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Theorem dchrisum0flblem1 27428
Description: Lemma for dchrisum0flb 27430. Base case, prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
dchrisum0f.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
dchrisum0flblem1.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
dchrisum0flblem1.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem1 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,π‘ž   𝑃,𝑏,π‘ž,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐷(𝑣,π‘ž,𝑏)   1 (𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐹(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐺(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐿(π‘ž)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(π‘ž)   𝑍(𝑣,π‘ž,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem1
Dummy variables π‘˜ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11237 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
2 0red 11239 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ Β¬ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4559 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ)
4 1red 11237 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
5 fzfid 13962 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) ∈ Fin)
6 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
7 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
87nnnn0d 12554 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
9 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
10 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
11 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
129, 10, 11znzrhfo 21468 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘))
13 fof 6805 . . . . . . . . . 10 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
148, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
15 dchrisum0flblem1.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
16 prmz 16637 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
1814, 17ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘))
196, 18ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
20 elfznn0 13618 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
21 reexpcl 14067 . . . . . . 7 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2an 595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
235, 22fsumrecl 15704 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
25 breq1 5145 . . . . . 6 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (1 ≀ 1 ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1))
26 breq1 5145 . . . . . 6 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 ≀ 1 ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1))
27 1le1 11864 . . . . . 6 1 ≀ 1
28 0le1 11759 . . . . . 6 0 ≀ 1
2925, 26, 27, 28keephyp 4595 . . . . 5 if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1
3029a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1)
31 dchrisum0flblem1.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
32 nn0uz 12886 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
3331, 32eleqtrdi 2838 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
34 fzn0 13539 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) β‰  βˆ… ↔ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
3533, 34sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) β‰  βˆ…)
36 hashnncl 14349 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„• ↔ (0...𝐴) β‰  βˆ…))
375, 36syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„• ↔ (0...𝐴) β‰  βˆ…))
3835, 37mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„•)
3938adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„•)
4039nnge1d 12282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ≀ (β™―β€˜(0...𝐴)))
41 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1)
4241oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = (1↑𝑖))
43 elfzelz 13525 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
44 1exp 14080 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑖) = 1)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ (1↑𝑖) = 1)
4642, 45sylan9eq 2787 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = 1)
4746sumeq2dv 15673 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1)
48 fzfid 13962 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (0...𝐴) ∈ Fin)
49 ax-1cn 11188 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
50 fsumconst 15760 . . . . . . 7 (((0...𝐴) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1))
5148, 49, 50sylancl 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1))
5239nncnd 12250 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„‚)
5352mulridd 11253 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1) = (β™―β€˜(0...𝐴)))
5447, 51, 533eqtrd 2771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = (β™―β€˜(0...𝐴)))
5540, 54breqtrrd 5170 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
563, 4, 24, 30, 55letrd 11393 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
57 oveq1 7421 . . . . . . 7 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
5857breq1d 5152 . . . . . 6 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ ((1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)))))
59 oveq1 7421 . . . . . . 7 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
6059breq1d 5152 . . . . . 6 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ ((0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)))))
61 1re 11236 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
6219adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
63 resubcl 11546 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6461, 62, 63sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6564adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6665leidd 11802 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
6764recnd 11264 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚)
6867adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚)
6968mullidd 11254 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
70 nn0p1nn 12533 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
7131, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
7271ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
73720expd 14127 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (0↑(𝐴 + 1)) = 0)
74 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0)
7574oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (0↑(𝐴 + 1)))
7673, 75, 743eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
77 neg1cn 12348 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ β„‚
7831ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
79 expp1 14057 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) Β· -1))
8077, 78, 79sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) Β· -1))
81 prmnn 16636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
8382, 31nnexpcld 14231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„•)
8483nncnd 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„‚)
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„‚)
8685sqsqrtd 15410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2) = (𝑃↑𝐴))
8786oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))
8815ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
89 nnq 12968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š)
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š)
91 nnne0 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0)
93 2z 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„€
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„€)
95 pcexp 16819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
9688, 90, 92, 94, 95syl121anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
9778nn0zd 12606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
98 pcid 16833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
9988, 97, 98syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
10087, 96, 993eqtr3rd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
101100oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑𝐴) = (-1↑(2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))))
10277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ -1 ∈ β„‚)
103 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•)
10488, 103pccld 16810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„•0)
105 2nn0 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•0
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„•0)
107102, 104, 106expmuld 14137 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))) = ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
108 neg1sqe1 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = 1
109108oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))
110104nn0zd 12606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„€)
111 1exp 14080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„€ β†’ (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
113109, 112eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
114101, 107, 1133eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑𝐴) = 1)
115114oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑𝐴) Β· -1) = (1 Β· -1))
11677mullidi 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (1 Β· -1) = -1
117115, 116eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑𝐴) Β· -1) = -1)
11880, 117eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
119118adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
12019recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
122121ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
123122negnegd 11584 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ --(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
124 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1)
125124ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1)
126 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
127 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
128 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
129128ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
130 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
131126, 9, 127, 10, 130, 128, 18dchrn0 27170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0 ↔ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
132131ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0 ↔ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
133132biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘))
134126, 127, 129, 9, 130, 133dchrabs 27180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = 1)
135 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = 1 ↔ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1))
136134, 135syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1))
137136necon3ad 2948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1 β†’ Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
138125, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
13962ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
140139absord 15386 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∨ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
141140ord 863 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
143142, 134eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1)
144143negeqd 11476 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ --(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = -1)
145123, 144eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = -1)
146145oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (-1↑(𝐴 + 1)))
147119, 146, 1453eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
14876, 147pm2.61dane 3024 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
149148oveq2d 7430 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
15066, 69, 1493brtr4d 5174 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
15167mul02d 11434 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = 0)
152 peano2nn0 12534 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
15331, 152syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
15419, 153reexpcld 14151 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
155154adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
156155recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ β„‚)
157156abscld 15407 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
158 1red 11237 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 1 ∈ ℝ)
159155leabsd 15385 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
160153adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
161121, 160absexpd 15423 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)))
162121abscld 15407 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
163121absge0d 15415 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
164126, 127, 9, 10, 128, 18dchrabs2 27182 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1)
165164adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1)
166 exple1 14164 . . . . . . . . . . . 12 ((((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∧ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1) ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
167162, 163, 165, 160, 166syl31anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
168161, 167eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ≀ 1)
169155, 157, 158, 159, 168letrd 11393 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
170 subge0 11749 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1))
17161, 155, 170sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1))
172169, 171mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
173151, 172eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
174173adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ Β¬ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
17558, 60, 150, 174ifbothda 4562 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
176 0re 11238 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
17761, 176ifcli 4571 . . . . . . 7 if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ)
179 resubcl 11546 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18061, 155, 179sylancr 586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18162leabsd 15385 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
18262, 162, 158, 181, 165letrd 11393 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ≀ 1)
183124necomd 2991 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 1 β‰  (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
18462, 158, 182, 183leneltd 11390 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1)
185 posdif 11729 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
18662, 61, 185sylancl 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
187184, 186mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
188 lemuldiv 12116 . . . . . 6 ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ ∧ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))) β†’ ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))))
189178, 180, 64, 187, 188syl112anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))))
190175, 189mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
19131nn0zd 12606 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
192 fzval3 13725 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
193191, 192syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
194193adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
195194sumeq1d 15671 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
196 0nn0 12509 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
197196a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ∈ β„•0)
198153, 32eleqtrdi 2838 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
199198adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
200121, 124, 197, 199geoserg 15836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
201121exp0d 14128 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) = 1)
202201oveq1d 7429 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
203202oveq1d 7429 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
204195, 200, 2033eqtrd 2771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
205190, 204breqtrrd 5170 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
20656, 205pm2.61dane 3024 . 2 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
207 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0gβ€˜πΊ)
208 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
2099, 11, 7, 126, 127, 207, 208dchrisum0fval 27425 . . . 4 ((𝑃↑𝐴) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))
21083, 209syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))
211 2fveq3 6896 . . . 4 (π‘˜ = (𝑃↑𝑖) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))))
212 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)) = (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))
213212dvdsppwf1o 27105 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)):(0...𝐴)–1-1-ontoβ†’{π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)})
21415, 31, 213syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)):(0...𝐴)–1-1-ontoβ†’{π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)})
215 oveq2 7422 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑖 β†’ (𝑃↑𝑏) = (𝑃↑𝑖))
216 ovex 7447 . . . . . 6 (𝑃↑𝑏) ∈ V
217215, 212, 216fvmpt3i 7004 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))β€˜π‘–) = (𝑃↑𝑖))
218217adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))β€˜π‘–) = (𝑃↑𝑖))
2196adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
220 elrabi 3674 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
221220nnzd 12607 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} β†’ π‘˜ ∈ β„€)
222 ffvelcdm 7085 . . . . . . 7 ((𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘))
22314, 221, 222syl2an 595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (πΏβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘))
224219, 223ffvelcdmd 7089 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
225224recnd 11264 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
226211, 5, 214, 218, 225fsumf1o 15693 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))))
227 zsubrg 21340 . . . . . . . . . . 11 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
228 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
229228subrgsubm 20513 . . . . . . . . . . 11 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
230227, 229mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
23120adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
23217adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
233 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
234 zringmpg 21384 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) = (mulGrpβ€˜β„€ring)
235234eqcomi 2736 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜β„€ring) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€)
236 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))
237233, 235, 236submmulg 19064 . . . . . . . . . 10 ((β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃))
238230, 231, 232, 237syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃))
23982nncnd 12250 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
240 cnfldexp 21319 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
241239, 20, 240syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
242238, 241eqtr3d 2769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
243242fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (πΏβ€˜(𝑃↑𝑖)))
2449zncrng 21465 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
245 crngring 20176 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
2468, 244, 2453syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
24711zrhrhm 21424 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍))
248 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜β„€ring) = (mulGrpβ€˜β„€ring)
249 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
250248, 249rhmmhm 20407 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
251246, 247, 2503syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
252251adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
253 zringbas 21366 . . . . . . . . . 10 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
254248, 253mgpbas 20071 . . . . . . . . 9 β„€ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))
255 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
256254, 236, 255mhmmulg 19061 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
257252, 231, 232, 256syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
258243, 257eqtr3d 2769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑃↑𝑖)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
259258fveq2d 6895 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))))
260126, 9, 127dchrmhm 27161 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
261260, 128sselid 3976 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
262261adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
26318adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘))
264249, 10mgpbas 20071 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
265264, 255, 233mhmmulg 19061 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
266262, 231, 263, 265syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
267 cnfldexp 21319 . . . . . 6 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
268120, 20, 267syl2an 595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
269259, 266, 2683eqtrd 2771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
270269sumeq2dv 15673 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
271210, 226, 2703eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
272206, 271breqtrrd 5170 1 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  {crab 3427  βˆ…c0 4318  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  β„•cn 12234  2c2 12289  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  β„šcq 12954  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  β†‘cexp 14050  β™―chash 14313  βˆšcsqrt 15204  abscabs 15205  Ξ£csu 15656   βˆ₯ cdvds 16222  β„™cprime 16633   pCnt cpc 16796  Basecbs 17171   β†Ύs cress 17200  0gc0g 17412   MndHom cmhm 18729  SubMndcsubmnd 18730  .gcmg 19014  mulGrpcmgp 20065  Ringcrg 20164  CRingccrg 20165  Unitcui 20283   RingHom crh 20397  SubRingcsubrg 20495  β„‚fldccnfld 21266  β„€ringczring 21359  β„€RHomczrh 21412  β„€/nβ„€czn 21415  DChrcdchr 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-pc 16797  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-qus 17482  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-od 19474  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094  df-2idl 21133  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zrh 21416  df-zn 21419  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-cxp 26478  df-dchr 27153
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  27429  dchrisum0flb  27430
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