Theorem dchrisum0 27368

Description: The sum Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption 𝑋 ∈ 𝑊 is contradictory). This is the key result that allows to eliminate the conditionals from dchrmusum2 27342 and dchrvmasumif 27351. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
rpvmasum2.w	⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑦,𝑚, 1   𝑚,𝑁,𝑦   𝜑,𝑚   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑚,𝑦   𝑚,𝐿,𝑦   𝑚,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦,𝑚)   𝑊(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem dchrisum0

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑧 𝑐 𝑖 𝑡 𝑑 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		rpvmasum2.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		rpvmasum2.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6		rpvmasum2.1	. 2 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
7		eqid 2724	. 2 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑦))) = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑦)))
8		rpvmasum2.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
9	8	ssrab3 4072	. . . 4 ⊢ 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
10		difss 4123	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
11	9, 10	sstri 3983	. . 3 ⊢ 𝑊 ⊆ 𝐷
12		dchrisum0.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
13	11, 12	sselid 3972	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12	dchrisum0re 27361	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
15		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑚 · 𝑑) → (√‘𝑘) = (√‘(𝑚 · 𝑑)))
16	15	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑚 · 𝑑) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘𝑘)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
17		rpre 12978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	13	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘}) → 𝑋 ∈ 𝐷)
20		elrabi 3669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘} → 𝑚 ∈ ℕ)
21	20	nnzd 12581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘} → 𝑚 ∈ ℤ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘}) → 𝑚 ∈ ℤ)
23	4, 1, 5, 2, 19, 22	dchrzrhcl 27093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘}) → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ)
24		elfznn 13526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ)
26	25	nnrpd 13010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
27	26	rpsqrtcld 15354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑘) ∈ ℝ+)
28	27	rpcnd 13014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑘) ∈ ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘}) → (√‘𝑘) ∈ ℂ)
30	27	rpne0d 13017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑘) ≠ 0)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘}) → (√‘𝑘) ≠ 0)
32	23, 29, 31	divcld 11986	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘}) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘𝑘)) ∈ ℂ)
33	32	anasss 466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘})) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘𝑘)) ∈ ℂ)
34	16, 18, 33	dvdsflsumcom 27035	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘} ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dchrisum0fval 27353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑦)))‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘} (𝑋‘(𝐿‘𝑚)))
36	25, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑦)))‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘} (𝑋‘(𝐿‘𝑚)))
37	36	oveq1d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘} (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘𝑘)))
38		fzfid 13934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...𝑘) ∈ Fin)
39		dvdsssfz1 16257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘} ⊆ (1...𝑘))
40	25, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘} ⊆ (1...𝑘))
41	38, 40	ssfid 9262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘} ∈ Fin)
42	41, 28, 23, 30	fsumdivc 15728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘} (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘} ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘𝑘)))
43	37, 42	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘} ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘𝑘)))
44	43	sumeq2dv 15645	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑘} ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘𝑘)))
45		rprege0 12985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
47		resqrtth 15198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
49	48	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘((√‘𝑥)↑2)) = (⌊‘𝑥))
50	49	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2))) = (1...(⌊‘𝑥)))
51	48	fvoveq1d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑚)))
52	51	oveq2d 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚))) = (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚))))
53	52	sumeq1d 15643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
54	53	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
55	50, 54	sumeq12dv 15648	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
56	34, 44, 55	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
57	56	mpteq2dva 5238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))))
58		rpsqrtcl 15207	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
59	58	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
60		eqidd 2725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥)))
61		eqidd 2725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) = (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))))
62		oveq1 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (√‘𝑥) → (𝑧↑2) = ((√‘𝑥)↑2))
63	62	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (√‘𝑥) → (⌊‘(𝑧↑2)) = (⌊‘((√‘𝑥)↑2)))
64	63	oveq2d 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (√‘𝑥) → (1...(⌊‘(𝑧↑2))) = (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2))))
65	62	fvoveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (√‘𝑥) → (⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)) = (⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))
66	65	oveq2d 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (√‘𝑥) → (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚))) = (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚))))
67	66	sumeq1d 15643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (√‘𝑥) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
68	67	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 = (√‘𝑥) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
69	64, 68	sumeq12dv 15648	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (√‘𝑥) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
70	59, 60, 61, 69	fmptco 7119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∘ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))))
71	57, 70	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘))) = ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∘ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))))
72		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎))) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))
73	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 72	dchrisum0lema 27362	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))
74	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
75	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → 𝑋 ∈ 𝑊)
76		simprl 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
77		simprrl 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡)
78		simprrr 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)))
79	1, 2, 74, 4, 5, 6, 8, 75, 72, 76, 77, 78	dchrisum0lem3 27367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
80	79	rexlimdvaa 3148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1)))
81	80	exlimdv 1928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1)))
82	73, 81	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
83		o1f 15469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))⟶ℂ)
84	82, 83	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))⟶ℂ)
85		sumex 15630	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) ∈ V
86		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) = (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
87	85, 86	dmmpti 6684	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) = ℝ+
88	87	feq2i 6699	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):ℝ+⟶ℂ)
89	84, 88	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):ℝ+⟶ℂ)
90		rpssre 12977	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
91	90	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
92		resqcl 14085	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
93		0red 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 0 ∈ ℝ)
94		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 𝑡 ∈ ℝ)
95		simplrr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑡↑2) ≤ 𝑥)
96	45	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
98	97, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
99	95, 98	breqtrrd 5166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑡↑2) ≤ ((√‘𝑥)↑2))
100	94	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 𝑡 ∈ ℝ)
101	59	rpred 13012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
102	101	ad2ant2r 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
104		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 0 ≤ 𝑡)
105		sqrtge0 15200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ (√‘𝑥))
106	96, 105	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (√‘𝑥))
107	106	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 0 ≤ (√‘𝑥))
108	100, 103, 104, 107	le2sqd 14216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑡 ≤ (√‘𝑥) ↔ (𝑡↑2) ≤ ((√‘𝑥)↑2)))
109	99, 108	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 𝑡 ≤ (√‘𝑥))
110	94	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 𝑡 ∈ ℝ)
111		0red 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
112	102	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
113		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 𝑡 ≤ 0)
114	106	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 0 ≤ (√‘𝑥))
115	110, 111, 112, 113, 114	letrd 11367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 𝑡 ≤ (√‘𝑥))
116	93, 94, 109, 115	lecasei 11316	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 𝑡 ≤ (√‘𝑥))
117	116	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑡↑2) ≤ 𝑥 → 𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
118	117	ralrimiva 3138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑡↑2) ≤ 𝑥 → 𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
119		breq1 5141	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑡↑2) → (𝑐 ≤ 𝑥 ↔ (𝑡↑2) ≤ 𝑥))
120	119	rspceaimv 3609	. . . . 5 ⊢ (((𝑡↑2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑡↑2) ≤ 𝑥 → 𝑡 ≤ (√‘𝑥))) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
121	92, 118, 120	syl2an2 683	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
122	89, 82, 59, 91, 121	o1compt 15527	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∘ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
123	71, 122	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘))) ∈ 𝑂(1))
124	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 14, 123	dchrisum0fno1 27359	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053  ∃wrex 3062  {crab 3424   ∖ cdif 3937   ⊆ wss 3940  {csn 4620   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  dom cdm 5666   ∘ ccom 5670  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11103  ℝcr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110  +∞cpnf 11241   ≤ cle 11245   − cmin 11440   / cdiv 11867  ℕcn 12208  2c2 12263  ℤcz 12554  ℝ⁺crp 12970  [,)cico 13322  ...cfz 13480  ⌊cfl 13751  seqcseq 13962  ↑cexp 14023  √csqrt 15176  abscabs 15177   ⇝ cli 15424  𝑂(1)co1 15426  Σcsu 15628   ∥ cdvds 16193  Basecbs 17142  0_gc0g 17383  ℤRHomczrh 21353  ℤ/nℤczn 21356  DChrcdchr 27080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-rpss 7706  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8698  df-ec 8700  df-qs 8704  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-dju 9891  df-card 9929  df-acn 9932  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-o1 15430  df-lo1 15431  df-sum 15629  df-ef 16007  df-e 16008  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-numer 16669  df-denom 16670  df-phi 16697  df-pc 16768  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-qus 17453  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-mhm 18702  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18985  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-ghm 19128  df-gim 19173  df-ga 19195  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-od 19437  df-gex 19438  df-pgp 19439  df-lsm 19545  df-pj1 19546  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-cyg 19787  df-dprd 19906  df-dpj 19907  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20578  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-lsp 20808  df-sra 21010  df-rgmod 21011  df-lidl 21056  df-rsp 21057  df-2idl 21096  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-fbas 21224  df-fg 21225  df-cnfld 21228  df-zring 21301  df-zrh 21357  df-zn 21360  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-cmp 23212  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-0p 25520  df-limc 25716  df-dv 25717  df-ply 26041  df-idp 26042  df-coe 26043  df-dgr 26044  df-quot 26144  df-ulm 26229  df-log 26406  df-cxp 26407  df-atan 26714  df-em 26840  df-cht 26944  df-vma 26945  df-chp 26946  df-ppi 26947  df-mu 26948  df-dchr 27081

This theorem is referenced by:  dchrisumn0  27369  rpvmasum  27374