MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmaeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmaeq0 26091
Description: The set 𝑊 is the collection of all non-principal Dirichlet characters such that the sum Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasumif.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrvmasumif.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrvmasumif.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
dchrvmaeq0.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
Assertion
Ref Expression
dchrvmaeq0 (𝜑 → (𝑋𝑊𝑆 = 0))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚, 1   𝐶,𝑚,𝑦   𝑦,𝐹   𝑚,𝑎,𝑦   𝑚,𝑁,𝑦   𝜑,𝑚   𝑆,𝑚,𝑦   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑚,𝑦   𝐿,𝑎,𝑚,𝑦   𝑋,𝑎,𝑚,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑚,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrvmaeq0
StepHypRef Expression
1 dchrisum.b . . . 4 (𝜑𝑋𝐷)
2 dchrisum.n1 . . . 4 (𝜑𝑋1 )
3 eldifsn 4704 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ (𝑋𝐷𝑋1 ))
41, 2, 3sylanbrc 586 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
5 fveq1 6660 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦‘(𝐿𝑚)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
65oveq1d 7164 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
76sumeq2sdv 15061 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
87eqeq1d 2826 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
9 dchrvmaeq0.w . . . . 5 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
108, 9elrab2 3669 . . . 4 (𝑋𝑊 ↔ (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
1110baib 539 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → (𝑋𝑊 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
124, 11syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑊 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
13 nnuz 12278 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
14 1zzd 12010 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15 2fveq3 6666 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
16 id 22 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚𝑎 = 𝑚)
1715, 16oveq12d 7167 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
18 dchrvmasumif.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
19 ovex 7182 . . . . . 6 ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6759 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
2120adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
22 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
23 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
24 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
25 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
261adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
27 nnz 12001 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
2827adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
2922, 23, 24, 25, 26, 28dchrzrhcl 25832 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
30 nncn 11642 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
3130adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
32 nnne0 11668 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
3332adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
3429, 31, 33divcld 11414 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
35 dchrvmasumif.s . . . 4 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
3613, 14, 21, 34, 35isumclim 15112 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 𝑆)
3736eqeq1d 2826 . 2 (𝜑 → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ 𝑆 = 0))
3812, 37bitrd 282 1 (𝜑 → (𝑋𝑊𝑆 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  {crab 3137  cdif 3916  {csn 4550   class class class wbr 5052  cmpt 5132  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538  +∞cpnf 10670  cle 10674  cmin 10868   / cdiv 11295  cn 11634  cz 11978  [,)cico 12737  cfl 13164  seqcseq 13373  abscabs 14593  cli 14841  Σcsu 15042  Basecbs 16483  0gc0g 16713  ℤRHomczrh 20647  ℤ/nczn 20650  DChrcdchr 25819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-ec 8287  df-qs 8291  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-0g 16715  df-imas 16781  df-qus 16782  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-nsg 18277  df-eqg 18278  df-ghm 18356  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-rnghom 19470  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-lidl 19946  df-rsp 19947  df-2idl 20005  df-cnfld 20546  df-zring 20618  df-zrh 20651  df-zn 20654  df-dchr 25820
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  26099  dchrisum0re  26100  dchrisum0lem2  26105  dchrisumn0  26108
  Copyright terms: Public domain W3C validator