Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptfprodlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptfprodlem 44175
Description: Induction step for dvmptfprod 44176. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfprodlem.xph 𝑥𝜑
dvmptfprodlem.iph 𝑖𝜑
dvmptfprodlem.jph 𝑗𝜑
dvmptfprodlem.if 𝑖𝐹
dvmptfprodlem.jg 𝑗𝐺
dvmptfprodlem.a ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
dvmptfprodlem.e (𝜑𝐸 ∈ V)
dvmptfprodlem.db (𝜑 → ¬ 𝐸𝐷)
dvmptfprodlem.ss (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
dvmptfprodlem.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptfprodlem.c (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvp (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖𝐷 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
dvmptfprodlem.14 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvf (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐹)) = (𝑥𝑋𝐺))
dvmptfprodlem.f (𝑖 = 𝐸𝐴 = 𝐹)
dvmptfprodlem.cg (𝑗 = 𝐸𝐶 = 𝐺)
Assertion
Ref Expression
dvmptfprodlem (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗,𝑥   𝑖,𝐸,𝑗,𝑥   𝑗,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐼(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem dvmptfprodlem
StepHypRef Expression
1 dvmptfprodlem.xph . . . 4 𝑥𝜑
2 dvmptfprodlem.iph . . . . . . 7 𝑖𝜑
3 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑖𝑥
4 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑖𝑋
53, 4nfel 2921 . . . . . . 7 𝑖 𝑥𝑋
62, 5nfan 1902 . . . . . 6 𝑖(𝜑𝑥𝑋)
7 dvmptfprodlem.if . . . . . . 7 𝑖𝐹
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑖𝐹)
9 dvmptfprodlem.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
10 snfi 8988 . . . . . . . . 9 {𝐸} ∈ Fin
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐸} ∈ Fin)
12 unfi 9116 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ {𝐸} ∈ Fin) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
139, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
1413adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
15 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝜑)
16 dvmptfprodlem.ss . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
1716sselda 3944 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
1817adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
19 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑥𝑋)
20 dvmptfprodlem.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2115, 18, 19, 20syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 dvmptfprodlem.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ V)
23 snidg 4620 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ V → 𝐸 ∈ {𝐸})
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ {𝐸})
25 elun2 4137 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ {𝐸} → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
2726adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
28 dvmptfprodlem.f . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐸𝐴 = 𝐹)
2928adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹)
306, 8, 14, 21, 27, 29fprodsplit1f 15873 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
31 difundir 4240 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸}))
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})))
33 dvmptfprodlem.db . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝐸𝐷)
34 difsn 4758 . . . . . . . . . . 11 𝐸𝐷 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
36 difid 4330 . . . . . . . . . . 11 ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅)
3835, 37uneq12d 4124 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})) = (𝐷 ∪ ∅))
39 un0 4350 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷)
4132, 38, 403eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = 𝐷)
4241prodeq1d 15804 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 = ∏𝑖𝐷 𝐴)
4342oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
4443adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
4530, 44eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
461, 45mpteq2da 5203 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴)))
4746oveq2d 7373 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))))
48 dvmptfprodlem.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4916, 26sseldd 3945 . . . . 5 (𝜑𝐸𝐼)
5049adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸𝐼)
51 simpl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝜑)
52 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
5351, 50, 523jca 1128 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋))
54 nfcv 2907 . . . . 5 𝑖𝐸
55 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑖 𝐸𝐼
562, 55, 5nf3an 1904 . . . . . 6 𝑖(𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)
57 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑖
587, 57nfel 2921 . . . . . 6 𝑖 𝐹 ∈ ℂ
5956, 58nfim 1899 . . . . 5 𝑖((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
60 ancom 461 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) ↔ (𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)))
6160imbi1i 349 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐴 = 𝐹))
62 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 𝐹𝐹 = 𝐴)
6362imbi2i 335 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
6461, 63bitri 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
6529, 64mpbi 229 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
66653adantr2 1170 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
67663adant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
68 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋))
69 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖𝐼𝐸𝐼))
70693anbi2d 1441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐸 → ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) ↔ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)))
7170imbi1d 341 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
7271biimpa 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
73723adant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
7468, 73mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7567, 74eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 ∈ ℂ)
76753exp 1119 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
77202a1i 12 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
7876, 77impbid 211 . . . . 5 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
7954, 59, 78, 20vtoclgf 3523 . . . 4 (𝐸𝐼 → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ))
8050, 53, 79sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
81 dvmptfprodlem.14 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
82 dvmptfprodlem.dvf . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐹)) = (𝑥𝑋𝐺))
8351, 9syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ Fin)
8451adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝜑)
8516adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐷) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
86 elun1 4136 . . . . . . . 8 (𝑖𝐷𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
8786adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐷) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
8885, 87sseldd 3945 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐷) → 𝑖𝐼)
8988adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝑖𝐼)
9052adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝑥𝑋)
9184, 89, 90, 20syl3anc 1371 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
926, 83, 91fprodclf 15875 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖𝐷 𝐴 ∈ ℂ)
93 dvmptfprodlem.jph . . . . 5 𝑗𝜑
94 nfv 1917 . . . . 5 𝑗 𝑥𝑋
9593, 94nfan 1902 . . . 4 𝑗(𝜑𝑥𝑋)
96 dvmptfprodlem.c . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
97 diffi 9123 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
989, 97syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
9998adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
100 eldifi 4086 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) → 𝑖𝐷)
101100adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝑖𝐷)
102101, 91syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1036, 99, 102fprodclf 15875 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
104103adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
10596, 104mulcld 11175 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
10695, 83, 105fsumclf 15623 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
107 dvmptfprodlem.dvp . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖𝐷 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
1081, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107dvmptmulf 44168 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))))
109 dvmptfprodlem.jg . . . . . 6 𝑗𝐺
110 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑗 ·
111 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑗𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴
112109, 110, 111nfov 7387 . . . . 5 𝑗(𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
11351, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ V)
11451, 33syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝐸𝐷)
115 diffi 9123 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
11613, 115syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
117116adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
118 eldifi 4086 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
119118adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
120119, 21syldan 591 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1216, 117, 120fprodclf 15875 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
122121adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
12396, 122mulcld 11175 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
124 dvmptfprodlem.cg . . . . . 6 (𝑗 = 𝐸𝐶 = 𝐺)
125 sneq 4596 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐸 → {𝑗} = {𝐸})
126125difeq2d 4082 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐸 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}))
127126prodeq1d 15804 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐸 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
128124, 127oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑗 = 𝐸 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
12941, 9eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
130129adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
13151adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝜑)
13216adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
133 eldifi 4086 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
134133adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
135132, 134sseldd 3945 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
136135adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
13752adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑥𝑋)
138131, 136, 137, 20syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1396, 130, 138fprodclf 15875 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 ∈ ℂ)
14081, 139mulcld 11175 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) ∈ ℂ)
14195, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140fsumsplitsn 15629 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)))
142 difundir 4240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗}))
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})))
144 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 𝑗𝐷
1451, 144nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝜑𝑗𝐷)
146 elsni 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝑥 = 𝐸)
147146eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝐸 = 𝑥)
148147adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑥)
149 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
150 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗 = 𝑗)
151148, 149, 1503eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
152151adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
153 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗𝐷)
154152, 153eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸𝐷)
15533ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → ¬ 𝐸𝐷)
156154, 155pm2.65da 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 = 𝑗)
157 velsn 4602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ {𝑗} ↔ 𝑥 = 𝑗)
158156, 157sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
159158ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐷) → (𝑥 ∈ {𝐸} → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗}))
160145, 159ralrimi 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝐷) → ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
161 disj 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
162160, 161sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝐷) → ({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅)
163 disjdif2 4439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝐷) → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
165164uneq2d 4123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
166143, 165eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
167166prodeq1d 15804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
168167adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
169 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖 𝑗𝐷
1706, 169nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷)
17199adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
17251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝜑)
173172, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐸 ∈ V)
174 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸𝐷 → ¬ 𝐸𝐷)
175174intnanrd 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸𝐷 → ¬ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐸𝐷 → ¬ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
177 eldif 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) ↔ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
178176, 177sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐸𝐷 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
17933, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
180172, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
181102adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
18280adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐹 ∈ ℂ)
183170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182fprodsplitsn 15872 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
184 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹) = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
185168, 183, 1843eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
186185oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
18796, 104, 182mulassd 11178 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
188187eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
189186, 188eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
190189ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑗𝐷 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
19195, 190ralrimi 3240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
192191sumeq2d 15587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
19395, 83, 80, 105fsummulc1f 43802 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
194193eqcomd 2742 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
195 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
196192, 194, 1953eqtrd 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
197106, 80mulcld 11175 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) ∈ ℂ)
198196, 197eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
199198, 140addcomd 11357 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
20042oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
201200adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
202201, 196oveq12d 7375 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
203141, 199, 2023eqtrrd 2781 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)) = Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴))
2041, 203mpteq2da 5203 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
20547, 108, 2043eqtrd 2780 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wnfc 2887  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  {cpr 4588  cmpt 5188  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050   + caddc 11054   · cmul 11056  Σcsu 15570  cprod 15788   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-prod 15789  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dvmptfprod  44176
  Copyright terms: Public domain W3C validator