MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0 27466
Description: The sum Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption 𝑋𝑊 is contradictory). This is the key result that allows to eliminate the conditionals from dchrmusum2 27440 and dchrvmasumif 27449. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚, 1   𝑚,𝑁,𝑦   𝜑,𝑚   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑚,𝑦   𝑚,𝐿,𝑦   𝑚,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦,𝑚)   𝑊(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem dchrisum0
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑧 𝑐 𝑖 𝑡 𝑑 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . 2 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . 2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 rpvmasum2.g . 2 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum2.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 rpvmasum2.1 . 2 1 = (0g𝐺)
7 eqid 2728 . 2 (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦))) = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))
8 rpvmasum2.w . . . . 5 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
98ssrab3 4078 . . . 4 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
10 difss 4130 . . . 4 (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
119, 10sstri 3989 . . 3 𝑊𝐷
12 dchrisum0.b . . 3 (𝜑𝑋𝑊)
1311, 12sselid 3978 . 2 (𝜑𝑋𝐷)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12dchrisum0re 27459 . 2 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
15 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑚 · 𝑑) → (√‘𝑘) = (√‘(𝑚 · 𝑑)))
1615oveq2d 7436 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑚 · 𝑑) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
17 rpre 13015 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1817adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
1913ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → 𝑋𝐷)
20 elrabi 3676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} → 𝑚 ∈ ℕ)
2120nnzd 12616 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} → 𝑚 ∈ ℤ)
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → 𝑚 ∈ ℤ)
234, 1, 5, 2, 19, 22dchrzrhcl 27191 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
24 elfznn 13563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625nnrpd 13047 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
2726rpsqrtcld 15391 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑘) ∈ ℝ+)
2827rpcnd 13051 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑘) ∈ ℂ)
2928adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → (√‘𝑘) ∈ ℂ)
3027rpne0d 13054 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑘) ≠ 0)
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → (√‘𝑘) ≠ 0)
3223, 29, 31divcld 12021 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘}) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) ∈ ℂ)
3332anasss 466 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘})) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) ∈ ℂ)
3416, 18, 33dvdsflsumcom 27133 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7dchrisum0fval 27451 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} (𝑋‘(𝐿𝑚)))
3625, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} (𝑋‘(𝐿𝑚)))
3736oveq1d 7435 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = (Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} (𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)))
38 fzfid 13971 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...𝑘) ∈ Fin)
39 dvdsssfz1 16295 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ⊆ (1...𝑘))
4025, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ⊆ (1...𝑘))
4138, 40ssfid 9292 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ∈ Fin)
4241, 28, 23, 30fsumdivc 15765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} (𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)))
4337, 42eqtrd 2768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)))
4443sumeq2dv 15682 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑘} ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑘)))
45 rprege0 13022 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
4645adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
47 resqrtth 15235 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
4948fveq2d 6901 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘((√‘𝑥)↑2)) = (⌊‘𝑥))
5049oveq2d 7436 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2))) = (1...(⌊‘𝑥)))
5148fvoveq1d 7442 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑚)))
5251oveq2d 7436 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚))) = (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚))))
5352sumeq1d 15680 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
5453adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
5550, 54sumeq12dv 15685 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
5634, 44, 553eqtr4d 2778 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
5756mpteq2dva 5248 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))))
58 rpsqrtcl 15244 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
5958adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
60 eqidd 2729 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥)))
61 eqidd 2729 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) = (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))))
62 oveq1 7427 . . . . . . . 8 (𝑧 = (√‘𝑥) → (𝑧↑2) = ((√‘𝑥)↑2))
6362fveq2d 6901 . . . . . . 7 (𝑧 = (√‘𝑥) → (⌊‘(𝑧↑2)) = (⌊‘((√‘𝑥)↑2)))
6463oveq2d 7436 . . . . . 6 (𝑧 = (√‘𝑥) → (1...(⌊‘(𝑧↑2))) = (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2))))
6562fvoveq1d 7442 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (√‘𝑥) → (⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)) = (⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))
6665oveq2d 7436 . . . . . . . 8 (𝑧 = (√‘𝑥) → (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚))) = (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚))))
6766sumeq1d 15680 . . . . . . 7 (𝑧 = (√‘𝑥) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
6867adantr 480 . . . . . 6 ((𝑧 = (√‘𝑥) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
6964, 68sumeq12dv 15685 . . . . 5 (𝑧 = (√‘𝑥) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
7059, 60, 61, 69fmptco 7138 . . . 4 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∘ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘((√‘𝑥)↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘(((√‘𝑥)↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))))
7157, 70eqtr4d 2771 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘))) = ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∘ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))))
72 eqid 2728 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
731, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 72dchrisum0lema 27460 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))
743adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
7512adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → 𝑋𝑊)
76 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
77 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡)
78 simprrr 781 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)))
791, 2, 74, 4, 5, 6, 8, 75, 72, 76, 77, 78dchrisum0lem3 27465 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
8079rexlimdvaa 3153 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1)))
8180exlimdv 1929 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1)))
8273, 81mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
83 o1f 15506 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1) → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))⟶ℂ)
8482, 83syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))⟶ℂ)
85 sumex 15667 . . . . . . 7 Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) ∈ V
86 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) = (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))
8785, 86dmmpti 6699 . . . . . 6 dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) = ℝ+
8887feq2i 6714 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):dom (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))))⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):ℝ+⟶ℂ)
8984, 88sylib 217 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))):ℝ+⟶ℂ)
90 rpssre 13014 . . . . 5 + ⊆ ℝ
9190a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
92 resqcl 14121 . . . . 5 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
93 0red 11248 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 0 ∈ ℝ)
94 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 𝑡 ∈ ℝ)
95 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑡↑2) ≤ 𝑥)
9645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
9796adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
9897, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
9995, 98breqtrrd 5176 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑡↑2) ≤ ((√‘𝑥)↑2))
10094adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 𝑡 ∈ ℝ)
10159rpred 13049 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
102101ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
103102adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
104 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 0 ≤ 𝑡)
105 sqrtge0 15237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ (√‘𝑥))
10696, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (√‘𝑥))
107106adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 0 ≤ (√‘𝑥))
108100, 103, 104, 107le2sqd 14252 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → (𝑡 ≤ (√‘𝑥) ↔ (𝑡↑2) ≤ ((√‘𝑥)↑2)))
10999, 108mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑡) → 𝑡 ≤ (√‘𝑥))
11094adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 𝑡 ∈ ℝ)
111 0red 11248 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
112102adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
113 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 𝑡 ≤ 0)
114106adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 0 ≤ (√‘𝑥))
115110, 111, 112, 113, 114letrd 11402 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑡 ≤ 0) → 𝑡 ≤ (√‘𝑥))
11693, 94, 109, 115lecasei 11351 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑡↑2) ≤ 𝑥)) → 𝑡 ≤ (√‘𝑥))
117116expr 456 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑡↑2) ≤ 𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
118117ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑡↑2) ≤ 𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
119 breq1 5151 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑡↑2) → (𝑐𝑥 ↔ (𝑡↑2) ≤ 𝑥))
120119rspceaimv 3615 . . . . 5 (((𝑡↑2) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑡↑2) ≤ 𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥))) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑐𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
12192, 118, 120syl2an2 685 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑐𝑥𝑡 ≤ (√‘𝑥)))
12289, 82, 59, 91, 121o1compt 15564 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑧↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑧↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∘ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
12371, 122eqeltrd 2829 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑦 ∈ {𝑖 ∈ ℕ ∣ 𝑖𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑦)))‘𝑘) / (√‘𝑘))) ∈ 𝑂(1))
1241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 14, 123dchrisum0fno1 27457 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3429  cdif 3944  wss 3947  {csn 4629   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5678  ccom 5682  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144  +∞cpnf 11276  cle 11280  cmin 11475   / cdiv 11902  cn 12243  2c2 12298  cz 12589  +crp 13007  [,)cico 13359  ...cfz 13517  cfl 13788  seqcseq 13999  cexp 14059  csqrt 15213  abscabs 15214  cli 15461  𝑂(1)co1 15463  Σcsu 15665  cdvds 16231  Basecbs 17180  0gc0g 17421  ℤRHomczrh 21425  ℤ/nczn 21428  DChrcdchr 27178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-rpss 7728  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-word 14498  df-concat 14554  df-s1 14579  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-o1 15467  df-lo1 15468  df-sum 15666  df-ef 16044  df-e 16045  df-sin 16046  df-cos 16047  df-tan 16048  df-pi 16049  df-dvds 16232  df-gcd 16470  df-prm 16643  df-numer 16707  df-denom 16708  df-phi 16735  df-pc 16806  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-qus 17491  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-nsg 19079  df-eqg 19080  df-ghm 19168  df-gim 19213  df-ga 19241  df-cntz 19268  df-oppg 19297  df-od 19483  df-gex 19484  df-pgp 19485  df-lsm 19591  df-pj1 19592  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-cyg 19833  df-dprd 19952  df-dpj 19953  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-rhm 20411  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-lidl 21104  df-rsp 21105  df-2idl 21144  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-zring 21373  df-zrh 21429  df-zn 21432  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-0p 25612  df-limc 25808  df-dv 25809  df-ply 26135  df-idp 26136  df-coe 26137  df-dgr 26138  df-quot 26239  df-ulm 26326  df-log 26503  df-cxp 26504  df-atan 26812  df-em 26938  df-cht 27042  df-vma 27043  df-chp 27044  df-ppi 27045  df-mu 27046  df-dchr 27179
This theorem is referenced by:  dchrisumn0  27467  rpvmasum  27472
  Copyright terms: Public domain W3C validator