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Theorem dchrisum0flblem1 27245
Description: Lemma for dchrisum0flb 27247. Base case, prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
dchrisum0f.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
dchrisum0flblem1.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
dchrisum0flblem1.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem1 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,π‘ž   𝑃,𝑏,π‘ž,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐷(𝑣,π‘ž,𝑏)   1 (𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐹(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐺(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐿(π‘ž)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(π‘ž)   𝑍(𝑣,π‘ž,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem1
Dummy variables π‘˜ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11221 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
2 0red 11223 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ Β¬ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4564 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ)
4 1red 11221 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
5 fzfid 13944 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) ∈ Fin)
6 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
7 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
87nnnn0d 12538 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
9 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
10 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
11 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
129, 10, 11znzrhfo 21324 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘))
13 fof 6806 . . . . . . . . . 10 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
148, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
15 dchrisum0flblem1.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
16 prmz 16618 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
1814, 17ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘))
196, 18ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
20 elfznn0 13600 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
21 reexpcl 14050 . . . . . . 7 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2an 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
235, 22fsumrecl 15686 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
2423adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
25 breq1 5152 . . . . . 6 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (1 ≀ 1 ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1))
26 breq1 5152 . . . . . 6 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 ≀ 1 ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1))
27 1le1 11848 . . . . . 6 1 ≀ 1
28 0le1 11743 . . . . . 6 0 ≀ 1
2925, 26, 27, 28keephyp 4600 . . . . 5 if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1
3029a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1)
31 dchrisum0flblem1.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
32 nn0uz 12870 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
3331, 32eleqtrdi 2841 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
34 fzn0 13521 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) β‰  βˆ… ↔ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
3533, 34sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) β‰  βˆ…)
36 hashnncl 14332 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„• ↔ (0...𝐴) β‰  βˆ…))
375, 36syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„• ↔ (0...𝐴) β‰  βˆ…))
3835, 37mpbird 256 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„•)
3938adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„•)
4039nnge1d 12266 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ≀ (β™―β€˜(0...𝐴)))
41 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1)
4241oveq1d 7428 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = (1↑𝑖))
43 elfzelz 13507 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
44 1exp 14063 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑖) = 1)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ (1↑𝑖) = 1)
4642, 45sylan9eq 2790 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = 1)
4746sumeq2dv 15655 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1)
48 fzfid 13944 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (0...𝐴) ∈ Fin)
49 ax-1cn 11172 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
50 fsumconst 15742 . . . . . . 7 (((0...𝐴) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1))
5148, 49, 50sylancl 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1))
5239nncnd 12234 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„‚)
5352mulridd 11237 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1) = (β™―β€˜(0...𝐴)))
5447, 51, 533eqtrd 2774 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = (β™―β€˜(0...𝐴)))
5540, 54breqtrrd 5177 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
563, 4, 24, 30, 55letrd 11377 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
57 oveq1 7420 . . . . . . 7 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
5857breq1d 5159 . . . . . 6 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ ((1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)))))
59 oveq1 7420 . . . . . . 7 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
6059breq1d 5159 . . . . . 6 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ ((0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)))))
61 1re 11220 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
6219adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
63 resubcl 11530 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6461, 62, 63sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6564adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6665leidd 11786 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
6764recnd 11248 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚)
6867adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚)
6968mullidd 11238 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
70 nn0p1nn 12517 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
7131, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
7271ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
73720expd 14110 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (0↑(𝐴 + 1)) = 0)
74 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0)
7574oveq1d 7428 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (0↑(𝐴 + 1)))
7673, 75, 743eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
77 neg1cn 12332 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ β„‚
7831ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
79 expp1 14040 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) Β· -1))
8077, 78, 79sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) Β· -1))
81 prmnn 16617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
8382, 31nnexpcld 14214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„•)
8483nncnd 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„‚)
8584ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„‚)
8685sqsqrtd 15392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2) = (𝑃↑𝐴))
8786oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))
8815ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
89 nnq 12952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š)
9089adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š)
91 nnne0 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0)
9291adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0)
93 2z 12600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„€
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„€)
95 pcexp 16798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
9688, 90, 92, 94, 95syl121anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
9778nn0zd 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
98 pcid 16812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
9988, 97, 98syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
10087, 96, 993eqtr3rd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
101100oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑𝐴) = (-1↑(2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))))
10277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ -1 ∈ β„‚)
103 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•)
10488, 103pccld 16789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„•0)
105 2nn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•0
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„•0)
107102, 104, 106expmuld 14120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))) = ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
108 neg1sqe1 14166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = 1
109108oveq1i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))
110104nn0zd 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„€)
111 1exp 14063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„€ β†’ (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
113109, 112eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
114101, 107, 1133eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑𝐴) = 1)
115114oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑𝐴) Β· -1) = (1 Β· -1))
11677mullidi 11225 . . . . . . . . . . . . 13 (1 Β· -1) = -1
117115, 116eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑𝐴) Β· -1) = -1)
11880, 117eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
119118adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
12019recnd 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
121120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
122121ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
123122negnegd 11568 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ --(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
124 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1)
125124ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1)
126 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
127 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
128 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
129128ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
130 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
131126, 9, 127, 10, 130, 128, 18dchrn0 26987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0 ↔ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
132131ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0 ↔ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
133132biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘))
134126, 127, 129, 9, 130, 133dchrabs 26997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = 1)
135 eqeq1 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = 1 ↔ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1))
136134, 135syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1))
137136necon3ad 2951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1 β†’ Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
138125, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
13962ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
140139absord 15368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∨ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
141140ord 860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
143142, 134eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1)
144143negeqd 11460 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ --(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = -1)
145123, 144eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = -1)
146145oveq1d 7428 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (-1↑(𝐴 + 1)))
147119, 146, 1453eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
14876, 147pm2.61dane 3027 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
149148oveq2d 7429 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
15066, 69, 1493brtr4d 5181 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
15167mul02d 11418 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = 0)
152 peano2nn0 12518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
15331, 152syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
15419, 153reexpcld 14134 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
155154adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
156155recnd 11248 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ β„‚)
157156abscld 15389 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
158 1red 11221 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 1 ∈ ℝ)
159155leabsd 15367 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
160153adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
161121, 160absexpd 15405 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)))
162121abscld 15389 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
163121absge0d 15397 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
164126, 127, 9, 10, 128, 18dchrabs2 26999 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1)
165164adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1)
166 exple1 14147 . . . . . . . . . . . 12 ((((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∧ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1) ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
167162, 163, 165, 160, 166syl31anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
168161, 167eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ≀ 1)
169155, 157, 158, 159, 168letrd 11377 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
170 subge0 11733 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1))
17161, 155, 170sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1))
172169, 171mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
173151, 172eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
174173adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ Β¬ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
17558, 60, 150, 174ifbothda 4567 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
176 0re 11222 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
17761, 176ifcli 4576 . . . . . . 7 if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ)
179 resubcl 11530 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18061, 155, 179sylancr 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18162leabsd 15367 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
18262, 162, 158, 181, 165letrd 11377 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ≀ 1)
183124necomd 2994 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 1 β‰  (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
18462, 158, 182, 183leneltd 11374 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1)
185 posdif 11713 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
18662, 61, 185sylancl 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
187184, 186mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
188 lemuldiv 12100 . . . . . 6 ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ ∧ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))) β†’ ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))))
189178, 180, 64, 187, 188syl112anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))))
190175, 189mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
19131nn0zd 12590 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
192 fzval3 13707 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
193191, 192syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
194193adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
195194sumeq1d 15653 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
196 0nn0 12493 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
197196a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ∈ β„•0)
198153, 32eleqtrdi 2841 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
199198adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
200121, 124, 197, 199geoserg 15818 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
201121exp0d 14111 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) = 1)
202201oveq1d 7428 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
203202oveq1d 7428 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
204195, 200, 2033eqtrd 2774 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
205190, 204breqtrrd 5177 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
20656, 205pm2.61dane 3027 . 2 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
207 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0gβ€˜πΊ)
208 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
2099, 11, 7, 126, 127, 207, 208dchrisum0fval 27242 . . . 4 ((𝑃↑𝐴) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))
21083, 209syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))
211 2fveq3 6897 . . . 4 (π‘˜ = (𝑃↑𝑖) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))))
212 eqid 2730 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)) = (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))
213212dvdsppwf1o 26924 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)):(0...𝐴)–1-1-ontoβ†’{π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)})
21415, 31, 213syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)):(0...𝐴)–1-1-ontoβ†’{π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)})
215 oveq2 7421 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑖 β†’ (𝑃↑𝑏) = (𝑃↑𝑖))
216 ovex 7446 . . . . . 6 (𝑃↑𝑏) ∈ V
217215, 212, 216fvmpt3i 7004 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))β€˜π‘–) = (𝑃↑𝑖))
218217adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))β€˜π‘–) = (𝑃↑𝑖))
2196adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
220 elrabi 3678 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
221220nnzd 12591 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} β†’ π‘˜ ∈ β„€)
222 ffvelcdm 7084 . . . . . . 7 ((𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘))
22314, 221, 222syl2an 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (πΏβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘))
224219, 223ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
225224recnd 11248 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
226211, 5, 214, 218, 225fsumf1o 15675 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))))
227 zsubrg 21200 . . . . . . . . . . 11 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
228 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
229228subrgsubm 20477 . . . . . . . . . . 11 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
230227, 229mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
23120adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
23217adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
233 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
234 zringmpg 21244 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) = (mulGrpβ€˜β„€ring)
235234eqcomi 2739 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜β„€ring) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€)
236 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))
237233, 235, 236submmulg 19036 . . . . . . . . . 10 ((β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃))
238230, 231, 232, 237syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃))
23982nncnd 12234 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
240 cnfldexp 21180 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
241239, 20, 240syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
242238, 241eqtr3d 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
243242fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (πΏβ€˜(𝑃↑𝑖)))
2449zncrng 21321 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
245 crngring 20141 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
2468, 244, 2453syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
24711zrhrhm 21282 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍))
248 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜β„€ring) = (mulGrpβ€˜β„€ring)
249 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
250248, 249rhmmhm 20372 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
251246, 247, 2503syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
252251adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
253 zringbas 21226 . . . . . . . . . 10 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
254248, 253mgpbas 20036 . . . . . . . . 9 β„€ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))
255 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
256254, 236, 255mhmmulg 19033 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
257252, 231, 232, 256syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
258243, 257eqtr3d 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑃↑𝑖)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
259258fveq2d 6896 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))))
260126, 9, 127dchrmhm 26978 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
261260, 128sselid 3981 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
262261adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
26318adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘))
264249, 10mgpbas 20036 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
265264, 255, 233mhmmulg 19033 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
266262, 231, 263, 265syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
267 cnfldexp 21180 . . . . . 6 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
268120, 20, 267syl2an 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
269259, 266, 2683eqtrd 2774 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
270269sumeq2dv 15655 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
271210, 226, 2703eqtrd 2774 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
272206, 271breqtrrd 5177 1 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  {crab 3430  βˆ…c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Fincfn 8943  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   < clt 11254   ≀ cle 11255   βˆ’ cmin 11450  -cneg 11451   / cdiv 11877  β„•cn 12218  2c2 12273  β„•0cn0 12478  β„€cz 12564  β„€β‰₯cuz 12828  β„šcq 12938  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  β†‘cexp 14033  β™―chash 14296  βˆšcsqrt 15186  abscabs 15187  Ξ£csu 15638   βˆ₯ cdvds 16203  β„™cprime 16614   pCnt cpc 16775  Basecbs 17150   β†Ύs cress 17179  0gc0g 17391   MndHom cmhm 18705  SubMndcsubmnd 18706  .gcmg 18988  mulGrpcmgp 20030  Ringcrg 20129  CRingccrg 20130  Unitcui 20248   RingHom crh 20362  SubRingcsubrg 20459  β„‚fldccnfld 21146  β„€ringczring 21219  β„€RHomczrh 21270  β„€/nβ„€czn 21273  DChrcdchr 26969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-bc 14269  df-hash 14297  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16204  df-gcd 16442  df-prm 16615  df-pc 16776  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-qus 17461  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-nsg 19042  df-eqg 19043  df-ghm 19130  df-cntz 19224  df-od 19439  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-cring 20132  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-dvr 20294  df-rhm 20365  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-drng 20504  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-lidl 20934  df-rsp 20935  df-2idl 21008  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-cnfld 21147  df-zring 21220  df-zrh 21274  df-zn 21277  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-nei 22824  df-lp 22862  df-perf 22863  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-haus 23041  df-tx 23288  df-hmeo 23481  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-xms 24048  df-ms 24049  df-tms 24050  df-cncf 24620  df-limc 25617  df-dv 25618  df-log 26299  df-cxp 26300  df-dchr 26970
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  27246  dchrisum0flb  27247
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