MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsge 23460
Description: The distance from the point 𝐴 to the set 𝑆 is greater than 𝑅 iff the 𝑅-ball around 𝐴 misses 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsge (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsge
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐴𝑋)
2 metdscn.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
32metdsval 23458 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝐹𝐴) = inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
41, 3syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐹𝐴) = inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
54breq2d 5064 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹𝐴) ↔ 𝑅 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
6 simpll1 1209 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
71adantr 484 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝐴𝑋)
8 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆𝑋)
98sselda 3953 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑤𝑋)
10 xmetcl 22944 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑤𝑋) → (𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
116, 7, 9, 10syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
12 oveq2 7157 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑤))
1312cbvmptv 5155 . . . . 5 (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) = (𝑤𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑤))
1411, 13fmptd 6869 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ*)
1514frnd 6510 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
16 simpr 488 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17 infxrgelb 12725 . . 3 ((ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧))
1815, 16, 17syl2anc 587 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧))
1916adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20 elbl2 23003 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝑤𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑤) < 𝑅))
216, 19, 7, 9, 20syl22anc 837 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑤) < 𝑅))
22 xrltnle 10706 . . . . . . 7 (((𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝑤) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
2311, 19, 22syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐴𝐷𝑤) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
2421, 23bitrd 282 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
2524con2bid 358 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))
2625ralbidva 3191 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∀𝑤𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤) ↔ ∀𝑤𝑆 ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))
27 ovex 7182 . . . . 5 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V
2827rgenw 3145 . . . 4 𝑤𝑆 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V
29 breq2 5056 . . . . 5 (𝑧 = (𝐴𝐷𝑤) → (𝑅𝑧𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
3013, 29ralrnmptw 6851 . . . 4 (∀𝑤𝑆 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧 ↔ ∀𝑤𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
3128, 30ax-mp 5 . . 3 (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧 ↔ ∀𝑤𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤))
32 disj 4382 . . 3 ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅ ↔ ∀𝑤𝑆 ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅))
3326, 31, 323bitr4g 317 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
345, 18, 333bitrd 308 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  Vcvv 3480  cin 3918  wss 3919  c0 4276   class class class wbr 5052  cmpt 5132  ran crn 5543  cfv 6343  (class class class)co 7149  infcinf 8902  *cxr 10672   < clt 10673  cle 10674  ∞Metcxmet 20083  ballcbl 20085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-bl 20093
This theorem is referenced by:  metds0  23461  metdstri  23462  metdseq0  23465  lebnumlem3  23574
  Copyright terms: Public domain W3C validator