MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s3iunsndisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s3iunsndisj 14150
Description: The union of singletons consisting of length 3 strings which have distinct first and third symbols are disjunct. (Contributed by AV, 17-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
s3iunsndisj (𝐵𝑋Disj 𝑎𝑌 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩})
Distinct variable groups:   𝐵,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐   𝐵,𝑎,𝑐   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎

Proof of Theorem s3iunsndisj
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 862 . . . . 5 (𝑎 = 𝑑 → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
21a1d 25 . . . 4 (𝑎 = 𝑑 → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅)))
3 eliun 4823 . . . . . . . . . 10 (𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ↔ ∃𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩})
4 velsn 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ↔ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩)
5 eqeq1 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
65adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) ∧ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
7 s3cli 14067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V
8 elex 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐵𝑋𝐵 ∈ V)
9 elex 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑑𝑌𝑑 ∈ V)
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑎𝑌𝑑𝑌) → 𝑑 ∈ V)
118, 10anim12ci 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
12 elex 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → 𝑒 ∈ V)
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → 𝑒 ∈ V)
1411, 13anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → ((𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑒 ∈ V))
15 df-3an 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑒 ∈ V) ↔ ((𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑒 ∈ V))
1614, 15sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → (𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑒 ∈ V))
17 eqwrds3 14147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V ∧ (𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑒 ∈ V)) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒))))
187, 16, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒))))
19 s3fv0 14077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 ∈ V → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑎)
2019elv 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑎
21 simp1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑)
2220, 21syl5eqr 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒) → 𝑎 = 𝑑)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒)) → 𝑎 = 𝑑)
2418, 23syl6bi 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) ∧ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
266, 25sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) ∧ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
2726ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∧ ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})))) → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
2827con3d 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∧ ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})))) → (¬ 𝑎 = 𝑑 → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
2928exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → (¬ 𝑎 = 𝑑 → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3029com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑎 = 𝑑 → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3130imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)))
3231expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3332com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3433imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)))
354, 34syl5bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) → (𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)))
3635imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
3736imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)
38 velsn 4482 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩} ↔ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)
3937, 38sylnibr 330 . . . . . . . . . . . . 13 (((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → ¬ 𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
4039nrexdv 3230 . . . . . . . . . . . 12 ((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) → ¬ ∃𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
41 eliun 4823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩} ↔ ∃𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
4240, 41sylnibr 330 . . . . . . . . . . 11 ((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) → ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
4342rexlimdva2 3247 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (∃𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} → ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩}))
443, 43syl5bi 243 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} → ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩}))
4544ralrimiv 3146 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
46 eqidd 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑒𝑑 = 𝑑)
47 eqidd 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑒𝐵 = 𝐵)
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑒𝑐 = 𝑒)
4946, 47, 48s3eqd 14050 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑒 → ⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)
5049sneqd 4478 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑒 → {⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} = {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5150cbviunv 4860 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} = 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩}
5251eleq2i 2872 . . . . . . . . . 10 (𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} ↔ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5352notbii 321 . . . . . . . . 9 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} ↔ ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5453ralbii 3130 . . . . . . . 8 (∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} ↔ ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5545, 54sylibr 235 . . . . . . 7 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩})
56 disj 4307 . . . . . . 7 (( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅ ↔ ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩})
5755, 56sylibr 235 . . . . . 6 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅)
5857olcd 869 . . . . 5 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
5958ex 413 . . . 4 𝑎 = 𝑑 → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅)))
602, 59pm2.61i 183 . . 3 ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
6160ralrimivva 3156 . 2 (𝐵𝑋 → ∀𝑎𝑌𝑑𝑌 (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
62 sneq 4476 . . . 4 (𝑎 = 𝑑 → {𝑎} = {𝑑})
6362difeq2d 4015 . . 3 (𝑎 = 𝑑 → (𝑍 ∖ {𝑎}) = (𝑍 ∖ {𝑑}))
64 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 𝑑𝑎 = 𝑑)
65 eqidd 2794 . . . . 5 (𝑎 = 𝑑𝐵 = 𝐵)
66 eqidd 2794 . . . . 5 (𝑎 = 𝑑𝑐 = 𝑐)
6764, 65, 66s3eqd 14050 . . . 4 (𝑎 = 𝑑 → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩)
6867sneqd 4478 . . 3 (𝑎 = 𝑑 → {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} = {⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩})
6963, 68disjiunb 4946 . 2 (Disj 𝑎𝑌 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ↔ ∀𝑎𝑌𝑑𝑌 (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
7061, 69sylibr 235 1 (𝐵𝑋Disj 𝑎𝑌 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  wral 3103  wrex 3104  Vcvv 3432  cdif 3851  cin 3853  c0 4206  {csn 4466   ciun 4819  Disj wdisj 4924  cfv 6217  0cc0 10372  1c1 10373  2c2 11529  3c3 11530  chash 13528  Word cword 13695  ⟨“cs3 14028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-disj 4925  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-hash 13529  df-word 13696  df-concat 13757  df-s1 13782  df-s2 14034  df-s3 14035
This theorem is referenced by:  fusgreghash2wspv  27794
  Copyright terms: Public domain W3C validator