MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s3iunsndisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s3iunsndisj 13996
Description: The union of singletons consisting of length 3 strings which have distinct first and third symbols are disjunct. (Contributed by AV, 17-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
s3iunsndisj (𝐵𝑋Disj 𝑎𝑌 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩})
Distinct variable groups:   𝐵,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐   𝐵,𝑎,𝑐   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎

Proof of Theorem s3iunsndisj
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 893 . . . . 5 (𝑎 = 𝑑 → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
21a1d 25 . . . 4 (𝑎 = 𝑑 → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅)))
3 eliun 4680 . . . . . . . . . 10 (𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ↔ ∃𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩})
4 velsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ↔ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩)
5 eqeq1 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
65adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) ∧ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
7 s3cli 13912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V
8 elex 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐵𝑋𝐵 ∈ V)
9 elex 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑑𝑌𝑑 ∈ V)
109adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑎𝑌𝑑𝑌) → 𝑑 ∈ V)
118, 10anim12ci 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
12 elex 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → 𝑒 ∈ V)
1312adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → 𝑒 ∈ V)
1411, 13anim12i 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → ((𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑒 ∈ V))
15 df-3an 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑒 ∈ V) ↔ ((𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑒 ∈ V))
1614, 15sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → (𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑒 ∈ V))
17 eqwrds3 13993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V ∧ (𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑒 ∈ V)) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒))))
187, 16, 17sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒))))
19 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑎 ∈ V
20 s3fv0 13922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 ∈ V → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑎)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑎
22 simp1 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑)
2321, 22syl5eqr 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒) → 𝑎 = 𝑑)
2423adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((♯‘⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒)) → 𝑎 = 𝑑)
2518, 24syl6bi 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
2625adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) ∧ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
276, 26sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) ∧ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
2827ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∧ ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})))) → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
2928con3d 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∧ ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})))) → (¬ 𝑎 = 𝑑 → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
3029exp32 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → (¬ 𝑎 = 𝑑 → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3130com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑎 = 𝑑 → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3231imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)))
3332expd 404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3433com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3534imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)))
364, 35syl5bi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) → (𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)))
3736imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
3837imp 395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)
39 velsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩} ↔ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)
4038, 39sylnibr 320 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → ¬ 𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
4140nrexdv 3147 . . . . . . . . . . . . 13 ((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) → ¬ ∃𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
42 eliun 4680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩} ↔ ∃𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
4341, 42sylnibr 320 . . . . . . . . . . . 12 ((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) → ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
4443ex 401 . . . . . . . . . . 11 (((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) → (𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} → ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩}))
4544rexlimdva 3178 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (∃𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} → ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩}))
463, 45syl5bi 233 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} → ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩}))
4746ralrimiv 3112 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
48 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑒𝑑 = 𝑑)
49 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑒𝐵 = 𝐵)
50 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑒𝑐 = 𝑒)
5148, 49, 50s3eqd 13895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑒 → ⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)
5251sneqd 4346 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑒 → {⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} = {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5352cbviunv 4715 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} = 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩}
5453eleq2i 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} ↔ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5554notbii 311 . . . . . . . . 9 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} ↔ ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5655ralbii 3127 . . . . . . . 8 (∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} ↔ ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5747, 56sylibr 225 . . . . . . 7 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩})
58 disj 4178 . . . . . . 7 (( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅ ↔ ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩})
5957, 58sylibr 225 . . . . . 6 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅)
6059olcd 900 . . . . 5 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
6160ex 401 . . . 4 𝑎 = 𝑑 → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅)))
622, 61pm2.61i 176 . . 3 ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
6362ralrimivva 3118 . 2 (𝐵𝑋 → ∀𝑎𝑌𝑑𝑌 (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
64 sneq 4344 . . . . 5 (𝑎 = 𝑑 → {𝑎} = {𝑑})
6564difeq2d 3890 . . . 4 (𝑎 = 𝑑 → (𝑍 ∖ {𝑎}) = (𝑍 ∖ {𝑑}))
66 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑑𝑎 = 𝑑)
67 eqidd 2766 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑑𝐵 = 𝐵)
68 eqidd 2766 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑑𝑐 = 𝑐)
6966, 67, 68s3eqd 13895 . . . . 5 (𝑎 = 𝑑 → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩)
7069sneqd 4346 . . . 4 (𝑎 = 𝑑 → {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} = {⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩})
7165, 70iuneq12d 4702 . . 3 (𝑎 = 𝑑 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} = 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩})
7271disjor 4791 . 2 (Disj 𝑎𝑌 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ↔ ∀𝑎𝑌𝑑𝑌 (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
7363, 72sylibr 225 1 (𝐵𝑋Disj 𝑎𝑌 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cdif 3729  cin 3731  c0 4079  {csn 4334   ciun 4676  Disj wdisj 4777  cfv 6068  0cc0 10189  1c1 10190  2c2 11327  3c3 11328  chash 13321  Word cword 13486  ⟨“cs3 13873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13487  df-concat 13542  df-s1 13567  df-s2 13879  df-s3 13880
This theorem is referenced by:  fusgreghash2wspv  27573
  Copyright terms: Public domain W3C validator