Theorem dibval3N 41107

Description: Value of the partial isomorphism B for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibval3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibval3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dibval3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibval3.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dibval3.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dibval3.o	⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dibval3.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibval3N	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ({𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋} × { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑔,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   𝑔,𝑊   𝑓,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐼(𝑓,𝑔)   ≤ (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)   𝑋(𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem dibval3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibval3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dibval3.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dibval3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dibval3.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		dibval3.o	. . 3 ⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7		dibval3.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dibval2 41105	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × { 0 }))
9		dibval3.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10	1, 2, 3, 4, 9, 6	diaval 40993	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋})
11	10	xpeq1d 5694	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × { 0 }) = ({𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋} × { 0 }))
12	8, 11	eqtrd 2769	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ({𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋} × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {crab 3419  {csn 4606   class class class wbr 5123   ↦ cmpt 5205   I cid 5557   × cxp 5663   ↾ cres 5667  ‘cfv 6541  Basecbs 17229  lecple 17280  LHypclh 39945  LTrncltrn 40062  trLctrl 40119  DIsoAcdia 40989  DIsoBcdib 41099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-disoa 40990  df-dib 41100

This theorem is referenced by: (None)