Theorem metdsge 24871

Description: The distance from the point 𝐴 to the set 𝑆 is greater than 𝑅 iff the 𝑅-ball around 𝐴 misses 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
metdsge	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsge

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		metdscn.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
3	2	metdsval 24869	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝐴) = inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝐴) = inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
5	4	breq2d 5155	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ 𝑅 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
6		simpll1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	8	sselda 3983	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑋)
10		xmetcl 24341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
12		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑤))
13	12	cbvmptv 5255	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) = (𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑤))
14	11, 13	fmptd 7134	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ*)
15	14	frnd 6744	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
16		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17		infxrgelb 13377	. . 3 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧))
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧))
19	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
20		elbl2 24400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑤) < 𝑅))
21	6, 19, 7, 9, 20	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑤) < 𝑅))
22		xrltnle 11328	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝑤) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
23	11, 19, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ((𝐴𝐷𝑤) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
24	21, 23	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
25	24	con2bid 354	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))
26	25	ralbidva 3176	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))
27		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐷𝑤) ∈ V
28	27	rgenw 3065	. . . 4 ⊢ ∀𝑤 ∈ 𝑆 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V
29		breq2 5147	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴𝐷𝑤) → (𝑅 ≤ 𝑧 ↔ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
30	13, 29	ralrnmptw 7114	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑆 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
31	28, 30	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤))
32		disj 4450	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑆 ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅))
33	26, 31, 32	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅 ≤ 𝑧 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
34	5, 18, 33	3bitrd 305	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-bl 21359

This theorem is referenced by:  metds0  24872  metdstri  24873  metdseq0  24876  lebnumlem3  24995