Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvmptfprodlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptfprodlem 41097
Description: Induction step for dvmptfprod 41098. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptfprodlem.xph 𝑥𝜑
dvmptfprodlem.iph 𝑖𝜑
dvmptfprodlem.jph 𝑗𝜑
dvmptfprodlem.if 𝑖𝐹
dvmptfprodlem.jg 𝑗𝐺
dvmptfprodlem.a ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
dvmptfprodlem.e (𝜑𝐸 ∈ V)
dvmptfprodlem.db (𝜑 → ¬ 𝐸𝐷)
dvmptfprodlem.ss (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
dvmptfprodlem.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptfprodlem.c (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvp (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖𝐷 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
dvmptfprodlem.14 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvf (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐹)) = (𝑥𝑋𝐺))
dvmptfprodlem.f (𝑖 = 𝐸𝐴 = 𝐹)
dvmptfprodlem.cg (𝑗 = 𝐸𝐶 = 𝐺)
Assertion
Ref Expression
dvmptfprodlem (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗,𝑥   𝑖,𝐸,𝑗,𝑥   𝑗,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐼(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem dvmptfprodlem
StepHypRef Expression
1 dvmptfprodlem.xph . . . 4 𝑥𝜑
2 dvmptfprodlem.iph . . . . . . 7 𝑖𝜑
3 nfcv 2934 . . . . . . . 8 𝑖𝑥
4 nfcv 2934 . . . . . . . 8 𝑖𝑋
53, 4nfel 2946 . . . . . . 7 𝑖 𝑥𝑋
62, 5nfan 1946 . . . . . 6 𝑖(𝜑𝑥𝑋)
7 dvmptfprodlem.if . . . . . . 7 𝑖𝐹
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑖𝐹)
9 dvmptfprodlem.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
10 snfi 8328 . . . . . . . . 9 {𝐸} ∈ Fin
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐸} ∈ Fin)
12 unfi 8517 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ {𝐸} ∈ Fin) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
139, 11, 12syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
1413adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
15 simpll 757 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝜑)
16 dvmptfprodlem.ss . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
1716sselda 3821 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
1817adantlr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
19 simplr 759 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑥𝑋)
20 dvmptfprodlem.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2115, 18, 19, 20syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 dvmptfprodlem.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ V)
23 snidg 4428 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ V → 𝐸 ∈ {𝐸})
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ {𝐸})
25 elun2 4004 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ {𝐸} → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
2726adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
28 dvmptfprodlem.f . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐸𝐴 = 𝐹)
2928adantl 475 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹)
306, 8, 14, 21, 27, 29fprodsplit1f 15127 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
31 difundir 4107 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸}))
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})))
33 dvmptfprodlem.db . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝐸𝐷)
34 difsn 4562 . . . . . . . . . . 11 𝐸𝐷 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
36 difid 4179 . . . . . . . . . . 11 ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅)
3835, 37uneq12d 3991 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})) = (𝐷 ∪ ∅))
39 un0 4193 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷)
4132, 38, 403eqtrd 2818 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = 𝐷)
4241prodeq1d 15058 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 = ∏𝑖𝐷 𝐴)
4342oveq2d 6940 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
4443adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
4530, 44eqtrd 2814 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
461, 45mpteq2da 4980 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴)))
4746oveq2d 6940 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))))
48 dvmptfprodlem.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4916, 26sseldd 3822 . . . . 5 (𝜑𝐸𝐼)
5049adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸𝐼)
51 simpl 476 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝜑)
52 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
5351, 50, 523jca 1119 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋))
54 nfcv 2934 . . . . 5 𝑖𝐸
55 nfv 1957 . . . . . . 7 𝑖 𝐸𝐼
562, 55, 5nf3an 1948 . . . . . 6 𝑖(𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)
57 nfcv 2934 . . . . . . 7 𝑖
587, 57nfel 2946 . . . . . 6 𝑖 𝐹 ∈ ℂ
5956, 58nfim 1943 . . . . 5 𝑖((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
60 ancom 454 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) ↔ (𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)))
6160imbi1i 341 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐴 = 𝐹))
62 eqcom 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 𝐹𝐹 = 𝐴)
6362imbi2i 328 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
6461, 63bitri 267 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
6529, 64mpbi 222 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
66653adantr2 1172 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
67663adant2 1122 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
68 simp3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋))
69 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖𝐼𝐸𝐼))
70693anbi2d 1514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐸 → ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) ↔ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)))
7170imbi1d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
7271biimpa 470 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
73723adant3 1123 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
7468, 73mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7567, 74eqeltrd 2859 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋)) → 𝐹 ∈ ℂ)
76753exp 1109 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
77202a1i 12 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
7876, 77impbid 204 . . . . 5 (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑𝑖𝐼𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
7954, 59, 78, 20vtoclgf 3465 . . . 4 (𝐸𝐼 → ((𝜑𝐸𝐼𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ))
8050, 53, 79sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
81 dvmptfprodlem.14 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
82 dvmptfprodlem.dvf . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐹)) = (𝑥𝑋𝐺))
8351, 9syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ Fin)
8451adantr 474 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝜑)
8516adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐷) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
86 elun1 4003 . . . . . . . 8 (𝑖𝐷𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
8786adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐷) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
8885, 87sseldd 3822 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐷) → 𝑖𝐼)
8988adantlr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝑖𝐼)
9052adantr 474 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝑥𝑋)
9184, 89, 90, 20syl3anc 1439 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
926, 83, 91fprodclf 15129 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖𝐷 𝐴 ∈ ℂ)
93 dvmptfprodlem.jph . . . . 5 𝑗𝜑
94 nfv 1957 . . . . 5 𝑗 𝑥𝑋
9593, 94nfan 1946 . . . 4 𝑗(𝜑𝑥𝑋)
96 dvmptfprodlem.c . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
97 diffi 8482 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
989, 97syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
9998adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
100 eldifi 3955 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) → 𝑖𝐷)
101100adantl 475 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝑖𝐷)
102101, 91syldan 585 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1036, 99, 102fprodclf 15129 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
104103adantr 474 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
10596, 104mulcld 10399 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
10695, 83, 105fsumclf 40719 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
107 dvmptfprodlem.dvp . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖𝐷 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
1081, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107dvmptmulf 41090 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖𝐷 𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))))
109 dvmptfprodlem.jg . . . . . 6 𝑗𝐺
110 nfcv 2934 . . . . . 6 𝑗 ·
111 nfcv 2934 . . . . . 6 𝑗𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴
112109, 110, 111nfov 6954 . . . . 5 𝑗(𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
11351, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐸 ∈ V)
11451, 33syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝐸𝐷)
115 diffi 8482 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
11613, 115syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
117116adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
118 eldifi 3955 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
119118adantl 475 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
120119, 21syldan 585 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1216, 117, 120fprodclf 15129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
122121adantr 474 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
12396, 122mulcld 10399 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
124 dvmptfprodlem.cg . . . . . 6 (𝑗 = 𝐸𝐶 = 𝐺)
125 sneq 4408 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝐸 → {𝑗} = {𝐸})
126125difeq2d 3951 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐸 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}))
127126prodeq1d 15058 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐸 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
128124, 127oveq12d 6942 . . . . 5 (𝑗 = 𝐸 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
12941, 9eqeltrd 2859 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
130129adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
13151adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝜑)
13216adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
133 eldifi 3955 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
134133adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
135132, 134sseldd 3822 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
136135adantlr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖𝐼)
13752adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑥𝑋)
138131, 136, 137, 20syl3anc 1439 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
1396, 130, 138fprodclf 15129 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 ∈ ℂ)
14081, 139mulcld 10399 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) ∈ ℂ)
14195, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140fsumsplitsn 14885 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)))
142 difundir 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗}))
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})))
144 nfv 1957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 𝑗𝐷
1451, 144nfan 1946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝜑𝑗𝐷)
146 elsni 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝑥 = 𝐸)
147146eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝐸 = 𝑥)
148147adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑥)
149 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
150 eqidd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗 = 𝑗)
151148, 149, 1503eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
152151adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
153 simpllr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗𝐷)
154152, 153eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸𝐷)
15533ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → ¬ 𝐸𝐷)
156154, 155pm2.65da 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 = 𝑗)
157 velsn 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ {𝑗} ↔ 𝑥 = 𝑗)
158156, 157sylnibr 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑗𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
159158ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝐷) → (𝑥 ∈ {𝐸} → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗}))
160145, 159ralrimi 3139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝐷) → ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
161 disj 4242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
162160, 161sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗𝐷) → ({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅)
163 disjdif2 4271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗𝐷) → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
165164uneq2d 3990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
166143, 165eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
167166prodeq1d 15058 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
168167adantlr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
169 nfv 1957 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖 𝑗𝐷
1706, 169nfan 1946 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷)
17199adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
17251adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝜑)
173172, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐸 ∈ V)
174 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸𝐷 → ¬ 𝐸𝐷)
175174intnanrd 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐸𝐷 → ¬ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐸𝐷 → ¬ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
177 eldif 3802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) ↔ (𝐸𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
178176, 177sylnibr 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐸𝐷 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
17933, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
180172, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
181102adantlr 705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
18280adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → 𝐹 ∈ ℂ)
183170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182fprodsplitsn 15126 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
184 eqidd 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹) = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
185168, 183, 1843eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
186185oveq2d 6940 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
18796, 104, 182mulassd 10402 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
188187eqcomd 2784 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
189186, 188eqtrd 2814 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑗𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
190189ex 403 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑗𝐷 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
19195, 190ralrimi 3139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
192191sumeq2d 14844 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
19395, 83, 80, 105fsummulc1f 40720 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
194193eqcomd 2784 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
195 eqidd 2779 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
196192, 194, 1953eqtrd 2818 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
197106, 80mulcld 10399 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) ∈ ℂ)
198196, 197eqeltrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
199198, 140addcomd 10580 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
20042oveq2d 6940 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
201200adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴))
202201, 196oveq12d 6942 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
203141, 199, 2023eqtrrd 2819 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)) = Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴))
2041, 203mpteq2da 4980 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖𝐷 𝐴) + (Σ𝑗𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
20547, 108, 2043eqtrd 2818 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wnf 1827  wcel 2107  wnfc 2919  wral 3090  Vcvv 3398  cdif 3789  cun 3790  cin 3791  wss 3792  c0 4141  {csn 4398  {cpr 4400  cmpt 4967  (class class class)co 6924  Fincfn 8243  cc 10272  cr 10273   + caddc 10277   · cmul 10279  Σcsu 14828  cprod 15042   D cdv 24068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631  df-sum 14829  df-prod 15043  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-mulg 17932  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-fbas 20143  df-fg 20144  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-nei 21314  df-lp 21352  df-perf 21353  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-haus 21531  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-fil 22062  df-fm 22154  df-flim 22155  df-flf 22156  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539  df-cncf 23093  df-limc 24071  df-dv 24072
This theorem is referenced by:  dvmptfprod  41098
  Copyright terms: Public domain W3C validator