Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptfprodlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptfprodlem 40670
Description: Induction step for dvmptfprod 40671. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfprodlem.xph 𝑥𝜑
dvmptfprodlem.iph 𝑖𝜑
dvmptfprodlem.jph 𝑗𝜑
dvmptfprodlem.if 𝑖𝐹
dvmptfprodlem.jg 𝑗𝐺
dvmptfprodlem.a ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
dvmptfprodlem.e (𝜑𝐸 ∈ V)
dvmptfprodlem.db (𝜑 → ¬ 𝐸𝐷)
dvmptfprodlem.ss (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
dvmptfprodlem.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptfprodlem.c (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvp (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖𝐷 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
dvmptfprodlem.14 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvf (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐹)) = (𝑥𝑋𝐺))
dvmptfprodlem.f (𝑖 = 𝐸𝐴 = 𝐹)
dvmptfprodlem.cg (𝑗 = 𝐸𝐶 = 𝐺)
Assertion
Ref Expression
dvmptfprodlem (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗,𝑥   𝑖,𝐸,𝑗,𝑥   𝑗,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐼(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem dvmptfprodlem
StepHypRef Expression
1 dvmptfprodlem.xph . . . 4 𝑥𝜑
2 dvmptfprodlem.iph . . . . . . 7 𝑖𝜑
3 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑖𝑥
4 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑖𝑋
53, 4nfel 2926 . . . . . . 7 𝑖 𝑥𝑋
62, 5nfan 1980 . . . . . 6 𝑖(𝜑𝑥𝑋)
7 dvmptfprodlem.if . . . . . . 7 𝑖𝐹
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑖𝐹)
9 dvmptfprodlem.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
10 snfi 8192 . . . . . . . . 9 {𝐸} ∈ Fin
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐸} ∈ Fin)
12 unfi 8381 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ {𝐸} ∈ Fin) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
139, 11, 12syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
1413adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
15 simpll 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝜑)
16 dvmptfprodlem.ss . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
1716sselda 3752 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
1817adantlr 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
19 simplr 752 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑥𝑋)
20 dvmptfprodlem.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2115, 18, 19, 20syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 dvmptfprodlem.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ V)
23 snidg 4345 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ V → 𝐸 ∈ {𝐸})
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ {𝐸})
25 elun2 3932 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ {𝐸} → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
2726adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
28 dvmptfprodlem.f . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐸𝐴 = 𝐹)
2928adantl 467 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹)
306, 8, 14, 21, 27, 29fprodsplit1f 14920 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
31 difundir 4029 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸}))
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})))
33 dvmptfprodlem.db . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝐸𝐷)
34 difsn 4464 . . . . . . . . . . 11 𝐸𝐷 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
36 difid 4095 . . . . . . . . . . 11 ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅)
3835, 37uneq12d 3919 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})) = (𝐷 ∪ ∅))
39 un0 4111 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷)
4132, 38, 403eqtrd 2809 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = 𝐷)
4241prodeq1d 14851 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 = ∏𝑖𝐷 𝐴)
4342oveq2d 6807 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
4443adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
4530, 44eqtrd 2805 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
461, 45mpteq2da 4877 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴)))
4746oveq2d 6807 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))))
48 dvmptfprodlem.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4916, 26sseldd 3753 . . . . 5 (𝜑𝐸𝐼)
5049adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸𝐼)
51 simpl 468 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝜑)
52 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
5351, 50, 523jca 1122 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋))
54 nfcv 2913 . . . . 5 𝑖𝐸
55 nfv 1995 . . . . . . 7 𝑖 𝐸𝐼
562, 55, 5nf3an 1983 . . . . . 6 𝑖(𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)
57 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑖
587, 57nfel 2926 . . . . . 6 𝑖 𝐹 ∈ ℂ
5956, 58nfim 1977 . . . . 5 𝑖((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
60 ancom 448 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) ↔ (𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)))
6160imbi1i 338 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐴 = 𝐹))
62 eqcom 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 𝐹𝐹 = 𝐴)
6362imbi2i 325 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
6461, 63bitri 264 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
6529, 64mpbi 220 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
66653adantr2 1175 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
67663adant2 1125 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
68 simp3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋))
69 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖𝐼𝐸𝐼))
70693anbi2d 1552 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐸 → ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) ↔ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)))
7170imbi1d 330 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
7271biimpa 462 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
73723adant3 1126 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
7468, 73mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7567, 74eqeltrd 2850 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 ∈ ℂ)
76753exp 1112 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
77202a1i 12 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
7876, 77impbid 202 . . . . 5 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
7954, 59, 78, 20vtoclgf 3415 . . . 4 (𝐸𝐼 → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ))
8050, 53, 79sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
81 dvmptfprodlem.14 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
82 dvmptfprodlem.dvf . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐹)) = (𝑥𝑋𝐺))
8351, 9syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ Fin)
8451adantr 466 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝜑)
8516adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐷) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
86 elun1 3931 . . . . . . . 8 (𝑖𝐷𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
8786adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐷) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
8885, 87sseldd 3753 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐷) → 𝑖𝐼)
8988adantlr 694 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝑖𝐼)
9052adantr 466 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝑥𝑋)
9184, 89, 90, 20syl3anc 1476 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
926, 83, 91fprodclf 14922 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖𝐷 𝐴 ∈ ℂ)
93 dvmptfprodlem.jph . . . . 5 𝑗𝜑
94 nfv 1995 . . . . 5 𝑗 𝑥𝑋
9593, 94nfan 1980 . . . 4 𝑗(𝜑𝑥𝑋)
96 dvmptfprodlem.c . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
97 diffi 8346 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
989, 97syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
9998adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
100 eldifi 3883 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) → 𝑖𝐷)
101100adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝑖𝐷)
102101, 91syldan 579 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1036, 99, 102fprodclf 14922 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
104103adantr 466 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
10596, 104mulcld 10260 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
10695, 83, 105fsumclf 40312 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
107 dvmptfprodlem.dvp . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖𝐷 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
1081, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107dvmptmulf 40663 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))))
109 dvmptfprodlem.jg . . . . . 6 𝑗𝐺
110 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑗 ·
111 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑗𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴
112109, 110, 111nfov 6819 . . . . 5 𝑗(𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
11351, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ V)
11451, 33syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝐸𝐷)
115 diffi 8346 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
11613, 115syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
117116adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
118 eldifi 3883 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
119118adantl 467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
120119, 21syldan 579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1216, 117, 120fprodclf 14922 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
122121adantr 466 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
12396, 122mulcld 10260 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
124 dvmptfprodlem.cg . . . . . 6 (𝑗 = 𝐸𝐶 = 𝐺)
125 sneq 4326 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐸 → {𝑗} = {𝐸})
126125difeq2d 3879 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐸 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}))
127126prodeq1d 14851 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐸 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
128124, 127oveq12d 6809 . . . . 5 (𝑗 = 𝐸 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
12941, 9eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
130129adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
13151adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝜑)
13216adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
133 eldifi 3883 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
134133adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
135132, 134sseldd 3753 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
136135adantlr 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
13752adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑥𝑋)
138131, 136, 137, 20syl3anc 1476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1396, 130, 138fprodclf 14922 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 ∈ ℂ)
14081, 139mulcld 10260 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) ∈ ℂ)
14195, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140fsumsplitsn 14675 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)))
142 difundir 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗}))
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})))
144 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 𝑗𝐷
1451, 144nfan 1980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝜑𝑗𝐷)
146 elsni 4333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝑥 = 𝐸)
147146eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝐸 = 𝑥)
148147adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑥)
149 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
150 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗 = 𝑗)
151148, 149, 1503eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
152151adantll 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
153 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗𝐷)
154152, 153eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸𝐷)
15533ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → ¬ 𝐸𝐷)
156154, 155pm2.65da 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 = 𝑗)
157 velsn 4332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ {𝑗} ↔ 𝑥 = 𝑗)
158156, 157sylnibr 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
159158ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐷) → (𝑥 ∈ {𝐸} → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗}))
160145, 159ralrimi 3106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝐷) → ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
161 disj 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
162160, 161sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝐷) → ({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅)
163 disjdif2 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝐷) → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
165164uneq2d 3918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
166143, 165eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
167166prodeq1d 14851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
168167adantlr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
169 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖 𝑗𝐷
1706, 169nfan 1980 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷)
17199adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
17251adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝜑)
173172, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐸 ∈ V)
174 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸𝐷 → ¬ 𝐸𝐷)
175174intnanrd 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸𝐷 → ¬ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐸𝐷 → ¬ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
177 eldif 3733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) ↔ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
178176, 177sylnibr 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐸𝐷 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
17933, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
180172, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
181102adantlr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
18280adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐹 ∈ ℂ)
183170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182fprodsplitsn 14919 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
184 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹) = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
185168, 183, 1843eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
186185oveq2d 6807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
18796, 104, 182mulassd 10263 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
188187eqcomd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
189186, 188eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
190189ex 397 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑗𝐷 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
19195, 190ralrimi 3106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
192191sumeq2d 14633 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
19395, 83, 80, 105fsummulc1f 40313 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
194193eqcomd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
195 eqidd 2772 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
196192, 194, 1953eqtrd 2809 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
197106, 80mulcld 10260 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) ∈ ℂ)
198196, 197eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
199198, 140addcomd 10438 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
20042oveq2d 6807 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
201200adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
202201, 196oveq12d 6809 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
203141, 199, 2023eqtrrd 2810 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)) = Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴))
2041, 203mpteq2da 4877 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
20547, 108, 2043eqtrd 2809 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wnf 1856  wcel 2145  wnfc 2900  wral 3061  Vcvv 3351  cdif 3720  cun 3721  cin 3722  wss 3723  c0 4063  {csn 4316  {cpr 4318  cmpt 4863  (class class class)co 6791  Fincfn 8107  cc 10134  cr 10135   + caddc 10139   · cmul 10141  Σcsu 14617  cprod 14835   D cdv 23840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-sum 14618  df-prod 14836  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23843  df-dv 23844
This theorem is referenced by:  dvmptfprod  40671
  Copyright terms: Public domain W3C validator