MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsge 24215
Description: The distance from the point 𝐴 to the set 𝑆 is greater than 𝑅 iff the 𝑅-ball around 𝐴 misses 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsge (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅)) = βˆ…))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem metdsge
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
2 metdscn.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
32metdsval 24213 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π΄) = inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
41, 3syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (πΉβ€˜π΄) = inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
54breq2d 5118 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ 𝑅 ≀ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
6 simpll1 1213 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
71adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
98sselda 3945 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
10 xmetcl 23687 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑀) ∈ ℝ*)
116, 7, 9, 10syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴𝐷𝑀) ∈ ℝ*)
12 oveq2 7366 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑀))
1312cbvmptv 5219 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) = (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑀))
1411, 13fmptd 7063 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)):π‘†βŸΆβ„*)
1514frnd 6677 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) βŠ† ℝ*)
16 simpr 486 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
17 infxrgelb 13255 . . 3 ((ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) βŠ† ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ≀ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≀ 𝑧))
1815, 16, 17syl2anc 585 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ≀ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≀ 𝑧))
1916adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
20 elbl2 23746 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑀) < 𝑅))
216, 19, 7, 9, 20syl22anc 838 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑀) < 𝑅))
22 xrltnle 11223 . . . . . . 7 (((𝐴𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴𝐷𝑀) < 𝑅 ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀)))
2311, 19, 22syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((𝐴𝐷𝑀) < 𝑅 ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀)))
2421, 23bitrd 279 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀)))
2524con2bid 355 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅)))
2625ralbidva 3173 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑀 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅)))
27 ovex 7391 . . . . 5 (𝐴𝐷𝑀) ∈ V
2827rgenw 3069 . . . 4 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (𝐴𝐷𝑀) ∈ V
29 breq2 5110 . . . . 5 (𝑧 = (𝐴𝐷𝑀) β†’ (𝑅 ≀ 𝑧 ↔ 𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀)))
3013, 29ralrnmptw 7045 . . . 4 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (𝐴𝐷𝑀) ∈ V β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀)))
3128, 30ax-mp 5 . . 3 (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀))
32 disj 4408 . . 3 ((𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅)) = βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑀 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅))
3326, 31, 323bitr4g 314 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≀ 𝑧 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅)) = βˆ…))
345, 18, 333bitrd 305 1 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅)) = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3446   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  infcinf 9378  β„*cxr 11189   < clt 11190   ≀ cle 11191  βˆžMetcxmet 20784  ballcbl 20786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-bl 20794
This theorem is referenced by:  metds0  24216  metdstri  24217  metdseq0  24220  lebnumlem3  24329
  Copyright terms: Public domain W3C validator