Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibval3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibval3N 37733
Description: Value of the partial isomorphism B for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibval3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibval3.l = (le‘𝐾)
dibval3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibval3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dibval3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dibval3.o 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dibval3.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dibval3N (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) = ({𝑓𝑇 ∣ (𝑅𝑓) 𝑋} × { 0 }))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑔,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   𝑔,𝑊   𝑓,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐼(𝑓,𝑔)   (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)   𝑋(𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem dibval3N
StepHypRef Expression
1 dibval3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dibval3.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 dibval3.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dibval3.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 dibval3.o . . 3 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
6 eqid 2778 . . 3 ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7 dibval3.i . . 3 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dibval2 37731 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × { 0 }))
9 dibval3.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
101, 2, 3, 4, 9, 6diaval 37619 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) = {𝑓𝑇 ∣ (𝑅𝑓) 𝑋})
1110xpeq1d 5436 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × { 0 }) = ({𝑓𝑇 ∣ (𝑅𝑓) 𝑋} × { 0 }))
128, 11eqtrd 2814 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) = ({𝑓𝑇 ∣ (𝑅𝑓) 𝑋} × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  {crab 3092  {csn 4441   class class class wbr 4929  cmpt 5008   I cid 5311   × cxp 5405  cres 5409  cfv 6188  Basecbs 16339  lecple 16428  LHypclh 36571  LTrncltrn 36688  trLctrl 36745  DIsoAcdia 37615  DIsoBcdib 37725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-disoa 37616  df-dib 37726
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator