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Theorem dchrisum0flblem1 27000
Description: Lemma for dchrisum0flb 27002. Base case, prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
dchrisum0f.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
dchrisum0flblem1.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
dchrisum0flblem1.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem1 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,π‘ž   𝑃,𝑏,π‘ž,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐷(𝑣,π‘ž,𝑏)   1 (𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐹(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐺(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐿(π‘ž)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(π‘ž)   𝑍(𝑣,π‘ž,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem1
Dummy variables π‘˜ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11211 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
2 0red 11213 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ Β¬ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4562 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ)
4 1red 11211 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
5 fzfid 13934 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) ∈ Fin)
6 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
7 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
87nnnn0d 12528 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
9 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
11 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
129, 10, 11znzrhfo 21094 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘))
13 fof 6802 . . . . . . . . . 10 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
148, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
15 dchrisum0flblem1.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
16 prmz 16608 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
1814, 17ffvelcdmd 7084 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘))
196, 18ffvelcdmd 7084 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
20 elfznn0 13590 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
21 reexpcl 14040 . . . . . . 7 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2an 596 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
235, 22fsumrecl 15676 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
2423adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
25 breq1 5150 . . . . . 6 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (1 ≀ 1 ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1))
26 breq1 5150 . . . . . 6 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 ≀ 1 ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1))
27 1le1 11838 . . . . . 6 1 ≀ 1
28 0le1 11733 . . . . . 6 0 ≀ 1
2925, 26, 27, 28keephyp 4598 . . . . 5 if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1
3029a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1)
31 dchrisum0flblem1.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
32 nn0uz 12860 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
3331, 32eleqtrdi 2843 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
34 fzn0 13511 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) β‰  βˆ… ↔ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
3533, 34sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) β‰  βˆ…)
36 hashnncl 14322 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„• ↔ (0...𝐴) β‰  βˆ…))
375, 36syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„• ↔ (0...𝐴) β‰  βˆ…))
3835, 37mpbird 256 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„•)
3938adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„•)
4039nnge1d 12256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ≀ (β™―β€˜(0...𝐴)))
41 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1)
4241oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = (1↑𝑖))
43 elfzelz 13497 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
44 1exp 14053 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑖) = 1)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ (1↑𝑖) = 1)
4642, 45sylan9eq 2792 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = 1)
4746sumeq2dv 15645 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1)
48 fzfid 13934 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (0...𝐴) ∈ Fin)
49 ax-1cn 11164 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
50 fsumconst 15732 . . . . . . 7 (((0...𝐴) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1))
5148, 49, 50sylancl 586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1))
5239nncnd 12224 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„‚)
5352mulridd 11227 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1) = (β™―β€˜(0...𝐴)))
5447, 51, 533eqtrd 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = (β™―β€˜(0...𝐴)))
5540, 54breqtrrd 5175 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
563, 4, 24, 30, 55letrd 11367 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
57 oveq1 7412 . . . . . . 7 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
5857breq1d 5157 . . . . . 6 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ ((1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)))))
59 oveq1 7412 . . . . . . 7 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
6059breq1d 5157 . . . . . 6 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ ((0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)))))
61 1re 11210 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
6219adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
63 resubcl 11520 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6461, 62, 63sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6564adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6665leidd 11776 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
6764recnd 11238 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚)
6867adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚)
6968mullidd 11228 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
70 nn0p1nn 12507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
7131, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
7271ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
73720expd 14100 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (0↑(𝐴 + 1)) = 0)
74 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0)
7574oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (0↑(𝐴 + 1)))
7673, 75, 743eqtr4d 2782 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
77 neg1cn 12322 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ β„‚
7831ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
79 expp1 14030 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) Β· -1))
8077, 78, 79sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) Β· -1))
81 prmnn 16607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
8382, 31nnexpcld 14204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„•)
8483nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„‚)
8584ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„‚)
8685sqsqrtd 15382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2) = (𝑃↑𝐴))
8786oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))
8815ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
89 nnq 12942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š)
9089adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š)
91 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0)
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0)
93 2z 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„€
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„€)
95 pcexp 16788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
9688, 90, 92, 94, 95syl121anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
9778nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
98 pcid 16802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
9988, 97, 98syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
10087, 96, 993eqtr3rd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
101100oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑𝐴) = (-1↑(2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))))
10277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ -1 ∈ β„‚)
103 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•)
10488, 103pccld 16779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„•0)
105 2nn0 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•0
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„•0)
107102, 104, 106expmuld 14110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))) = ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
108 neg1sqe1 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = 1
109108oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))
110104nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„€)
111 1exp 14053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„€ β†’ (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
113109, 112eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
114101, 107, 1133eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑𝐴) = 1)
115114oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑𝐴) Β· -1) = (1 Β· -1))
11677mullidi 11215 . . . . . . . . . . . . 13 (1 Β· -1) = -1
117115, 116eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑𝐴) Β· -1) = -1)
11880, 117eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
119118adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
12019recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
121120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
122121ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
123122negnegd 11558 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ --(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
124 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1)
125124ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1)
126 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
127 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
128 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
129128ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
130 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
131126, 9, 127, 10, 130, 128, 18dchrn0 26742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0 ↔ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
132131ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0 ↔ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
133132biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘))
134126, 127, 129, 9, 130, 133dchrabs 26752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = 1)
135 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = 1 ↔ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1))
136134, 135syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1))
137136necon3ad 2953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1 β†’ Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
138125, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
13962ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
140139absord 15358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∨ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
141140ord 862 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
143142, 134eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1)
144143negeqd 11450 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ --(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = -1)
145123, 144eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = -1)
146145oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (-1↑(𝐴 + 1)))
147119, 146, 1453eqtr4d 2782 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
14876, 147pm2.61dane 3029 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
149148oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
15066, 69, 1493brtr4d 5179 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
15167mul02d 11408 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = 0)
152 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
15331, 152syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
15419, 153reexpcld 14124 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
155154adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
156155recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ β„‚)
157156abscld 15379 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
158 1red 11211 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 1 ∈ ℝ)
159155leabsd 15357 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
160153adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
161121, 160absexpd 15395 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)))
162121abscld 15379 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
163121absge0d 15387 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
164126, 127, 9, 10, 128, 18dchrabs2 26754 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1)
165164adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1)
166 exple1 14137 . . . . . . . . . . . 12 ((((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∧ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1) ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
167162, 163, 165, 160, 166syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
168161, 167eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ≀ 1)
169155, 157, 158, 159, 168letrd 11367 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
170 subge0 11723 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1))
17161, 155, 170sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1))
172169, 171mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
173151, 172eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
174173adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ Β¬ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
17558, 60, 150, 174ifbothda 4565 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
176 0re 11212 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
17761, 176ifcli 4574 . . . . . . 7 if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ)
179 resubcl 11520 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18061, 155, 179sylancr 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18162leabsd 15357 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
18262, 162, 158, 181, 165letrd 11367 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ≀ 1)
183124necomd 2996 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 1 β‰  (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
18462, 158, 182, 183leneltd 11364 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1)
185 posdif 11703 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
18662, 61, 185sylancl 586 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
187184, 186mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
188 lemuldiv 12090 . . . . . 6 ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ ∧ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))) β†’ ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))))
189178, 180, 64, 187, 188syl112anc 1374 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))))
190175, 189mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
19131nn0zd 12580 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
192 fzval3 13697 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
193191, 192syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
194193adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
195194sumeq1d 15643 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
196 0nn0 12483 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
197196a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ∈ β„•0)
198153, 32eleqtrdi 2843 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
199198adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
200121, 124, 197, 199geoserg 15808 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
201121exp0d 14101 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) = 1)
202201oveq1d 7420 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
203202oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
204195, 200, 2033eqtrd 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
205190, 204breqtrrd 5175 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
20656, 205pm2.61dane 3029 . 2 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
207 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0gβ€˜πΊ)
208 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
2099, 11, 7, 126, 127, 207, 208dchrisum0fval 26997 . . . 4 ((𝑃↑𝐴) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))
21083, 209syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))
211 2fveq3 6893 . . . 4 (π‘˜ = (𝑃↑𝑖) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))))
212 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)) = (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))
213212dvdsppwf1o 26679 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)):(0...𝐴)–1-1-ontoβ†’{π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)})
21415, 31, 213syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)):(0...𝐴)–1-1-ontoβ†’{π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)})
215 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑖 β†’ (𝑃↑𝑏) = (𝑃↑𝑖))
216 ovex 7438 . . . . . 6 (𝑃↑𝑏) ∈ V
217215, 212, 216fvmpt3i 7000 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))β€˜π‘–) = (𝑃↑𝑖))
218217adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))β€˜π‘–) = (𝑃↑𝑖))
2196adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
220 elrabi 3676 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
221220nnzd 12581 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} β†’ π‘˜ ∈ β„€)
222 ffvelcdm 7080 . . . . . . 7 ((𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘))
22314, 221, 222syl2an 596 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (πΏβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘))
224219, 223ffvelcdmd 7084 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
225224recnd 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
226211, 5, 214, 218, 225fsumf1o 15665 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))))
227 zsubrg 20990 . . . . . . . . . . 11 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
228 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
229228subrgsubm 20368 . . . . . . . . . . 11 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
230227, 229mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
23120adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
23217adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
233 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
234 zringmpg 21032 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) = (mulGrpβ€˜β„€ring)
235234eqcomi 2741 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜β„€ring) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€)
236 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))
237233, 235, 236submmulg 18992 . . . . . . . . . 10 ((β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃))
238230, 231, 232, 237syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃))
23982nncnd 12224 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
240 cnfldexp 20970 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
241239, 20, 240syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
242238, 241eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
243242fveq2d 6892 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (πΏβ€˜(𝑃↑𝑖)))
2449zncrng 21091 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
245 crngring 20061 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
2468, 244, 2453syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
24711zrhrhm 21052 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍))
248 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜β„€ring) = (mulGrpβ€˜β„€ring)
249 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
250248, 249rhmmhm 20250 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
251246, 247, 2503syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
252251adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
253 zringbas 21015 . . . . . . . . . 10 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
254248, 253mgpbas 19987 . . . . . . . . 9 β„€ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))
255 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
256254, 236, 255mhmmulg 18989 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
257252, 231, 232, 256syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
258243, 257eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑃↑𝑖)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
259258fveq2d 6892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))))
260126, 9, 127dchrmhm 26733 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
261260, 128sselid 3979 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
262261adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
26318adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘))
264249, 10mgpbas 19987 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
265264, 255, 233mhmmulg 18989 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
266262, 231, 263, 265syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
267 cnfldexp 20970 . . . . . 6 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
268120, 20, 267syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
269259, 266, 2683eqtrd 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
270269sumeq2dv 15645 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
271210, 226, 2703eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
272206, 271breqtrrd 5175 1 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432  βˆ…c0 4321  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€“ontoβ†’wfo 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„šcq 12928  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β†‘cexp 14023  β™―chash 14286  βˆšcsqrt 15176  abscabs 15177  Ξ£csu 15628   βˆ₯ cdvds 16193  β„™cprime 16604   pCnt cpc 16765  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  0gc0g 17381   MndHom cmhm 18665  SubMndcsubmnd 18666  .gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  Unitcui 20161   RingHom crh 20240  SubRingcsubrg 20351  β„‚fldccnfld 20936  β„€ringczring 21009  β„€RHomczrh 21040  β„€/nβ„€czn 21043  DChrcdchr 26724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-qus 17451  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-od 19390  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zn 21047  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-cxp 26057  df-dchr 26725
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