Theorem cbvsumv 15045

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvsum.1	⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvsumv	⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘   𝐶,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem cbvsumv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsum.1	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
2		nfcv 2955	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		nfcv 2955	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		nfcv 2955	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
5		nfcv 2955	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 15044	1 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538  Σcsu 15034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-xp 5525  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-seq 13365  df-sum 15035

This theorem is referenced by:  isumge0  15113  telfsumo  15149  fsumparts  15153  binomlem  15176  incexclem  15183  pwdif  15215  mertenslem1  15232  mertens  15234  binomfallfaclem2  15386  bpolyval  15395  efaddlem  15438  pwp1fsum  15732  bitsinv2  15782  prmreclem6  16247  ovolicc2lem4  24124  uniioombllem6  24192  plymullem1  24811  plyadd  24814  plymul  24815  coeeu  24822  coeid  24835  dvply1  24880  vieta1  24908  aaliou3  24947  abelthlem8  25034  abelthlem9  25035  abelth  25036  logtayl  25251  ftalem2  25659  ftalem6  25663  dchrsum2  25852  sumdchr2  25854  dchrisumlem1  26073  dchrisum  26076  dchrisum0fval  26089  dchrisum0ff  26091  rpvmasum  26110  mulog2sumlem1  26118  2vmadivsumlem  26124  logsqvma  26126  logsqvma2  26127  selberg  26132  chpdifbndlem1  26137  selberg3lem1  26141  selberg4lem1  26144  pntsval  26156  pntsval2  26160  pntpbnd1  26170  pntlemo  26191  axsegconlem9  26719  hashunif  30554  eulerpartlems  31728  eulerpartlemgs2  31748  breprexplema  32011  breprexplemc  32013  breprexp  32014  hgt750lema  32038  fwddifnp1  33739  binomcxplemnotnn0  41060  mccl  42240  sumnnodd  42272  dvnprodlem1  42588  dvnprodlem3  42590  dvnprod  42591  fourierdlem73  42821  fourierdlem112  42860  fourierdlem113  42861  etransclem11  42887  etransclem32  42908  etransclem35  42911  etransc  42925  fsumlesge0  43016  meaiuninclem  43119  omeiunltfirp  43158  hoidmvlelem3  43236  altgsumbcALT  44755  nn0sumshdiglemA  45033  nn0sumshdiglemB  45034