MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s3iunsndisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s3iunsndisj 14917
Description: The union of singletons consisting of length 3 strings which have distinct first and third symbols are disjunct. (Contributed by AV, 17-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
s3iunsndisj (𝐵𝑋Disj 𝑎𝑌 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩})
Distinct variable groups:   𝐵,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐   𝐵,𝑎,𝑐   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎

Proof of Theorem s3iunsndisj
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 865 . . . . 5 (𝑎 = 𝑑 → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
21a1d 25 . . . 4 (𝑎 = 𝑑 → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅)))
3 eliun 5001 . . . . . . . . . 10 (𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ↔ ∃𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩})
4 velsn 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ↔ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩)
5 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
65adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) ∧ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
7 s3cli 14834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V
8 elex 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐵𝑋𝐵 ∈ V)
9 elex 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑑𝑌𝑑 ∈ V)
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑎𝑌𝑑𝑌) → 𝑑 ∈ V)
118, 10anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
12 elex 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → 𝑒 ∈ V)
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → 𝑒 ∈ V)
1411, 13anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → ((𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑒 ∈ V))
15 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑒 ∈ V) ↔ ((𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑒 ∈ V))
1614, 15sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → (𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑒 ∈ V))
17 eqwrds3 14914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V ∧ (𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑒 ∈ V)) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒))))
187, 16, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒))))
19 s3fv0 14844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 ∈ V → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑎)
2019elv 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑎
21 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑)
2220, 21eqtr3id 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒) → 𝑎 = 𝑑)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒)) → 𝑎 = 𝑑)
2418, 23syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) ∧ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
266, 25sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) ∧ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
2726ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∧ ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})))) → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
2827con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∧ ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})))) → (¬ 𝑎 = 𝑑 → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
2928exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → (¬ 𝑎 = 𝑑 → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3029com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑎 = 𝑑 → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3130imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)))
3231expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3332com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3433imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)))
354, 34biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) → (𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)))
3635imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
3736imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)
38 velsn 4644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩} ↔ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)
3937, 38sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . 13 (((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → ¬ 𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
4039nrexdv 3149 . . . . . . . . . . . 12 ((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) → ¬ ∃𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
41 eliun 5001 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩} ↔ ∃𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
4240, 41sylnibr 328 . . . . . . . . . . 11 ((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) → ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
4342rexlimdva2 3157 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (∃𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} → ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩}))
443, 43biimtrid 241 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} → ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩}))
4544ralrimiv 3145 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
46 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑒𝑑 = 𝑑)
47 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑒𝐵 = 𝐵)
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑒𝑐 = 𝑒)
4946, 47, 48s3eqd 14817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑒 → ⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)
5049sneqd 4640 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑒 → {⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} = {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5150cbviunv 5043 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} = 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩}
5251eleq2i 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} ↔ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5352notbii 319 . . . . . . . . 9 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} ↔ ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5453ralbii 3093 . . . . . . . 8 (∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} ↔ ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5545, 54sylibr 233 . . . . . . 7 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩})
56 disj 4447 . . . . . . 7 (( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅ ↔ ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩})
5755, 56sylibr 233 . . . . . 6 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅)
5857olcd 872 . . . . 5 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
5958ex 413 . . . 4 𝑎 = 𝑑 → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅)))
602, 59pm2.61i 182 . . 3 ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
6160ralrimivva 3200 . 2 (𝐵𝑋 → ∀𝑎𝑌𝑑𝑌 (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
62 sneq 4638 . . . 4 (𝑎 = 𝑑 → {𝑎} = {𝑑})
6362difeq2d 4122 . . 3 (𝑎 = 𝑑 → (𝑍 ∖ {𝑎}) = (𝑍 ∖ {𝑑}))
64 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 𝑑𝑎 = 𝑑)
65 eqidd 2733 . . . . 5 (𝑎 = 𝑑𝐵 = 𝐵)
66 eqidd 2733 . . . . 5 (𝑎 = 𝑑𝑐 = 𝑐)
6764, 65, 66s3eqd 14817 . . . 4 (𝑎 = 𝑑 → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩)
6867sneqd 4640 . . 3 (𝑎 = 𝑑 → {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} = {⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩})
6963, 68disjiunb 5137 . 2 (Disj 𝑎𝑌 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ↔ ∀𝑎𝑌𝑑𝑌 (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
7061, 69sylibr 233 1 (𝐵𝑋Disj 𝑎𝑌 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  cdif 3945  cin 3947  c0 4322  {csn 4628   ciun 4997  Disj wdisj 5113  cfv 6543  0cc0 11112  1c1 11113  2c2 12269  3c3 12270  chash 14292  Word cword 14466  ⟨“cs3 14795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802
This theorem is referenced by:  fusgreghash2wspv  29626
  Copyright terms: Public domain W3C validator