Proof of Theorem stoweidlem26
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 1re 10975 |
. . . . . . . 8
⊢ 1 ∈
ℝ |
2 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐿 = 1 → (𝐿 ∈ ℝ ↔ 1 ∈
ℝ)) |
3 | 1, 2 | mpbiri 257 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐿 = 1 → 𝐿 ∈ ℝ) |
4 | 3 | adantl 482 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℝ) |
5 | | 4re 12057 |
. . . . . . . 8
⊢ 4 ∈
ℝ |
6 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 4 ∈
ℝ) |
7 | | 3re 12053 |
. . . . . . . 8
⊢ 3 ∈
ℝ |
8 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 3 ∈
ℝ) |
9 | | 3ne0 12079 |
. . . . . . . 8
⊢ 3 ≠
0 |
10 | 9 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 3 ≠ 0) |
11 | 6, 8, 10 | redivcld 11803 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (4 / 3) ∈
ℝ) |
12 | 4, 11 | resubcld 11403 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (𝐿 − (4 / 3)) ∈
ℝ) |
13 | | stoweidlem26.11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈
ℝ+) |
14 | 13 | rpred 12772 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ) |
15 | 14 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 𝐸 ∈ ℝ) |
16 | 12, 15 | remulcld 11005 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) |
17 | | 0red 10978 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 0 ∈
ℝ) |
18 | | fzfid 13693 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin) |
19 | 14 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ) |
20 | | stoweidlem26.13 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ) |
21 | | stoweidlem26.9 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((𝐷‘𝐿) ∖ (𝐷‘(𝐿 − 1)))) |
22 | | eldif 3897 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑆 ∈ ((𝐷‘𝐿) ∖ (𝐷‘(𝐿 − 1))) ↔ (𝑆 ∈ (𝐷‘𝐿) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐷‘(𝐿 − 1)))) |
23 | 21, 22 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐷‘𝐿) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐷‘(𝐿 − 1)))) |
24 | 23 | simpld 495 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐷‘𝐿)) |
25 | | stoweidlem26.4 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}) |
26 | | oveq1 7282 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑗 = 𝐿 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝐿 − (1 / 3))) |
27 | 26 | oveq1d 7290 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑗 = 𝐿 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)) |
28 | 27 | breq2d 5086 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 = 𝐿 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸))) |
29 | 28 | rabbidv 3414 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑗 = 𝐿 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)}) |
30 | | fz1ssfz0 13352 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(1...𝑁) ⊆
(0...𝑁) |
31 | | stoweidlem26.8 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁)) |
32 | 30, 31 | sselid 3919 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...𝑁)) |
33 | | stoweidlem26.7 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V) |
34 | | rabexg 5255 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V) |
35 | 33, 34 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V) |
36 | 25, 29, 32, 35 | fvmptd3 6898 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐿) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)}) |
37 | 24, 36 | eleqtrd 2841 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)}) |
38 | | nfcv 2907 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑡𝑆 |
39 | | nfcv 2907 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑡𝑇 |
40 | | stoweidlem26.1 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑡𝐹 |
41 | 40, 38 | nffv 6784 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑆) |
42 | | nfcv 2907 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑡
≤ |
43 | | nfcv 2907 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑡((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸) |
44 | 41, 42, 43 | nfbr 5121 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸) |
45 | | fveq2 6774 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = 𝑆 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑆)) |
46 | 45 | breq1d 5084 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸))) |
47 | 38, 39, 44, 46 | elrabf 3620 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑆 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸))) |
48 | 37, 47 | sylib 217 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸))) |
49 | 48 | simpld 495 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑇) |
50 | 49 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ 𝑇) |
51 | 20, 50 | ffvelrnd 6962 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ) |
52 | 19, 51 | remulcld 11005 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) |
53 | 18, 52 | fsumrecl 15446 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) |
54 | 53 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) |
55 | 5, 7, 9 | redivcli 11742 |
. . . . . . 7
⊢ (4 / 3)
∈ ℝ |
56 | 55 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (4 / 3) ∈
ℝ) |
57 | 4, 56 | resubcld 11403 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (𝐿 − (4 / 3)) ∈
ℝ) |
58 | 4 | recnd 11003 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℂ) |
59 | 58 | subid1d 11321 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 0) = 𝐿) |
60 | | 3cn 12054 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 3 ∈
ℂ |
61 | 60, 9 | dividi 11708 |
. . . . . . . . 9
⊢ (3 / 3) =
1 |
62 | | 3lt4 12147 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 3 <
4 |
63 | | 3pos 12078 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 0 <
3 |
64 | 7, 5, 7, 63 | ltdiv1ii 11904 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (3 < 4
↔ (3 / 3) < (4 / 3)) |
65 | 62, 64 | mpbi 229 |
. . . . . . . . 9
⊢ (3 / 3)
< (4 / 3) |
66 | 61, 65 | eqbrtrri 5097 |
. . . . . . . 8
⊢ 1 < (4
/ 3) |
67 | | breq1 5077 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐿 = 1 → (𝐿 < (4 / 3) ↔ 1 < (4 /
3))) |
68 | 67 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (𝐿 < (4 / 3) ↔ 1 < (4 /
3))) |
69 | 66, 68 | mpbiri 257 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 𝐿 < (4 / 3)) |
70 | 59, 69 | eqbrtrd 5096 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 0) < (4 / 3)) |
71 | 4, 17, 56, 70 | ltsub23d 11580 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → (𝐿 − (4 / 3)) < 0) |
72 | 13 | rpgt0d 12775 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸) |
73 | 72 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 0 < 𝐸) |
74 | | mulltgt0 42565 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐿 − (4 / 3)) ∈ ℝ
∧ (𝐿 − (4 / 3))
< 0) ∧ (𝐸 ∈
ℝ ∧ 0 < 𝐸))
→ ((𝐿 − (4 / 3))
· 𝐸) <
0) |
75 | 57, 71, 15, 73, 74 | syl22anc 836 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < 0) |
76 | | 0cn 10967 |
. . . . . . . 8
⊢ 0 ∈
ℂ |
77 | | fsumconst 15502 |
. . . . . . . 8
⊢
(((0...𝑁) ∈ Fin
∧ 0 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = ((♯‘(0...𝑁)) · 0)) |
78 | 18, 76, 77 | sylancl 586 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = ((♯‘(0...𝑁)) · 0)) |
79 | | hashcl 14071 |
. . . . . . . . 9
⊢
((0...𝑁) ∈ Fin
→ (♯‘(0...𝑁)) ∈
ℕ0) |
80 | | nn0cn 12243 |
. . . . . . . . 9
⊢
((♯‘(0...𝑁)) ∈ ℕ0 →
(♯‘(0...𝑁))
∈ ℂ) |
81 | 18, 79, 80 | 3syl 18 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (♯‘(0...𝑁)) ∈
ℂ) |
82 | 81 | mul01d 11174 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((♯‘(0...𝑁)) · 0) =
0) |
83 | 78, 82 | eqtrd 2778 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = 0) |
84 | 83 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = 0) |
85 | | 0red 10978 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℝ) |
86 | 13 | rpge0d 12776 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸) |
87 | 86 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝐸) |
88 | | stoweidlem26.3 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑡𝜑 |
89 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑡 𝑖 ∈ (0...𝑁) |
90 | 88, 89 | nfan 1902 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) |
91 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑡0 ≤
((𝑋‘𝑖)‘𝑆) |
92 | 90, 91 | nfim 1899 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) |
93 | | fveq2 6774 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 = 𝑆 → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) = ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) |
94 | 93 | breq2d 5086 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = 𝑆 → (0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
95 | 94 | imbi2d 341 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))) |
96 | | stoweidlem26.14 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)) |
97 | 96 | 3expia 1120 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))) |
98 | 97 | com12 32 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))) |
99 | 38, 92, 95, 98 | vtoclgaf 3512 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑆 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
100 | 50, 99 | mpcom 38 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) |
101 | 19, 51, 87, 100 | mulge0d 11552 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
102 | 18, 85, 52, 101 | fsumle 15511 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
103 | 102 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
104 | 84, 103 | eqbrtrrd 5098 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
105 | 16, 17, 54, 75, 104 | ltletrd 11135 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
106 | | elfzelz 13256 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐿 ∈ (1...𝑁) → 𝐿 ∈ ℤ) |
107 | | zre 12323 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈
ℝ) |
108 | 31, 106, 107 | 3syl 18 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ) |
109 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 4 ∈
ℝ) |
110 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℝ) |
111 | 9 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0) |
112 | 109, 110,
111 | redivcld 11803 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (4 / 3) ∈
ℝ) |
113 | 108, 112 | resubcld 11403 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐿 − (4 / 3)) ∈
ℝ) |
114 | 113, 14 | remulcld 11005 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) |
115 | 114 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) |
116 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
117 | | stoweidlem26.6 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
118 | 14, 117 | nndivred 12027 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ) |
119 | 116, 118 | resubcld 11403 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ) |
120 | 108, 116 | resubcld 11403 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ ℝ) |
121 | 119, 120 | remulcld 11005 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) ∈
ℝ) |
122 | 14, 121 | remulcld 11005 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) ∈
ℝ) |
123 | 122 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) ∈
ℝ) |
124 | | fzfid 13693 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (0...(𝐿 − 2)) ∈ Fin) |
125 | 31 | elfzelzd 13257 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ) |
126 | | 2z 12352 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 ∈
ℤ |
127 | 126 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℤ) |
128 | 125, 127 | zsubcld 12431 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℤ) |
129 | 117 | nnzd 12425 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
130 | 125 | zred 12426 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ) |
131 | | 2re 12047 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 2 ∈
ℝ |
132 | 131 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ) |
133 | 130, 132 | resubcld 11403 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℝ) |
134 | 117 | nnred 11988 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
135 | | 0le2 12075 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 0 ≤
2 |
136 | | 0red 10978 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
137 | 136, 132,
130 | lesub2d 11583 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (0 ≤ 2 ↔ (𝐿 − 2) ≤ (𝐿 − 0))) |
138 | 135, 137 | mpbii 232 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) ≤ (𝐿 − 0)) |
139 | 125 | zcnd 12427 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ) |
140 | 139 | subid1d 11321 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 0) = 𝐿) |
141 | 138, 140 | breqtrd 5100 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) ≤ 𝐿) |
142 | | elfzle2 13260 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐿 ∈ (1...𝑁) → 𝐿 ≤ 𝑁) |
143 | 31, 142 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁) |
144 | 133, 130,
134, 141, 143 | letrd 11132 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) ≤ 𝑁) |
145 | 128, 129,
144 | 3jca 1127 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)) |
146 | | eluz2 12588 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘(𝐿 − 2)) ↔ ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)) |
147 | 145, 146 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 − 2))) |
148 | | fzss2 13296 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘(𝐿 − 2)) → (0...(𝐿 − 2)) ⊆ (0...𝑁)) |
149 | 147, 148 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (0...(𝐿 − 2)) ⊆ (0...𝑁)) |
150 | 149 | sselda 3921 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ∈ (0...𝑁)) |
151 | 150, 51 | syldan 591 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ) |
152 | 124, 151 | fsumrecl 15446 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ) |
153 | 14, 152 | remulcld 11005 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) |
154 | 153 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) |
155 | 14, 120 | remulcld 11005 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐸 · (𝐿 − 1)) ∈
ℝ) |
156 | 14, 14 | remulcld 11005 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) ∈ ℝ) |
157 | 155, 156 | resubcld 11403 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)) ∈ ℝ) |
158 | 120, 117 | nndivred 12027 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ) |
159 | 156, 158 | remulcld 11005 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) ∈ ℝ) |
160 | 155, 159 | resubcld 11403 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))) ∈ ℝ) |
161 | 120, 14 | resubcld 11403 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) − 𝐸) ∈ ℝ) |
162 | 116, 14 | readdcld 11004 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (1 + 𝐸) ∈ ℝ) |
163 | 1, 7, 9 | redivcli 11742 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (1 / 3)
∈ ℝ |
164 | 163 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈
ℝ) |
165 | | stoweidlem26.12 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3)) |
166 | 14, 164, 116, 165 | ltadd2dd 11134 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (1 + 𝐸) < (1 + (1 / 3))) |
167 | | ax-1cn 10929 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 1 ∈
ℂ |
168 | 60, 167, 60, 9 | divdiri 11732 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((3 + 1)
/ 3) = ((3 / 3) + (1 / 3)) |
169 | | 3p1e4 12118 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (3 + 1) =
4 |
170 | 169 | oveq1i 7285 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((3 + 1)
/ 3) = (4 / 3) |
171 | 61 | oveq1i 7285 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((3 / 3)
+ (1 / 3)) = (1 + (1 / 3)) |
172 | 168, 170,
171 | 3eqtr3ri 2775 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (1 + (1 /
3)) = (4 / 3) |
173 | 166, 172 | breqtrdi 5115 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (1 + 𝐸) < (4 / 3)) |
174 | 162, 112,
108, 173 | ltsub2dd 11588 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐿 − (4 / 3)) < (𝐿 − (1 + 𝐸))) |
175 | 167 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
176 | 13 | rpcnd 12774 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ) |
177 | 139, 175,
176 | subsub4d 11363 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) − 𝐸) = (𝐿 − (1 + 𝐸))) |
178 | 174, 177 | breqtrrd 5102 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐿 − (4 / 3)) < ((𝐿 − 1) − 𝐸)) |
179 | 113, 161,
13, 178 | ltmul1dd 12827 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (((𝐿 − 1) − 𝐸) · 𝐸)) |
180 | 139, 175 | subcld 11332 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ ℂ) |
181 | 180, 176 | subcld 11332 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) − 𝐸) ∈ ℂ) |
182 | 176, 181 | mulcomd 10996 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((𝐿 − 1) − 𝐸)) = (((𝐿 − 1) − 𝐸) · 𝐸)) |
183 | 176, 180,
176 | subdid 11431 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((𝐿 − 1) − 𝐸)) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸))) |
184 | 182, 183 | eqtr3d 2780 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 1) − 𝐸) · 𝐸) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸))) |
185 | 179, 184 | breqtrd 5100 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸))) |
186 | | 1zzd 12351 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℤ) |
187 | | elfz 13245 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 1 ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ) → (𝐿 ∈
(1...𝑁) ↔ (1 ≤
𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) |
188 | 125, 186,
129, 187 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) |
189 | 31, 188 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) |
190 | 189 | simprd 496 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝑁) |
191 | | zlem1lt 12372 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁)) |
192 | 125, 129,
191 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐿 ≤ 𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁)) |
193 | 190, 192 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 1) < 𝑁) |
194 | 117 | nngt0d 12022 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁) |
195 | | ltdiv1 11839 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐿 − 1) ∈ ℝ ∧
𝑁 ∈ ℝ ∧
(𝑁 ∈ ℝ ∧ 0
< 𝑁)) → ((𝐿 − 1) < 𝑁 ↔ ((𝐿 − 1) / 𝑁) < (𝑁 / 𝑁))) |
196 | 120, 134,
134, 194, 195 | syl112anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) < 𝑁 ↔ ((𝐿 − 1) / 𝑁) < (𝑁 / 𝑁))) |
197 | 193, 196 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) < (𝑁 / 𝑁)) |
198 | 117 | nncnd 11989 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
199 | 117 | nnne0d 12023 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0) |
200 | 198, 199 | dividd 11749 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑁) = 1) |
201 | 197, 200 | breqtrd 5100 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) < 1) |
202 | 14, 14, 72, 72 | mulgt0d 11130 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 < (𝐸 · 𝐸)) |
203 | | ltmul2 11826 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐿 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ
∧ ((𝐸 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 <
(𝐸 · 𝐸))) → (((𝐿 − 1) / 𝑁) < 1 ↔ ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < ((𝐸 · 𝐸) · 1))) |
204 | 158, 116,
156, 202, 203 | syl112anc 1373 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 1) / 𝑁) < 1 ↔ ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < ((𝐸 · 𝐸) · 1))) |
205 | 201, 204 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < ((𝐸 · 𝐸) · 1)) |
206 | 176, 176 | mulcld 10995 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) ∈ ℂ) |
207 | 206 | mulid1d 10992 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · 1) = (𝐸 · 𝐸)) |
208 | 205, 207 | breqtrd 5100 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < (𝐸 · 𝐸)) |
209 | 159, 156,
155, 208 | ltsub2dd 11588 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)) < ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)))) |
210 | 114, 157,
160, 185, 209 | lttrd 11136 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)))) |
211 | 176, 198,
199 | divcld 11751 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℂ) |
212 | 175, 211,
180 | subdird 11432 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) = ((1 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))) |
213 | 180 | mulid2d 10993 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (1 · (𝐿 − 1)) = (𝐿 − 1)) |
214 | 213 | oveq1d 7290 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))) = ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))) |
215 | 212, 214 | eqtrd 2778 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) = ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))) |
216 | 215 | oveq2d 7291 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) = (𝐸 · ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))))) |
217 | 211, 180 | mulcld 10995 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)) ∈
ℂ) |
218 | 176, 180,
217 | subdid 11431 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))))) |
219 | 176, 198,
180, 199 | div32d 11774 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)) = (𝐸 · ((𝐿 − 1) / 𝑁))) |
220 | 219 | oveq2d 7291 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))) = (𝐸 · (𝐸 · ((𝐿 − 1) / 𝑁)))) |
221 | 180, 198,
199 | divcld 11751 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) ∈ ℂ) |
222 | 176, 176,
221 | mulassd 10998 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) = (𝐸 · (𝐸 · ((𝐿 − 1) / 𝑁)))) |
223 | 220, 222 | eqtr4d 2781 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))) = ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))) |
224 | 223 | oveq2d 7291 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)))) |
225 | 216, 218,
224 | 3eqtrd 2782 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)))) |
226 | 210, 225 | breqtrrd 5102 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)))) |
227 | 226 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)))) |
228 | 175, 211 | subcld 11332 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℂ) |
229 | | fsumconst 15502 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((0...(𝐿 −
2)) ∈ Fin ∧ (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((♯‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁)))) |
230 | 124, 228,
229 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((♯‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁)))) |
231 | 230 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((♯‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁)))) |
232 | | 0zd 12331 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ∈
ℤ) |
233 | 31 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ (1...𝑁)) |
234 | 233 | elfzelzd 13257 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℤ) |
235 | 126 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 2 ∈
ℤ) |
236 | 234, 235 | zsubcld 12431 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ∈ ℤ) |
237 | | elnnuz 12622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈
(ℤ≥‘1)) |
238 | 117, 237 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
(ℤ≥‘1)) |
239 | | elfzp12 13335 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘1) → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐿 = 1 ∨ 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁)))) |
240 | 238, 239 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐿 = 1 ∨ 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁)))) |
241 | 31, 240 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝐿 = 1 ∨ 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁))) |
242 | 241 | orcanai 1000 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) |
243 | | 1p1e2 12098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (1 + 1) =
2 |
244 | 243 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (1 + 1) = 2) |
245 | 244 | oveq1d 7290 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁)) |
246 | 242, 245 | eleqtrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ (2...𝑁)) |
247 | | elfzle1 13259 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐿 ∈ (2...𝑁) → 2 ≤ 𝐿) |
248 | 246, 247 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 2 ≤ 𝐿) |
249 | 108 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℝ) |
250 | 131 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 2 ∈
ℝ) |
251 | 249, 250 | subge0d 11565 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0 ≤ (𝐿 − 2) ↔ 2 ≤ 𝐿)) |
252 | 248, 251 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ≤ (𝐿 − 2)) |
253 | 232, 236,
252 | 3jca 1127 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧
0 ≤ (𝐿 −
2))) |
254 | | eluz2 12588 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐿 − 2) ∈
(ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧
0 ≤ (𝐿 −
2))) |
255 | 253, 254 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ∈
(ℤ≥‘0)) |
256 | | hashfz 14142 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐿 − 2) ∈
(ℤ≥‘0) → (♯‘(0...(𝐿 − 2))) = (((𝐿 − 2) − 0) +
1)) |
257 | 255, 256 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (♯‘(0...(𝐿 − 2))) = (((𝐿 − 2) − 0) +
1)) |
258 | | 2cn 12048 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 2 ∈
ℂ |
259 | 258 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
260 | 139, 259 | subcld 11332 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℂ) |
261 | 260 | subid1d 11321 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) − 0) = (𝐿 − 2)) |
262 | 261 | oveq1d 7290 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) − 0) + 1) = ((𝐿 − 2) +
1)) |
263 | 139, 259,
175 | subadd23d 11354 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) + 1) = (𝐿 + (1 − 2))) |
264 | 258, 167 | negsubdi2i 11307 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ -(2
− 1) = (1 − 2) |
265 | | 2m1e1 12099 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (2
− 1) = 1 |
266 | 265 | negeqi 11214 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ -(2
− 1) = -1 |
267 | 264, 266 | eqtr3i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (1
− 2) = -1 |
268 | 267 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (1 − 2) =
-1) |
269 | 268 | oveq2d 7291 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐿 + (1 − 2)) = (𝐿 + -1)) |
270 | 139, 175 | negsubd 11338 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐿 + -1) = (𝐿 − 1)) |
271 | 269, 270 | eqtrd 2778 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐿 + (1 − 2)) = (𝐿 − 1)) |
272 | 262, 263,
271 | 3eqtrd 2782 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) − 0) + 1) = (𝐿 − 1)) |
273 | 272 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (((𝐿 − 2) − 0) + 1) = (𝐿 − 1)) |
274 | 257, 273 | eqtrd 2778 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (♯‘(0...(𝐿 − 2))) = (𝐿 − 1)) |
275 | 274 | oveq1d 7290 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((♯‘(0...(𝐿 − 2))) · (1
− (𝐸 / 𝑁))) = ((𝐿 − 1) · (1 − (𝐸 / 𝑁)))) |
276 | 180, 228 | mulcomd 10996 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) · (1 − (𝐸 / 𝑁))) = ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) |
277 | 276 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 1) · (1 − (𝐸 / 𝑁))) = ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) |
278 | 231, 275,
277 | 3eqtrd 2782 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) |
279 | | fzfid 13693 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...(𝐿 − 2)) ∈ Fin) |
280 | | fzn0 13270 |
. . . . . . . . 9
⊢
((0...(𝐿 − 2))
≠ ∅ ↔ (𝐿
− 2) ∈ (ℤ≥‘0)) |
281 | 255, 280 | sylibr 233 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...(𝐿 − 2)) ≠ ∅) |
282 | 119 | ad2antrr 723 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ) |
283 | | simpll 764 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝜑) |
284 | 150 | adantlr 712 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ∈ (0...𝑁)) |
285 | 283, 284,
51 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ) |
286 | 49 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑆 ∈ 𝑇) |
287 | | elfzelz 13256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑖 ∈ ℤ) |
288 | 287 | zred 12426 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑖 ∈ ℝ) |
289 | 288 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ∈ ℝ) |
290 | 163 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 / 3) ∈
ℝ) |
291 | 289, 290 | readdcld 11004 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑖 + (1 / 3)) ∈ ℝ) |
292 | 14 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝐸 ∈ ℝ) |
293 | 291, 292 | remulcld 11005 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) |
294 | 108 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝐿 ∈ ℝ) |
295 | 131 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 2 ∈
ℝ) |
296 | 294, 295 | resubcld 11403 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) ∈ ℝ) |
297 | 296, 290 | readdcld 11004 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ∈
ℝ) |
298 | 297, 292 | remulcld 11005 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ∈
ℝ) |
299 | | stoweidlem26.10 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ) |
300 | 299, 49 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇)) |
301 | 300 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇)) |
302 | | ffvelrn 6959 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ) |
303 | 301, 302 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ) |
304 | | elfzle2 13260 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑖 ≤ (𝐿 − 2)) |
305 | 304 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ≤ (𝐿 − 2)) |
306 | 289, 296,
290, 305 | leadd1dd 11589 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑖 + (1 / 3)) ≤ ((𝐿 − 2) + (1 / 3))) |
307 | 14, 72 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) |
308 | 307 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) |
309 | | lemul1 11827 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑖 + (1 / 3)) ∈ ℝ ∧
((𝐿 − 2) + (1 / 3))
∈ ℝ ∧ (𝐸
∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑖 + (1 / 3)) ≤ ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸))) |
310 | 291, 297,
308, 309 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) ≤ ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸))) |
311 | 306, 310 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸)) |
312 | 108, 132 | resubcld 11403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℝ) |
313 | 312, 164 | readdcld 11004 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ∈
ℝ) |
314 | 313, 14 | remulcld 11005 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ∈
ℝ) |
315 | 299, 49 | ffvelrnd 6962 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ) |
316 | 120, 164 | resubcld 11403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (1 / 3)) ∈
ℝ) |
317 | 316, 14 | remulcld 11005 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∈
ℝ) |
318 | | addid1 11155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (1 ∈
ℂ → (1 + 0) = 1) |
319 | 318 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (1 ∈
ℂ → 1 = (1 + 0)) |
320 | 167, 319 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 1 = (1 +
0)) |
321 | 175 | subidd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → (1 − 1) =
0) |
322 | 321 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 0 = (1 −
1)) |
323 | 322 | oveq2d 7291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (1 + 0) = (1 + (1 −
1))) |
324 | | addsubass 11231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 + 1)
− 1) = (1 + (1 − 1))) |
325 | 324 | eqcomd 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (1
− 1)) = ((1 + 1) − 1)) |
326 | 175, 175,
175, 325 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (1 + (1 − 1)) = ((1
+ 1) − 1)) |
327 | 320, 323,
326 | 3eqtrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → 1 = ((1 + 1) −
1)) |
328 | 327 | oveq2d 7291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 1) = (𝐿 − ((1 + 1) −
1))) |
329 | 243 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (1 + 1) =
2) |
330 | 329 | oveq1d 7290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → ((1 + 1) − 1) = (2
− 1)) |
331 | 330 | oveq2d 7291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝐿 − ((1 + 1) − 1)) = (𝐿 − (2 −
1))) |
332 | 139, 259,
175 | subsubd 11360 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝐿 − (2 − 1)) = ((𝐿 − 2) +
1)) |
333 | 328, 331,
332 | 3eqtrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 1) = ((𝐿 − 2) + 1)) |
334 | 333 | oveq1d 7290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (2 / 3)) = (((𝐿 − 2) + 1) − (2 /
3))) |
335 | 258, 60, 9 | divcli 11717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (2 / 3)
∈ ℂ |
336 | 335 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (2 / 3) ∈
ℂ) |
337 | 260, 175,
336 | addsubassd 11352 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) + 1) − (2 / 3)) = ((𝐿 − 2) + (1 − (2 /
3)))) |
338 | 167, 60, 9 | divcli 11717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (1 / 3)
∈ ℂ |
339 | | df-3 12037 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 3 = (2 +
1) |
340 | 339 | oveq1i 7285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (3 / 3) =
((2 + 1) / 3) |
341 | 258, 167,
60, 9 | divdiri 11732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((2 + 1)
/ 3) = ((2 / 3) + (1 / 3)) |
342 | 340, 61, 341 | 3eqtr3ri 2775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((2 / 3)
+ (1 / 3)) = 1 |
343 | 167, 335,
338, 342 | subaddrii 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (1
− (2 / 3)) = (1 / 3) |
344 | 343 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (1 − (2 / 3)) = (1 /
3)) |
345 | 344 | oveq2d 7291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) + (1 − (2 / 3))) = ((𝐿 − 2) + (1 /
3))) |
346 | 334, 337,
345 | 3eqtrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (2 / 3)) = ((𝐿 − 2) + (1 /
3))) |
347 | 131, 7, 9 | redivcli 11742 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (2 / 3)
∈ ℝ |
348 | 347 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (2 / 3) ∈
ℝ) |
349 | | 1lt2 12144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 1 <
2 |
350 | 7, 63 | pm3.2i 471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (3 ∈
ℝ ∧ 0 < 3) |
351 | 1, 131, 350 | 3pm3.2i 1338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (1 ∈
ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 <
3)) |
352 | | ltdiv1 11839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
→ (1 < 2 ↔ (1 / 3) < (2 / 3))) |
353 | 351, 352 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (1 < 2 ↔ (1 / 3)
< (2 / 3))) |
354 | 349, 353 | mpbii 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (1 / 3) < (2 /
3)) |
355 | 164, 348,
120, 354 | ltsub2dd 11588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (2 / 3)) < ((𝐿 − 1) − (1 /
3))) |
356 | 346, 355 | eqbrtrrd 5098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) < ((𝐿 − 1) − (1 /
3))) |
357 | 313, 316,
13, 356 | ltmul1dd 12827 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) < (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) |
358 | 23 | simprd 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ (𝐷‘(𝐿 − 1))) |
359 | | oveq1 7282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑗 = (𝐿 − 1) → (𝑗 − (1 / 3)) = ((𝐿 − 1) − (1 /
3))) |
360 | 359 | oveq1d 7290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑗 = (𝐿 − 1) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) |
361 | 360 | breq2d 5086 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑗 = (𝐿 − 1) → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) |
362 | 361 | rabbidv 3414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑗 = (𝐿 − 1) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}) |
363 | 129 | peano2zd 12429 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ) |
364 | 189 | simpld 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐿) |
365 | 134, 116 | readdcld 11004 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ) |
366 | 134 | lep1d 11906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)) |
367 | 108, 134,
365, 190, 366 | letrd 11132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (𝑁 + 1)) |
368 | 186, 363,
125, 364, 367 | elfzd 13247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...(𝑁 + 1))) |
369 | 139, 175 | npcand 11336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) + 1) = 𝐿) |
370 | | 0p1e1 12095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (0 + 1) =
1 |
371 | 370 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → (0 + 1) =
1) |
372 | 371 | oveq1d 7290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))) |
373 | 368, 369,
372 | 3eltr4d 2854 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) |
374 | | 0zd 12331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℤ) |
375 | 125, 186 | zsubcld 12431 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ ℤ) |
376 | | fzaddel 13290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((0
∈ ℤ ∧ 𝑁
∈ ℤ) ∧ ((𝐿
− 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝐿 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) |
377 | 374, 129,
375, 186, 376 | syl22anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) |
378 | 373, 377 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ (0...𝑁)) |
379 | | rabexg 5255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V) |
380 | 33, 379 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V) |
381 | 25, 362, 378, 380 | fvmptd3 6898 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐿 − 1)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}) |
382 | 358, 381 | neleqtrd 2860 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}) |
383 | | nfcv 2907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
Ⅎ𝑡(((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) |
384 | 41, 42, 383 | nfbr 5121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) |
385 | 45 | breq1d 5084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑡 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) |
386 | 38, 39, 384, 385 | elrabf 3620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑆 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) |
387 | 382, 386 | sylnib 328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → ¬ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) |
388 | | ianor 979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (¬
(𝑆 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) ↔ (¬ 𝑆 ∈ 𝑇 ∨ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) |
389 | 387, 388 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 ∈ 𝑇 ∨ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) |
390 | | olc 865 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑆 ∈ 𝑇 → (¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆 ∈ 𝑇)) |
391 | 390 | anim1i 615 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ (¬ 𝑆 ∈ 𝑇 ∨ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) → ((¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ (¬ 𝑆 ∈ 𝑇 ∨ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))) |
392 | 49, 389, 391 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ (¬ 𝑆 ∈ 𝑇 ∨ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))) |
393 | | orcom 867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((¬
𝑆 ∈ 𝑇 ∨ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) ↔ (¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆 ∈ 𝑇)) |
394 | 393 | anbi2i 623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((¬
(𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ (¬ 𝑆 ∈ 𝑇 ∨ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) ↔ ((¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ (¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆 ∈ 𝑇))) |
395 | 392, 394 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ (¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆 ∈ 𝑇))) |
396 | | pm4.43 1020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (¬
(𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ ((¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ (¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆 ∈ 𝑇))) |
397 | 395, 396 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) |
398 | 317, 315 | ltnled 11122 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑆) ↔ ¬ (𝐹‘𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) |
399 | 397, 398 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑆)) |
400 | 314, 317,
315, 357, 399 | lttrd 11136 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑆)) |
401 | 314, 315,
400 | ltled 11123 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑆)) |
402 | 401 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑆)) |
403 | 293, 298,
303, 311, 402 | letrd 11132 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑆)) |
404 | | nfcv 2907 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑡((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) |
405 | 404, 42, 41 | nfbr 5121 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑡((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑆) |
406 | 45 | breq2d 5086 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = 𝑆 → (((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑆))) |
407 | 38, 39, 405, 406 | elrabf 3620 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑆 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑆))) |
408 | 286, 403,
407 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑆 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)}) |
409 | | stoweidlem26.5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)}) |
410 | | oveq1 7282 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + (1 / 3)) = (𝑖 + (1 / 3))) |
411 | 410 | oveq1d 7290 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸)) |
412 | 411 | breq1d 5084 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡))) |
413 | 412 | rabbidv 3414 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑗 = 𝑖 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)}) |
414 | | rabexg 5255 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ∈ V) |
415 | 33, 414 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ∈ V) |
416 | 415 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ∈ V) |
417 | 409, 413,
150, 416 | fvmptd3 6898 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐵‘𝑖) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)}) |
418 | 408, 417 | eleqtrrd 2842 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) |
419 | 145 | 3ad2ant1 1132 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)) |
420 | 419, 146 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐿 − 2))) |
421 | 420, 148 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (0...(𝐿 − 2)) ⊆ (0...𝑁)) |
422 | | simp2 1136 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) |
423 | 421, 422 | sseldd 3922 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁)) |
424 | | elex 3450 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖) → 𝑆 ∈ V) |
425 | 424 | 3ad2ant3 1134 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → 𝑆 ∈ V) |
426 | | nfcv 2907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑡(0...𝑁) |
427 | | nfrab1 3317 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑡{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} |
428 | 426, 427 | nfmpt 5181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑡(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)}) |
429 | 409, 428 | nfcxfr 2905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑡𝐵 |
430 | | nfcv 2907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑡𝑖 |
431 | 429, 430 | nffv 6784 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑡(𝐵‘𝑖) |
432 | 431 | nfel2 2925 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑡 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖) |
433 | 88, 89, 432 | nf3an 1904 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) |
434 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑡(1 −
(𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) |
435 | 433, 434 | nfim 1899 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) |
436 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑡 = 𝑆 → (𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖) ↔ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖))) |
437 | 436 | 3anbi3d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑡 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)))) |
438 | 93 | breq2d 5086 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑡 = 𝑆 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ↔ (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
439 | 437, 438 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))) |
440 | | stoweidlem26.15 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)) |
441 | 435, 439,
440 | vtoclg1f 3504 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑆 ∈ V → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
442 | 425, 441 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) |
443 | 423, 442 | syld3an2 1410 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) |
444 | 418, 443 | mpd3an3 1461 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) |
445 | 444 | adantlr 712 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) |
446 | 279, 281,
282, 285, 445 | fsumlt 15512 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) |
447 | 278, 446 | eqbrtrrd 5098 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) |
448 | 121 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) ∈
ℝ) |
449 | 152 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ) |
450 | 307 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) |
451 | | ltmul2 11826 |
. . . . . . 7
⊢ ((((1
− (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) ∈ ℝ ∧
Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))) |
452 | 448, 449,
450, 451 | syl3anc 1370 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))) |
453 | 447, 452 | mpbid 231 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
454 | 115, 123,
154, 227, 453 | lttrd 11136 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
455 | 150, 52 | syldan 591 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) |
456 | 455 | adantlr 712 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) |
457 | 456 | recnd 11003 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ) |
458 | 279, 457 | fsumcl 15445 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ) |
459 | 458 | addid1d 11175 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) + 0) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
460 | | 0red 10978 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ∈
ℝ) |
461 | | fzfid 13693 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 1)...𝑁) ∈ Fin) |
462 | 14 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ) |
463 | | 0zd 12331 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ∈ ℤ) |
464 | 129 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
465 | | elfzelz 13256 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ) |
466 | 465 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ) |
467 | | 0red 10978 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ∈ ℝ) |
468 | 120 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ) |
469 | 465 | zred 12426 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ) |
470 | 469 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ) |
471 | | 1m1e0 12045 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (1
− 1) = 0 |
472 | 116, 108,
116, 364 | lesub1dd 11591 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (1 − 1) ≤ (𝐿 − 1)) |
473 | 471, 472 | eqbrtrrid 5110 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐿 − 1)) |
474 | 473 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐿 − 1)) |
475 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) |
476 | 375 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ) |
477 | | elfz 13245 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧
𝑁 ∈ ℤ) →
(𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁))) |
478 | 466, 476,
464, 477 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁))) |
479 | 475, 478 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → ((𝐿 − 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁)) |
480 | 479 | simpld 495 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐿 − 1) ≤ 𝑖) |
481 | 467, 468,
470, 474, 480 | letrd 11132 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ 𝑖) |
482 | | elfzle2 13260 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) → 𝑖 ≤ 𝑁) |
483 | 482 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ≤ 𝑁) |
484 | 463, 464,
466, 481, 483 | elfzd 13247 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁)) |
485 | 484, 51 | syldan 591 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ) |
486 | 462, 485 | remulcld 11005 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) |
487 | 486 | adantlr 712 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) |
488 | 461, 487 | fsumrecl 15446 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) |
489 | 279, 456 | fsumrecl 15446 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) |
490 | | fzfid 13693 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1)...𝑁) ∈ Fin) |
491 | 176 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℂ) |
492 | 491 | mul01d 11174 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · 0) = 0) |
493 | 484, 100 | syldan 591 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) |
494 | 307 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) |
495 | | lemul2 11828 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · 0) ≤ (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))) |
496 | 467, 485,
494, 495 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · 0) ≤ (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))) |
497 | 493, 496 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · 0) ≤ (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
498 | 492, 497 | eqbrtrrd 5098 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
499 | 490, 486,
498 | fsumge0 15507 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
500 | 499 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
501 | 460, 488,
489, 500 | leadd2dd 11590 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) + 0) ≤ (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) + Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))) |
502 | 459, 501 | eqbrtrrd 5098 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ≤ (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) + Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))) |
503 | 151 | recnd 11003 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℂ) |
504 | 124, 176,
503 | fsummulc2 15496 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
505 | 504 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
506 | | stoweidlem26.2 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑗𝜑 |
507 | | elfzelz 13256 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑗 ∈ ℤ) |
508 | 507 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ∈ ℤ) |
509 | 508 | zred 12426 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ∈ ℝ) |
510 | 312 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) ∈ ℝ) |
511 | 120 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ) |
512 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) |
513 | | 0zd 12331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 0 ∈
ℤ) |
514 | 128 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) ∈ ℤ) |
515 | | elfz 13245 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ∈
ℤ ∧ (𝐿 − 2)
∈ ℤ) → (𝑗
∈ (0...(𝐿 − 2))
↔ (0 ≤ 𝑗 ∧
𝑗 ≤ (𝐿 − 2)))) |
516 | 508, 513,
514, 515 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ↔ (0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ (𝐿 − 2)))) |
517 | 512, 516 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ (𝐿 − 2))) |
518 | 517 | simprd 496 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ≤ (𝐿 − 2)) |
519 | 116, 132,
108 | ltsub2d 11585 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (1 < 2 ↔ (𝐿 − 2) < (𝐿 − 1))) |
520 | 349, 519 | mpbii 232 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐿 − 2) < (𝐿 − 1)) |
521 | 520 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) < (𝐿 − 1)) |
522 | 509, 510,
511, 518, 521 | lelttrd 11133 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 < (𝐿 − 1)) |
523 | 509, 511 | ltnled 11122 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑗 < (𝐿 − 1) ↔ ¬ (𝐿 − 1) ≤ 𝑗)) |
524 | 522, 523 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ¬ (𝐿 − 1) ≤ 𝑗) |
525 | 524 | intnanrd 490 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ¬ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)) |
526 | 375 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ) |
527 | 129 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑁 ∈ ℤ) |
528 | | elfz 13245 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧
𝑁 ∈ ℤ) →
(𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) |
529 | 508, 526,
527, 528 | syl3anc 1370 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁))) |
530 | 525, 529 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) |
531 | 530 | ex 413 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁))) |
532 | 506, 531 | ralrimi 3141 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) |
533 | | disj 4381 |
. . . . . . . 8
⊢
(((0...(𝐿 −
2)) ∩ ((𝐿 −
1)...𝑁)) = ∅ ↔
∀𝑗 ∈
(0...(𝐿 − 2)) ¬
𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) |
534 | 532, 533 | sylibr 233 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((0...(𝐿 − 2)) ∩ ((𝐿 − 1)...𝑁)) = ∅) |
535 | 534 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((0...(𝐿 − 2)) ∩ ((𝐿 − 1)...𝑁)) = ∅) |
536 | 144 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ≤ 𝑁) |
537 | 128, 374,
129 | 3jca 1127 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ)) |
538 | 537 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈
ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ)) |
539 | | elfz 13245 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧
0 ∈ ℤ ∧ 𝑁
∈ ℤ) → ((𝐿
− 2) ∈ (0...𝑁)
↔ (0 ≤ (𝐿 −
2) ∧ (𝐿 − 2) ≤
𝑁))) |
540 | 538, 539 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ (𝐿 − 2) ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁))) |
541 | 252, 536,
540 | mpbir2and 710 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁)) |
542 | | fzsplit 13282 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁))) |
543 | 541, 542 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...𝑁) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁))) |
544 | 263, 269,
270 | 3eqtrd 2782 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 2) + 1) = (𝐿 − 1)) |
545 | 544 | oveq1d 7290 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁) = ((𝐿 − 1)...𝑁)) |
546 | 545 | uneq2d 4097 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁)) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ ((𝐿 − 1)...𝑁))) |
547 | 546 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁)) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ ((𝐿 − 1)...𝑁))) |
548 | 543, 547 | eqtrd 2778 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...𝑁) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ ((𝐿 − 1)...𝑁))) |
549 | | fzfid 13693 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...𝑁) ∈ Fin) |
550 | 176 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℂ) |
551 | 51 | recnd 11003 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℂ) |
552 | 550, 551 | mulcld 10995 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ) |
553 | 552 | adantlr 712 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ) |
554 | 535, 548,
549, 553 | fsumsplit 15453 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) + Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))) |
555 | 502, 505,
554 | 3brtr4d 5106 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
556 | 114, 153,
53 | 3jca 1127 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)) |
557 | 556 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)) |
558 | | ltletr 11067 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) → ((((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))) |
559 | 557, 558 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)))) |
560 | 454, 555,
559 | mp2and 696 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
561 | 105, 560 | pm2.61dan 810 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
562 | | sumex 15399 |
. . 3
⊢
Σ𝑖 ∈
(0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ V |
563 | 93 | oveq2d 7291 |
. . . . 5
⊢ (𝑡 = 𝑆 → (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)) = (𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
564 | 563 | sumeq2sdv 15416 |
. . . 4
⊢ (𝑡 = 𝑆 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
565 | | eqid 2738 |
. . . 4
⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))) |
566 | 564, 565 | fvmptg 6873 |
. . 3
⊢ ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆)) ∈ V) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑆) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
567 | 49, 562, 566 | sylancl 586 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑆) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑆))) |
568 | 561, 567 | breqtrrd 5102 |
1
⊢ (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑆)) |