MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsge 24365
Description: The distance from the point 𝐴 to the set 𝑆 is greater than 𝑅 iff the 𝑅-ball around 𝐴 misses 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsge (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅)) = βˆ…))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem metdsge
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
2 metdscn.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
32metdsval 24363 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π΄) = inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
41, 3syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (πΉβ€˜π΄) = inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
54breq2d 5161 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ 𝑅 ≀ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
6 simpll1 1213 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
71adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
98sselda 3983 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
10 xmetcl 23837 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑀) ∈ ℝ*)
116, 7, 9, 10syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴𝐷𝑀) ∈ ℝ*)
12 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑀))
1312cbvmptv 5262 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) = (𝑀 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑀))
1411, 13fmptd 7114 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)):π‘†βŸΆβ„*)
1514frnd 6726 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) βŠ† ℝ*)
16 simpr 486 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
17 infxrgelb 13314 . . 3 ((ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) βŠ† ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ≀ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≀ 𝑧))
1815, 16, 17syl2anc 585 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ≀ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≀ 𝑧))
1916adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
20 elbl2 23896 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑀) < 𝑅))
216, 19, 7, 9, 20syl22anc 838 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑀) < 𝑅))
22 xrltnle 11281 . . . . . . 7 (((𝐴𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴𝐷𝑀) < 𝑅 ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀)))
2311, 19, 22syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ ((𝐴𝐷𝑀) < 𝑅 ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀)))
2421, 23bitrd 279 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀)))
2524con2bid 355 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅)))
2625ralbidva 3176 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑀 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅)))
27 ovex 7442 . . . . 5 (𝐴𝐷𝑀) ∈ V
2827rgenw 3066 . . . 4 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (𝐴𝐷𝑀) ∈ V
29 breq2 5153 . . . . 5 (𝑧 = (𝐴𝐷𝑀) β†’ (𝑅 ≀ 𝑧 ↔ 𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀)))
3013, 29ralrnmptw 7096 . . . 4 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (𝐴𝐷𝑀) ∈ V β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀)))
3128, 30ax-mp 5 . . 3 (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 𝑅 ≀ (𝐴𝐷𝑀))
32 disj 4448 . . 3 ((𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅)) = βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 Β¬ 𝑀 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅))
3326, 31, 323bitr4g 314 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≀ 𝑧 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅)) = βˆ…))
345, 18, 333bitrd 305 1 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)𝑅)) = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939
This theorem is referenced by:  metds0  24366  metdstri  24367  metdseq0  24370  lebnumlem3  24479
  Copyright terms: Public domain W3C validator