MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flblem1 25488
Description: Lemma for dchrisum0flb 25490. Base case, prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0flb.r (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flblem1.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
dchrisum0flblem1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem1 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝑃,𝑏,𝑞,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem1
Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10294 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2 0red 10297 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ ¬ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4277 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
4 1red 10294 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ∈ ℝ)
5 fzfid 12980 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝐴) ∈ Fin)
6 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
7 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87nnnn0d 11598 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
11 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
129, 10, 11znzrhfo 20168 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13 fof 6298 . . . . . . . . . 10 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
148, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
15 dchrisum0flblem1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
16 prmz 15669 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
1814, 17ffvelrnd 6550 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍))
196, 18ffvelrnd 6550 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
20 elfznn0 12640 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → 𝑖 ∈ ℕ0)
21 reexpcl 13084 . . . . . . 7 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2an 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
235, 22fsumrecl 14750 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
2423adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
25 breq1 4812 . . . . . 6 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 ≤ 1 ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1))
26 breq1 4812 . . . . . 6 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1))
27 1le1 10909 . . . . . 6 1 ≤ 1
28 0le1 10805 . . . . . 6 0 ≤ 1
2925, 26, 27, 28keephyp 4312 . . . . 5 if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1
3029a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1)
31 dchrisum0flblem1.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
32 nn0uz 11922 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
3331, 32syl6eleq 2854 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘0))
34 fzn0 12562 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
3533, 34sylibr 225 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝐴) ≠ ∅)
36 hashnncl 13359 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ∈ Fin → ((♯‘(0...𝐴)) ∈ ℕ ↔ (0...𝐴) ≠ ∅))
375, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(0...𝐴)) ∈ ℕ ↔ (0...𝐴) ≠ ∅))
3835, 37mpbird 248 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(0...𝐴)) ∈ ℕ)
3938adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (♯‘(0...𝐴)) ∈ ℕ)
4039nnge1d 11320 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ≤ (♯‘(0...𝐴)))
41 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1)
4241oveq1d 6857 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = (1↑𝑖))
43 elfzelz 12549 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → 𝑖 ∈ ℤ)
44 1exp 13096 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → (1↑𝑖) = 1)
4642, 45sylan9eq 2819 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = 1)
4746sumeq2dv 14718 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1)
48 fzfid 12980 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (0...𝐴) ∈ Fin)
49 ax-1cn 10247 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
50 fsumconst 14806 . . . . . . 7 (((0...𝐴) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((♯‘(0...𝐴)) · 1))
5148, 49, 50sylancl 580 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((♯‘(0...𝐴)) · 1))
5239nncnd 11292 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (♯‘(0...𝐴)) ∈ ℂ)
5352mulid1d 10311 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → ((♯‘(0...𝐴)) · 1) = (♯‘(0...𝐴)))
5447, 51, 533eqtrd 2803 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = (♯‘(0...𝐴)))
5540, 54breqtrrd 4837 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
563, 4, 24, 30, 55letrd 10448 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
57 oveq1 6849 . . . . . . 7 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
5857breq1d 4819 . . . . . 6 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → ((1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)))))
59 oveq1 6849 . . . . . . 7 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
6059breq1d 4819 . . . . . 6 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → ((0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)))))
61 1re 10293 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
6219adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
63 resubcl 10599 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6461, 62, 63sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6564adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6665leidd 10848 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
6764recnd 10322 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℂ)
6867adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℂ)
6968mulid2d 10312 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
70 nn0p1nn 11579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
7131, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
7271ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
73720expd 13231 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (0↑(𝐴 + 1)) = 0)
74 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0)
7574oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (0↑(𝐴 + 1)))
7673, 75, 743eqtr4d 2809 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
77 neg1cn 11393 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℂ
7831ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
79 expp1 13074 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) · -1))
8077, 78, 79sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) · -1))
81 prmnn 15668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
8382, 31nnexpcld 13237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑃𝐴) ∈ ℕ)
8483nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8584ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8685sqsqrtd 14463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((√‘(𝑃𝐴))↑2) = (𝑃𝐴))
8786oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
8815ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
89 nnq 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ)
9089adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ)
91 nnne0 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ → (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0)
9291adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0)
93 2z 11656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℤ
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
95 pcexp 15843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
9688, 90, 92, 94, 95syl121anc 1494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
9778nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
98 pcid 15856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
9988, 97, 98syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
10087, 96, 993eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
101100oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑𝐴) = (-1↑(2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))))
10277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
103 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ)
10488, 103pccld 15834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℕ0)
105 2nn0 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
107102, 104, 106expmuld 13218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))) = ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
108 neg1sqe1 13166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = 1
109108oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))
110104nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℤ)
111 1exp 13096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℤ → (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
113109, 112syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
114101, 107, 1133eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑𝐴) = 1)
115114oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑𝐴) · -1) = (1 · -1))
11677mulid2i 10299 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · -1) = -1
117115, 116syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑𝐴) · -1) = -1)
11880, 117eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
119118adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
12019recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
121120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
122121ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
123122negnegd 10637 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → --(𝑋‘(𝐿𝑃)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
124 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1)
125124ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1)
126 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (DChr‘𝑁)
127 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = (Base‘𝐺)
128 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑋𝐷)
129128ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → 𝑋𝐷)
130 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
131126, 9, 127, 10, 130, 128, 18dchrn0 25266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0 ↔ (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍)))
132131ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0 ↔ (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍)))
133132biimpa 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍))
134126, 127, 129, 9, 130, 133dchrabs 25276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = 1)
135 eqeq1 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = 1 ↔ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1))
136134, 135syl5ibcom 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1))
137136necon3ad 2950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1 → ¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃))))
138125, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
13962ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
140139absord 14439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∨ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃))))
141140ord 890 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃))))
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃)))
143142, 134eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → -(𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1)
144143negeqd 10529 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → --(𝑋‘(𝐿𝑃)) = -1)
145123, 144eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = -1)
146145oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (-1↑(𝐴 + 1)))
147119, 146, 1453eqtr4d 2809 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
14876, 147pm2.61dane 3024 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
149148oveq2d 6858 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
15066, 69, 1493brtr4d 4841 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
15167mul02d 10488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = 0)
152 peano2nn0 11580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
15331, 152syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
15419, 153reexpcld 13232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
155154adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
156155recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
157156abscld 14460 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
158 1red 10294 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 1 ∈ ℝ)
159155leabsd 14438 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
160153adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
161121, 160absexpd 14476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)))
162121abscld 14460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
163121absge0d 14468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))))
164126, 127, 9, 10, 128, 18dchrabs2 25278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1)
165164adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1)
166 exple1 13127 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∧ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1) ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
167162, 163, 165, 160, 166syl31anc 1492 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
168161, 167eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ≤ 1)
169155, 157, 158, 159, 168letrd 10448 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
170 subge0 10795 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1))
17161, 155, 170sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1))
172169, 171mpbird 248 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
173151, 172eqbrtrd 4831 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
174173adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ ¬ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
17558, 60, 150, 174ifbothda 4280 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
176 0re 10295 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
17761, 176ifcli 4289 . . . . . . 7 if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
179 resubcl 10599 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18061, 155, 179sylancr 581 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
181124necomd 2992 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 1 ≠ (𝑋‘(𝐿𝑃)))
18262leabsd 14438 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))))
18362, 162, 158, 182, 165letrd 10448 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≤ 1)
18462, 158, 183leltned 10444 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1 ↔ 1 ≠ (𝑋‘(𝐿𝑃))))
185181, 184mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1)
186 posdif 10775 . . . . . . . 8 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
18762, 61, 186sylancl 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
188185, 187mpbid 223 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
189 lemuldiv 11157 . . . . . 6 ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ ∧ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))) → ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))))
190178, 180, 64, 188, 189syl112anc 1493 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))))
191175, 190mpbid 223 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
19231nn0zd 11727 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
193 fzval3 12745 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
194192, 193syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
195194adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
196195sumeq1d 14716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
197 0nn0 11555 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
198197a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ∈ ℕ0)
199153, 32syl6eleq 2854 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘0))
200199adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘0))
201121, 124, 198, 200geoserg 14882 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = ((((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
202121exp0d 13209 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) = 1)
203202oveq1d 6857 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
204203oveq1d 6857 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
205196, 201, 2043eqtrd 2803 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
206191, 205breqtrrd 4837 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
20756, 206pm2.61dane 3024 . 2 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
208 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0g𝐺)
209 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
2109, 11, 7, 126, 127, 208, 209dchrisum0fval 25485 . . . 4 ((𝑃𝐴) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
21183, 210syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
212 2fveq3 6380 . . . 4 (𝑘 = (𝑃𝑖) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))))
213 eqid 2765 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)) = (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))
214213dvdsppwf1o 25203 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)):(0...𝐴)–1-1-onto→{𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)})
21515, 31, 214syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)):(0...𝐴)–1-1-onto→{𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)})
216 oveq2 6850 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑖 → (𝑃𝑏) = (𝑃𝑖))
217 ovex 6874 . . . . . 6 (𝑃𝑏) ∈ V
218216, 213, 217fvmpt3i 6476 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
219218adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
2206adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
221 elrabi 3514 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} → 𝑘 ∈ ℕ)
222221nnzd 11728 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} → 𝑘 ∈ ℤ)
223 ffvelrn 6547 . . . . . . 7 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐿𝑘) ∈ (Base‘𝑍))
22414, 222, 223syl2an 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝐿𝑘) ∈ (Base‘𝑍))
225220, 224ffvelrnd 6550 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℝ)
226225recnd 10322 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℂ)
227212, 5, 215, 219, 226fsumf1o 14739 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))))
228 zsubrg 20072 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
229 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
230229subrgsubm 19062 . . . . . . . . . . 11 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
231228, 230mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
23220adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
23317adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑃 ∈ ℤ)
234 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
235 zringmpg 20113 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
236235eqcomi 2774 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℤring) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
237 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℤring)) = (.g‘(mulGrp‘ℤring))
238234, 236, 237submmulg 17850 . . . . . . . . . 10 ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℤ) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃))
239231, 232, 233, 238syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃))
24082nncnd 11292 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
241 cnfldexp 20052 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑃𝑖))
242240, 20, 241syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑃𝑖))
243239, 242eqtr3d 2801 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃) = (𝑃𝑖))
244243fveq2d 6379 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝐿‘(𝑃𝑖)))
2459zncrng 20165 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
246 crngring 18825 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
2478, 245, 2463syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
24811zrhrhm 20133 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
249 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℤring) = (mulGrp‘ℤring)
250 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
251249, 250rhmmhm 18991 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → 𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
252247, 248, 2513syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
253252adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
254 zringbas 20097 . . . . . . . . . 10 ℤ = (Base‘ℤring)
255249, 254mgpbas 18762 . . . . . . . . 9 ℤ = (Base‘(mulGrp‘ℤring))
256 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (.g‘(mulGrp‘𝑍)) = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
257255, 237, 256mhmmulg 17847 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
258253, 232, 233, 257syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
259244, 258eqtr3d 2801 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑃𝑖)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
260259fveq2d 6379 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))))
261126, 9, 127dchrmhm 25257 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
262261, 128sseldi 3759 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
263262adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
26418adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍))
265250, 10mgpbas 18762 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
266265, 256, 234mhmmulg 17847 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))))
267263, 232, 264, 266syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))))
268 cnfldexp 20052 . . . . . 6 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
269120, 20, 268syl2an 589 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
270260, 267, 2693eqtrd 2803 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
271270sumeq2dv 14718 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
272211, 227, 2713eqtrd 2803 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
273207, 272breqtrrd 4837 1 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  {crab 3059  c0 4079  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cmpt 4888  wf 6064  ontowfo 6066  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  cq 11989  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  cexp 13067  chash 13321  csqrt 14258  abscabs 14259  Σcsu 14701  cdvds 15265  cprime 15665   pCnt cpc 15820  Basecbs 16130  s cress 16131  0gc0g 16366   MndHom cmhm 17599  SubMndcsubmnd 17600  .gcmg 17807  mulGrpcmgp 18756  Ringcrg 18814  CRingccrg 18815  Unitcui 18906   RingHom crh 18981  SubRingcsubrg 19045  fldccnfld 20019  ringzring 20091  ℤRHomczrh 20121  ℤ/nczn 20124  DChrcdchr 25248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-dvds 15266  df-gcd 15498  df-prm 15666  df-pc 15821  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-qus 16435  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-nsg 17856  df-eqg 17857  df-ghm 17922  df-cntz 18013  df-od 18212  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-rnghom 18984  df-drng 19018  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-lidl 19448  df-rsp 19449  df-2idl 19506  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-zring 20092  df-zrh 20125  df-zn 20128  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-cxp 24595  df-dchr 25249
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  25489  dchrisum0flb  25490
  Copyright terms: Public domain W3C validator