MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmaeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmaeq0 26007
Description: The set 𝑊 is the collection of all non-principal Dirichlet characters such that the sum Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasumif.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrvmasumif.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrvmasumif.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
dchrvmaeq0.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
Assertion
Ref Expression
dchrvmaeq0 (𝜑 → (𝑋𝑊𝑆 = 0))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚, 1   𝐶,𝑚,𝑦   𝑦,𝐹   𝑚,𝑎,𝑦   𝑚,𝑁,𝑦   𝜑,𝑚   𝑆,𝑚,𝑦   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑚,𝑦   𝐿,𝑎,𝑚,𝑦   𝑋,𝑎,𝑚,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑚,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrvmaeq0
StepHypRef Expression
1 dchrisum.b . . . 4 (𝜑𝑋𝐷)
2 dchrisum.n1 . . . 4 (𝜑𝑋1 )
3 eldifsn 4711 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ (𝑋𝐷𝑋1 ))
41, 2, 3sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
5 fveq1 6662 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦‘(𝐿𝑚)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
65oveq1d 7160 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
76sumeq2sdv 15049 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
87eqeq1d 2820 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
9 dchrvmaeq0.w . . . . 5 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
108, 9elrab2 3680 . . . 4 (𝑋𝑊 ↔ (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
1110baib 536 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → (𝑋𝑊 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
124, 11syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑊 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
13 nnuz 12269 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
14 1zzd 12001 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15 2fveq3 6668 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
16 id 22 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚𝑎 = 𝑚)
1715, 16oveq12d 7163 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
18 dchrvmasumif.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
19 ovex 7178 . . . . . 6 ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6761 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
2120adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
22 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
23 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
24 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
25 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
261adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
27 nnz 11992 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
2827adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
2922, 23, 24, 25, 26, 28dchrzrhcl 25748 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
30 nncn 11634 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
3130adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
32 nnne0 11659 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
3332adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
3429, 31, 33divcld 11404 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
35 dchrvmasumif.s . . . 4 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
3613, 14, 21, 34, 35isumclim 15100 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 𝑆)
3736eqeq1d 2820 . 2 (𝜑 → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ 𝑆 = 0))
3812, 37bitrd 280 1 (𝜑 → (𝑋𝑊𝑆 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  {crab 3139  cdif 3930  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  +∞cpnf 10660  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  cz 11969  [,)cico 12728  cfl 13148  seqcseq 13357  abscabs 14581  cli 14829  Σcsu 15030  Basecbs 16471  0gc0g 16701  ℤRHomczrh 20575  ℤ/nczn 20578  DChrcdchr 25735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-imas 16769  df-qus 16770  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-nsg 18215  df-eqg 18216  df-ghm 18294  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-rnghom 19396  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-lidl 19875  df-rsp 19876  df-2idl 19933  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zrh 20579  df-zn 20582  df-dchr 25736
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  26015  dchrisum0re  26016  dchrisum0lem2  26021  dchrisumn0  26024
  Copyright terms: Public domain W3C validator