Theorem dvmptfprodlem 45935

Description: Induction step for dvmptfprod 45936. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfprodlem.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dvmptfprodlem.iph	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
dvmptfprodlem.jph	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
dvmptfprodlem.if	⊢ Ⅎ𝑖𝐹
dvmptfprodlem.jg	⊢ Ⅎ𝑗𝐺
dvmptfprodlem.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
dvmptfprodlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
dvmptfprodlem.db	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
dvmptfprodlem.ss	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
dvmptfprodlem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptfprodlem.c	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvp	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
dvmptfprodlem.14	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐺))
dvmptfprodlem.f	⊢ (𝑖 = 𝐸 → 𝐴 = 𝐹)
dvmptfprodlem.cg	⊢ (𝑗 = 𝐸 → 𝐶 = 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dvmptfprodlem	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗,𝑥   𝑖,𝐸,𝑗,𝑥   𝑗,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐼(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem dvmptfprodlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptfprodlem.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		dvmptfprodlem.iph	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
3		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖𝑥
4		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖𝑋
5	3, 4	nfel 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑥 ∈ 𝑋
6	2, 5	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
7		dvmptfprodlem.if	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐹
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Ⅎ𝑖𝐹)
9		dvmptfprodlem.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
10		snfi 8991	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ∈ Fin)
12		unfi 9112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ {𝐸} ∈ Fin) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
13	9, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
15		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝜑)
16		dvmptfprodlem.ss	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
17	16	sselda 3943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖 ∈ 𝐼)
18	17	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖 ∈ 𝐼)
19		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑥 ∈ 𝑋)
20		dvmptfprodlem.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	15, 18, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		dvmptfprodlem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
23		snidg 4620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ V → 𝐸 ∈ {𝐸})
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝐸})
25		elun2 4142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ {𝐸} → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
28		dvmptfprodlem.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → 𝐴 = 𝐹)
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹)
30	6, 8, 14, 21, 27, 29	fprodsplit1f 15932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
31		difundir 4250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸}))
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})))
33		dvmptfprodlem.db	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
34		difsn 4758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
36		difid 4335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅)
38	35, 37	uneq12d 4128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})) = (𝐷 ∪ ∅))
39		un0 4353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷)
41	32, 38, 40	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = 𝐷)
42	41	prodeq1d 15862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 = ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴)
43	42	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
44	43	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
45	30, 44	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
46	1, 45	mpteq2da 5194	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴)))
47	46	oveq2d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))))
48		dvmptfprodlem.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
49	16, 26	sseldd 3944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐼)
50	49	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ 𝐼)
51		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝜑)
52		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
53	51, 50, 52	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
54		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝐸
55		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 𝐸 ∈ 𝐼
56	2, 55, 5	nf3an 1901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
57		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖ℂ
58	7, 57	nfel 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 𝐹 ∈ ℂ
59	56, 58	nfim 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
60		ancom 460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) ↔ (𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)))
61	60	imbi1i 349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐴 = 𝐹))
62		eqcom 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 𝐹 ↔ 𝐹 = 𝐴)
63	62	imbi2i 336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
64	61, 63	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
65	29, 64	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
66	65	3adantr2 1171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
67	66	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
68		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
69		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ 𝐸 ∈ 𝐼))
70	69	3anbi2d 1443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)))
71	70	imbi1d 341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
72	71	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
73	72	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
74	68, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
75	67, 74	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ ℂ)
76	75	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
77	20	2a1i 12	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
78	76, 77	impbid 212	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
79	54, 59, 78, 20	vtoclgf 3532	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐼 → ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ))
80	50, 53, 79	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
81		dvmptfprodlem.14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
82		dvmptfprodlem.dvf	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐺))
83	51, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ Fin)
84	51	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝜑)
85	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
86		elun1 4141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐷 → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
87	86	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
88	85, 87	sseldd 3944	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ 𝐼)
89	88	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ 𝐼)
90	52	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑋)
91	84, 89, 90, 20	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
92	6, 83, 91	fprodclf 15934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴 ∈ ℂ)
93		dvmptfprodlem.jph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
94		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ∈ 𝑋
95	93, 94	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
96		dvmptfprodlem.c	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
97		diffi 9116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
98	9, 97	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
99	98	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
100		eldifi 4090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) → 𝑖 ∈ 𝐷)
101	100	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝑖 ∈ 𝐷)
102	101, 91	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
103	6, 99, 102	fprodclf 15934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
104	103	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
105	96, 104	mulcld 11170	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
106	95, 83, 105	fsumclf 15680	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
107		dvmptfprodlem.dvp	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
108	1, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107	dvmptmulf 45928	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴) + (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))))
109		dvmptfprodlem.jg	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐺
110		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 ·
111		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴
112	109, 110, 111	nfov 7399	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
113	51, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ V)
114	51, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
115		diffi 9116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
116	13, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
117	116	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
118		eldifi 4090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
119	118	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
120	119, 21	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
121	6, 117, 120	fprodclf 15934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
122	121	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
123	96, 122	mulcld 11170	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
124		dvmptfprodlem.cg	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → 𝐶 = 𝐺)
125		sneq 4595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → {𝑗} = {𝐸})
126	125	difeq2d 4085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}))
127	126	prodeq1d 15862	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
128	124, 127	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
129	41, 9	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
130	129	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
131	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝜑)
132	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
133		eldifi 4090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
134	133	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
135	132, 134	sseldd 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖 ∈ 𝐼)
136	135	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖 ∈ 𝐼)
137	52	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑥 ∈ 𝑋)
138	131, 136, 137, 20	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
139	6, 130, 138	fprodclf 15934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 ∈ ℂ)
140	81, 139	mulcld 11170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) ∈ ℂ)
141	95, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140	fsumsplitsn 15686	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)))
142		difundir 4250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗}))
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})))
144		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑗 ∈ 𝐷
145	1, 144	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷)
146		elsni 4602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝑥 = 𝐸)
147	146	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝐸 = 𝑥)
148	147	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑥)
149		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
150		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗 = 𝑗)
151	148, 149, 150	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
152	151	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
153		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝐷)
154	152, 153	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 ∈ 𝐷)
155	33	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
156	154, 155	pm2.65da 816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 = 𝑗)
157		velsn 4601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑗} ↔ 𝑥 = 𝑗)
158	156, 157	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
159	158	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝐸} → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗}))
160	145, 159	ralrimi 3233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
161		disj 4409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
162	160, 161	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅)
163		disjdif2 4439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
165	164	uneq2d 4127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
166	143, 165	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
167	166	prodeq1d 15862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
168	167	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
169		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑗 ∈ 𝐷
170	6, 169	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷)
171	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
172	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝜑)
173	172, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ V)
174		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
175	174	intnanrd 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → ¬ (𝐸 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → ¬ (𝐸 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
177		eldif 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) ↔ (𝐸 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
178	176, 177	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
179	33, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
180	172, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
181	102	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
182	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ ℂ)
183	170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182	fprodsplitsn 15931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
184		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹) = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
185	168, 183, 184	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
186	185	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
187	96, 104, 182	mulassd 11173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
188	187	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
189	186, 188	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
190	189	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑗 ∈ 𝐷 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
191	95, 190	ralrimi 3233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
192	191	sumeq2d 15643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ 𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
193	95, 83, 80, 105	fsummulc1f 45562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = Σ𝑗 ∈ 𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
194	193	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
195		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
196	192, 194, 195	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
197	106, 80	mulcld 11170	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) ∈ ℂ)
198	196, 197	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
199	198, 140	addcomd 11352	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
200	42	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
201	200	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
202	201, 196	oveq12d 7387	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴) + (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
203	141, 199, 202	3eqtrrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴) + (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)) = Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴))
204	1, 203	mpteq2da 5194	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴) + (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
205	47, 108, 204	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3044  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585  {cpr 4587   ↦ cmpt 5183  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  ℂcc 11042  ℝcr 11043   + caddc 11047   · cmul 11049  Σcsu 15628  ∏cprod 15845   D cdv 25797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-prod 15846  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cncf 24804  df-limc 25800  df-dv 25801

This theorem is referenced by:  dvmptfprod  45936