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Theorem stoweidlem26 45549
Description: This lemma is used to prove that there is a function 𝑔 as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92: this lemma proves that g(t) > ( j - 4 / 3 ) * ε. Here 𝐿 is used to represent j in the paper, 𝐷 is used to represent A in the paper, 𝑆 is used to represent t, and 𝐸 is used to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem26.1 𝑡𝐹
stoweidlem26.2 𝑗𝜑
stoweidlem26.3 𝑡𝜑
stoweidlem26.4 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
stoweidlem26.5 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
stoweidlem26.6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem26.7 (𝜑𝑇 ∈ V)
stoweidlem26.8 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
stoweidlem26.9 (𝜑𝑆 ∈ ((𝐷𝐿) ∖ (𝐷‘(𝐿 − 1))))
stoweidlem26.10 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem26.11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem26.12 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
stoweidlem26.13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
stoweidlem26.14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))
stoweidlem26.15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem26 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑡,𝐸   𝑖,𝐿,𝑗,𝑡   𝑖,𝑁,𝑗,𝑡   𝑆,𝑖,𝑡   𝜑,𝑖   𝑗,𝐹   𝑇,𝑗,𝑡   𝑡,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑗)   𝐵(𝑡,𝑖,𝑗)   𝐷(𝑡,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑗)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑡,𝑖)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem stoweidlem26
StepHypRef Expression
1 1re 11246 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
2 eleq1 2813 . . . . . . . 8 (𝐿 = 1 → (𝐿 ∈ ℝ ↔ 1 ∈ ℝ))
31, 2mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝐿 = 1 → 𝐿 ∈ ℝ)
43adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℝ)
5 4re 12329 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 = 1) → 4 ∈ ℝ)
7 3re 12325 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 = 1) → 3 ∈ ℝ)
9 3ne0 12351 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 = 1) → 3 ≠ 0)
116, 8, 10redivcld 12075 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 1) → (4 / 3) ∈ ℝ)
124, 11resubcld 11674 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 1) → (𝐿 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
13 stoweidlem26.11 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1413rpred 13051 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1514adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 1) → 𝐸 ∈ ℝ)
1612, 15remulcld 11276 . . . 4 ((𝜑𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
17 0red 11249 . . . 4 ((𝜑𝐿 = 1) → 0 ∈ ℝ)
18 fzfid 13974 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
1914adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
20 stoweidlem26.13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
21 stoweidlem26.9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ ((𝐷𝐿) ∖ (𝐷‘(𝐿 − 1))))
22 eldif 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ ((𝐷𝐿) ∖ (𝐷‘(𝐿 − 1))) ↔ (𝑆 ∈ (𝐷𝐿) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐷‘(𝐿 − 1))))
2321, 22sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐷𝐿) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐷‘(𝐿 − 1))))
2423simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ (𝐷𝐿))
25 stoweidlem26.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
26 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐿 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝐿 − (1 / 3)))
2726oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐿 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸))
2827breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐿 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)))
2928rabbidv 3426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐿 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)})
30 fz1ssfz0 13632 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
31 stoweidlem26.8 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
3230, 31sselid 3974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ (0...𝑁))
33 stoweidlem26.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ V)
34 rabexg 5334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
3625, 29, 32, 35fvmptd3 7027 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝐿) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)})
3724, 36eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)})
38 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑆
39 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑇
40 stoweidlem26.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝐹
4140, 38nffv 6906 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡(𝐹𝑆)
42 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡
43 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)
4441, 42, 43nfbr 5196 . . . . . . . . . . . 12 𝑡(𝐹𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)
45 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑆 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑆))
4645breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)))
4738, 39, 44, 46elrabf 3675 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑆𝑇 ∧ (𝐹𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)))
4837, 47sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑇 ∧ (𝐹𝑆) ≤ ((𝐿 − (1 / 3)) · 𝐸)))
4948simpld 493 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝑇)
5049adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆𝑇)
5120, 50ffvelcdmd 7094 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
5219, 51remulcld 11276 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
5318, 52fsumrecl 15716 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
5453adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
555, 7, 9redivcli 12014 . . . . . . 7 (4 / 3) ∈ ℝ
5655a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 1) → (4 / 3) ∈ ℝ)
574, 56resubcld 11674 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 1) → (𝐿 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
584recnd 11274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℂ)
5958subid1d 11592 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 = 1) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
60 3cn 12326 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
6160, 9dividi 11980 . . . . . . . . 9 (3 / 3) = 1
62 3lt4 12419 . . . . . . . . . 10 3 < 4
63 3pos 12350 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
647, 5, 7, 63ltdiv1ii 12176 . . . . . . . . . 10 (3 < 4 ↔ (3 / 3) < (4 / 3))
6562, 64mpbi 229 . . . . . . . . 9 (3 / 3) < (4 / 3)
6661, 65eqbrtrri 5172 . . . . . . . 8 1 < (4 / 3)
67 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (𝐿 = 1 → (𝐿 < (4 / 3) ↔ 1 < (4 / 3)))
6867adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 = 1) → (𝐿 < (4 / 3) ↔ 1 < (4 / 3)))
6966, 68mpbiri 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 = 1) → 𝐿 < (4 / 3))
7059, 69eqbrtrd 5171 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 = 1) → (𝐿 − 0) < (4 / 3))
714, 17, 56, 70ltsub23d 11851 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 1) → (𝐿 − (4 / 3)) < 0)
7213rpgt0d 13054 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐸)
7372adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 1) → 0 < 𝐸)
74 mulltgt0 44523 . . . . 5 ((((𝐿 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐿 − (4 / 3)) < 0) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < 0)
7557, 71, 15, 73, 74syl22anc 837 . . . 4 ((𝜑𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < 0)
76 0cn 11238 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
77 fsumconst 15772 . . . . . . . 8 (((0...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = ((♯‘(0...𝑁)) · 0))
7818, 76, 77sylancl 584 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = ((♯‘(0...𝑁)) · 0))
79 hashcl 14351 . . . . . . . . 9 ((0...𝑁) ∈ Fin → (♯‘(0...𝑁)) ∈ ℕ0)
80 nn0cn 12515 . . . . . . . . 9 ((♯‘(0...𝑁)) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...𝑁)) ∈ ℂ)
8118, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(0...𝑁)) ∈ ℂ)
8281mul01d 11445 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(0...𝑁)) · 0) = 0)
8378, 82eqtrd 2765 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = 0)
8483adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 = 0)
85 0red 11249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
8613rpge0d 13055 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
8786adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝐸)
88 stoweidlem26.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝜑
89 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 𝑡 𝑖 ∈ (0...𝑁)
9088, 89nfan 1894 . . . . . . . . . . 11 𝑡(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁))
91 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 𝑡0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆)
9290, 91nfim 1891 . . . . . . . . . 10 𝑡((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆))
93 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑆 → ((𝑋𝑖)‘𝑡) = ((𝑋𝑖)‘𝑆))
9493breq2d 5161 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑆 → (0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
9594imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑆 → (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
96 stoweidlem26.14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))
97963expia 1118 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑡𝑇 → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
9897com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝑇 → ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
9938, 92, 95, 98vtoclgaf 3555 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑇 → ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
10050, 99mpcom 38 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆))
10119, 51, 87, 100mulge0d 11823 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
10218, 85, 52, 101fsumle 15781 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
103102adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
10484, 103eqbrtrrd 5173 . . . 4 ((𝜑𝐿 = 1) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
10516, 17, 54, 75, 104ltletrd 11406 . . 3 ((𝜑𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
106 elfzelz 13536 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (1...𝑁) → 𝐿 ∈ ℤ)
107 zre 12595 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
10831, 106, 1073syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
1095a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
1107a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
1119a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ≠ 0)
112109, 110, 111redivcld 12075 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℝ)
113108, 112resubcld 11674 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
114113, 14remulcld 11276 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
115114adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
1161a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
117 stoweidlem26.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
11814, 117nndivred 12299 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ)
119116, 118resubcld 11674 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
120108, 116resubcld 11674 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
121119, 120remulcld 11276 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) ∈ ℝ)
12214, 121remulcld 11276 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) ∈ ℝ)
123122adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) ∈ ℝ)
124 fzfid 13974 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...(𝐿 − 2)) ∈ Fin)
12531elfzelzd 13537 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
126 2z 12627 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
128125, 127zsubcld 12704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℤ)
129117nnzd 12618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
130125zred 12699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
131 2re 12319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
133130, 132resubcld 11674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℝ)
134117nnred 12260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
135 0le2 12347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 2
136 0red 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
137136, 132, 130lesub2d 11854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0 ≤ 2 ↔ (𝐿 − 2) ≤ (𝐿 − 0)))
138135, 137mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐿 − 2) ≤ (𝐿 − 0))
139125zcnd 12700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
140139subid1d 11592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐿 − 0) = 𝐿)
141138, 140breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐿 − 2) ≤ 𝐿)
142 elfzle2 13540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ (1...𝑁) → 𝐿𝑁)
14331, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿𝑁)
144133, 130, 134, 141, 143letrd 11403 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)
145128, 129, 1443jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁))
146 eluz2 12861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 − 2)) ↔ ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁))
147145, 146sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 − 2)))
148 fzss2 13576 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 − 2)) → (0...(𝐿 − 2)) ⊆ (0...𝑁))
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0...(𝐿 − 2)) ⊆ (0...𝑁))
150149sselda 3976 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
151150, 51syldan 589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
152124, 151fsumrecl 15716 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
15314, 152remulcld 11276 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
154153adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
15514, 120remulcld 11276 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · (𝐿 − 1)) ∈ ℝ)
15614, 14remulcld 11276 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) ∈ ℝ)
157155, 156resubcld 11674 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)) ∈ ℝ)
158120, 117nndivred 12299 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
159156, 158remulcld 11276 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) ∈ ℝ)
160155, 159resubcld 11674 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))) ∈ ℝ)
161120, 14resubcld 11674 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐿 − 1) − 𝐸) ∈ ℝ)
162116, 14readdcld 11275 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 𝐸) ∈ ℝ)
1631, 7, 9redivcli 12014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 3) ∈ ℝ
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
165 stoweidlem26.12 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
16614, 164, 116, 165ltadd2dd 11405 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 + 𝐸) < (1 + (1 / 3)))
167 ax-1cn 11198 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
16860, 167, 60, 9divdiri 12004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
169 3p1e4 12390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
170169oveq1i 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 + 1) / 3) = (4 / 3)
17161oveq1i 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
172168, 170, 1713eqtr3ri 2762 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + (1 / 3)) = (4 / 3)
173166, 172breqtrdi 5190 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 𝐸) < (4 / 3))
174162, 112, 108, 173ltsub2dd 11859 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 − (4 / 3)) < (𝐿 − (1 + 𝐸)))
175167a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17613rpcnd 13053 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
177139, 175, 176subsub4d 11634 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿 − 1) − 𝐸) = (𝐿 − (1 + 𝐸)))
178174, 177breqtrrd 5177 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿 − (4 / 3)) < ((𝐿 − 1) − 𝐸))
179113, 161, 13, 178ltmul1dd 13106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (((𝐿 − 1) − 𝐸) · 𝐸))
180139, 175subcld 11603 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ ℂ)
181180, 176subcld 11603 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿 − 1) − 𝐸) ∈ ℂ)
182176, 181mulcomd 11267 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · ((𝐿 − 1) − 𝐸)) = (((𝐿 − 1) − 𝐸) · 𝐸))
183176, 180, 176subdid 11702 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · ((𝐿 − 1) − 𝐸)) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)))
184182, 183eqtr3d 2767 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐿 − 1) − 𝐸) · 𝐸) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)))
185179, 184breqtrd 5175 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)))
186 1zzd 12626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
187 elfz 13525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐿𝐿𝑁)))
188125, 186, 129, 187syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐿𝐿𝑁)))
18931, 188mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 ≤ 𝐿𝐿𝑁))
190189simprd 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿𝑁)
191 zlem1lt 12647 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
192125, 129, 191syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐿𝑁 ↔ (𝐿 − 1) < 𝑁))
193190, 192mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 − 1) < 𝑁)
194117nngt0d 12294 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑁)
195 ltdiv1 12111 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐿 − 1) < 𝑁 ↔ ((𝐿 − 1) / 𝑁) < (𝑁 / 𝑁)))
196120, 134, 134, 194, 195syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐿 − 1) < 𝑁 ↔ ((𝐿 − 1) / 𝑁) < (𝑁 / 𝑁)))
197193, 196mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) < (𝑁 / 𝑁))
198117nncnd 12261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
199117nnne0d 12295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
200198, 199dividd 12021 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 / 𝑁) = 1)
201197, 200breqtrd 5175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) < 1)
20214, 14, 72, 72mulgt0d 11401 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (𝐸 · 𝐸))
203 ltmul2 12098 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐿 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐸 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 · 𝐸))) → (((𝐿 − 1) / 𝑁) < 1 ↔ ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < ((𝐸 · 𝐸) · 1)))
204158, 116, 156, 202, 203syl112anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐿 − 1) / 𝑁) < 1 ↔ ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < ((𝐸 · 𝐸) · 1)))
205201, 204mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < ((𝐸 · 𝐸) · 1))
206176, 176mulcld 11266 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) ∈ ℂ)
207206mulridd 11263 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · 1) = (𝐸 · 𝐸))
208205, 207breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) < (𝐸 · 𝐸))
209159, 156, 155, 208ltsub2dd 11859 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · 𝐸)) < ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
210114, 157, 160, 185, 209lttrd 11407 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
211176, 198, 199divcld 12023 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℂ)
212175, 211, 180subdird 11703 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) = ((1 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))))
213180mullidd 11264 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 · (𝐿 − 1)) = (𝐿 − 1))
214213oveq1d 7434 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))) = ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))))
215212, 214eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) = ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))))
216215oveq2d 7435 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) = (𝐸 · ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))))
217211, 180mulcld 11266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)) ∈ ℂ)
218176, 180, 217subdid 11702 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 · ((𝐿 − 1) − ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))))
219176, 198, 180, 199div32d 12046 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)) = (𝐸 · ((𝐿 − 1) / 𝑁)))
220219oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))) = (𝐸 · (𝐸 · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
221180, 198, 199divcld 12023 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿 − 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
222176, 176, 221mulassd 11269 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)) = (𝐸 · (𝐸 · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
223220, 222eqtr4d 2768 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1))) = ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁)))
224223oveq2d 7435 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − (𝐸 · ((𝐸 / 𝑁) · (𝐿 − 1)))) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
225216, 218, 2243eqtrd 2769 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) = ((𝐸 · (𝐿 − 1)) − ((𝐸 · 𝐸) · ((𝐿 − 1) / 𝑁))))
226210, 225breqtrrd 5177 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))))
227226adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))))
228175, 211subcld 11603 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℂ)
229 fsumconst 15772 . . . . . . . . . 10 (((0...(𝐿 − 2)) ∈ Fin ∧ (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((♯‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁))))
230124, 228, 229syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((♯‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁))))
231230adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((♯‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁))))
232 0zd 12603 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ∈ ℤ)
23331adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
234233elfzelzd 13537 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℤ)
235126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 2 ∈ ℤ)
236234, 235zsubcld 12704 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ∈ ℤ)
237 elnnuz 12899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
238117, 237sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
239 elfzp12 13615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐿 = 1 ∨ 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
240238, 239syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐿 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐿 = 1 ∨ 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
24131, 240mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐿 = 1 ∨ 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁)))
242241orcanai 1000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
243 1p1e2 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 1) = 2
244243a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (1 + 1) = 2)
245244oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁))
246242, 245eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ (2...𝑁))
247 elfzle1 13539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ (2...𝑁) → 2 ≤ 𝐿)
248246, 247syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 2 ≤ 𝐿)
249108adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 𝐿 ∈ ℝ)
250131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 2 ∈ ℝ)
251249, 250subge0d 11836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0 ≤ (𝐿 − 2) ↔ 2 ≤ 𝐿))
252248, 251mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ≤ (𝐿 − 2))
253232, 236, 2523jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐿 − 2)))
254 eluz2 12861 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 − 2) ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐿 − 2)))
255253, 254sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ∈ (ℤ‘0))
256 hashfz 14422 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 − 2) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘(0...(𝐿 − 2))) = (((𝐿 − 2) − 0) + 1))
257255, 256syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (♯‘(0...(𝐿 − 2))) = (((𝐿 − 2) − 0) + 1))
258 2cn 12320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
260139, 259subcld 11603 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℂ)
261260subid1d 11592 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐿 − 2) − 0) = (𝐿 − 2))
262261oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐿 − 2) − 0) + 1) = ((𝐿 − 2) + 1))
263139, 259, 175subadd23d 11625 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿 − 2) + 1) = (𝐿 + (1 − 2)))
264258, 167negsubdi2i 11578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(2 − 1) = (1 − 2)
265 2m1e1 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
266265negeqi 11485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(2 − 1) = -1
267264, 266eqtr3i 2755 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 − 2) = -1
268267a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 − 2) = -1)
269268oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 + (1 − 2)) = (𝐿 + -1))
270139, 175negsubd 11609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 + -1) = (𝐿 − 1))
271269, 270eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 + (1 − 2)) = (𝐿 − 1))
272262, 263, 2713eqtrd 2769 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐿 − 2) − 0) + 1) = (𝐿 − 1))
273272adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (((𝐿 − 2) − 0) + 1) = (𝐿 − 1))
274257, 273eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (♯‘(0...(𝐿 − 2))) = (𝐿 − 1))
275274oveq1d 7434 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((♯‘(0...(𝐿 − 2))) · (1 − (𝐸 / 𝑁))) = ((𝐿 − 1) · (1 − (𝐸 / 𝑁))))
276180, 228mulcomd 11267 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐿 − 1) · (1 − (𝐸 / 𝑁))) = ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)))
277276adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 1) · (1 − (𝐸 / 𝑁))) = ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)))
278231, 275, 2773eqtrd 2769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) = ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)))
279 fzfid 13974 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...(𝐿 − 2)) ∈ Fin)
280 fzn0 13550 . . . . . . . . 9 ((0...(𝐿 − 2)) ≠ ∅ ↔ (𝐿 − 2) ∈ (ℤ‘0))
281255, 280sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...(𝐿 − 2)) ≠ ∅)
282119ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
283 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝜑)
284150adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
285283, 284, 51syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
28649adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑆𝑇)
287 elfzelz 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑖 ∈ ℤ)
288287zred 12699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑖 ∈ ℝ)
289288adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ∈ ℝ)
290163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 / 3) ∈ ℝ)
291289, 290readdcld 11275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑖 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
29214adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝐸 ∈ ℝ)
293291, 292remulcld 11276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
294108adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝐿 ∈ ℝ)
295131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 2 ∈ ℝ)
296294, 295resubcld 11674 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) ∈ ℝ)
297296, 290readdcld 11275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ∈ ℝ)
298297, 292remulcld 11276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
299 stoweidlem26.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
300299, 49jca 510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑆𝑇))
301300adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑆𝑇))
302 ffvelcdm 7090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝑇⟶ℝ ∧ 𝑆𝑇) → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
303301, 302syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
304 elfzle2 13540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑖 ≤ (𝐿 − 2))
305304adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑖 ≤ (𝐿 − 2))
306289, 296, 290, 305leadd1dd 11860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑖 + (1 / 3)) ≤ ((𝐿 − 2) + (1 / 3)))
30714, 72jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
308307adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
309 lemul1 12099 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 + (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑖 + (1 / 3)) ≤ ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸)))
310291, 297, 308, 309syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) ≤ ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸)))
311306, 310mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸))
312108, 132resubcld 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐿 − 2) ∈ ℝ)
313312, 164readdcld 11275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) ∈ ℝ)
314313, 14remulcld 11276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
315299, 49ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
316120, 164resubcld 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (1 / 3)) ∈ ℝ)
317316, 14remulcld 11276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
318 addrid 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 ∈ ℂ → (1 + 0) = 1)
319318eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1 ∈ ℂ → 1 = (1 + 0))
320167, 319mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 = (1 + 0))
321175subidd 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
322321eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 0 = (1 − 1))
323322oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 + 0) = (1 + (1 − 1)))
324 addsubass 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 + 1) − 1) = (1 + (1 − 1)))
325324eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 + (1 − 1)) = ((1 + 1) − 1))
326175, 175, 175, 325syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 + (1 − 1)) = ((1 + 1) − 1))
327320, 323, 3263eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 1 = ((1 + 1) − 1))
328327oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 − 1) = (𝐿 − ((1 + 1) − 1)))
329243a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (1 + 1) = 2)
330329oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((1 + 1) − 1) = (2 − 1))
331330oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 − ((1 + 1) − 1)) = (𝐿 − (2 − 1)))
332139, 259, 175subsubd 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 − (2 − 1)) = ((𝐿 − 2) + 1))
333328, 331, 3323eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 − 1) = ((𝐿 − 2) + 1))
334333oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (2 / 3)) = (((𝐿 − 2) + 1) − (2 / 3)))
335258, 60, 9divcli 11989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 / 3) ∈ ℂ
336335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (2 / 3) ∈ ℂ)
337260, 175, 336addsubassd 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐿 − 2) + 1) − (2 / 3)) = ((𝐿 − 2) + (1 − (2 / 3))))
338167, 60, 9divcli 11989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 / 3) ∈ ℂ
339 df-3 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 = (2 + 1)
340339oveq1i 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
341258, 167, 60, 9divdiri 12004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
342340, 61, 3413eqtr3ri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
343167, 335, 338, 342subaddrii 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
344343a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 − (2 / 3)) = (1 / 3))
345344oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐿 − 2) + (1 − (2 / 3))) = ((𝐿 − 2) + (1 / 3)))
346334, 337, 3453eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (2 / 3)) = ((𝐿 − 2) + (1 / 3)))
347131, 7, 9redivcli 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 / 3) ∈ ℝ
348347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (2 / 3) ∈ ℝ)
349 1lt2 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 2
3507, 63pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
3511, 131, 3503pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
352 ltdiv1 12111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (1 < 2 ↔ (1 / 3) < (2 / 3)))
353351, 352mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 < 2 ↔ (1 / 3) < (2 / 3)))
354349, 353mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (1 / 3) < (2 / 3))
355164, 348, 120, 354ltsub2dd 11859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐿 − 1) − (2 / 3)) < ((𝐿 − 1) − (1 / 3)))
356346, 355eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐿 − 2) + (1 / 3)) < ((𝐿 − 1) − (1 / 3)))
357313, 316, 13, 356ltmul1dd 13106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) < (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
35823simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ (𝐷‘(𝐿 − 1)))
359 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 = (𝐿 − 1) → (𝑗 − (1 / 3)) = ((𝐿 − 1) − (1 / 3)))
360359oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = (𝐿 − 1) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
361360breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = (𝐿 − 1) → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
362361rabbidv 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = (𝐿 − 1) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
363129peano2zd 12702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
364189simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → 1 ≤ 𝐿)
365134, 116readdcld 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
366134lep1d 12178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
367108, 134, 365, 190, 366letrd 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐿 ≤ (𝑁 + 1))
368186, 363, 125, 364, 367elfzd 13527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐿 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
369139, 175npcand 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((𝐿 − 1) + 1) = 𝐿)
370 0p1e1 12367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0 + 1) = 1
371370a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
372371oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1)))
373368, 369, 3723eltr4d 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝐿 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
374 0zd 12603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
375125, 186zsubcld 12704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
376 fzaddel 13570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝐿 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
377374, 129, 375, 186, 376syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝐿 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
378373, 377mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐿 − 1) ∈ (0...𝑁))
379 rabexg 5334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
38033, 379syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
38125, 362, 378, 380fvmptd3 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐷‘(𝐿 − 1)) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
382358, 381neleqtrd 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
383 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑡(((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)
38441, 42, 383nfbr 5196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑡(𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)
38545breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
38638, 39, 384, 385elrabf 3675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑆 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑆𝑇 ∧ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
387382, 386sylnib 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ¬ (𝑆𝑇 ∧ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
388 ianor 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝑆𝑇 ∧ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) ↔ (¬ 𝑆𝑇 ∨ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
389387, 388sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (¬ 𝑆𝑇 ∨ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
390 olc 866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆𝑇 → (¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆𝑇))
391390anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆𝑇 ∧ (¬ 𝑆𝑇 ∨ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) → ((¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆𝑇 ∨ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))))
39249, 389, 391syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆𝑇 ∨ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))))
393 orcom 868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑆𝑇 ∨ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) ↔ (¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆𝑇))
394393anbi2i 621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆𝑇 ∨ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))) ↔ ((¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆𝑇) ∧ (¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆𝑇)))
395392, 394sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆𝑇) ∧ (¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆𝑇)))
396 pm4.43 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ ((¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ 𝑆𝑇) ∧ (¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ∨ ¬ 𝑆𝑇)))
397395, 396sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
398317, 315ltnled 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑆) ↔ ¬ (𝐹𝑆) ≤ (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
399397, 398mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐿 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑆))
400314, 317, 315, 357, 399lttrd 11407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑆))
401314, 315, 400ltled 11394 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑆))
402401adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (((𝐿 − 2) + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑆))
403293, 298, 303, 311, 402letrd 11403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑆))
404 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸)
405404, 42, 41nfbr 5196 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑆)
40645breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑆 → (((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑆)))
40738, 39, 405, 406elrabf 3675 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)} ↔ (𝑆𝑇 ∧ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑆)))
408286, 403, 407sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑆 ∈ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
409 stoweidlem26.5 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
410 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + (1 / 3)) = (𝑖 + (1 / 3)))
411410oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸))
412411breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡) ↔ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)))
413412rabbidv 3426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
414 rabexg 5334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)} ∈ V)
41533, 414syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)} ∈ V)
416415adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → {𝑡𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)} ∈ V)
417409, 413, 150, 416fvmptd3 7027 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐵𝑖) = {𝑡𝑇 ∣ ((𝑖 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
418408, 417eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑆 ∈ (𝐵𝑖))
4191453ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁))
420419, 146sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 − 2)))
421420, 148syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → (0...(𝐿 − 2)) ⊆ (0...𝑁))
422 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)))
423421, 422sseldd 3977 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
424 elex 3480 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (𝐵𝑖) → 𝑆 ∈ V)
4254243ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → 𝑆 ∈ V)
426 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑡(0...𝑁)
427 nfrab1 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑡{𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)}
428426, 427nfmpt 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
429409, 428nfcxfr 2889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡𝐵
430 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡𝑖
431429, 430nffv 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡(𝐵𝑖)
432431nfel2 2910 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑡 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)
43388, 89, 432nf3an 1896 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖))
434 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆)
435433, 434nfim 1891 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆))
436 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑆 → (𝑡 ∈ (𝐵𝑖) ↔ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)))
4374363anbi3d 1438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑆 → ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖))))
43893breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑆 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡) ↔ (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
439437, 438imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑆 → (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
440 stoweidlem26.15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))
441435, 439, 440vtoclg1f 3549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ V → ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
442425, 441mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆))
443423, 442syld3an2 1408 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆))
444418, 443mpd3an3 1458 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆))
445444adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑆))
446279, 281, 282, 285, 445fsumlt 15782 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(1 − (𝐸 / 𝑁)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆))
447278, 446eqbrtrrd 5173 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆))
448121adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) ∈ ℝ)
449152adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
450307adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
451 ltmul2 12098 . . . . . . 7 ((((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆))))
452448, 449, 450, 451syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1)) < Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆))))
453447, 452mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · ((1 − (𝐸 / 𝑁)) · (𝐿 − 1))) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)))
454115, 123, 154, 227, 453lttrd 11407 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)))
455150, 52syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
456455adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
457456recnd 11274 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ)
458279, 457fsumcl 15715 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ)
459458addridd 11446 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) + 0) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
460 0red 11249 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ∈ ℝ)
461 fzfid 13974 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 1)...𝑁) ∈ Fin)
46214adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
463 0zd 12603 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
464129adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
465 elfzelz 13536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
466465adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
467 0red 11249 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
468120adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
469465zred 12699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
470469adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
471 1m1e0 12317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 − 1) = 0
472116, 108, 116, 364lesub1dd 11862 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 − 1) ≤ (𝐿 − 1))
473471, 472eqbrtrrid 5185 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ (𝐿 − 1))
474473adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐿 − 1))
475 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁))
476375adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
477 elfz 13525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑖𝑖𝑁)))
478466, 476, 464, 477syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑖𝑖𝑁)))
479475, 478mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → ((𝐿 − 1) ≤ 𝑖𝑖𝑁))
480479simpld 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐿 − 1) ≤ 𝑖)
481467, 468, 470, 474, 480letrd 11403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ 𝑖)
482 elfzle2 13540 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) → 𝑖𝑁)
483482adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖𝑁)
484463, 464, 466, 481, 483elfzd 13527 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
485484, 51syldan 589 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
486462, 485remulcld 11276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
487486adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
488461, 487fsumrecl 15716 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
489279, 456fsumrecl 15716 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ)
490 fzfid 13974 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐿 − 1)...𝑁) ∈ Fin)
491176adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℂ)
492491mul01d 11445 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · 0) = 0)
493484, 100syldan 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆))
494307adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
495 lemul2 12100 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · 0) ≤ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
496467, 485, 494, 495syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑆) ↔ (𝐸 · 0) ≤ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
497493, 496mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → (𝐸 · 0) ≤ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
498492, 497eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
499490, 486, 498fsumge0 15777 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
500499adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
501460, 488, 489, 500leadd2dd 11861 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) + 0) ≤ (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) + Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
502459, 501eqbrtrrd 5173 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ≤ (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) + Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
503151recnd 11274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℂ)
504124, 176, 503fsummulc2 15766 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
505504adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) = Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
506 stoweidlem26.2 . . . . . . . . 9 𝑗𝜑
507 elfzelz 13536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → 𝑗 ∈ ℤ)
508507adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ∈ ℤ)
509508zred 12699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ∈ ℝ)
510312adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) ∈ ℝ)
511120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ)
512 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)))
513 0zd 12603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 0 ∈ ℤ)
514128adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) ∈ ℤ)
515 elfz 13525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 2) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ↔ (0 ≤ 𝑗𝑗 ≤ (𝐿 − 2))))
516508, 513, 514, 515syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ↔ (0 ≤ 𝑗𝑗 ≤ (𝐿 − 2))))
517512, 516mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (0 ≤ 𝑗𝑗 ≤ (𝐿 − 2)))
518517simprd 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 ≤ (𝐿 − 2))
519116, 132, 108ltsub2d 11856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 < 2 ↔ (𝐿 − 2) < (𝐿 − 1)))
520349, 519mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐿 − 2) < (𝐿 − 1))
521520adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 2) < (𝐿 − 1))
522509, 510, 511, 518, 521lelttrd 11404 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑗 < (𝐿 − 1))
523509, 511ltnled 11393 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑗 < (𝐿 − 1) ↔ ¬ (𝐿 − 1) ≤ 𝑗))
524522, 523mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ¬ (𝐿 − 1) ≤ 𝑗)
525524intnanrd 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ¬ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑗𝑗𝑁))
526375adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
527129adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → 𝑁 ∈ ℤ)
528 elfz 13525 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
529508, 526, 527, 528syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → (𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁) ↔ ((𝐿 − 1) ≤ 𝑗𝑗𝑁)))
530525, 529mtbird 324 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2))) → ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁))
531530ex 411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) → ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)))
532506, 531ralrimi 3244 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁))
533 disj 4449 . . . . . . . 8 (((0...(𝐿 − 2)) ∩ ((𝐿 − 1)...𝑁)) = ∅ ↔ ∀𝑗 ∈ (0...(𝐿 − 2)) ¬ 𝑗 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁))
534532, 533sylibr 233 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0...(𝐿 − 2)) ∩ ((𝐿 − 1)...𝑁)) = ∅)
535534adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((0...(𝐿 − 2)) ∩ ((𝐿 − 1)...𝑁)) = ∅)
536144adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)
537128, 374, 1293jca 1125 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
538537adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
539 elfz 13525 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ (𝐿 − 2) ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)))
540538, 539syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ (𝐿 − 2) ∧ (𝐿 − 2) ≤ 𝑁)))
541252, 536, 540mpbir2and 711 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁))
542 fzsplit 13562 . . . . . . . 8 ((𝐿 − 2) ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁)))
543541, 542syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...𝑁) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁)))
544263, 269, 2703eqtrd 2769 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐿 − 2) + 1) = (𝐿 − 1))
545544oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁) = ((𝐿 − 1)...𝑁))
546545uneq2d 4160 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁)) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ ((𝐿 − 1)...𝑁)))
547546adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((0...(𝐿 − 2)) ∪ (((𝐿 − 2) + 1)...𝑁)) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ ((𝐿 − 1)...𝑁)))
548543, 547eqtrd 2765 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...𝑁) = ((0...(𝐿 − 2)) ∪ ((𝐿 − 1)...𝑁)))
549 fzfid 13974 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (0...𝑁) ∈ Fin)
550176adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℂ)
55151recnd 11274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑆) ∈ ℂ)
552550, 551mulcld 11266 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ)
553552adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℂ)
554535, 548, 549, 553fsumsplit 15723 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) + Σ𝑖 ∈ ((𝐿 − 1)...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
555502, 505, 5543brtr4d 5181 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
556114, 153, 533jca 1125 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ))
557556adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → (((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ))
558 ltletr 11338 . . . . 5 ((((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ ℝ) → ((((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
559557, 558syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∧ (𝐸 · Σ𝑖 ∈ (0...(𝐿 − 2))((𝑋𝑖)‘𝑆)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆))))
560454, 555, 559mp2and 697 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 = 1) → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
561105, 560pm2.61dan 811 . 2 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
562 sumex 15670 . . 3 Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ V
56393oveq2d 7435 . . . . 5 (𝑡 = 𝑆 → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) = (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
564563sumeq2sdv 15686 . . . 4 (𝑡 = 𝑆 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
565 eqid 2725 . . . 4 (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
566564, 565fvmptg 7002 . . 3 ((𝑆𝑇 ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)) ∈ V) → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑆) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
56749, 562, 566sylancl 584 . 2 (𝜑 → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑆) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑆)))
568561, 567breqtrrd 5177 1 (𝜑 → ((𝐿 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wnfc 2875  wne 2929  wral 3050  {crab 3418  Vcvv 3461  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4322   class class class wbr 5149  cmpt 5232  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  +crp 13009  ...cfz 13519  chash 14325  Σcsu 15668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669
This theorem is referenced by:  stoweidlem34  45557
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