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Theorem stoweidlem26 45981
Description: This lemma is used to prove that there is a function 𝑔 as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92: this lemma proves that g(t) > ( j - 4 / 3 ) * ε. Here 𝐿 is used to represent j in the paper, 𝐷 is used to represent A in the paper, 𝑆 is used to represent t, and 𝐸 is used to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem26.1 𝑡𝐹
stoweidlem26.2 𝑗𝜑
stoweidlem26.3 𝑡𝜑
stoweidlem26.4 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
stoweidlem26.5 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
stoweidlem26.6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem26.7 (𝜑𝑇 ∈ V)
stoweidlem26.8 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
stoweidlem26.9 (𝜑𝑆 ∈ ((𝐷𝐿) ∖ (𝐷‘(𝐿 − 1))))
stoweidlem26.10 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem26.11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem26.12 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
stoweidlem26.13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
stoweidlem26.14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))
stoweidlem26.15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem26 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑡,𝐸   𝑖,𝐿,𝑗,𝑡   𝑖,𝑁,𝑗,𝑡   𝑆,𝑖,𝑡   𝜑,𝑖   𝑗,𝐹   𝑇,𝑗,𝑡   𝑡,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑗)   𝐵(𝑡,𝑖,𝑗)   𝐷(𝑡,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑗)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑡,𝑖)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem stoweidlem26
StepHypRef Expression
1 1re 11258 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
2 eleq1 2826 . . . . . . . 8 (𝐿 = 1 → (𝐿 ∈ ℝ ↔ 1 ∈ ℝ))
31, 2mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝐿 = 1 → 𝐿 ∈ ℝ)
43adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℝ)
5 4re 12347 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 = 1) → 4 ∈ ℝ)
7 3re 12343 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 = 1) → 3 ∈ ℝ)
9 3ne0 12369 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 = 1) → 3 ≠ 0)
116, 8, 10redivcld 12092 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 1) → (4 / 3) ∈ ℝ)
124, 11resubcld 11688 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 1) → (𝐿 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
13 stoweidlem26.11 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1413rpred 13074 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 1) → 𝐸 ∈ ℝ)
1612, 15remulcld 11288 . . . 4 ((𝜑𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
17 0red 11261 . . . 4 ((𝜑𝐿 = 1) → 0 ∈ ℝ)
18 fzfid 14010 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
1914adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
20 stoweidlem26.13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
21 stoweidlem26.9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ ((𝐷𝐿) ∖ (𝐷‘(𝐿 − 1))))
22 eldif 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ ((𝐷𝐿) ∖ (𝐷‘(𝐿 − 1))) ↔ (𝑆 ∈ (𝐷𝐿) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐷‘(𝐿 − 1))))
2321, 22sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐷𝐿) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐷‘(𝐿 − 1))))
2423simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ (𝐷𝐿))
25 stoweidlem26.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
26 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐿 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝐿 − (1 / 3)))
2726oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐿 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸))
2827breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐿 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)))
2928rabbidv 3440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐿 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)})
30 fz1ssfz0 13659 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
31 stoweidlem26.8 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
3230, 31sselid 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ (0...𝑁))
33 stoweidlem26.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ V)
34 rabexg 5342 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
3625, 29, 32, 35fvmptd3 7038 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝐿) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)})
3724, 36eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)})
38 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑆
39 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑇
40 stoweidlem26.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝐹
4140, 38nffv 6916 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡(𝐹𝑆)
42 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡
43 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)
4441, 42, 43nfbr 5194 . . . . . . . . . . . 12 𝑡(𝐹𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)
45 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑆 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑆))
4645breq1d 5157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)))
4738, 39, 44, 46elrabf 3690 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑆𝑇 ∧ (𝐹𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)))
4837, 47sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑇 ∧ (𝐹𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)))
4948simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝑇)
5049adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆𝑇)
5120, 50ffvelcdmd 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
5219, 51remulcld 11288 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
5318, 52fsumrecl 15766 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
5453adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
555, 7, 9redivcli 12031 . . . . . . 7 (4 / 3) ∈ ℝ
5655a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 1) → (4 / 3) ∈ ℝ)
574, 56resubcld 11688 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 1) → (𝐿 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
584recnd 11286 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℂ)
5958subid1d 11606 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 = 1) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
60 3cn 12344 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
6160, 9dividi 11997 . . . . . . . . 9 (3 / 3) = 1
62 3lt4 12437 . . . . . . . . . 10 3 < 4
63 3pos 12368 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
647, 5, 7, 63ltdiv1ii 12194 . . . . . . . . . 10 (3 < 4 ↔ (3 / 3) < (4 / 3))
6562, 64mpbi 230 . . . . . . . . 9 (3 / 3) < (4 / 3)
6661, 65eqbrtrri 5170 . . . . . . . 8 1 < (4 / 3)
67 breq1 5150 . . . . . . . . 9 (𝐿 = 1 → (𝐿 < (4 / 3) ↔ 1 < (4 / 3)))
6867adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 = 1) → (𝐿 < (4 / 3) ↔ 1 < (4 / 3)))
6966, 68mpbiri 258 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 = 1) → 𝐿 < (4 / 3))
7059, 69eqbrtrd 5169 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 1) → (𝐿 − 0) < (4 / 3))
714, 17, 56, 70ltsub23d 11865 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 1) → (𝐿 − (4 / 3)) < 0)
7213rpgt0d 13077 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐸)
7372adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 1) → 0 < 𝐸)
74 mulltgt0 44959 . . . . 5 ((((𝐿 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐿 − (4 / 3)) < 0) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < 0)
7557, 71, 15, 73, 74syl22anc 839 . . . 4 ((𝜑𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < 0)
76 0cn 11250 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
77 fsumconst 15822 . . . . . . . 8 (((0...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = ((♯‘(0...𝑁)) · 0))
7818, 76, 77sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = ((♯‘(0...𝑁)) · 0))
79 hashcl 14391 . . . . . . . . 9 ((0...𝑁) ∈ Fin → (♯‘(0...𝑁)) ∈ ℕ0)
80 nn0cn 12533 . . . . . . . . 9 ((♯‘(0...𝑁)) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...𝑁)) ∈ ℂ)
8118, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(0...𝑁)) ∈ ℂ)
8281mul01d 11457 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(0...𝑁)) · 0) = 0)
8378, 82eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = 0)
8483adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = 0)
85 0red 11261 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
8613rpge0d 13078 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
8786adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝐸)
88 stoweidlem26.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝜑
89 nfv 1911 . . . . . . . . . . . 12 𝑡 𝑖 ∈ (0...𝑁)
9088, 89nfan 1896 . . . . . . . . . . 11 𝑡(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁))
91 nfv 1911 . . . . . . . . . . 11 𝑡0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆)
9290, 91nfim 1893 . . . . . . . . . 10 𝑡((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆))
93 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑆 → ((𝑋𝑖)‘𝑡) = ((𝑋𝑖)‘𝑆))
9493breq2d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑆 → (0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
9594imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑆 → (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
96 stoweidlem26.14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))
97963expia 1120 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑡𝑇 → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
9897com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝑇 → ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
9938, 92, 95, 98vtoclgaf 3575 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑇 → ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
10050, 99mpcom 38 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆))
10119, 51, 87, 100mulge0d 11837 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
10218, 85, 52, 101fsumle 15831 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
103102adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
10484, 103eqbrtrrd 5171 . . . 4 ((𝜑𝐿 = 1) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
10516, 17, 54, 75, 104ltletrd 11418 . . 3 ((𝜑𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
106 elfzelz 13560 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (1...𝑁) → 𝐿 ∈ ℤ)
107 zre 12614 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
10831, 106, 1073syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
1095a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
1107a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
1119a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ≠ 0)
112109, 110, 111redivcld 12092 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℝ)
113108, 112resubcld 11688 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
114113, 14remulcld 11288 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
115114adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
1161a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
117 stoweidlem26.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
11814, 117nndivred 12317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ)
119116, 118resubcld 11688 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
120108, 116resubcld 11688 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
121119, 120remulcld 11288 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) ∈ ℝ)
12214, 121remulcld 11288 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) ∈ ℝ)
123122adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) ∈ ℝ)
124 fzfid 14010 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...(𝐿 − 2)) ∈ Fin)
12531elfzelzd 13561 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
126 2z 12646 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
128125, 127zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℤ)
129117nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
130125zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
131 2re 12337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
133130, 132resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℝ)
134117nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
135 0le2 12365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 2
136 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
137136, 132, 130lesub2d 11868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0 ≤ 2 ↔ (𝐿 − 2) ≤ (𝐿 − 0)))
138135, 137mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐿 − 2) ≤ (𝐿 − 0))
139125zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
140139subid1d 11606 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐿 − 0) = 𝐿)
141138, 140breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐿 − 2) ≤ 𝐿)
142 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ (1...𝑁) → 𝐿𝑁)
14331, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿𝑁)
144133, 130, 134, 141, 143letrd 11415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)
145128, 129, 1443jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁))
146 eluz2 12881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 − 2)) ↔ ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁))
147145, 146sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 − 2)))
148 fzss2 13600 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 − 2)) → (0...(𝐿 − 2)) ⊆ (0...𝑁))
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0...(𝐿 − 2)) ⊆ (0...𝑁))
150149sselda 3994 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
151150, 51syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
152124, 151fsumrecl 15766 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
15314, 152remulcld 11288 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
154153adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
15514, 120remulcld 11288 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · (𝐿 − 1)) ∈ ℝ)
15614, 14remulcld 11288 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) ∈ ℝ)
157155, 156resubcld 11688 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)) ∈ ℝ)
158120, 117nndivred 12317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
159156, 158remulcld 11288 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) ∈ ℝ)
160155, 159resubcld 11688 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))) ∈ ℝ)
161120, 14resubcld 11688 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐿 − 1) − 𝐸) ∈ ℝ)
162116, 14readdcld 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 𝐸) ∈ ℝ)
1631, 7, 9redivcli 12031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 3) ∈ ℝ
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
165 stoweidlem26.12 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
16614, 164, 116, 165ltadd2dd 11417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 + 𝐸) < (1 + (1 / 3)))
167 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
16860, 167, 60, 9divdiri 12021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
169 3p1e4 12408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
170169oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 + 1) / 3) = (4 / 3)
17161oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
172168, 170, 1713eqtr3ri 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + (1 / 3)) = (4 / 3)
173166, 172breqtrdi 5188 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 𝐸) < (4 / 3))
174162, 112, 108, 173ltsub2dd 11873 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 − (4 / 3)) < (𝐿 − (1 + 𝐸)))
175167a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17613rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
177139, 175, 176subsub4d 11648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿 − 1) − 𝐸) = (𝐿 − (1 + 𝐸)))
178174, 177breqtrrd 5175 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿 − (4 / 3)) < ((𝐿 − 1) − 𝐸))
179113, 161, 13, 178ltmul1dd 13129 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (((𝐿 − 1) − 𝐸) · 𝐸))
180139, 175subcld 11617 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ ℂ)
181180, 176subcld 11617 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿 − 1) − 𝐸) ∈ ℂ)
182176, 181mulcomd 11279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · ((𝐿 − 1) − 𝐸)) = (((𝐿 − 1) − 𝐸) · 𝐸))
183176, 180, 176subdid 11716 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · ((𝐿 − 1) − 𝐸)) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)))
184182, 183eqtr3d 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐿 − 1) − 𝐸) · 𝐸) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)))
185179, 184breqtrd 5173 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)))
186 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
187 elfz 13549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐿𝐿𝑁)))
188125, 186, 129, 187syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐿𝐿𝑁)))
18931, 188mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 ≤ 𝐿𝐿𝑁))
190189simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿𝑁)
191 zlem1lt 12666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
192125, 129, 191syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐿𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
193190, 192mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 − 1) < 𝑁)
194117nngt0d 12312 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑁)
195 ltdiv1 12129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐿 − 1) < 𝑁 ↔ ((𝐿 − 1) / 𝑁) < (𝑁 / 𝑁)))
196120, 134, 134, 194, 195syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐿 − 1) < 𝑁 ↔ ((𝐿 − 1) / 𝑁) < (𝑁 / 𝑁)))
197193, 196mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) < (𝑁 / 𝑁))
198117nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
199117nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
200198, 199dividd 12038 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 / 𝑁) = 1)
201197, 200breqtrd 5173 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) < 1)
20214, 14, 72, 72mulgt0d 11413 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝐸 · 𝐸))
203 ltmul2 12115 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐿 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐸 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 · 𝐸))) → (((𝐿 − 1) / 𝑁) < 1 ↔ ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < ((𝐸 · 𝐸) · 1)))
204158, 116, 156, 202, 203syl112anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐿 − 1) / 𝑁) < 1 ↔ ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < ((𝐸 · 𝐸) · 1)))
205201, 204mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < ((𝐸 · 𝐸) · 1))
206176, 176mulcld 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) ∈ ℂ)
207206mulridd 11275 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · 1) = (𝐸 · 𝐸))
208205, 207breqtrd 5173 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < (𝐸 · 𝐸))
209159, 156, 155, 208ltsub2dd 11873 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)) < ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
210114, 157, 160, 185, 209lttrd 11419 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
211176, 198, 199divcld 12040 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℂ)
212175, 211, 180subdird 11717 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) = ((1 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))))
213180mullidd 11276 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · (𝐿 − 1)) = (𝐿 − 1))
214213oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))) = ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))))
215212, 214eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) = ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))))
216215oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) = (𝐸 · ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))))
217211, 180mulcld 11278 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)) ∈ ℂ)
218176, 180, 217subdid 11716 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 · ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))))
219176, 198, 180, 199div32d 12063 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)) = (𝐸 · ((𝐿 − 1) / 𝑁)))
220219oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))) = (𝐸 · (𝐸 · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
221180, 198, 199divcld 12040 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
222176, 176, 221mulassd 11281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) = (𝐸 · (𝐸 · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
223220, 222eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))) = ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)))
224223oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
225216, 218, 2243eqtrd 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
226210, 225breqtrrd 5175 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))))
227226adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))))
228175, 211subcld 11617 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℂ)
229 fsumconst 15822 . . . . . . . . . 10 (((0...(𝐿 − 2)) ∈ Fin ∧ (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((♯‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁))))
230124, 228, 229syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((♯‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁))))
231230adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((♯‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁))))
232 0zd 12622 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ∈ ℤ)
23331adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
234233elfzelzd 13561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℤ)
235126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 2 ∈ ℤ)
236234, 235zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ∈ ℤ)
237 elnnuz 12919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
238117, 237sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
239 elfzp12 13639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐿 = 1 ∨ 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
240238, 239syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐿 = 1 ∨ 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
24131, 240mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐿 = 1 ∨ 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁)))
242241orcanai 1004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
243 1p1e2 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 1) = 2
244243a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (1 + 1) = 2)
245244oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁))
246242, 245eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ (2...𝑁))
247 elfzle1 13563 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ (2...𝑁) → 2 ≤ 𝐿)
248246, 247syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 2 ≤ 𝐿)
249108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℝ)
250131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 2 ∈ ℝ)
251249, 250subge0d 11850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0 ≤ (𝐿 − 2) ↔ 2 ≤ 𝐿))
252248, 251mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ≤ (𝐿 − 2))
253232, 236, 2523jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐿 − 2)))
254 eluz2 12881 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 − 2) ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐿 − 2)))
255253, 254sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ∈ (ℤ‘0))
256 hashfz 14462 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 − 2) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘(0...(𝐿 − 2))) = (((𝐿 − 2) − 0) + 1))
257255, 256syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (♯‘(0...(𝐿 − 2))) = (((𝐿 − 2) − 0) + 1))
258 2cn 12338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
260139, 259subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℂ)
261260subid1d 11606 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐿 − 2) − 0) = (𝐿 − 2))
262261oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐿 − 2) − 0) + 1) = ((𝐿 − 2) + 1))
263139, 259, 175subadd23d 11639 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿 − 2) + 1) = (𝐿 + (1 − 2)))
264258, 167negsubdi2i 11592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(2 − 1) = (1 − 2)
265 2m1e1 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
266265negeqi 11498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(2 − 1) = -1
267264, 266eqtr3i 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 − 2) = -1
268267a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 − 2) = -1)
269268oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 + (1 − 2)) = (𝐿 + -1))
270139, 175negsubd 11623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 + -1) = (𝐿 − 1))
271269, 270eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 + (1 − 2)) = (𝐿 − 1))
272262, 263, 2713eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐿 − 2) − 0) + 1) = (𝐿 − 1))
273272adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (((𝐿 − 2) − 0) + 1) = (𝐿 − 1))
274257, 273eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (♯‘(0...(𝐿 − 2))) = (𝐿 − 1))
275274oveq1d 7445 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((♯‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁))) = ((𝐿 − 1) · (1 − (𝐸 / 𝑁))))
276180, 228mulcomd 11279 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐿 − 1) · (1 − (𝐸 / 𝑁))) = ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)))
277276adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 1) · (1 − (𝐸 / 𝑁))) = ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)))
278231, 275, 2773eqtrd 2778 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)))
279 fzfid 14010 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...(𝐿 − 2)) ∈ Fin)
280 fzn0 13574 . . . . . . . . 9 ((0...(𝐿 − 2)) ≠ ∅ ↔ (𝐿 − 2) ∈ (ℤ‘0))
281255, 280sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...(𝐿 − 2)) ≠ ∅)
282119ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
283 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝜑)
284150adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
285283, 284, 51syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
28649adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑆𝑇)
287 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑖 ∈ ℤ)
288287zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑖 ∈ ℝ)
289288adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ∈ ℝ)
290163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 / 3) ∈ ℝ)
291289, 290readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑖 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
29214adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝐸 ∈ ℝ)
293291, 292remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
294108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝐿 ∈ ℝ)
295131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 2 ∈ ℝ)
296294, 295resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) ∈ ℝ)
297296, 290readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ∈ ℝ)
298297, 292remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
299 stoweidlem26.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
300299, 49jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑆𝑇))
301300adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑆𝑇))
302 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑆𝑇) → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
303301, 302syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
304 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑖 ≤ (𝐿 − 2))
305304adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ≤ (𝐿 − 2))
306289, 296, 290, 305leadd1dd 11874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑖 + (1 / 3)) ≤ ((𝐿 − 2) + (1 / 3)))
30714, 72jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
308307adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
309 lemul1 12116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 + (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑖 + (1 / 3)) ≤ ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸)))
310291, 297, 308, 309syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) ≤ ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸)))
311306, 310mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸))
312108, 132resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℝ)
313312, 164readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ∈ ℝ)
314313, 14remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
315299, 49ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
316120, 164resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (1 / 3)) ∈ ℝ)
317316, 14remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
318 addrid 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 ∈ ℂ → (1 + 0) = 1)
319318eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1 ∈ ℂ → 1 = (1 + 0))
320167, 319mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 = (1 + 0))
321175subidd 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
322321eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 0 = (1 − 1))
323322oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 + 0) = (1 + (1 − 1)))
324 addsubass 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 + 1) − 1) = (1 + (1 − 1)))
325324eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (1 − 1)) = ((1 + 1) − 1))
326175, 175, 175, 325syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 + (1 − 1)) = ((1 + 1) − 1))
327320, 323, 3263eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 1 = ((1 + 1) − 1))
328327oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 − 1) = (𝐿 − ((1 + 1) − 1)))
329243a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 + 1) = 2)
330329oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((1 + 1) − 1) = (2 − 1))
331330oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 − ((1 + 1) − 1)) = (𝐿 − (2 − 1)))
332139, 259, 175subsubd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 − (2 − 1)) = ((𝐿 − 2) + 1))
333328, 331, 3323eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 − 1) = ((𝐿 − 2) + 1))
334333oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (2 / 3)) = (((𝐿 − 2) + 1) − (2 / 3)))
335258, 60, 9divcli 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 / 3) ∈ ℂ
336335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 / 3) ∈ ℂ)
337260, 175, 336addsubassd 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐿 − 2) + 1) − (2 / 3)) = ((𝐿 − 2) + (1 − (2 / 3))))
338167, 60, 9divcli 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 3) ∈ ℂ
339 df-3 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 = (2 + 1)
340339oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
341258, 167, 60, 9divdiri 12021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
342340, 61, 3413eqtr3ri 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
343167, 335, 338, 342subaddrii 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
344343a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 − (2 / 3)) = (1 / 3))
345344oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐿 − 2) + (1 − (2 / 3))) = ((𝐿 − 2) + (1 / 3)))
346334, 337, 3453eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (2 / 3)) = ((𝐿 − 2) + (1 / 3)))
347131, 7, 9redivcli 12031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 / 3) ∈ ℝ
348347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (2 / 3) ∈ ℝ)
349 1lt2 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 2
3507, 63pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
3511, 131, 3503pm3.2i 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
352 ltdiv1 12129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (1 < 2 ↔ (1 / 3) < (2 / 3)))
353351, 352mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 < 2 ↔ (1 / 3) < (2 / 3)))
354349, 353mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (1 / 3) < (2 / 3))
355164, 348, 120, 354ltsub2dd 11873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (2 / 3)) < ((𝐿 − 1) − (1 / 3)))
356346, 355eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) < ((𝐿 − 1) − (1 / 3)))
357313, 316, 13, 356ltmul1dd 13129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) < (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
35823simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ (𝐷‘(𝐿 − 1)))
359 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 = (𝐿 − 1) → (𝑗 − (1 / 3)) = ((𝐿 − 1) − (1 / 3)))
360359oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = (𝐿 − 1) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
361360breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = (𝐿 − 1) → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
362361rabbidv 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = (𝐿 − 1) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
363129peano2zd 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
364189simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → 1 ≤ 𝐿)
365134, 116readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
366134lep1d 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
367108, 134, 365, 190, 366letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐿 ≤ (𝑁 + 1))
368186, 363, 125, 364, 367elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐿 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
369139, 175npcand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((𝐿 − 1) + 1) = 𝐿)
370 0p1e1 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0 + 1) = 1
371370a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
372371oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1)))
373368, 369, 3723eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝐿 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
374 0zd 12622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
375125, 186zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
376 fzaddel 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝐿 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
377374, 129, 375, 186, 376syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝐿 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
378373, 377mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ (0...𝑁))
379 rabexg 5342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
38033, 379syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
38125, 362, 378, 380fvmptd3 7038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐷‘(𝐿 − 1)) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
382358, 381neleqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
383 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑡(((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)
38441, 42, 383nfbr 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑡(𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)
38545breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
38638, 39, 384, 385elrabf 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑆 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑆𝑇 ∧ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
387382, 386sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ¬ (𝑆𝑇 ∧ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
388 ianor 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝑆𝑇 ∧ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) ↔ (¬ 𝑆𝑇 ∨ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
389387, 388sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (¬ 𝑆𝑇 ∨ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
390 olc 868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆𝑇 → (¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆𝑇))
391390anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆𝑇 ∧ (¬ 𝑆𝑇 ∨ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) → ((¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆𝑇 ∨ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))))
39249, 389, 391syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆𝑇 ∨ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))))
393 orcom 870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑆𝑇 ∨ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) ↔ (¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆𝑇))
394393anbi2i 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆𝑇 ∨ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) ↔ ((¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆𝑇) ∧ (¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆𝑇)))
395392, 394sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆𝑇) ∧ (¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆𝑇)))
396 pm4.43 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ ((¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆𝑇) ∧ (¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆𝑇)))
397395, 396sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
398317, 315ltnled 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑆) ↔ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
399397, 398mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑆))
400314, 317, 315, 357, 399lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑆))
401314, 315, 400ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑆))
402401adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑆))
403293, 298, 303, 311, 402letrd 11415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑆))
404 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸)
405404, 42, 41nfbr 5194 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑆)
40645breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑆 → (((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑆)))
40738, 39, 405, 406elrabf 3690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)} ↔ (𝑆𝑇 ∧ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑆)))
408286, 403, 407sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑆 ∈ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
409 stoweidlem26.5 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
410 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + (1 / 3)) = (𝑖 + (1 / 3)))
411410oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸))
412411breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)))
413412rabbidv 3440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
414 rabexg 5342 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)} ∈ V)
41533, 414syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)} ∈ V)
416415adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → {𝑡𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)} ∈ V)
417409, 413, 150, 416fvmptd3 7038 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐵𝑖) = {𝑡𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
418408, 417eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑆 ∈ (𝐵𝑖))
4191453ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁))
420419, 146sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 − 2)))
421420, 148syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → (0...(𝐿 − 2)) ⊆ (0...𝑁))
422 simp2 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)))
423421, 422sseldd 3995 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
424 elex 3498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (𝐵𝑖) → 𝑆 ∈ V)
4254243ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → 𝑆 ∈ V)
426 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑡(0...𝑁)
427 nfrab1 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑡{𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)}
428426, 427nfmpt 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
429409, 428nfcxfr 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡𝐵
430 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡𝑖
431429, 430nffv 6916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡(𝐵𝑖)
432431nfel2 2921 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑡 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)
43388, 89, 432nf3an 1898 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖))
434 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆)
435433, 434nfim 1893 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆))
436 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑆 → (𝑡 ∈ (𝐵𝑖) ↔ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)))
4374363anbi3d 1441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑆 → ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖))))
43893breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑆 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡) ↔ (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
439437, 438imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑆 → (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
440 stoweidlem26.15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))
441435, 439, 440vtoclg1f 3569 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ V → ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
442425, 441mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆))
443423, 442syld3an2 1410 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆))
444418, 443mpd3an3 1461 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆))
445444adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆))
446279, 281, 282, 285, 445fsumlt 15832 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆))
447278, 446eqbrtrrd 5171 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆))
448121adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) ∈ ℝ)
449152adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
450307adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
451 ltmul2 12115 . . . . . . 7 ((((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆))))
452448, 449, 450, 451syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆))))
453447, 452mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)))
454115, 123, 154, 227, 453lttrd 11419 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)))
455150, 52syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
456455adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
457456recnd 11286 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ)
458279, 457fsumcl 15765 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ)
459458addridd 11458 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) + 0) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
460 0red 11261 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ∈ ℝ)
461 fzfid 14010 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 1)...𝑁) ∈ Fin)
46214adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
463 0zd 12622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
464129adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
465 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
466465adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
467 0red 11261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
468120adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
469465zred 12719 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
470469adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
471 1m1e0 12335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 − 1) = 0
472116, 108, 116, 364lesub1dd 11876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 − 1) ≤ (𝐿 − 1))
473471, 472eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ (𝐿 − 1))
474473adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐿 − 1))
475 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁))
476375adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
477 elfz 13549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑖𝑖𝑁)))
478466, 476, 464, 477syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑖𝑖𝑁)))
479475, 478mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → ((𝐿 − 1) ≤ 𝑖𝑖𝑁))
480479simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐿 − 1) ≤ 𝑖)
481467, 468, 470, 474, 480letrd 11415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ 𝑖)
482 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) → 𝑖𝑁)
483482adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖𝑁)
484463, 464, 466, 481, 483elfzd 13551 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
485484, 51syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
486462, 485remulcld 11288 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
487486adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
488461, 487fsumrecl 15766 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
489279, 456fsumrecl 15766 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
490 fzfid 14010 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐿 − 1)...𝑁) ∈ Fin)
491176adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℂ)
492491mul01d 11457 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · 0) = 0)
493484, 100syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆))
494307adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
495 lemul2 12117 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · 0) ≤ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
496467, 485, 494, 495syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · 0) ≤ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
497493, 496mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · 0) ≤ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
498492, 497eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
499490, 486, 498fsumge0 15827 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
500499adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
501460, 488, 489, 500leadd2dd 11875 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) + 0) ≤ (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) + Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
502459, 501eqbrtrrd 5171 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ≤ (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) + Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
503151recnd 11286 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℂ)
504124, 176, 503fsummulc2 15816 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
505504adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
506 stoweidlem26.2 . . . . . . . . 9 𝑗𝜑
507 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑗 ∈ ℤ)
508507adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ∈ ℤ)
509508zred 12719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ∈ ℝ)
510312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) ∈ ℝ)
511120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
512 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)))
513 0zd 12622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 0 ∈ ℤ)
514128adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) ∈ ℤ)
515 elfz 13549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ↔ (0 ≤ 𝑗𝑗 ≤ (𝐿 − 2))))
516508, 513, 514, 515syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ↔ (0 ≤ 𝑗𝑗 ≤ (𝐿 − 2))))
517512, 516mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (0 ≤ 𝑗𝑗 ≤ (𝐿 − 2)))
518517simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ≤ (𝐿 − 2))
519116, 132, 108ltsub2d 11870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 < 2 ↔ (𝐿 − 2) < (𝐿 − 1)))
520349, 519mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐿 − 2) < (𝐿 − 1))
521520adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) < (𝐿 − 1))
522509, 510, 511, 518, 521lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 < (𝐿 − 1))
523509, 511ltnled 11405 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑗 < (𝐿 − 1) ↔ ¬ (𝐿 − 1) ≤ 𝑗))
524522, 523mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ¬ (𝐿 − 1) ≤ 𝑗)
525524intnanrd 489 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ¬ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑗𝑗𝑁))
526375adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
527129adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑁 ∈ ℤ)
528 elfz 13549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
529508, 526, 527, 528syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
530525, 529mtbird 325 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁))
531530ex 412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)))
532506, 531ralrimi 3254 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁))
533 disj 4455 . . . . . . . 8 (((0...(𝐿 − 2)) ∩ ((𝐿 − 1)...𝑁)) = ∅ ↔ ∀𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁))
534532, 533sylibr 234 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0...(𝐿 − 2)) ∩ ((𝐿 − 1)...𝑁)) = ∅)
535534adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((0...(𝐿 − 2)) ∩ ((𝐿 − 1)...𝑁)) = ∅)
536144adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)
537128, 374, 1293jca 1127 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
538537adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
539 elfz 13549 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ (𝐿 − 2) ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)))
540538, 539syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ (𝐿 − 2) ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)))
541252, 536, 540mpbir2and 713 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁))
542 fzsplit 13586 . . . . . . . 8 ((𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁)))
543541, 542syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...𝑁) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁)))
544263, 269, 2703eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐿 − 2) + 1) = (𝐿 − 1))
545544oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁) = ((𝐿 − 1)...𝑁))
546545uneq2d 4177 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁)) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ ((𝐿 − 1)...𝑁)))
547546adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁)) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ ((𝐿 − 1)...𝑁)))
548543, 547eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...𝑁) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ ((𝐿 − 1)...𝑁)))
549 fzfid 14010 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...𝑁) ∈ Fin)
550176adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℂ)
55151recnd 11286 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℂ)
552550, 551mulcld 11278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ)
553552adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ)
554535, 548, 549, 553fsumsplit 15773 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) + Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
555502, 505, 5543brtr4d 5179 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
556114, 153, 533jca 1127 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ))
557556adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ))
558 ltletr 11350 . . . . 5 ((((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) → ((((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
559557, 558syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
560454, 555, 559mp2and 699 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
561105, 560pm2.61dan 813 . 2 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
562 sumex 15720 . . 3 Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ V
56393oveq2d 7446 . . . . 5 (𝑡 = 𝑆 → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) = (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
564563sumeq2sdv 15735 . . . 4 (𝑡 = 𝑆 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
565 eqid 2734 . . . 4 (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
566564, 565fvmptg 7013 . . 3 ((𝑆𝑇 ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ V) → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑆) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
56749, 562, 566sylancl 586 . 2 (𝜑 → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑆) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
568561, 567breqtrrd 5175 1 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wnf 1779  wcel 2105  wnfc 2887  wne 2937  wral 3058  {crab 3432  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  cmpt 5230  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  ...cfz 13543  chash 14365  Σcsu 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719
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