MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flblem1 25786
Description: Lemma for dchrisum0flb 25788. Base case, prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0flb.r (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flblem1.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
dchrisum0flblem1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem1 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝑃,𝑏,𝑞,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem1
Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10440 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2 0red 10443 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ ¬ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4384 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
4 1red 10440 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ∈ ℝ)
5 fzfid 13156 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝐴) ∈ Fin)
6 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
7 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87nnnn0d 11767 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
11 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
129, 10, 11znzrhfo 20396 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13 fof 6419 . . . . . . . . . 10 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
148, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
15 dchrisum0flblem1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
16 prmz 15875 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
1814, 17ffvelrnd 6677 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍))
196, 18ffvelrnd 6677 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
20 elfznn0 12816 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → 𝑖 ∈ ℕ0)
21 reexpcl 13261 . . . . . . 7 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2an 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
235, 22fsumrecl 14951 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
2423adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
25 breq1 4932 . . . . . 6 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 ≤ 1 ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1))
26 breq1 4932 . . . . . 6 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1))
27 1le1 11069 . . . . . 6 1 ≤ 1
28 0le1 10964 . . . . . 6 0 ≤ 1
2925, 26, 27, 28keephyp 4419 . . . . 5 if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1
3029a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1)
31 dchrisum0flblem1.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
32 nn0uz 12094 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
3331, 32syl6eleq 2876 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘0))
34 fzn0 12737 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
3533, 34sylibr 226 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝐴) ≠ ∅)
36 hashnncl 13542 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ∈ Fin → ((♯‘(0...𝐴)) ∈ ℕ ↔ (0...𝐴) ≠ ∅))
375, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(0...𝐴)) ∈ ℕ ↔ (0...𝐴) ≠ ∅))
3835, 37mpbird 249 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(0...𝐴)) ∈ ℕ)
3938adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (♯‘(0...𝐴)) ∈ ℕ)
4039nnge1d 11488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ≤ (♯‘(0...𝐴)))
41 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1)
4241oveq1d 6991 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = (1↑𝑖))
43 elfzelz 12724 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → 𝑖 ∈ ℤ)
44 1exp 13273 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → (1↑𝑖) = 1)
4642, 45sylan9eq 2834 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = 1)
4746sumeq2dv 14920 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1)
48 fzfid 13156 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (0...𝐴) ∈ Fin)
49 ax-1cn 10393 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
50 fsumconst 15005 . . . . . . 7 (((0...𝐴) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((♯‘(0...𝐴)) · 1))
5148, 49, 50sylancl 577 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((♯‘(0...𝐴)) · 1))
5239nncnd 11457 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (♯‘(0...𝐴)) ∈ ℂ)
5352mulid1d 10457 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → ((♯‘(0...𝐴)) · 1) = (♯‘(0...𝐴)))
5447, 51, 533eqtrd 2818 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = (♯‘(0...𝐴)))
5540, 54breqtrrd 4957 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
563, 4, 24, 30, 55letrd 10597 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
57 oveq1 6983 . . . . . . 7 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
5857breq1d 4939 . . . . . 6 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → ((1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)))))
59 oveq1 6983 . . . . . . 7 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
6059breq1d 4939 . . . . . 6 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → ((0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)))))
61 1re 10439 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
6219adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
63 resubcl 10751 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6461, 62, 63sylancr 578 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6564adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6665leidd 11007 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
6764recnd 10468 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℂ)
6867adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℂ)
6968mulid2d 10458 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
70 nn0p1nn 11748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
7131, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
7271ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
73720expd 13318 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (0↑(𝐴 + 1)) = 0)
74 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0)
7574oveq1d 6991 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (0↑(𝐴 + 1)))
7673, 75, 743eqtr4d 2824 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
77 neg1cn 11561 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℂ
7831ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
79 expp1 13251 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) · -1))
8077, 78, 79sylancr 578 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) · -1))
81 prmnn 15874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
8382, 31nnexpcld 13421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑃𝐴) ∈ ℕ)
8483nncnd 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8584ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8685sqsqrtd 14660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((√‘(𝑃𝐴))↑2) = (𝑃𝐴))
8786oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
8815ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
89 nnq 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ)
9089adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ)
91 nnne0 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ → (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0)
9291adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0)
93 2z 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℤ
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
95 pcexp 16052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
9688, 90, 92, 94, 95syl121anc 1355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
9778nn0zd 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
98 pcid 16065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
9988, 97, 98syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
10087, 96, 993eqtr3rd 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
101100oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑𝐴) = (-1↑(2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))))
10277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
103 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ)
10488, 103pccld 16043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℕ0)
105 2nn0 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
107102, 104, 106expmuld 13328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))) = ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
108 neg1sqe1 13374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = 1
109108oveq1i 6986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))
110104nn0zd 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℤ)
111 1exp 13273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℤ → (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
113109, 112syl5eq 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
114101, 107, 1133eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑𝐴) = 1)
115114oveq1d 6991 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑𝐴) · -1) = (1 · -1))
11677mulid2i 10445 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · -1) = -1
117115, 116syl6eq 2830 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑𝐴) · -1) = -1)
11880, 117eqtrd 2814 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
119118adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
12019recnd 10468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
121120adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
122121ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
123122negnegd 10789 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → --(𝑋‘(𝐿𝑃)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
124 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1)
125124ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1)
126 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (DChr‘𝑁)
127 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = (Base‘𝐺)
128 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑋𝐷)
129128ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → 𝑋𝐷)
130 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
131126, 9, 127, 10, 130, 128, 18dchrn0 25528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0 ↔ (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍)))
132131ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0 ↔ (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍)))
133132biimpa 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍))
134126, 127, 129, 9, 130, 133dchrabs 25538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = 1)
135 eqeq1 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = 1 ↔ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1))
136134, 135syl5ibcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1))
137136necon3ad 2980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1 → ¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃))))
138125, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
13962ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
140139absord 14636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∨ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃))))
141140ord 850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃))))
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃)))
143142, 134eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → -(𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1)
144143negeqd 10680 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → --(𝑋‘(𝐿𝑃)) = -1)
145123, 144eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = -1)
146145oveq1d 6991 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (-1↑(𝐴 + 1)))
147119, 146, 1453eqtr4d 2824 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
14876, 147pm2.61dane 3055 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
149148oveq2d 6992 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
15066, 69, 1493brtr4d 4961 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
15167mul02d 10638 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = 0)
152 peano2nn0 11749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
15331, 152syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
15419, 153reexpcld 13342 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
155154adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
156155recnd 10468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
157156abscld 14657 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
158 1red 10440 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 1 ∈ ℝ)
159155leabsd 14635 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
160153adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
161121, 160absexpd 14673 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)))
162121abscld 14657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
163121absge0d 14665 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))))
164126, 127, 9, 10, 128, 18dchrabs2 25540 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1)
165164adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1)
166 exple1 13355 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∧ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1) ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
167162, 163, 165, 160, 166syl31anc 1353 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
168161, 167eqbrtrd 4951 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ≤ 1)
169155, 157, 158, 159, 168letrd 10597 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
170 subge0 10954 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1))
17161, 155, 170sylancr 578 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1))
172169, 171mpbird 249 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
173151, 172eqbrtrd 4951 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
174173adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ ¬ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
17558, 60, 150, 174ifbothda 4387 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
176 0re 10441 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
17761, 176ifcli 4396 . . . . . . 7 if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
179 resubcl 10751 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18061, 155, 179sylancr 578 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18162leabsd 14635 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))))
18262, 162, 158, 181, 165letrd 10597 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≤ 1)
183124necomd 3022 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 1 ≠ (𝑋‘(𝐿𝑃)))
18462, 158, 182, 183leneltd 10594 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1)
185 posdif 10934 . . . . . . . 8 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
18662, 61, 185sylancl 577 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
187184, 186mpbid 224 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
188 lemuldiv 11321 . . . . . 6 ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ ∧ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))) → ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))))
189178, 180, 64, 187, 188syl112anc 1354 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))))
190175, 189mpbid 224 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
19131nn0zd 11898 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
192 fzval3 12921 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
193191, 192syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
194193adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
195194sumeq1d 14918 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
196 0nn0 11724 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
197196a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ∈ ℕ0)
198153, 32syl6eleq 2876 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘0))
199198adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘0))
200121, 124, 197, 199geoserg 15081 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = ((((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
201121exp0d 13319 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) = 1)
202201oveq1d 6991 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
203202oveq1d 6991 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
204195, 200, 2033eqtrd 2818 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
205190, 204breqtrrd 4957 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
20656, 205pm2.61dane 3055 . 2 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
207 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0g𝐺)
208 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
2099, 11, 7, 126, 127, 207, 208dchrisum0fval 25783 . . . 4 ((𝑃𝐴) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
21083, 209syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
211 2fveq3 6504 . . . 4 (𝑘 = (𝑃𝑖) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))))
212 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)) = (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))
213212dvdsppwf1o 25465 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)):(0...𝐴)–1-1-onto→{𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)})
21415, 31, 213syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)):(0...𝐴)–1-1-onto→{𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)})
215 oveq2 6984 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑖 → (𝑃𝑏) = (𝑃𝑖))
216 ovex 7008 . . . . . 6 (𝑃𝑏) ∈ V
217215, 212, 216fvmpt3i 6600 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
218217adantl 474 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
2196adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
220 elrabi 3590 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} → 𝑘 ∈ ℕ)
221220nnzd 11899 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} → 𝑘 ∈ ℤ)
222 ffvelrn 6674 . . . . . . 7 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐿𝑘) ∈ (Base‘𝑍))
22314, 221, 222syl2an 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝐿𝑘) ∈ (Base‘𝑍))
224219, 223ffvelrnd 6677 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℝ)
225224recnd 10468 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℂ)
226211, 5, 214, 218, 225fsumf1o 14940 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))))
227 zsubrg 20300 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
228 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
229228subrgsubm 19271 . . . . . . . . . . 11 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
230227, 229mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
23120adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
23217adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑃 ∈ ℤ)
233 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
234 zringmpg 20341 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
235234eqcomi 2787 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℤring) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
236 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℤring)) = (.g‘(mulGrp‘ℤring))
237233, 235, 236submmulg 18055 . . . . . . . . . 10 ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℤ) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃))
238230, 231, 232, 237syl3anc 1351 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃))
23982nncnd 11457 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
240 cnfldexp 20280 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑃𝑖))
241239, 20, 240syl2an 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑃𝑖))
242238, 241eqtr3d 2816 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃) = (𝑃𝑖))
243242fveq2d 6503 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝐿‘(𝑃𝑖)))
2449zncrng 20393 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
245 crngring 19031 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
2468, 244, 2453syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
24711zrhrhm 20361 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
248 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℤring) = (mulGrp‘ℤring)
249 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
250248, 249rhmmhm 19197 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → 𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
251246, 247, 2503syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
252251adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
253 zringbas 20325 . . . . . . . . . 10 ℤ = (Base‘ℤring)
254248, 253mgpbas 18968 . . . . . . . . 9 ℤ = (Base‘(mulGrp‘ℤring))
255 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (.g‘(mulGrp‘𝑍)) = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
256254, 236, 255mhmmulg 18052 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
257252, 231, 232, 256syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
258243, 257eqtr3d 2816 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑃𝑖)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
259258fveq2d 6503 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))))
260126, 9, 127dchrmhm 25519 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
261260, 128sseldi 3856 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
262261adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
26318adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍))
264249, 10mgpbas 18968 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
265264, 255, 233mhmmulg 18052 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))))
266262, 231, 263, 265syl3anc 1351 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))))
267 cnfldexp 20280 . . . . . 6 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
268120, 20, 267syl2an 586 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
269259, 266, 2683eqtrd 2818 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
270269sumeq2dv 14920 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
271210, 226, 2703eqtrd 2818 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
272206, 271breqtrrd 4957 1 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  {crab 3092  c0 4178  ifcif 4350   class class class wbr 4929  cmpt 5008  wf 6184  ontowfo 6186  1-1-ontowf1o 6187  cfv 6188  (class class class)co 6976  Fincfn 8306  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   < clt 10474  cle 10475  cmin 10670  -cneg 10671   / cdiv 11098  cn 11439  2c2 11495  0cn0 11707  cz 11793  cuz 12058  cq 12162  ...cfz 12708  ..^cfzo 12849  cexp 13244  chash 13505  csqrt 14453  abscabs 14454  Σcsu 14903  cdvds 15467  cprime 15871   pCnt cpc 16029  Basecbs 16339  s cress 16340  0gc0g 16569   MndHom cmhm 17801  SubMndcsubmnd 17802  .gcmg 18011  mulGrpcmgp 18962  Ringcrg 19020  CRingccrg 19021  Unitcui 19112   RingHom crh 19187  SubRingcsubrg 19254  fldccnfld 20247  ringzring 20319  ℤRHomczrh 20349  ℤ/nczn 20352  DChrcdchr 25510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-disj 4898  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-omul 7910  df-er 8089  df-ec 8091  df-qs 8095  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-acn 9165  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-bc 13478  df-hash 13506  df-shft 14287  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-limsup 14689  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-ef 15281  df-sin 15283  df-cos 15284  df-pi 15286  df-dvds 15468  df-gcd 15704  df-prm 15872  df-pc 16030  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-qus 16638  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-nsg 18061  df-eqg 18062  df-ghm 18127  df-cntz 18218  df-od 18418  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-cring 19023  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-dvr 19156  df-rnghom 19190  df-drng 19227  df-subrg 19256  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lsp 19466  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-lidl 19668  df-rsp 19669  df-2idl 19726  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-zring 20320  df-zrh 20353  df-zn 20356  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168  df-log 24841  df-cxp 24842  df-dchr 25511
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  25787  dchrisum0flb  25788
  Copyright terms: Public domain W3C validator