MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsge 24871
Description: The distance from the point 𝐴 to the set 𝑆 is greater than 𝑅 iff the 𝑅-ball around 𝐴 misses 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsge (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsge
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐴𝑋)
2 metdscn.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
32metdsval 24869 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝐹𝐴) = inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
41, 3syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐹𝐴) = inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
54breq2d 5155 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹𝐴) ↔ 𝑅 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
6 simpll1 1213 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
71adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝐴𝑋)
8 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆𝑋)
98sselda 3983 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑤𝑋)
10 xmetcl 24341 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑤𝑋) → (𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
116, 7, 9, 10syl3anc 1373 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
12 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑤))
1312cbvmptv 5255 . . . . 5 (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) = (𝑤𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑤))
1411, 13fmptd 7134 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ*)
1514frnd 6744 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
16 simpr 484 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17 infxrgelb 13377 . . 3 ((ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧))
1815, 16, 17syl2anc 584 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧))
1916adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20 elbl2 24400 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝑤𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑤) < 𝑅))
216, 19, 7, 9, 20syl22anc 839 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑤) < 𝑅))
22 xrltnle 11328 . . . . . . 7 (((𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝑤) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
2311, 19, 22syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐴𝐷𝑤) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
2421, 23bitrd 279 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
2524con2bid 354 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))
2625ralbidva 3176 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∀𝑤𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤) ↔ ∀𝑤𝑆 ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))
27 ovex 7464 . . . . 5 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V
2827rgenw 3065 . . . 4 𝑤𝑆 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V
29 breq2 5147 . . . . 5 (𝑧 = (𝐴𝐷𝑤) → (𝑅𝑧𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
3013, 29ralrnmptw 7114 . . . 4 (∀𝑤𝑆 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧 ↔ ∀𝑤𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
3128, 30ax-mp 5 . . 3 (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧 ↔ ∀𝑤𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤))
32 disj 4450 . . 3 ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅ ↔ ∀𝑤𝑆 ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅))
3326, 31, 323bitr4g 314 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
345, 18, 333bitrd 305 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-bl 21359
This theorem is referenced by:  metds0  24872  metdstri  24873  metdseq0  24876  lebnumlem3  24995
  Copyright terms: Public domain W3C validator