MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmaeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmaeq0 27392
Description: The set π‘Š is the collection of all non-principal Dirichlet characters such that the sum Σ𝑛 ∈ β„•, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasumif.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
dchrvmasumif.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.s (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrvmasumif.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
dchrvmaeq0.w π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
Assertion
Ref Expression
dchrvmaeq0 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ 𝑆 = 0))
Distinct variable groups:   𝑦,π‘š, 1   𝐢,π‘š,𝑦   𝑦,𝐹   π‘š,π‘Ž,𝑦   π‘š,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘š   𝑆,π‘š,𝑦   π‘š,𝑍,𝑦   𝐷,π‘š,𝑦   𝐿,π‘Ž,π‘š,𝑦   𝑋,π‘Ž,π‘š,𝑦   π‘š,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   𝑆(π‘Ž)   1 (π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(𝑦,π‘š,π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)   π‘Š(𝑦,π‘š,π‘Ž)   𝑍(π‘Ž)

Proof of Theorem dchrvmaeq0
StepHypRef Expression
1 dchrisum.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
2 dchrisum.n1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
3 eldifsn 4785 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  1 ))
41, 2, 3sylanbrc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }))
5 fveq1 6884 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 β†’ (π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
65oveq1d 7420 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 β†’ ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
76sumeq2sdv 15656 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
87eqeq1d 2728 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 β†’ (Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0 ↔ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0))
9 dchrvmaeq0.w . . . . 5 π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
108, 9elrab2 3681 . . . 4 (𝑋 ∈ π‘Š ↔ (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∧ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0))
1110baib 535 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0))
124, 11syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0))
13 nnuz 12869 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
14 1zzd 12597 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
15 2fveq3 6890 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘š β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
16 id 22 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘š β†’ π‘Ž = π‘š)
1715, 16oveq12d 7423 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘š β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
18 dchrvmasumif.f . . . . . 6 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
19 ovex 7438 . . . . . 6 ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6992 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
2120adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
22 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
23 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
24 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
25 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
261adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
27 nnz 12583 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„€)
2827adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„€)
2922, 23, 24, 25, 26, 28dchrzrhcl 27133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
30 nncn 12224 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„‚)
3130adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„‚)
32 nnne0 12250 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š β‰  0)
3332adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š β‰  0)
3429, 31, 33divcld 11994 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
35 dchrvmasumif.s . . . 4 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
3613, 14, 21, 34, 35isumclim 15709 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 𝑆)
3736eqeq1d 2728 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0 ↔ 𝑆 = 0))
3812, 37bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ 𝑆 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  {crab 3426   βˆ– cdif 3940  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„€cz 12562  [,)cico 13332  βŒŠcfl 13761  seqcseq 13972  abscabs 15187   ⇝ cli 15434  Ξ£csu 15638  Basecbs 17153  0gc0g 17394  β„€RHomczrh 21386  β„€/nβ„€czn 21389  DChrcdchr 27120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393  df-dchr 27121
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  27400  dchrisum0re  27401  dchrisum0lem2  27406  dchrisumn0  27409
  Copyright terms: Public domain W3C validator