Theorem cbvsumv 15642

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
cbvsum.1	⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvsumv	⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘   𝐶,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem cbvsumv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsum.1	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
2		nfcv 2904	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		nfcv 2904	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		nfcv 2904	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
5		nfcv 2904	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 15641	1 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  Σcsu 15632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seq 13967  df-sum 15633

This theorem is referenced by:  isumge0  15712  telfsumo  15748  fsumparts  15752  binomlem  15775  incexclem  15782  pwdif  15814  mertenslem1  15830  mertens  15832  binomfallfaclem2  15984  bpolyval  15993  efaddlem  16036  pwp1fsum  16334  bitsinv2  16384  prmreclem6  16854  ovolicc2lem4  25037  uniioombllem6  25105  plymullem1  25728  plyadd  25731  plymul  25732  coeeu  25739  coeid  25752  dvply1  25797  vieta1  25825  aaliou3  25864  abelthlem8  25951  abelthlem9  25952  abelth  25953  logtayl  26168  ftalem2  26578  ftalem6  26582  dchrsum2  26771  sumdchr2  26773  dchrisumlem1  26992  dchrisum  26995  dchrisum0fval  27008  dchrisum0ff  27010  rpvmasum  27029  mulog2sumlem1  27037  2vmadivsumlem  27043  logsqvma  27045  logsqvma2  27046  selberg  27051  chpdifbndlem1  27056  selberg3lem1  27060  selberg4lem1  27063  pntsval  27075  pntsval2  27079  pntpbnd1  27089  pntlemo  27110  axsegconlem9  28214  hashunif  32049  eulerpartlems  33390  eulerpartlemgs2  33410  breprexplema  33673  breprexplemc  33675  breprexp  33676  hgt750lema  33700  fwddifnp1  35168  sticksstones16  41026  sticksstones17  41027  sticksstones18  41028  sticksstones21  41031  binomcxplemnotnn0  43163  mccl  44362  sumnnodd  44394  dvnprodlem1  44710  dvnprodlem3  44712  dvnprod  44713  fourierdlem73  44943  fourierdlem112  44982  fourierdlem113  44983  etransclem11  45009  etransclem32  45030  etransclem35  45033  etransc  45047  fsumlesge0  45141  meaiuninclem  45244  omeiunltfirp  45283  hoidmvlelem3  45361  altgsumbcALT  47077  nn0sumshdiglemA  47353  nn0sumshdiglemB  47354