Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibval2 40856
Description: Value of the partial isomorphism B. (Contributed by NM, 18-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dibval2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibval2.l = (le‘𝐾)
dibval2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibval2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dibval2.o 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dibval2.j 𝐽 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dibval2.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dibval2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) = ((𝐽𝑋) × { 0 }))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   𝐽(𝑓)   (𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dibval2
StepHypRef Expression
1 dibval2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dibval2.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 dibval2.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dibval2.j . . . 4 𝐽 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4diaeldm 40748 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐽 ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
65biimpar 476 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → 𝑋 ∈ dom 𝐽)
7 dibval2.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 dibval2.o . . 3 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
9 dibval2.i . . 3 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
101, 3, 7, 8, 4, 9dibval 40854 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) → (𝐼𝑋) = ((𝐽𝑋) × { 0 }))
116, 10syldan 589 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) = ((𝐽𝑋) × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  {csn 4623   class class class wbr 5145  cmpt 5228   I cid 5571   × cxp 5672  dom cdm 5674  cres 5676  cfv 6546  Basecbs 17208  lecple 17268  LHypclh 39696  LTrncltrn 39813  DIsoAcdia 40740  DIsoBcdib 40850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-disoa 40741  df-dib 40851
This theorem is referenced by:  dibopelval2  40857  dibval3N  40858  dibelval3  40859  dibelval1st  40861  dibelval2nd  40864  dibn0  40865  dibord  40871  dib0  40876  dib1dim  40877  dibss  40881  diblss  40882  dihwN  41001
  Copyright terms: Public domain W3C validator