Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibval2 38279
 Description: Value of the partial isomorphism B. (Contributed by NM, 18-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dibval2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibval2.l = (le‘𝐾)
dibval2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibval2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dibval2.o 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dibval2.j 𝐽 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dibval2.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dibval2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) = ((𝐽𝑋) × { 0 }))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑇(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐼(𝑓)   𝐽(𝑓)   (𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem dibval2
StepHypRef Expression
1 dibval2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dibval2.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 dibval2.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dibval2.j . . . 4 𝐽 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4diaeldm 38171 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐽 ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
65biimpar 480 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → 𝑋 ∈ dom 𝐽)
7 dibval2.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 dibval2.o . . 3 0 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
9 dibval2.i . . 3 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
101, 3, 7, 8, 4, 9dibval 38277 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐽) → (𝐼𝑋) = ((𝐽𝑋) × { 0 }))
116, 10syldan 593 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) = ((𝐽𝑋) × { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {csn 4566   class class class wbr 5065   ↦ cmpt 5145   I cid 5458   × cxp 5552  dom cdm 5554   ↾ cres 5556  ‘cfv 6354  Basecbs 16482  lecple 16571  LHypclh 37119  LTrncltrn 37236  DIsoAcdia 38163  DIsoBcdib 38273 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-disoa 38164  df-dib 38274 This theorem is referenced by:  dibopelval2  38280  dibval3N  38281  dibelval3  38282  dibelval1st  38284  dibelval2nd  38287  dibn0  38288  dibord  38294  dib0  38299  dib1dim  38300  dibss  38304  diblss  38305  dihwN  38424
 Copyright terms: Public domain W3C validator