Theorem dibval2 41126

Description: Value of the partial isomorphism B. (Contributed by NM, 18-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibval2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibval2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dibval2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibval2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dibval2.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dibval2.j	⊢ 𝐽 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dibval2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibval2	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ((𝐽‘𝑋) × { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   𝐽(𝑓)   ≤ (𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dibval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibval2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dibval2.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dibval2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dibval2.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	diaeldm 41018	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐽 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)))
6	5	biimpar 477	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑋 ∈ dom 𝐽)
7		dibval2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		dibval2.o	. . 3 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
9		dibval2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
10	1, 3, 7, 8, 4, 9	dibval 41124	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) → (𝐼‘𝑋) = ((𝐽‘𝑋) × { 0 }))
11	6, 10	syldan 591	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ((𝐽‘𝑋) × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {csn 4630   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5581   × cxp 5686  dom cdm 5688   ↾ cres 5690  ‘cfv 6562  Basecbs 17244  lecple 17304  LHypclh 39966  LTrncltrn 40083  DIsoAcdia 41010  DIsoBcdib 41120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-disoa 41011  df-dib 41121

This theorem is referenced by:  dibopelval2  41127  dibval3N  41128  dibelval3  41129  dibelval1st  41131  dibelval2nd  41134  dibn0  41135  dibord  41141  dib0  41146  dib1dim  41147  dibss  41151  diblss  41152  dihwN  41271