Theorem metdsge 24585

Description: The distance from the point 𝐴 to the set 𝑆 is greater than 𝑅 iff the 𝑅-ball around 𝐴 misses 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
metdsge	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsge

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		metdscn.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
3	2	metdsval 24583	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝐴) = inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝐴) = inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
5	4	breq2d 5159	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ 𝑅 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
6		simpll1 1210	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	1	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		simpl2 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	8	sselda 3981	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑋)
10		xmetcl 24057	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
12		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑤))
13	12	cbvmptv 5260	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) = (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑤))
14	11, 13	fmptd 7114	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ*)
15	14	frnd 6724	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
16		simpr 483	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17		infxrgelb 13318	. . 3 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧))
18	15, 16, 17	syl2anc 582	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧))
19	16	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20		elbl2 24116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑤) < 𝑅))
21	6, 19, 7, 9, 20	syl22anc 835	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑤) < 𝑅))
22		xrltnle 11285	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝑤) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
23	11, 19, 22	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐴𝐷𝑤) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
24	21, 23	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
25	24	con2bid 353	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))
26	25	ralbidva 3173	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))
27		ovex 7444	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐷𝑤) ∈ V
28	27	rgenw 3063	. . . 4 ⊢ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V
29		breq2 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴𝐷𝑤) → (𝑅 ≤ 𝑧 ↔ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
30	13, 29	ralrnmptw 7094	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑆 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
31	28, 30	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤))
32		disj 4446	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅))
33	26, 31, 32	3bitr4g 313	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
34	5, 18, 33	3bitrd 304	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  infcinf 9438  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253  ∞Metcxmet 21129  ballcbl 21131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-bl 21139

This theorem is referenced by:  metds0  24586  metdstri  24587  metdseq0  24590  lebnumlem3  24709