Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsge 23460
 Description: The distance from the point 𝐴 to the set 𝑆 is greater than 𝑅 iff the 𝑅-ball around 𝐴 misses 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsge (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsge
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐴𝑋)
2 metdscn.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
32metdsval 23458 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝐹𝐴) = inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
41, 3syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐹𝐴) = inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
54breq2d 5064 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹𝐴) ↔ 𝑅 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
6 simpll1 1209 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
71adantr 484 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝐴𝑋)
8 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆𝑋)
98sselda 3953 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑤𝑋)
10 xmetcl 22944 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑤𝑋) → (𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
116, 7, 9, 10syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
12 oveq2 7157 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑤))
1312cbvmptv 5155 . . . . 5 (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) = (𝑤𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑤))
1411, 13fmptd 6869 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ*)
1514frnd 6510 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
16 simpr 488 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17 infxrgelb 12725 . . 3 ((ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧))
1815, 16, 17syl2anc 587 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧))
1916adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20 elbl2 23003 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝑤𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑤) < 𝑅))
216, 19, 7, 9, 20syl22anc 837 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑤) < 𝑅))
22 xrltnle 10706 . . . . . . 7 (((𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝑤) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
2311, 19, 22syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐴𝐷𝑤) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
2421, 23bitrd 282 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
2524con2bid 358 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))
2625ralbidva 3191 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∀𝑤𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤) ↔ ∀𝑤𝑆 ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))
27 ovex 7182 . . . . 5 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V
2827rgenw 3145 . . . 4 𝑤𝑆 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V
29 breq2 5056 . . . . 5 (𝑧 = (𝐴𝐷𝑤) → (𝑅𝑧𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
3013, 29ralrnmptw 6851 . . . 4 (∀𝑤𝑆 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧 ↔ ∀𝑤𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
3128, 30ax-mp 5 . . 3 (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧 ↔ ∀𝑤𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤))
32 disj 4382 . . 3 ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅ ↔ ∀𝑤𝑆 ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅))
3326, 31, 323bitr4g 317 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
345, 18, 333bitrd 308 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  Vcvv 3480   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  ran crn 5543  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  infcinf 8902  ℝ*cxr 10672   < clt 10673   ≤ cle 10674  ∞Metcxmet 20083  ballcbl 20085 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-bl 20093 This theorem is referenced by:  metds0  23461  metdstri  23462  metdseq0  23465  lebnumlem3  23574
 Copyright terms: Public domain W3C validator