MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0 25446
Description: The sum Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption 𝑋𝑊 is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 25420 and dchrvmasumif 25429. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚, 1   𝑚,𝑁,𝑦   𝜑,𝑚   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑚,𝑦   𝑚,𝐿,𝑦   𝑚,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦,𝑚)   𝑊(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem dchrisum0
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑧 𝑐 𝑖 𝑡 𝑑 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . 2 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . 2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 rpvmasum2.g . 2 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum2.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 rpvmasum2.1 . 2 1 = (0g𝐺)
7 eqid 2817 . 2 (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦))) = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))
8 rpvmasum2.w . . . . 5 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
9 ssrab2 3895 . . . . 5 {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
108, 9eqsstri 3843 . . . 4 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
11 difss 3947 . . . 4 (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
1210, 11sstri 3818 . . 3 𝑊𝐷
13 dchrisum0.b . . 3 (𝜑𝑋𝑊)
1412, 13sseldi 3807 . 2 (𝜑𝑋𝐷)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13dchrisum0re 25439 . 2 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
16 fveq2 6418 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑚 · 𝑑) → (√‘𝑘) = (√‘(𝑚 · 𝑑)))
1716oveq2d 6900 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑚 · 𝑑) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
18 rpre 12073 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1918adantl 469 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
2014ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → 𝑋𝐷)
21 elrabi 3565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} → 𝑚 ∈ ℕ)
2221nnzd 11767 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} → 𝑚 ∈ ℤ)
2322adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → 𝑚 ∈ ℤ)
244, 1, 5, 2, 20, 23dchrzrhcl 25207 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
25 elfznn 12613 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2726nnrpd 12104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
2827rpsqrtcld 14393 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑘) ∈ ℝ+)
2928rpcnd 12108 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑘) ∈ ℂ)
3029adantr 468 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → (√‘𝑘) ∈ ℂ)
3128rpne0d 12111 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑘) ≠ 0)
3231adantr 468 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → (√‘𝑘) ≠ 0)
3324, 30, 32divcld 11096 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) ∈ ℂ)
3433anasss 454 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘})) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) ∈ ℂ)
3517, 19, 34dvdsflsumcom 25151 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7dchrisum0fval 25431 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} (𝑋‘(𝐿𝑚)))
3726, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} (𝑋‘(𝐿𝑚)))
3837oveq1d 6899 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} (𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)))
39 fzfid 13016 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...𝑘) ∈ Fin)
40 dvdsssfz1 15283 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ⊆ (1...𝑘))
4126, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ⊆ (1...𝑘))
42 ssfi 8429 . . . . . . . . . 10 (((1...𝑘) ∈ Fin ∧ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ⊆ (1...𝑘)) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ∈ Fin)
4339, 41, 42syl2anc 575 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ∈ Fin)
4443, 29, 24, 31fsumdivc 14760 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} (𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)))
4538, 44eqtrd 2851 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)))
4645sumeq2dv 14676 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)))
47 rprege0 12081 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
4847adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
49 resqrtth 14239 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
5150fveq2d 6422 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘((√‘𝑥)↑2)) = (⌊‘𝑥))
5251oveq2d 6900 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2))) = (1...(⌊‘𝑥)))
5350fvoveq1d 6906 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑚)))
5453oveq2d 6900 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚))) = (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚))))
5554sumeq1d 14674 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
5655adantr 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
5752, 56sumeq12dv 14680 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
5835, 46, 573eqtr4d 2861 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
5958mpteq2dva 4949 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))))
60 rpsqrtcl 14248 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
6160adantl 469 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
62 eqidd 2818 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥)))
63 eqidd 2818 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) = (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))))
64 oveq1 6891 . . . . . . . 8 (𝑧 = (√‘𝑥) → (𝑧↑2) = ((√‘𝑥)↑2))
6564fveq2d 6422 . . . . . . 7 (𝑧 = (√‘𝑥) → (⌊‘(𝑧↑2)) = (⌊‘((√‘𝑥)↑2)))
6665oveq2d 6900 . . . . . 6 (𝑧 = (√‘𝑥) → (1...(⌊‘(𝑧↑2))) = (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2))))
6764fvoveq1d 6906 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (√‘𝑥) → (⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)) = (⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))
6867oveq2d 6900 . . . . . . . 8 (𝑧 = (√‘𝑥) → (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚))) = (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚))))
6968sumeq1d 14674 . . . . . . 7 (𝑧 = (√‘𝑥) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
7069adantr 468 . . . . . 6 ((𝑧 = (√‘𝑥) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
7166, 70sumeq12dv 14680 . . . . 5 (𝑧 = (√‘𝑥) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
7261, 62, 63, 71fmptco 6629 . . . 4 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∘ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))))
7359, 72eqtr4d 2854 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘))) = ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∘ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))))
74 eqid 2817 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
751, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 74dchrisum0lema 25440 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))
763adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
7713adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → 𝑋𝑊)
78 simprl 778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
79 simprrl 790 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡)
80 simprrr 791 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)))
811, 2, 76, 4, 5, 6, 8, 77, 74, 78, 79, 80dchrisum0lem3 25445 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
8281rexlimdvaa 3231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1)))
8382exlimdv 2024 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1)))
8475, 83mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
85 o1f 14503 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))⟶ℂ)
8684, 85syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))⟶ℂ)
87 sumex 14661 . . . . . . 7 Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) ∈ V
88 eqid 2817 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) = (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
8987, 88dmmpti 6244 . . . . . 6 dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) = ℝ+
9089feq2i 6258 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):ℝ+⟶ℂ)
9186, 90sylib 209 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):ℝ+⟶ℂ)
92 rpssre 12077 . . . . 5 + ⊆ ℝ
9392a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
94 resqcl 13174 . . . . . 6 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
9594adantl 469 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
96 0red 10338 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 0 ∈ ℝ)
97 simplr 776 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 𝑡 ∈ ℝ)
98 simplrr 787 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑡↑2) ≤ 𝑥)
9947ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
10099adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
101100, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
10298, 101breqtrrd 4883 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑡↑2) ≤ ((√‘𝑥)↑2))
10397adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 𝑡 ∈ ℝ)
10461rpred 12106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
105104ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
106105adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
107 simpr 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 0 ≤ 𝑡)
108 sqrtge0 14241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ (√‘𝑥))
10999, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (√‘𝑥))
110109adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 0 ≤ (√‘𝑥))
111103, 106, 107, 110le2sqd 13287 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑡 ≤ (√‘𝑥) ↔ (𝑡↑2) ≤ ((√‘𝑥)↑2)))
112102, 111mpbird 248 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 𝑡 ≤ (√‘𝑥))
11397adantr 468 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 𝑡 ∈ ℝ)
114 0red 10338 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
115105adantr 468 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
116 simpr 473 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 𝑡 ≤ 0)
117109adantr 468 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 0 ≤ (√‘𝑥))
118113, 114, 115, 116, 117letrd 10489 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 𝑡 ≤ (√‘𝑥))
11996, 97, 112, 118lecasei 10438 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 𝑡 ≤ (√‘𝑥))
120119expr 446 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑡↑2) ≤ 𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
121120ralrimiva 3165 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑡↑2) ≤ 𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
122 breq1 4858 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑡↑2) → (𝑐𝑥 ↔ (𝑡↑2) ≤ 𝑥))
123122rspceaimv 3521 . . . . 5 (((𝑡↑2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑡↑2) ≤ 𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥))) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑐𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
12495, 121, 123syl2anc 575 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑐𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
12591, 84, 61, 93, 124o1compt 14561 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∘ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
12673, 125eqeltrd 2896 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘))) ∈ 𝑂(1))
1271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 126dchrisum0fno1 25437 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2157  wne 2989  wral 3107  wrex 3108  {crab 3111  cdif 3777  wss 3780  {csn 4381   class class class wbr 4855  cmpt 4934  dom cdm 5324  ccom 5328  wf 6107  cfv 6111  (class class class)co 6884  Fincfn 8202  cc 10229  cr 10230  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236  +∞cpnf 10366  cle 10370  cmin 10561   / cdiv 10979  cn 11315  2c2 11368  cz 11663  +crp 12066  [,)cico 12415  ...cfz 12569  cfl 12835  seqcseq 13044  cexp 13103  csqrt 14216  abscabs 14217  cli 14458  𝑂(1)co1 14460  Σcsu 14659  cdvds 15223  Basecbs 16088  0gc0g 16325  ℤRHomczrh 20076  ℤ/nczn 20079  DChrcdchr 25194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-inf2 8795  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309  ax-addf 10310  ax-mulf 10311
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-disj 4824  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-isom 6120  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-of 7137  df-rpss 7177  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-supp 7540  df-tpos 7597  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-oadd 7810  df-omul 7811  df-er 7989  df-ec 7991  df-qs 7995  df-map 8104  df-pm 8105  df-ixp 8156  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-fsupp 8525  df-fi 8566  df-sup 8597  df-inf 8598  df-oi 8664  df-card 9058  df-acn 9061  df-cda 9285  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-xnn0 11650  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-q 12028  df-rp 12067  df-xneg 12182  df-xadd 12183  df-xmul 12184  df-ioo 12417  df-ioc 12418  df-ico 12419  df-icc 12420  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-fl 12837  df-mod 12913  df-seq 13045  df-exp 13104  df-fac 13301  df-bc 13330  df-hash 13358  df-word 13530  df-concat 13532  df-s1 13533  df-shft 14050  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-limsup 14445  df-clim 14462  df-rlim 14463  df-o1 14464  df-lo1 14465  df-sum 14660  df-ef 15038  df-e 15039  df-sin 15040  df-cos 15041  df-pi 15043  df-dvds 15224  df-gcd 15456  df-prm 15624  df-numer 15680  df-denom 15681  df-phi 15708  df-pc 15779  df-struct 16090  df-ndx 16091  df-slot 16092  df-base 16094  df-sets 16095  df-ress 16096  df-plusg 16186  df-mulr 16187  df-starv 16188  df-sca 16189  df-vsca 16190  df-ip 16191  df-tset 16192  df-ple 16193  df-ds 16195  df-unif 16196  df-hom 16197  df-cco 16198  df-rest 16308  df-topn 16309  df-0g 16327  df-gsum 16328  df-topgen 16329  df-pt 16330  df-prds 16333  df-xrs 16387  df-qtop 16392  df-imas 16393  df-qus 16394  df-xps 16395  df-mre 16471  df-mrc 16472  df-acs 16474  df-mgm 17467  df-sgrp 17509  df-mnd 17520  df-mhm 17560  df-submnd 17561  df-grp 17650  df-minusg 17651  df-sbg 17652  df-mulg 17766  df-subg 17813  df-nsg 17814  df-eqg 17815  df-ghm 17880  df-gim 17923  df-ga 17944  df-cntz 17971  df-oppg 17997  df-od 18169  df-gex 18170  df-pgp 18171  df-lsm 18272  df-pj1 18273  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-cyg 18501  df-dprd 18616  df-dpj 18617  df-mgp 18712  df-ur 18724  df-ring 18771  df-cring 18772  df-oppr 18845  df-dvdsr 18863  df-unit 18864  df-invr 18894  df-dvr 18905  df-rnghom 18939  df-drng 18973  df-subrg 19002  df-lmod 19089  df-lss 19157  df-lsp 19199  df-sra 19401  df-rgmod 19402  df-lidl 19403  df-rsp 19404  df-2idl 19461  df-psmet 19966  df-xmet 19967  df-met 19968  df-bl 19969  df-mopn 19970  df-fbas 19971  df-fg 19972  df-cnfld 19975  df-zring 20047  df-zrh 20080  df-zn 20083  df-top 20933  df-topon 20950  df-topsp 20972  df-bases 20985  df-cld 21058  df-ntr 21059  df-cls 21060  df-nei 21137  df-lp 21175  df-perf 21176  df-cn 21266  df-cnp 21267  df-haus 21354  df-cmp 21425  df-tx 21600  df-hmeo 21793  df-fil 21884  df-fm 21976  df-flim 21977  df-flf 21978  df-xms 22359  df-ms 22360  df-tms 22361  df-cncf 22915  df-0p 23674  df-limc 23867  df-dv 23868  df-ply 24181  df-idp 24182  df-coe 24183  df-dgr 24184  df-quot 24283  df-log 24540  df-cxp 24541  df-em 24956  df-cht 25060  df-vma 25061  df-chp 25062  df-ppi 25063  df-mu 25064  df-dchr 25195
This theorem is referenced by:  dchrisumn0  25447  rpvmasum  25452
  Copyright terms: Public domain W3C validator