Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibval3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibval3N 40651
Description: Value of the partial isomorphism B for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibval3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dibval3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dibval3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dibval3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dibval3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dibval3.o 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dibval3.i 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dibval3N (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ({𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋} Γ— { 0 }))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑔,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š   𝑔,π‘Š   𝑓,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐼(𝑓,𝑔)   ≀ (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)   𝑋(𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem dibval3N
StepHypRef Expression
1 dibval3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dibval3.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dibval3.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dibval3.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dibval3.o . . 3 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
6 eqid 2728 . . 3 ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 dibval3.i . . 3 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dibval2 40649 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— { 0 }))
9 dibval3.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
101, 2, 3, 4, 9, 6diaval 40537 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋})
1110xpeq1d 5711 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— { 0 }) = ({𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋} Γ— { 0 }))
128, 11eqtrd 2768 1 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ({𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑋} Γ— { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   I cid 5579   Γ— cxp 5680   β†Ύ cres 5684  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  lecple 17247  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  trLctrl 39663  DIsoAcdia 40533  DIsoBcdib 40643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-disoa 40534  df-dib 40644
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator