Theorem metdsge 24897

Description: The distance from the point 𝐴 to the set 𝑆 is greater than 𝑅 iff the 𝑅-ball around 𝐴 misses 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
metdsge	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsge

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1206	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		metdscn.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
3	2	metdsval 24895	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝐴) = inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝐴) = inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
5	4	breq2d 5109	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ 𝑅 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
6		simpll1 1225	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		simpl2 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	8	sselda 3934	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑋)
10		xmetcl 24378	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
12		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑤))
13	12	cbvmptv 5201	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) = (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑤))
14	11, 13	fmptd 7089	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ*)
15	14	frnd 6694	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
16		simpr 488	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17		infxrgelb 13332	. . 3 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧))
18	15, 16, 17	syl2anc 593	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧))
19	16	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20		elbl2 24437	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑤) < 𝑅))
21	6, 19, 7, 9, 20	syl22anc 849	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑤) < 𝑅))
22		xrltnle 11242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝑤) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
23	11, 19, 22	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐴𝐷𝑤) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
24	21, 23	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
25	24	con2bid 356	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))
26	25	ralbidva 3182	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))
27		ovex 7423	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐷𝑤) ∈ V
28	27	rgenw 3079	. . . 4 ⊢ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V
29		breq2 5101	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴𝐷𝑤) → (𝑅 ≤ 𝑧 ↔ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
30	13, 29	ralrnmptw 7069	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑆 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
31	28, 30	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤))
32		disj 4401	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅))
33	26, 31, 32	3bitr4g 316	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
34	5, 18, 33	3bitrd 307	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ran crn 5644  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  infcinf 9380  ℝ^*cxr 11208   < clt 11209   ≤ cle 11210  ∞Metcxmet 21396  ballcbl 21398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9381  df-inf 9382  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-psmet 21403  df-xmet 21404  df-bl 21406

This theorem is referenced by:  metds0  24898  metdstri  24899  metdseq0  24902  lebnumlem3  25012