Theorem dvmptfprodlem 41097

Description: Induction step for dvmptfprod 41098. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfprodlem.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dvmptfprodlem.iph	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
dvmptfprodlem.jph	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
dvmptfprodlem.if	⊢ Ⅎ𝑖𝐹
dvmptfprodlem.jg	⊢ Ⅎ𝑗𝐺
dvmptfprodlem.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
dvmptfprodlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
dvmptfprodlem.db	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
dvmptfprodlem.ss	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
dvmptfprodlem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptfprodlem.c	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvp	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
dvmptfprodlem.14	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐺))
dvmptfprodlem.f	⊢ (𝑖 = 𝐸 → 𝐴 = 𝐹)
dvmptfprodlem.cg	⊢ (𝑗 = 𝐸 → 𝐶 = 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dvmptfprodlem	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗,𝑥   𝑖,𝐸,𝑗,𝑥   𝑗,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐼(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem dvmptfprodlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptfprodlem.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		dvmptfprodlem.iph	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
3		nfcv 2934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖𝑥
4		nfcv 2934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖𝑋
5	3, 4	nfel 2946	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑥 ∈ 𝑋
6	2, 5	nfan 1946	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
7		dvmptfprodlem.if	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐹
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Ⅎ𝑖𝐹)
9		dvmptfprodlem.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
10		snfi 8328	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ∈ Fin)
12		unfi 8517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ {𝐸} ∈ Fin) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
13	9, 11, 12	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
14	13	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
15		simpll 757	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝜑)
16		dvmptfprodlem.ss	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
17	16	sselda 3821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖 ∈ 𝐼)
18	17	adantlr 705	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖 ∈ 𝐼)
19		simplr 759	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑥 ∈ 𝑋)
20		dvmptfprodlem.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	15, 18, 19, 20	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		dvmptfprodlem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
23		snidg 4428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ V → 𝐸 ∈ {𝐸})
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝐸})
25		elun2 4004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ {𝐸} → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
27	26	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
28		dvmptfprodlem.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → 𝐴 = 𝐹)
29	28	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹)
30	6, 8, 14, 21, 27, 29	fprodsplit1f 15127	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
31		difundir 4107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸}))
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})))
33		dvmptfprodlem.db	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
34		difsn 4562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
36		difid 4179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅)
38	35, 37	uneq12d 3991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})) = (𝐷 ∪ ∅))
39		un0 4193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷)
41	32, 38, 40	3eqtrd 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = 𝐷)
42	41	prodeq1d 15058	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 = ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴)
43	42	oveq2d 6940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
44	43	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
45	30, 44	eqtrd 2814	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
46	1, 45	mpteq2da 4980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴)))
47	46	oveq2d 6940	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))))
48		dvmptfprodlem.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
49	16, 26	sseldd 3822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐼)
50	49	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ 𝐼)
51		simpl 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝜑)
52		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
53	51, 50, 52	3jca 1119	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
54		nfcv 2934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝐸
55		nfv 1957	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 𝐸 ∈ 𝐼
56	2, 55, 5	nf3an 1948	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
57		nfcv 2934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖ℂ
58	7, 57	nfel 2946	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 𝐹 ∈ ℂ
59	56, 58	nfim 1943	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
60		ancom 454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) ↔ (𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)))
61	60	imbi1i 341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐴 = 𝐹))
62		eqcom 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 𝐹 ↔ 𝐹 = 𝐴)
63	62	imbi2i 328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
64	61, 63	bitri 267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
65	29, 64	mpbi 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
66	65	3adantr2 1172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
67	66	3adant2 1122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
68		simp3 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
69		eleq1 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ 𝐸 ∈ 𝐼))
70	69	3anbi2d 1514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)))
71	70	imbi1d 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
72	71	biimpa 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
73	72	3adant3 1123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
74	68, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
75	67, 74	eqeltrd 2859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ ℂ)
76	75	3exp 1109	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
77	20	2a1i 12	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
78	76, 77	impbid 204	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
79	54, 59, 78, 20	vtoclgf 3465	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐼 → ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ))
80	50, 53, 79	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
81		dvmptfprodlem.14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
82		dvmptfprodlem.dvf	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐺))
83	51, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ Fin)
84	51	adantr 474	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝜑)
85	16	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
86		elun1 4003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐷 → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
87	86	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
88	85, 87	sseldd 3822	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ 𝐼)
89	88	adantlr 705	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ 𝐼)
90	52	adantr 474	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑋)
91	84, 89, 90, 20	syl3anc 1439	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
92	6, 83, 91	fprodclf 15129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴 ∈ ℂ)
93		dvmptfprodlem.jph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
94		nfv 1957	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ∈ 𝑋
95	93, 94	nfan 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
96		dvmptfprodlem.c	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
97		diffi 8482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
98	9, 97	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
99	98	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
100		eldifi 3955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) → 𝑖 ∈ 𝐷)
101	100	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝑖 ∈ 𝐷)
102	101, 91	syldan 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
103	6, 99, 102	fprodclf 15129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
104	103	adantr 474	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
105	96, 104	mulcld 10399	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
106	95, 83, 105	fsumclf 40719	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
107		dvmptfprodlem.dvp	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
108	1, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107	dvmptmulf 41090	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴) + (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))))
109		dvmptfprodlem.jg	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐺
110		nfcv 2934	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 ·
111		nfcv 2934	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴
112	109, 110, 111	nfov 6954	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
113	51, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ V)
114	51, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
115		diffi 8482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
116	13, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
117	116	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
118		eldifi 3955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
119	118	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
120	119, 21	syldan 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
121	6, 117, 120	fprodclf 15129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
122	121	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
123	96, 122	mulcld 10399	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
124		dvmptfprodlem.cg	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → 𝐶 = 𝐺)
125		sneq 4408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → {𝑗} = {𝐸})
126	125	difeq2d 3951	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}))
127	126	prodeq1d 15058	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
128	124, 127	oveq12d 6942	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
129	41, 9	eqeltrd 2859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
130	129	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
131	51	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝜑)
132	16	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
133		eldifi 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
134	133	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
135	132, 134	sseldd 3822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖 ∈ 𝐼)
136	135	adantlr 705	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖 ∈ 𝐼)
137	52	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑥 ∈ 𝑋)
138	131, 136, 137, 20	syl3anc 1439	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
139	6, 130, 138	fprodclf 15129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 ∈ ℂ)
140	81, 139	mulcld 10399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) ∈ ℂ)
141	95, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140	fsumsplitsn 14885	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)))
142		difundir 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗}))
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})))
144		nfv 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑗 ∈ 𝐷
145	1, 144	nfan 1946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷)
146		elsni 4415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝑥 = 𝐸)
147	146	eqcomd 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝐸 = 𝑥)
148	147	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑥)
149		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
150		eqidd 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗 = 𝑗)
151	148, 149, 150	3eqtrd 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
152	151	adantll 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
153		simpllr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝐷)
154	152, 153	eqeltrd 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 ∈ 𝐷)
155	33	ad3antrrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
156	154, 155	pm2.65da 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 = 𝑗)
157		velsn 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑗} ↔ 𝑥 = 𝑗)
158	156, 157	sylnibr 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
159	158	ex 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝐸} → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗}))
160	145, 159	ralrimi 3139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
161		disj 4242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
162	160, 161	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅)
163		disjdif2 4271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
165	164	uneq2d 3990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
166	143, 165	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
167	166	prodeq1d 15058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
168	167	adantlr 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
169		nfv 1957	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑗 ∈ 𝐷
170	6, 169	nfan 1946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷)
171	99	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
172	51	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝜑)
173	172, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ V)
174		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
175	174	intnanrd 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → ¬ (𝐸 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → ¬ (𝐸 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
177		eldif 3802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) ↔ (𝐸 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
178	176, 177	sylnibr 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
179	33, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
180	172, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
181	102	adantlr 705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
182	80	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ ℂ)
183	170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182	fprodsplitsn 15126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
184		eqidd 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹) = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
185	168, 183, 184	3eqtrd 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
186	185	oveq2d 6940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
187	96, 104, 182	mulassd 10402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
188	187	eqcomd 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
189	186, 188	eqtrd 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
190	189	ex 403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑗 ∈ 𝐷 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
191	95, 190	ralrimi 3139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
192	191	sumeq2d 14844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ 𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
193	95, 83, 80, 105	fsummulc1f 40720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = Σ𝑗 ∈ 𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
194	193	eqcomd 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
195		eqidd 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
196	192, 194, 195	3eqtrd 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
197	106, 80	mulcld 10399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) ∈ ℂ)
198	196, 197	eqeltrd 2859	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
199	198, 140	addcomd 10580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
200	42	oveq2d 6940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
201	200	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
202	201, 196	oveq12d 6942	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴) + (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
203	141, 199, 202	3eqtrrd 2819	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴) + (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)) = Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴))
204	1, 203	mpteq2da 4980	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴) + (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
205	47, 108, 204	3eqtrd 2818	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601  Ⅎwnf 1827   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2919  ∀wral 3090  Vcvv 3398   ∖ cdif 3789   ∪ cun 3790   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  {csn 4398  {cpr 4400   ↦ cmpt 4967  (class class class)co 6924  Fincfn 8243  ℂcc 10272  ℝcr 10273   + caddc 10277   · cmul 10279  Σcsu 14828  ∏cprod 15042   D cdv 24068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631  df-sum 14829  df-prod 15043  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-mulg 17932  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-fbas 20143  df-fg 20144  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-nei 21314  df-lp 21352  df-perf 21353  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-haus 21531  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-fil 22062  df-fm 22154  df-flim 22155  df-flf 22156  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539  df-cncf 23093  df-limc 24071  df-dv 24072

This theorem is referenced by:  dvmptfprod  41098