MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flblem1 27011
Description: Lemma for dchrisum0flb 27013. Base case, prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
dchrisum0f.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
dchrisum0flblem1.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
dchrisum0flblem1.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem1 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,π‘ž   𝑃,𝑏,π‘ž,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐷(𝑣,π‘ž,𝑏)   1 (𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐹(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐺(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐿(π‘ž)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(π‘ž)   𝑍(𝑣,π‘ž,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem1
Dummy variables π‘˜ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11215 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
2 0red 11217 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ Β¬ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4564 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ)
4 1red 11215 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
5 fzfid 13938 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) ∈ Fin)
6 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
7 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
87nnnn0d 12532 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
9 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
11 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
129, 10, 11znzrhfo 21103 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘))
13 fof 6806 . . . . . . . . . 10 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
148, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
15 dchrisum0flblem1.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
16 prmz 16612 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
1814, 17ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘))
196, 18ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
20 elfznn0 13594 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
21 reexpcl 14044 . . . . . . 7 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2an 597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
235, 22fsumrecl 15680 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
2423adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) ∈ ℝ)
25 breq1 5152 . . . . . 6 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (1 ≀ 1 ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1))
26 breq1 5152 . . . . . 6 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 ≀ 1 ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1))
27 1le1 11842 . . . . . 6 1 ≀ 1
28 0le1 11737 . . . . . 6 0 ≀ 1
2925, 26, 27, 28keephyp 4600 . . . . 5 if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1
3029a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ 1)
31 dchrisum0flblem1.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
32 nn0uz 12864 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
3331, 32eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
34 fzn0 13515 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) β‰  βˆ… ↔ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
3533, 34sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) β‰  βˆ…)
36 hashnncl 14326 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„• ↔ (0...𝐴) β‰  βˆ…))
375, 36syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„• ↔ (0...𝐴) β‰  βˆ…))
3835, 37mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„•)
3938adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„•)
4039nnge1d 12260 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ≀ (β™―β€˜(0...𝐴)))
41 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1)
4241oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = (1↑𝑖))
43 elfzelz 13501 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
44 1exp 14057 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑖) = 1)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ (1↑𝑖) = 1)
4642, 45sylan9eq 2793 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = 1)
4746sumeq2dv 15649 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1)
48 fzfid 13938 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (0...𝐴) ∈ Fin)
49 ax-1cn 11168 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
50 fsumconst 15736 . . . . . . 7 (((0...𝐴) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1))
5148, 49, 50sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1))
5239nncnd 12228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ (β™―β€˜(0...𝐴)) ∈ β„‚)
5352mulridd 11231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ ((β™―β€˜(0...𝐴)) Β· 1) = (β™―β€˜(0...𝐴)))
5447, 51, 533eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = (β™―β€˜(0...𝐴)))
5540, 54breqtrrd 5177 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ 1 ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
563, 4, 24, 30, 55letrd 11371 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
57 oveq1 7416 . . . . . . 7 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
5857breq1d 5159 . . . . . 6 (1 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ ((1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)))))
59 oveq1 7416 . . . . . . 7 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
6059breq1d 5159 . . . . . 6 (0 = if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) β†’ ((0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)))))
61 1re 11214 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
6219adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
63 resubcl 11524 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6461, 62, 63sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6564adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
6665leidd 11780 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
6764recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚)
6867adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ β„‚)
6968mullidd 11232 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
70 nn0p1nn 12511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
7131, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
7271ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•)
73720expd 14104 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (0↑(𝐴 + 1)) = 0)
74 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0)
7574oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (0↑(𝐴 + 1)))
7673, 75, 743eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
77 neg1cn 12326 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ β„‚
7831ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
79 expp1 14034 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) Β· -1))
8077, 78, 79sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) Β· -1))
81 prmnn 16611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
8382, 31nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„•)
8483nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„‚)
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃↑𝐴) ∈ β„‚)
8685sqsqrtd 15386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2) = (𝑃↑𝐴))
8786oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)))
8815ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
89 nnq 12946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š)
9089adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š)
91 nnne0 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0)
9291adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0)
93 2z 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„€
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„€)
95 pcexp 16792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„š ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) β‰  0) ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
9688, 90, 92, 94, 95syl121anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt ((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))↑2)) = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
9778nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
98 pcid 16806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
9988, 97, 98syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
10087, 96, 993eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 𝐴 = (2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
101100oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑𝐴) = (-1↑(2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))))
10277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ -1 ∈ β„‚)
103 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•)
10488, 103pccld 16783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„•0)
105 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•0
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„•0)
107102, 104, 106expmuld 14114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(2 Β· (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))) = ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))))
108 neg1sqe1 14160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = 1
109108oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))))
110104nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„€)
111 1exp 14057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴))) ∈ β„€ β†’ (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
113109, 112eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)))) = 1)
114101, 107, 1133eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑𝐴) = 1)
115114oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑𝐴) Β· -1) = (1 Β· -1))
11677mullidi 11219 . . . . . . . . . . . . 13 (1 Β· -1) = -1
117115, 116eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((-1↑𝐴) Β· -1) = -1)
11880, 117eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
119118adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
12019recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
121120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
122121ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚)
123122negnegd 11562 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ --(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
124 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1)
125124ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1)
126 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
127 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
128 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
129128ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
130 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
131126, 9, 127, 10, 130, 128, 18dchrn0 26753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0 ↔ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
132131ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0 ↔ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘)))
133132biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Unitβ€˜π‘))
134126, 127, 129, 9, 130, 133dchrabs 26763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = 1)
135 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = 1 ↔ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1))
136134, 135syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1))
137136necon3ad 2954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1 β†’ Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
138125, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
13962ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ)
140139absord 15362 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∨ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
141140ord 863 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (Β¬ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
143142, 134eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ -(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = 1)
144143negeqd 11454 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ --(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = -1)
145123, 144eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) = -1)
146145oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (-1↑(𝐴 + 1)))
147119, 146, 1453eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  0) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
14876, 147pm2.61dane 3030 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
149148oveq2d 7425 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
15066, 69, 1493brtr4d 5181 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (1 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
15167mul02d 11412 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = 0)
152 peano2nn0 12512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
15331, 152syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
15419, 153reexpcld 14128 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
155154adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
156155recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ β„‚)
157156abscld 15383 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
158 1red 11215 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 1 ∈ ℝ)
159155leabsd 15361 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
160153adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (𝐴 + 1) ∈ β„•0)
161121, 160absexpd 15399 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)))
162121abscld 15383 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ)
163121absge0d 15391 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
164126, 127, 9, 10, 128, 18dchrabs2 26765 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1)
165164adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1)
166 exple1 14141 . . . . . . . . . . . 12 ((((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∧ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ≀ 1) ∧ (𝐴 + 1) ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
167162, 163, 165, 160, 166syl31anc 1374 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
168161, 167eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ≀ 1)
169155, 157, 158, 159, 168letrd 11371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1)
170 subge0 11727 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1))
17161, 155, 170sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ≀ 1))
172169, 171mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
173151, 172eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
174173adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) ∧ Β¬ (βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•) β†’ (0 Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
17558, 60, 150, 174ifbothda 4567 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
176 0re 11216 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
17761, 176ifcli 4576 . . . . . . 7 if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ)
179 resubcl 11524 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18061, 155, 179sylancr 588 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18162leabsd 15361 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ≀ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
18262, 162, 158, 181, 165letrd 11371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ≀ 1)
183124necomd 2997 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 1 β‰  (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))
18462, 158, 182, 183leneltd 11368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1)
185 posdif 11707 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
18662, 61, 185sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
187184, 186mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
188 lemuldiv 12094 . . . . . 6 ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ∈ ℝ ∧ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))) β†’ ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))))
189178, 180, 64, 187, 188syl112anc 1375 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) Β· (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) ≀ (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))))
190175, 189mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
19131nn0zd 12584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
192 fzval3 13701 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
193191, 192syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
194193adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
195194sumeq1d 15647 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
196 0nn0 12487 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
197196a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ 0 ∈ β„•0)
198153, 32eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
199198adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (𝐴 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
200121, 124, 197, 199geoserg 15812 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
201121exp0d 14105 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) = 1)
202201oveq1d 7424 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) = (1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))))
203202oveq1d 7424 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑0) βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))) = ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
204195, 200, 2033eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖) = ((1 βˆ’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑(𝐴 + 1))) / (1 βˆ’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)))))
205190, 204breqtrrd 5177 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) β‰  1) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
20656, 205pm2.61dane 3030 . 2 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
207 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0gβ€˜πΊ)
208 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
2099, 11, 7, 126, 127, 207, 208dchrisum0fval 27008 . . . 4 ((𝑃↑𝐴) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))
21083, 209syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)))
211 2fveq3 6897 . . . 4 (π‘˜ = (𝑃↑𝑖) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))))
212 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)) = (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))
213212dvdsppwf1o 26690 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝐴 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)):(0...𝐴)–1-1-ontoβ†’{π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)})
21415, 31, 213syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏)):(0...𝐴)–1-1-ontoβ†’{π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)})
215 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑖 β†’ (𝑃↑𝑏) = (𝑃↑𝑖))
216 ovex 7442 . . . . . 6 (𝑃↑𝑏) ∈ V
217215, 212, 216fvmpt3i 7004 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝐴) β†’ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))β€˜π‘–) = (𝑃↑𝑖))
218217adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃↑𝑏))β€˜π‘–) = (𝑃↑𝑖))
2196adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
220 elrabi 3678 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} β†’ π‘˜ ∈ β„•)
221220nnzd 12585 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} β†’ π‘˜ ∈ β„€)
222 ffvelcdm 7084 . . . . . . 7 ((𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘))
22314, 221, 222syl2an 597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (πΏβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘))
224219, 223ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
225224recnd 11242 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)}) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
226211, 5, 214, 218, 225fsumf1o 15669 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ (𝑃↑𝐴)} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘˜)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))))
227 zsubrg 20998 . . . . . . . . . . 11 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
228 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
229228subrgsubm 20332 . . . . . . . . . . 11 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
230227, 229mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
23120adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
23217adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
233 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
234 zringmpg 21041 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) = (mulGrpβ€˜β„€ring)
235234eqcomi 2742 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜β„€ring) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€)
236 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))
237233, 235, 236submmulg 18998 . . . . . . . . . 10 ((β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃))
238230, 231, 232, 237syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃))
23982nncnd 12228 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
240 cnfldexp 20978 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
241239, 20, 240syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
242238, 241eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃) = (𝑃↑𝑖))
243242fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (πΏβ€˜(𝑃↑𝑖)))
2449zncrng 21100 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑍 ∈ CRing)
245 crngring 20068 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ CRing β†’ 𝑍 ∈ Ring)
2468, 244, 2453syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
24711zrhrhm 21061 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍))
248 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜β„€ring) = (mulGrpβ€˜β„€ring)
249 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
250248, 249rhmmhm 20258 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑍) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
251246, 247, 2503syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
252251adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)))
253 zringbas 21023 . . . . . . . . . 10 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
254248, 253mgpbas 19993 . . . . . . . . 9 β„€ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))
255 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
256254, 236, 255mhmmulg 18995 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ((mulGrpβ€˜β„€ring) MndHom (mulGrpβ€˜π‘)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
257252, 231, 232, 256syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„€ring))𝑃)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
258243, 257eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(𝑃↑𝑖)) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ)))
259258fveq2d 6896 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))))
260126, 9, 127dchrmhm 26744 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
261260, 128sselid 3981 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
262261adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
26318adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘))
264249, 10mgpbas 19993 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
265264, 255, 233mhmmulg 18995 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑖 ∈ β„•0 ∧ (πΏβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘)) β†’ (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
266262, 231, 263, 265syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))(πΏβ€˜π‘ƒ))) = (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))))
267 cnfldexp 20978 . . . . . 6 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ)) ∈ β„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
268120, 20, 267syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (𝑖(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
269259, 266, 2683eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
270269sumeq2dv 15649 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(π‘‹β€˜(πΏβ€˜(𝑃↑𝑖))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
271210, 226, 2703eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘ƒ))↑𝑖))
272206, 271breqtrrd 5177 1 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(𝑃↑𝐴)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑃↑𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {crab 3433  βˆ…c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„šcq 12932  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β†‘cexp 14027  β™―chash 14290  βˆšcsqrt 15180  abscabs 15181  Ξ£csu 15632   βˆ₯ cdvds 16197  β„™cprime 16608   pCnt cpc 16769  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  0gc0g 17385   MndHom cmhm 18669  SubMndcsubmnd 18670  .gcmg 18950  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  Unitcui 20169   RingHom crh 20248  SubRingcsubrg 20315  β„‚fldccnfld 20944  β„€ringczring 21017  β„€RHomczrh 21049  β„€/nβ„€czn 21052  DChrcdchr 26735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-qus 17455  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-od 19396  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-dchr 26736
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  27012  dchrisum0flb  27013
  Copyright terms: Public domain W3C validator