Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptfprodlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptfprodlem 45899
Description: Induction step for dvmptfprod 45900. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfprodlem.xph 𝑥𝜑
dvmptfprodlem.iph 𝑖𝜑
dvmptfprodlem.jph 𝑗𝜑
dvmptfprodlem.if 𝑖𝐹
dvmptfprodlem.jg 𝑗𝐺
dvmptfprodlem.a ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
dvmptfprodlem.e (𝜑𝐸 ∈ V)
dvmptfprodlem.db (𝜑 → ¬ 𝐸𝐷)
dvmptfprodlem.ss (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
dvmptfprodlem.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptfprodlem.c (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvp (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖𝐷 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
dvmptfprodlem.14 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvf (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐹)) = (𝑥𝑋𝐺))
dvmptfprodlem.f (𝑖 = 𝐸𝐴 = 𝐹)
dvmptfprodlem.cg (𝑗 = 𝐸𝐶 = 𝐺)
Assertion
Ref Expression
dvmptfprodlem (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗,𝑥   𝑖,𝐸,𝑗,𝑥   𝑗,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐼(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem dvmptfprodlem
StepHypRef Expression
1 dvmptfprodlem.xph . . . 4 𝑥𝜑
2 dvmptfprodlem.iph . . . . . . 7 𝑖𝜑
3 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑖𝑥
4 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑖𝑋
53, 4nfel 2917 . . . . . . 7 𝑖 𝑥𝑋
62, 5nfan 1896 . . . . . 6 𝑖(𝜑𝑥𝑋)
7 dvmptfprodlem.if . . . . . . 7 𝑖𝐹
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑖𝐹)
9 dvmptfprodlem.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
10 snfi 9081 . . . . . . . . 9 {𝐸} ∈ Fin
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐸} ∈ Fin)
12 unfi 9209 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ {𝐸} ∈ Fin) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
139, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
1413adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
15 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝜑)
16 dvmptfprodlem.ss . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
1716sselda 3994 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
1817adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
19 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑥𝑋)
20 dvmptfprodlem.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2115, 18, 19, 20syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 dvmptfprodlem.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ V)
23 snidg 4664 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ V → 𝐸 ∈ {𝐸})
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ {𝐸})
25 elun2 4192 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ {𝐸} → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
2726adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
28 dvmptfprodlem.f . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐸𝐴 = 𝐹)
2928adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹)
306, 8, 14, 21, 27, 29fprodsplit1f 16022 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
31 difundir 4296 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸}))
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})))
33 dvmptfprodlem.db . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝐸𝐷)
34 difsn 4802 . . . . . . . . . . 11 𝐸𝐷 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
36 difid 4381 . . . . . . . . . . 11 ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅)
3835, 37uneq12d 4178 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})) = (𝐷 ∪ ∅))
39 un0 4399 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷)
4132, 38, 403eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = 𝐷)
4241prodeq1d 15952 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 = ∏𝑖𝐷 𝐴)
4342oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
4443adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
4530, 44eqtrd 2774 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
461, 45mpteq2da 5245 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴)))
4746oveq2d 7446 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))))
48 dvmptfprodlem.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4916, 26sseldd 3995 . . . . 5 (𝜑𝐸𝐼)
5049adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸𝐼)
51 simpl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝜑)
52 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
5351, 50, 523jca 1127 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋))
54 nfcv 2902 . . . . 5 𝑖𝐸
55 nfv 1911 . . . . . . 7 𝑖 𝐸𝐼
562, 55, 5nf3an 1898 . . . . . 6 𝑖(𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)
57 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑖
587, 57nfel 2917 . . . . . 6 𝑖 𝐹 ∈ ℂ
5956, 58nfim 1893 . . . . 5 𝑖((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
60 ancom 460 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) ↔ (𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)))
6160imbi1i 349 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐴 = 𝐹))
62 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 𝐹𝐹 = 𝐴)
6362imbi2i 336 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
6461, 63bitri 275 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
6529, 64mpbi 230 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
66653adantr2 1169 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
67663adant2 1130 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
68 simp3 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋))
69 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖𝐼𝐸𝐼))
70693anbi2d 1440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐸 → ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) ↔ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)))
7170imbi1d 341 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
7271biimpa 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
73723adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
7468, 73mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7567, 74eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 ∈ ℂ)
76753exp 1118 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
77202a1i 12 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
7876, 77impbid 212 . . . . 5 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
7954, 59, 78, 20vtoclgf 3568 . . . 4 (𝐸𝐼 → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ))
8050, 53, 79sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
81 dvmptfprodlem.14 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
82 dvmptfprodlem.dvf . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐹)) = (𝑥𝑋𝐺))
8351, 9syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ Fin)
8451adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝜑)
8516adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐷) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
86 elun1 4191 . . . . . . . 8 (𝑖𝐷𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
8786adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐷) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
8885, 87sseldd 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐷) → 𝑖𝐼)
8988adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝑖𝐼)
9052adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝑥𝑋)
9184, 89, 90, 20syl3anc 1370 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
926, 83, 91fprodclf 16024 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖𝐷 𝐴 ∈ ℂ)
93 dvmptfprodlem.jph . . . . 5 𝑗𝜑
94 nfv 1911 . . . . 5 𝑗 𝑥𝑋
9593, 94nfan 1896 . . . 4 𝑗(𝜑𝑥𝑋)
96 dvmptfprodlem.c . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
97 diffi 9213 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
989, 97syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
9998adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
100 eldifi 4140 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) → 𝑖𝐷)
101100adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝑖𝐷)
102101, 91syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1036, 99, 102fprodclf 16024 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
104103adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
10596, 104mulcld 11278 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
10695, 83, 105fsumclf 15770 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
107 dvmptfprodlem.dvp . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖𝐷 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
1081, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107dvmptmulf 45892 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))))
109 dvmptfprodlem.jg . . . . . 6 𝑗𝐺
110 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑗 ·
111 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑗𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴
112109, 110, 111nfov 7460 . . . . 5 𝑗(𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
11351, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ V)
11451, 33syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝐸𝐷)
115 diffi 9213 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
11613, 115syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
117116adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
118 eldifi 4140 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
119118adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
120119, 21syldan 591 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1216, 117, 120fprodclf 16024 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
122121adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
12396, 122mulcld 11278 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
124 dvmptfprodlem.cg . . . . . 6 (𝑗 = 𝐸𝐶 = 𝐺)
125 sneq 4640 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐸 → {𝑗} = {𝐸})
126125difeq2d 4135 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐸 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}))
127126prodeq1d 15952 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐸 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
128124, 127oveq12d 7448 . . . . 5 (𝑗 = 𝐸 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
12941, 9eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
130129adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
13151adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝜑)
13216adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
133 eldifi 4140 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
134133adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
135132, 134sseldd 3995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
136135adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
13752adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑥𝑋)
138131, 136, 137, 20syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1396, 130, 138fprodclf 16024 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 ∈ ℂ)
14081, 139mulcld 11278 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) ∈ ℂ)
14195, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140fsumsplitsn 15776 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)))
142 difundir 4296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗}))
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})))
144 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 𝑗𝐷
1451, 144nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝜑𝑗𝐷)
146 elsni 4647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝑥 = 𝐸)
147146eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝐸 = 𝑥)
148147adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑥)
149 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
150 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗 = 𝑗)
151148, 149, 1503eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
152151adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
153 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗𝐷)
154152, 153eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸𝐷)
15533ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → ¬ 𝐸𝐷)
156154, 155pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 = 𝑗)
157 velsn 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ {𝑗} ↔ 𝑥 = 𝑗)
158156, 157sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
159158ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐷) → (𝑥 ∈ {𝐸} → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗}))
160145, 159ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝐷) → ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
161 disj 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
162160, 161sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝐷) → ({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅)
163 disjdif2 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝐷) → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
165164uneq2d 4177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
166143, 165eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
167166prodeq1d 15952 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
168167adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
169 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖 𝑗𝐷
1706, 169nfan 1896 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷)
17199adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
17251adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝜑)
173172, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐸 ∈ V)
174 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸𝐷 → ¬ 𝐸𝐷)
175174intnanrd 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸𝐷 → ¬ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐸𝐷 → ¬ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
177 eldif 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) ↔ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
178176, 177sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐸𝐷 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
17933, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
180172, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
181102adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
18280adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐹 ∈ ℂ)
183170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182fprodsplitsn 16021 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
184 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹) = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
185168, 183, 1843eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
186185oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
18796, 104, 182mulassd 11281 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
188187eqcomd 2740 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
189186, 188eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
190189ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑗𝐷 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
19195, 190ralrimi 3254 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
192191sumeq2d 15733 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
19395, 83, 80, 105fsummulc1f 45526 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
194193eqcomd 2740 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
195 eqidd 2735 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
196192, 194, 1953eqtrd 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
197106, 80mulcld 11278 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) ∈ ℂ)
198196, 197eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
199198, 140addcomd 11460 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
20042oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
201200adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
202201, 196oveq12d 7448 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
203141, 199, 2023eqtrrd 2779 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)) = Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴))
2041, 203mpteq2da 5245 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
20547, 108, 2043eqtrd 2778 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wnf 1779  wcel 2105  wnfc 2887  wral 3058  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  {cpr 4632  cmpt 5230  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151   + caddc 11155   · cmul 11157  Σcsu 15718  cprod 15935   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-prod 15936  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  dvmptfprod  45900
  Copyright terms: Public domain W3C validator