MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmaeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmaeq0 26868
Description: The set π‘Š is the collection of all non-principal Dirichlet characters such that the sum Σ𝑛 ∈ β„•, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasumif.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
dchrvmasumif.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.s (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrvmasumif.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
dchrvmaeq0.w π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
Assertion
Ref Expression
dchrvmaeq0 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ 𝑆 = 0))
Distinct variable groups:   𝑦,π‘š, 1   𝐢,π‘š,𝑦   𝑦,𝐹   π‘š,π‘Ž,𝑦   π‘š,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘š   𝑆,π‘š,𝑦   π‘š,𝑍,𝑦   𝐷,π‘š,𝑦   𝐿,π‘Ž,π‘š,𝑦   𝑋,π‘Ž,π‘š,𝑦   π‘š,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   𝑆(π‘Ž)   1 (π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(𝑦,π‘š,π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)   π‘Š(𝑦,π‘š,π‘Ž)   𝑍(π‘Ž)

Proof of Theorem dchrvmaeq0
StepHypRef Expression
1 dchrisum.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
2 dchrisum.n1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
3 eldifsn 4752 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  1 ))
41, 2, 3sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }))
5 fveq1 6846 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 β†’ (π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
65oveq1d 7377 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 β†’ ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
76sumeq2sdv 15596 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
87eqeq1d 2739 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 β†’ (Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0 ↔ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0))
9 dchrvmaeq0.w . . . . 5 π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
108, 9elrab2 3653 . . . 4 (𝑋 ∈ π‘Š ↔ (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∧ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0))
1110baib 537 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0))
124, 11syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0))
13 nnuz 12813 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
14 1zzd 12541 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
15 2fveq3 6852 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘š β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
16 id 22 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘š β†’ π‘Ž = π‘š)
1715, 16oveq12d 7380 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘š β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
18 dchrvmasumif.f . . . . . 6 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
19 ovex 7395 . . . . . 6 ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6953 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
2120adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
22 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
23 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
24 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
25 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
261adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
27 nnz 12527 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„€)
2827adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„€)
2922, 23, 24, 25, 26, 28dchrzrhcl 26609 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
30 nncn 12168 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„‚)
3130adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„‚)
32 nnne0 12194 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š β‰  0)
3332adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š β‰  0)
3429, 31, 33divcld 11938 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
35 dchrvmasumif.s . . . 4 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
3613, 14, 21, 34, 35isumclim 15649 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 𝑆)
3736eqeq1d 2739 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0 ↔ 𝑆 = 0))
3812, 37bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ 𝑆 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  {crab 3410   βˆ– cdif 3912  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  +∞cpnf 11193   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„€cz 12506  [,)cico 13273  βŒŠcfl 13702  seqcseq 13913  abscabs 15126   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577  Basecbs 17090  0gc0g 17328  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  26876  dchrisum0re  26877  dchrisum0lem2  26882  dchrisumn0  26885
  Copyright terms: Public domain W3C validator