Theorem dibval3N 41143

Description: Value of the partial isomorphism B for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibval3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibval3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dibval3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibval3.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dibval3.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dibval3.o	⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dibval3.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibval3N	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ({𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋} × { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑔,𝐾   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   𝑔,𝑊   𝑓,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐼(𝑓,𝑔)   ≤ (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)   𝑋(𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem dibval3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibval3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dibval3.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dibval3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dibval3.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		dibval3.o	. . 3 ⊢ 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7		dibval3.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dibval2 41141	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × { 0 }))
9		dibval3.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10	1, 2, 3, 4, 9, 6	diaval 41029	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) = {𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋})
11	10	xpeq1d 5722	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × { 0 }) = ({𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋} × { 0 }))
12	8, 11	eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ({𝑓 ∈ 𝑇 ∣ (𝑅‘𝑓) ≤ 𝑋} × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3436  {csn 4634   class class class wbr 5151   ↦ cmpt 5234   I cid 5586   × cxp 5691   ↾ cres 5695  ‘cfv 6569  Basecbs 17254  lecple 17314  LHypclh 39981  LTrncltrn 40098  trLctrl 40155  DIsoAcdia 41025  DIsoBcdib 41135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-disoa 41026  df-dib 41136

This theorem is referenced by: (None)