Theorem subfacp1lem1 32539

Description: Lemma for subfacp1 32546. The set 𝐾 together with {1, 𝑀} partitions the set 1...(𝑁 + 1). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x	⊢ 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k	⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})

Assertion

Ref	Expression
subfacp1lem1	⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj 4355	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ¬ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})
2		eldifi 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
3		elfzle1 12905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 2 ≤ 𝑥)
4		1lt2 11796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
5		1re 10630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		2re 11699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	5, 6	ltnlei 10750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
8	4, 7	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
9		breq2 5034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 ≤ 𝑥 ↔ 2 ≤ 1))
10	8, 9	mtbiri 330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → ¬ 2 ≤ 𝑥)
11	10	necon2ai 3016	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≤ 𝑥 → 𝑥 ≠ 1)
12	2, 3, 11	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥 ≠ 1)
13		eldifsni 4683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥 ≠ 𝑀)
14	12, 13	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → (𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ 𝑀))
15		subfacp1lem1.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
16	14, 15	eleq2s 2908	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 → (𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ 𝑀))
17		neanior 3079	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ 𝑀) ↔ ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
18	16, 17	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
19		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
20	19	elpr 4548	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {1, 𝑀} ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
21	18, 20	sylnibr 332	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 → ¬ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})
22	1, 21	mprgbir 3121	. . 3 ⊢ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)
24		uncom 4080	. . . 4 ⊢ ({1} ∪ (𝐾 ∪ {𝑀})) = ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1})
25		1z 12000	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
26		fzsn 12944	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...1) = {1}
28	15	uneq1i 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∪ {𝑀}) = (((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀})
29		undif1 4382	. . . . . 6 ⊢ (((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})
30	28, 29	eqtr2i 2822	. . . . 5 ⊢ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (𝐾 ∪ {𝑀})
31	27, 30	uneq12i 4088	. . . 4 ⊢ ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = ({1} ∪ (𝐾 ∪ {𝑀}))
32		df-pr 4528	. . . . . . 7 ⊢ {1, 𝑀} = ({1} ∪ {𝑀})
33	32	equncomi 4082	. . . . . 6 ⊢ {1, 𝑀} = ({𝑀} ∪ {1})
34	33	uneq2i 4087	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (𝐾 ∪ ({𝑀} ∪ {1}))
35		unass 4093	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1}) = (𝐾 ∪ ({𝑀} ∪ {1}))
36	34, 35	eqtr4i 2824	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1})
37	24, 31, 36	3eqtr4i 2831	. . 3 ⊢ ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = (𝐾 ∪ {1, 𝑀})
38		subfacp1lem1.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
39	38	snssd 4702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ⊆ (2...(𝑁 + 1)))
40		ssequn2 4110	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑀} ⊆ (2...(𝑁 + 1)) ↔ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (2...(𝑁 + 1)))
41	39, 40	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (2...(𝑁 + 1)))
42		df-2 11688	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
43	42	oveq1i 7145	. . . . . 6 ⊢ (2...(𝑁 + 1)) = ((1 + 1)...(𝑁 + 1))
44	41, 43	eqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = ((1 + 1)...(𝑁 + 1)))
45	44	uneq2d 4090	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
46		subfacp1lem1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
47	46	peano2nnd 11642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
48		nnuz 12269	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
49	47, 48	eleqtrdi 2900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
50		eluzfz1 12909	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
51		fzsplit 12928	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
52	49, 50, 51	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
53	45, 52	eqtr4d 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = (1...(𝑁 + 1)))
54	37, 53	syl5eqr 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
55	42	oveq2i 7146	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) − 2) = ((𝑁 + 1) − (1 + 1))
56		fzfi 13335	. . . . . . . . 9 ⊢ (2...(𝑁 + 1)) ∈ Fin
57		diffi 8734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2...(𝑁 + 1)) ∈ Fin → ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∈ Fin
59	15, 58	eqeltri 2886	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ Fin
60		prfi 8777	. . . . . . 7 ⊢ {1, 𝑀} ∈ Fin
61		hashun 13739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Fin ∧ {1, 𝑀} ∈ Fin ∧ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅) → (♯‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = ((♯‘𝐾) + (♯‘{1, 𝑀})))
62	59, 60, 22, 61	mp3an 1458	. . . . . 6 ⊢ (♯‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = ((♯‘𝐾) + (♯‘{1, 𝑀}))
63	54	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = (♯‘(1...(𝑁 + 1))))
64		neeq1 3049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 𝑀 ≠ 1))
65	3, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 𝑥 ≠ 1)
66	64, 65	vtoclga 3522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 𝑀 ≠ 1)
67	38, 66	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 1)
68	67	necomd 3042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝑀)
69		1ex 10626	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
70		subfacp1lem1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 ∈ V
71		hashprg 13752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ V) → (1 ≠ 𝑀 ↔ (♯‘{1, 𝑀}) = 2))
72	69, 70, 71	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ≠ 𝑀 ↔ (♯‘{1, 𝑀}) = 2)
73	68, 72	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘{1, 𝑀}) = 2)
74	73	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) + (♯‘{1, 𝑀})) = ((♯‘𝐾) + 2))
75	62, 63, 74	3eqtr3a 2857	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = ((♯‘𝐾) + 2))
76	47	nnnn0d 11943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
77		hashfz1 13702	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
78	76, 77	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
79	75, 78	eqtr3d 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) + 2) = (𝑁 + 1))
80	47	nncnd 11641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
81		2cnd 11703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
82		hashcl 13713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
83	59, 82	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐾) ∈ ℕ0
84	83	nn0cni 11897	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐾) ∈ ℂ
85	84	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℂ)
86	80, 81, 85	subadd2d 11005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) − 2) = (♯‘𝐾) ↔ ((♯‘𝐾) + 2) = (𝑁 + 1)))
87	79, 86	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 2) = (♯‘𝐾))
88	46	nncnd 11641	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
89		1cnd 10625	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
90	88, 89, 89	pnpcan2d 11024	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (1 + 1)) = (𝑁 − 1))
91	55, 87, 90	3eqtr3a 2857	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1))
92	23, 54, 91	3jca 1125	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525  {cpr 4527   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ℂcc 10524  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  ♯chash 13686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687

This theorem is referenced by:  subfacp1lem2a  32540  subfacp1lem3  32542  subfacp1lem4  32543