MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmaeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmaeq0 27453
Description: The set π‘Š is the collection of all non-principal Dirichlet characters such that the sum Σ𝑛 ∈ β„•, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasumif.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
dchrvmasumif.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.s (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrvmasumif.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / 𝑦))
dchrvmaeq0.w π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
Assertion
Ref Expression
dchrvmaeq0 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ 𝑆 = 0))
Distinct variable groups:   𝑦,π‘š, 1   𝐢,π‘š,𝑦   𝑦,𝐹   π‘š,π‘Ž,𝑦   π‘š,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘š   𝑆,π‘š,𝑦   π‘š,𝑍,𝑦   𝐷,π‘š,𝑦   𝐿,π‘Ž,π‘š,𝑦   𝑋,π‘Ž,π‘š,𝑦   π‘š,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   𝑆(π‘Ž)   1 (π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(𝑦,π‘š,π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)   π‘Š(𝑦,π‘š,π‘Ž)   𝑍(π‘Ž)

Proof of Theorem dchrvmaeq0
StepHypRef Expression
1 dchrisum.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
2 dchrisum.n1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
3 eldifsn 4786 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 β‰  1 ))
41, 2, 3sylanbrc 581 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }))
5 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 β†’ (π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
65oveq1d 7430 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 β†’ ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
76sumeq2sdv 15680 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
87eqeq1d 2727 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 β†’ (Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0 ↔ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0))
9 dchrvmaeq0.w . . . . 5 π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
108, 9elrab2 3678 . . . 4 (𝑋 ∈ π‘Š ↔ (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∧ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0))
1110baib 534 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0))
124, 11syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0))
13 nnuz 12893 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
14 1zzd 12621 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
15 2fveq3 6896 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘š β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
16 id 22 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘š β†’ π‘Ž = π‘š)
1715, 16oveq12d 7433 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘š β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
18 dchrvmasumif.f . . . . . 6 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
19 ovex 7448 . . . . . 6 ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6999 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
2120adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
22 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
23 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
24 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
25 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
261adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
27 nnz 12607 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„€)
2827adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„€)
2922, 23, 24, 25, 26, 28dchrzrhcl 27194 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
30 nncn 12248 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„‚)
3130adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„‚)
32 nnne0 12274 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š β‰  0)
3332adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š β‰  0)
3429, 31, 33divcld 12018 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
35 dchrvmasumif.s . . . 4 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
3613, 14, 21, 34, 35isumclim 15733 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 𝑆)
3736eqeq1d 2727 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0 ↔ 𝑆 = 0))
3812, 37bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ 𝑆 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  {crab 3419   βˆ– cdif 3937  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139  +∞cpnf 11273   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  β„•cn 12240  β„€cz 12586  [,)cico 13356  βŒŠcfl 13785  seqcseq 13996  abscabs 15211   ⇝ cli 15458  Ξ£csu 15662  Basecbs 17177  0gc0g 17418  β„€RHomczrh 21427  β„€/nβ„€czn 21430  DChrcdchr 27181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-0g 17420  df-imas 17487  df-qus 17488  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-nsg 19081  df-eqg 19082  df-ghm 19170  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-rhm 20413  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106  df-rsp 21107  df-2idl 21146  df-cnfld 21282  df-zring 21375  df-zrh 21431  df-zn 21434  df-dchr 27182
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  27461  dchrisum0re  27462  dchrisum0lem2  27467  dchrisumn0  27470
  Copyright terms: Public domain W3C validator