MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmaeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmaeq0 27566
Description: The set 𝑊 is the collection of all non-principal Dirichlet characters such that the sum Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasumif.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrvmasumif.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrvmasumif.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
dchrvmaeq0.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
Assertion
Ref Expression
dchrvmaeq0 (𝜑 → (𝑋𝑊𝑆 = 0))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚, 1   𝐶,𝑚,𝑦   𝑦,𝐹   𝑚,𝑎,𝑦   𝑚,𝑁,𝑦   𝜑,𝑚   𝑆,𝑚,𝑦   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑚,𝑦   𝐿,𝑎,𝑚,𝑦   𝑋,𝑎,𝑚,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑚,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrvmaeq0
StepHypRef Expression
1 dchrisum.b . . . 4 (𝜑𝑋𝐷)
2 dchrisum.n1 . . . 4 (𝜑𝑋1 )
3 eldifsn 4811 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ (𝑋𝐷𝑋1 ))
41, 2, 3sylanbrc 582 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
5 fveq1 6919 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦‘(𝐿𝑚)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
65oveq1d 7463 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
76sumeq2sdv 15751 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
87eqeq1d 2742 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
9 dchrvmaeq0.w . . . . 5 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
108, 9elrab2 3711 . . . 4 (𝑋𝑊 ↔ (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
1110baib 535 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → (𝑋𝑊 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
124, 11syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑊 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
13 nnuz 12946 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
14 1zzd 12674 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15 2fveq3 6925 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
16 id 22 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚𝑎 = 𝑚)
1715, 16oveq12d 7466 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
18 dchrvmasumif.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
19 ovex 7481 . . . . . 6 ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 7029 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
2120adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
22 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
23 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
24 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
25 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
261adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
27 nnz 12660 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
2827adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
2922, 23, 24, 25, 26, 28dchrzrhcl 27307 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
30 nncn 12301 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
3130adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
32 nnne0 12327 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
3332adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
3429, 31, 33divcld 12070 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
35 dchrvmasumif.s . . . 4 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
3613, 14, 21, 34, 35isumclim 15805 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 𝑆)
3736eqeq1d 2742 . 2 (𝜑 → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ 𝑆 = 0))
3812, 37bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑋𝑊𝑆 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  wral 3067  {crab 3443  cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cfv 6573  (class class class)co 7448  cc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  +∞cpnf 11321  cle 11325  cmin 11520   / cdiv 11947  cn 12293  cz 12639  [,)cico 13409  cfl 13841  seqcseq 14052  abscabs 15283  cli 15530  Σcsu 15734  Basecbs 17258  0gc0g 17499  ℤRHomczrh 21533  ℤ/nczn 21536  DChrcdchr 27294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-2idl 21283  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-zn 21540  df-dchr 27295
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  27574  dchrisum0re  27575  dchrisum0lem2  27580  dchrisumn0  27583
  Copyright terms: Public domain W3C validator