Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0 26111
 Description: The sum Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption 𝑋 ∈ 𝑊 is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 26085 and dchrvmasumif 26094. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚, 1   𝑚,𝑁,𝑦   𝜑,𝑚   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑚,𝑦   𝑚,𝐿,𝑦   𝑚,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦,𝑚)   𝑊(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem dchrisum0
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑧 𝑐 𝑖 𝑡 𝑑 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . 2 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . 2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 rpvmasum2.g . 2 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum2.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 rpvmasum2.1 . 2 1 = (0g𝐺)
7 eqid 2798 . 2 (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦))) = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))
8 rpvmasum2.w . . . . 5 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
98ssrab3 4008 . . . 4 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
10 difss 4059 . . . 4 (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
119, 10sstri 3924 . . 3 𝑊𝐷
12 dchrisum0.b . . 3 (𝜑𝑋𝑊)
1311, 12sseldi 3913 . 2 (𝜑𝑋𝐷)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12dchrisum0re 26104 . 2 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
15 fveq2 6645 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑚 · 𝑑) → (√‘𝑘) = (√‘(𝑚 · 𝑑)))
1615oveq2d 7151 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑚 · 𝑑) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
17 rpre 12387 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1817adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
1913ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → 𝑋𝐷)
20 elrabi 3623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} → 𝑚 ∈ ℕ)
2120nnzd 12076 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} → 𝑚 ∈ ℤ)
2221adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → 𝑚 ∈ ℤ)
234, 1, 5, 2, 19, 22dchrzrhcl 25836 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
24 elfznn 12933 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2524adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625nnrpd 12419 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
2726rpsqrtcld 14765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑘) ∈ ℝ+)
2827rpcnd 12423 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑘) ∈ ℂ)
2928adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → (√‘𝑘) ∈ ℂ)
3027rpne0d 12426 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑘) ≠ 0)
3130adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → (√‘𝑘) ≠ 0)
3223, 29, 31divcld 11407 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) ∈ ℂ)
3332anasss 470 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘})) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) ∈ ℂ)
3416, 18, 33dvdsflsumcom 25780 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7dchrisum0fval 26096 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} (𝑋‘(𝐿𝑚)))
3625, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} (𝑋‘(𝐿𝑚)))
3736oveq1d 7150 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} (𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)))
38 fzfid 13338 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...𝑘) ∈ Fin)
39 dvdsssfz1 15662 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ⊆ (1...𝑘))
4025, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ⊆ (1...𝑘))
4138, 40ssfid 8727 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ∈ Fin)
4241, 28, 23, 30fsumdivc 15135 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} (𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)))
4337, 42eqtrd 2833 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)))
4443sumeq2dv 15054 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)))
45 rprege0 12394 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
4645adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
47 resqrtth 14609 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
4948fveq2d 6649 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘((√‘𝑥)↑2)) = (⌊‘𝑥))
5049oveq2d 7151 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2))) = (1...(⌊‘𝑥)))
5148fvoveq1d 7157 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑚)))
5251oveq2d 7151 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚))) = (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚))))
5352sumeq1d 15052 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
5453adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
5550, 54sumeq12dv 15057 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
5634, 44, 553eqtr4d 2843 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
5756mpteq2dva 5125 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))))
58 rpsqrtcl 14618 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
5958adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
60 eqidd 2799 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥)))
61 eqidd 2799 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) = (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))))
62 oveq1 7142 . . . . . . . 8 (𝑧 = (√‘𝑥) → (𝑧↑2) = ((√‘𝑥)↑2))
6362fveq2d 6649 . . . . . . 7 (𝑧 = (√‘𝑥) → (⌊‘(𝑧↑2)) = (⌊‘((√‘𝑥)↑2)))
6463oveq2d 7151 . . . . . 6 (𝑧 = (√‘𝑥) → (1...(⌊‘(𝑧↑2))) = (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2))))
6562fvoveq1d 7157 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (√‘𝑥) → (⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)) = (⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))
6665oveq2d 7151 . . . . . . . 8 (𝑧 = (√‘𝑥) → (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚))) = (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚))))
6766sumeq1d 15052 . . . . . . 7 (𝑧 = (√‘𝑥) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
6867adantr 484 . . . . . 6 ((𝑧 = (√‘𝑥) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
6964, 68sumeq12dv 15057 . . . . 5 (𝑧 = (√‘𝑥) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
7059, 60, 61, 69fmptco 6868 . . . 4 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∘ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))))
7157, 70eqtr4d 2836 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘))) = ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∘ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))))
72 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
731, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 72dchrisum0lema 26105 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))
743adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
7512adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → 𝑋𝑊)
76 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
77 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡)
78 simprrr 781 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)))
791, 2, 74, 4, 5, 6, 8, 75, 72, 76, 77, 78dchrisum0lem3 26110 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
8079rexlimdvaa 3244 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1)))
8180exlimdv 1934 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1)))
8273, 81mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
83 o1f 14880 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))⟶ℂ)
8482, 83syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))⟶ℂ)
85 sumex 15038 . . . . . . 7 Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) ∈ V
86 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) = (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
8785, 86dmmpti 6464 . . . . . 6 dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) = ℝ+
8887feq2i 6479 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):ℝ+⟶ℂ)
8984, 88sylib 221 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):ℝ+⟶ℂ)
90 rpssre 12386 . . . . 5 + ⊆ ℝ
9190a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
92 resqcl 13488 . . . . 5 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
93 0red 10635 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 0 ∈ ℝ)
94 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 𝑡 ∈ ℝ)
95 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑡↑2) ≤ 𝑥)
9645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
9796adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
9897, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
9995, 98breqtrrd 5058 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑡↑2) ≤ ((√‘𝑥)↑2))
10094adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 𝑡 ∈ ℝ)
10159rpred 12421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
102101ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
103102adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
104 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 0 ≤ 𝑡)
105 sqrtge0 14611 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ (√‘𝑥))
10696, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (√‘𝑥))
107106adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 0 ≤ (√‘𝑥))
108100, 103, 104, 107le2sqd 13618 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑡 ≤ (√‘𝑥) ↔ (𝑡↑2) ≤ ((√‘𝑥)↑2)))
10999, 108mpbird 260 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 𝑡 ≤ (√‘𝑥))
11094adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 𝑡 ∈ ℝ)
111 0red 10635 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
112102adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
113 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 𝑡 ≤ 0)
114106adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 0 ≤ (√‘𝑥))
115110, 111, 112, 113, 114letrd 10788 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 𝑡 ≤ (√‘𝑥))
11693, 94, 109, 115lecasei 10737 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 𝑡 ≤ (√‘𝑥))
117116expr 460 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑡↑2) ≤ 𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
118117ralrimiva 3149 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑡↑2) ≤ 𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
119 breq1 5033 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑡↑2) → (𝑐𝑥 ↔ (𝑡↑2) ≤ 𝑥))
120119rspceaimv 3576 . . . . 5 (((𝑡↑2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑡↑2) ≤ 𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥))) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑐𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
12192, 118, 120syl2an2 685 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑐𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
12289, 82, 59, 91, 121o1compt 14938 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∘ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
12371, 122eqeltrd 2890 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘))) ∈ 𝑂(1))
1241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 14, 123dchrisum0fno1 26102 1 ¬ 𝜑
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10526  ℝcr 10527  0cc0 10528  1c1 10529   + caddc 10531   · cmul 10533  +∞cpnf 10663   ≤ cle 10667   − cmin 10861   / cdiv 11288  ℕcn 11627  2c2 11682  ℤcz 11971  ℝ+crp 12379  [,)cico 12730  ...cfz 12887  ⌊cfl 13157  seqcseq 13366  ↑cexp 13427  √csqrt 14586  abscabs 14587   ⇝ cli 14835  𝑂(1)co1 14837  Σcsu 15036   ∥ cdvds 15601  Basecbs 16477  0gc0g 16707  ℤRHomczrh 20197  ℤ/nℤczn 20200  DChrcdchr 25823 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-inf2 9090  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606  ax-addf 10607  ax-mulf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-rpss 7431  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-tpos 7877  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-omul 8092  df-er 8274  df-ec 8276  df-qs 8280  df-map 8393  df-pm 8394  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-acn 9357  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-xnn0 11958  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-mod 13235  df-seq 13367  df-exp 13428  df-fac 13632  df-bc 13661  df-hash 13689  df-word 13860  df-concat 13916  df-s1 13943  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-o1 14841  df-lo1 14842  df-sum 15037  df-ef 15415  df-e 15416  df-sin 15417  df-cos 15418  df-tan 15419  df-pi 15420  df-dvds 15602  df-gcd 15836  df-prm 16008  df-numer 16067  df-denom 16068  df-phi 16095  df-pc 16166  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-qus 16776  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-nsg 18272  df-eqg 18273  df-ghm 18351  df-gim 18394  df-ga 18415  df-cntz 18442  df-oppg 18469  df-od 18651  df-gex 18652  df-pgp 18653  df-lsm 18756  df-pj1 18757  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-cyg 18993  df-dprd 19113  df-dpj 19114  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19500  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-lidl 19942  df-rsp 19943  df-2idl 20001  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-zring 20167  df-zrh 20201  df-zn 20204  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-cld 21631  df-ntr 21632  df-cls 21633  df-nei 21710  df-lp 21748  df-perf 21749  df-cn 21839  df-cnp 21840  df-haus 21927  df-cmp 21999  df-tx 22174  df-hmeo 22367  df-fil 22458  df-fm 22550  df-flim 22551  df-flf 22552  df-xms 22934  df-ms 22935  df-tms 22936  df-cncf 23490  df-0p 24281  df-limc 24476  df-dv 24477  df-ply 24792  df-idp 24793  df-coe 24794  df-dgr 24795  df-quot 24894  df-ulm 24979  df-log 25155  df-cxp 25156  df-atan 25460  df-em 25585  df-cht 25689  df-vma 25690  df-chp 25691  df-ppi 25692  df-mu 25693  df-dchr 25824 This theorem is referenced by:  dchrisumn0  26112  rpvmasum  26117
 Copyright terms: Public domain W3C validator