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Theorem dchrisum0flblem1 26872
Description: Lemma for dchrisum0flb 26874. Base case, prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
dchrisum0f.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
dchrisum0flblem1.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
dchrisum0flblem1.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem1 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,π‘ž   𝑃,𝑏,π‘ž,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐷(𝑣,π‘ž,𝑏)   1 (𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐹(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐺(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐿(π‘ž)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(π‘ž)   𝑍(𝑣,π‘ž,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem1
Dummy variables π‘˜ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11163 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
2 0red 11165 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ Β¬ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4526 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ)
4 1red 11163 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
5 fzfid 13885 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) ∈ Fin)
6 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
7 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
87nnnn0d 12480 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
9 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
10 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
11 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
129, 10, 11znzrhfo 20970 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘))
13 fof 6761 . . . . . . . . . 10 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
148, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
15 dchrisum0flblem1.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
16 prmz 16558 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
1814, 17ffvelcdmd 7041 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘))
196, 18ffvelcdmd 7041 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
20 elfznn0 13541 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
21 reexpcl 13991 . . . . . . 7 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2an 597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
235, 22fsumrecl 15626 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
2423adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
25 breq1 5113 . . . . . 6 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (1 ≀ 1 ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1))
26 breq1 5113 . . . . . 6 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 ≀ 1 ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1))
27 1le1 11790 . . . . . 6 1 ≀ 1
28 0le1 11685 . . . . . 6 0 ≀ 1
2925, 26, 27, 28keephyp 4562 . . . . 5 if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1
3029a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1)
31 dchrisum0flblem1.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
32 nn0uz 12812 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
3331, 32eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
34 fzn0 13462 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) β‰  βˆ… ↔ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
3533, 34sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) β‰  βˆ…)
36 hashnncl 14273 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„• ↔ (0...𝐴) β‰  βˆ…))
375, 36syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„• ↔ (0...𝐴) β‰  βˆ…))
3835, 37mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„•)
3938adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„•)
4039nnge1d 12208 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ≀ (β™―β€˜(0...𝐴)))
41 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1)
4241oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = (1↑𝑖))
43 elfzelz 13448 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
44 1exp 14004 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑖) = 1)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ (1↑𝑖) = 1)
4642, 45sylan9eq 2797 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = 1)
4746sumeq2dv 15595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1)
48 fzfid 13885 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (0...𝐴) ∈ Fin)
49 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
50 fsumconst 15682 . . . . . . 7 (((0...𝐴) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1))
5148, 49, 50sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1))
5239nncnd 12176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„‚)
5352mulid1d 11179 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1) = (β™―β€˜(0...𝐴)))
5447, 51, 533eqtrd 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = (β™―β€˜(0...𝐴)))
5540, 54breqtrrd 5138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
563, 4, 24, 30, 55letrd 11319 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
57 oveq1 7369 . . . . . . 7 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
5857breq1d 5120 . . . . . 6 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ ((1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)))))
59 oveq1 7369 . . . . . . 7 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
6059breq1d 5120 . . . . . 6 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ ((0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)))))
61 1re 11162 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
6219adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
63 resubcl 11472 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6461, 62, 63sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6564adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6665leidd 11728 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
6764recnd 11190 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚)
6867adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚)
6968mulid2d 11180 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
70 nn0p1nn 12459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
7131, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
7271ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
73720expd 14051 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (0↑(𝐴 + 1)) = 0)
74 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0)
7574oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (0↑(𝐴 + 1)))
7673, 75, 743eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
77 neg1cn 12274 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ β„‚
7831ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
79 expp1 13981 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) Β· -1))
8077, 78, 79sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) Β· -1))
81 prmnn 16557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
8382, 31nnexpcld 14155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„•)
8483nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„‚)
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„‚)
8685sqsqrtd 15331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2) = (𝑃↑𝐴))
8786oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))
8815ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
89 nnq 12894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š)
9089adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š)
91 nnne0 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0)
9291adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0)
93 2z 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„€
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„€)
95 pcexp 16738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
9688, 90, 92, 94, 95syl121anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
9778nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
98 pcid 16752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
9988, 97, 98syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
10087, 96, 993eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
101100oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑𝐴) = (-1↑(2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))))
10277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ -1 ∈ β„‚)
103 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•)
10488, 103pccld 16729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„•0)
105 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•0
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„•0)
107102, 104, 106expmuld 14061 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))) = ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
108 neg1sqe1 14107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = 1
109108oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))
110104nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„€)
111 1exp 14004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„€ β†’ (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
113109, 112eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
114101, 107, 1133eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑𝐴) = 1)
115114oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑𝐴) Β· -1) = (1 Β· -1))
11677mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . 13 (1 Β· -1) = -1
117115, 116eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑𝐴) Β· -1) = -1)
11880, 117eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
119118adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
12019recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
121120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
122121ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
123122negnegd 11510 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ --(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
124 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1)
125124ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1)
126 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
127 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
128 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
129128ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
130 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
131126, 9, 127, 10, 130, 128, 18dchrn0 26614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0 ↔ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
132131ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0 ↔ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
133132biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘))
134126, 127, 129, 9, 130, 133dchrabs 26624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = 1)
135 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = 1 ↔ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1))
136134, 135syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1))
137136necon3ad 2957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1 β†’ Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
138125, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
13962ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
140139absord 15307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∨ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
141140ord 863 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
143142, 134eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1)
144143negeqd 11402 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ --(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = -1)
145123, 144eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = -1)
146145oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (-1↑(𝐴 + 1)))
147119, 146, 1453eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
14876, 147pm2.61dane 3033 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
149148oveq2d 7378 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
15066, 69, 1493brtr4d 5142 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
15167mul02d 11360 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = 0)
152 peano2nn0 12460 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
15331, 152syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
15419, 153reexpcld 14075 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
155154adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
156155recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ β„‚)
157156abscld 15328 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
158 1red 11163 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 1 ∈ ℝ)
159155leabsd 15306 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
160153adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
161121, 160absexpd 15344 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)))
162121abscld 15328 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
163121absge0d 15336 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
164126, 127, 9, 10, 128, 18dchrabs2 26626 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1)
165164adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1)
166 exple1 14088 . . . . . . . . . . . 12 ((((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∧ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1) ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
167162, 163, 165, 160, 166syl31anc 1374 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
168161, 167eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ≀ 1)
169155, 157, 158, 159, 168letrd 11319 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
170 subge0 11675 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1))
17161, 155, 170sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1))
172169, 171mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
173151, 172eqbrtrd 5132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
174173adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ Β¬ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
17558, 60, 150, 174ifbothda 4529 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
176 0re 11164 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
17761, 176ifcli 4538 . . . . . . 7 if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ)
179 resubcl 11472 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18061, 155, 179sylancr 588 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18162leabsd 15306 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
18262, 162, 158, 181, 165letrd 11319 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ≀ 1)
183124necomd 3000 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 1 β‰  (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
18462, 158, 182, 183leneltd 11316 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1)
185 posdif 11655 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
18662, 61, 185sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
187184, 186mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
188 lemuldiv 12042 . . . . . 6 ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ ∧ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))) β†’ ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))))
189178, 180, 64, 187, 188syl112anc 1375 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))))
190175, 189mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
19131nn0zd 12532 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
192 fzval3 13648 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
193191, 192syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
194193adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
195194sumeq1d 15593 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
196 0nn0 12435 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
197196a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ∈ β„•0)
198153, 32eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
199198adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
200121, 124, 197, 199geoserg 15758 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
201121exp0d 14052 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) = 1)
202201oveq1d 7377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
203202oveq1d 7377 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
204195, 200, 2033eqtrd 2781 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
205190, 204breqtrrd 5138 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
20656, 205pm2.61dane 3033 . 2 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
207 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0gβ€˜πΊ)
208 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
2099, 11, 7, 126, 127, 207, 208dchrisum0fval 26869 . . . 4 ((𝑃↑𝐴) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))
21083, 209syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))
211 2fveq3 6852 . . . 4 (π‘˜ = (𝑃↑𝑖) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))))
212 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)) = (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))
213212dvdsppwf1o 26551 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)):(0...𝐴)–1-1-ontoβ†’{π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)})
21415, 31, 213syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)):(0...𝐴)–1-1-ontoβ†’{π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)})
215 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑖 β†’ (𝑃↑𝑏) = (𝑃↑𝑖))
216 ovex 7395 . . . . . 6 (𝑃↑𝑏) ∈ V
217215, 212, 216fvmpt3i 6958 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))β€˜π‘–) = (𝑃↑𝑖))
218217adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))β€˜π‘–) = (𝑃↑𝑖))
2196adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
220 elrabi 3644 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
221220nnzd 12533 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} β†’ π‘˜ ∈ β„€)
222 ffvelcdm 7037 . . . . . . 7 ((𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘))
22314, 221, 222syl2an 597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (πΏβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘))
224219, 223ffvelcdmd 7041 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
225224recnd 11190 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
226211, 5, 214, 218, 225fsumf1o 15615 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))))
227 zsubrg 20866 . . . . . . . . . . 11 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
228 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
229228subrgsubm 20251 . . . . . . . . . . 11 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
230227, 229mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
23120adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
23217adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
233 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
234 zringmpg 20908 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) = (mulGrpβ€˜β„€ring)
235234eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜β„€ring) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€)
236 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))
237233, 235, 236submmulg 18927 . . . . . . . . . 10 ((β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃))
238230, 231, 232, 237syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃))
23982nncnd 12176 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
240 cnfldexp 20846 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
241239, 20, 240syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
242238, 241eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
243242fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (πΏβ€˜(𝑃↑𝑖)))
2449zncrng 20967 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
245 crngring 19983 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
2468, 244, 2453syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
24711zrhrhm 20928 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍))
248 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜β„€ring) = (mulGrpβ€˜β„€ring)
249 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
250248, 249rhmmhm 20162 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
251246, 247, 2503syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
252251adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
253 zringbas 20891 . . . . . . . . . 10 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
254248, 253mgpbas 19909 . . . . . . . . 9 β„€ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))
255 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
256254, 236, 255mhmmulg 18924 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
257252, 231, 232, 256syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
258243, 257eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑃↑𝑖)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
259258fveq2d 6851 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))))
260126, 9, 127dchrmhm 26605 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
261260, 128sselid 3947 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
262261adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
26318adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘))
264249, 10mgpbas 19909 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
265264, 255, 233mhmmulg 18924 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
266262, 231, 263, 265syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
267 cnfldexp 20846 . . . . . 6 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
268120, 20, 267syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
269259, 266, 2683eqtrd 2781 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
270269sumeq2dv 15595 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
271210, 226, 2703eqtrd 2781 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
272206, 271breqtrrd 5138 1 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3410  βˆ…c0 4287  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„šcq 12880  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  β†‘cexp 13974  β™―chash 14237  βˆšcsqrt 15125  abscabs 15126  Ξ£csu 15577   βˆ₯ cdvds 16143  β„™cprime 16554   pCnt cpc 16715  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  0gc0g 17328   MndHom cmhm 18606  SubMndcsubmnd 18607  .gcmg 18879  mulGrpcmgp 19903  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  Unitcui 20075   RingHom crh 20152  SubRingcsubrg 20234  β„‚fldccnfld 20812  β„€ringczring 20885  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-od 19317  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  26873  dchrisum0flb  26874
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