 · 𝐵)} (𝑋‘(𝐿𝑖)))
4230, 38, 413eqtr4rd 2788 1 (𝜑 → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹𝐴) · (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3405   class class class wbr 5100  cmpt 5183  cfv 6488  (class class class)co 7346  1c1 10982   · cmul 10986  cn 12083  cz 12429  Σcsu 15501  cdvds 16067   gcd cgcd 16305  Basecbs 17014  0gc0g 17252  ℤRHomczrh 20811  ℤ/nczn 20814  DChrcdchr 26490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-inf2 9507  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059  ax-addf 11060  ax-mulf 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-se 5583  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-tpos 8121  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-er 8578  df-ec 8580  df-qs 8584  df-map 8697  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-sup 9308  df-inf 9309  df-oi 9376  df-card 9805  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-4 12148  df-5 12149  df-6 12150  df-7 12151  df-8 12152  df-9 12153  df-n0 12344  df-z 12430  df-dec 12548  df-uz 12693  df-rp 12841  df-fz 13350  df-fzo 13493  df-fl 13622  df-mod 13700  df-seq 13832  df-exp 13893  df-hash 14155  df-cj 14914  df-re 14915  df-im 14916  df-sqrt 15050  df-abs 15051  df-clim 15301  df-sum 15502  df-dvds 16068  df-gcd 16306  df-struct 16950  df-sets 16967  df-slot 16985  df-ndx 16997  df-base 17015  df-ress 17044  df-plusg 17077  df-mulr 17078  df-starv 17079  df-sca 17080  df-vsca 17081  df-ip 17082  df-tset 17083  df-ple 17084  df-ds 17086  df-unif 17087  df-0g 17254  df-imas 17321  df-qus 17322  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mnd 18488  df-mhm 18532  df-grp 18681  df-minusg 18682  df-sbg 18683  df-mulg 18802  df-subg 18853  df-nsg 18854  df-eqg 18855  df-ghm 18933  df-cmn 19488  df-abl 19489  df-mgp 19820  df-ur 19837  df-ring 19884  df-cring 19885  df-oppr 19961  df-dvdsr 19982  df-unit 19983  df-rnghom 20058  df-subrg 20131  df-lmod 20235  df-lss 20304  df-lsp 20344  df-sra 20544  df-rgmod 20545  df-lidl 20546  df-rsp 20547  df-2idl 20613  df-cnfld 20708  df-zring 20781  df-zrh 20815  df-zn 20818  df-dchr 26491
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  26767
  Copyright terms: Public domain W3C validator