Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacp1lem1 32642
 Description: Lemma for subfacp1 32649. The set 𝐾 together with {1, 𝑀} partitions the set 1...(𝑁 + 1). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem1 (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem1
StepHypRef Expression
1 disj 4337 . . . 4 ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐾 ¬ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})
2 eldifi 4028 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
3 elfzle1 12944 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 2 ≤ 𝑥)
4 1lt2 11830 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
5 1re 10664 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
6 2re 11733 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
75, 6ltnlei 10784 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
84, 7mpbi 233 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ≤ 1
9 breq2 5029 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (2 ≤ 𝑥 ↔ 2 ≤ 1))
108, 9mtbiri 331 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ¬ 2 ≤ 𝑥)
1110necon2ai 2978 . . . . . . . . 9 (2 ≤ 𝑥𝑥 ≠ 1)
122, 3, 113syl 18 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥 ≠ 1)
13 eldifsni 4673 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥𝑀)
1412, 13jca 516 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → (𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥𝑀))
15 subfacp1lem1.k . . . . . . 7 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
1614, 15eleq2s 2869 . . . . . 6 (𝑥𝐾 → (𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥𝑀))
17 neanior 3041 . . . . . 6 ((𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥𝑀) ↔ ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
1816, 17sylib 221 . . . . 5 (𝑥𝐾 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
19 vex 3411 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
2019elpr 4538 . . . . 5 (𝑥 ∈ {1, 𝑀} ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
2118, 20sylnibr 333 . . . 4 (𝑥𝐾 → ¬ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})
221, 21mprgbir 3083 . . 3 (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅
2322a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)
24 uncom 4054 . . . 4 ({1} ∪ (𝐾 ∪ {𝑀})) = ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1})
25 1z 12036 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
26 fzsn 12983 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 (1...1) = {1}
2815uneq1i 4060 . . . . . 6 (𝐾 ∪ {𝑀}) = (((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀})
29 undif1 4365 . . . . . 6 (((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})
3028, 29eqtr2i 2783 . . . . 5 ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (𝐾 ∪ {𝑀})
3127, 30uneq12i 4062 . . . 4 ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = ({1} ∪ (𝐾 ∪ {𝑀}))
32 df-pr 4518 . . . . . . 7 {1, 𝑀} = ({1} ∪ {𝑀})
3332equncomi 4056 . . . . . 6 {1, 𝑀} = ({𝑀} ∪ {1})
3433uneq2i 4061 . . . . 5 (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (𝐾 ∪ ({𝑀} ∪ {1}))
35 unass 4067 . . . . 5 ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1}) = (𝐾 ∪ ({𝑀} ∪ {1}))
3634, 35eqtr4i 2785 . . . 4 (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1})
3724, 31, 363eqtr4i 2792 . . 3 ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = (𝐾 ∪ {1, 𝑀})
38 subfacp1lem1.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
3938snssd 4692 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑀} ⊆ (2...(𝑁 + 1)))
40 ssequn2 4084 . . . . . . 7 ({𝑀} ⊆ (2...(𝑁 + 1)) ↔ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (2...(𝑁 + 1)))
4139, 40sylib 221 . . . . . 6 (𝜑 → ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (2...(𝑁 + 1)))
42 df-2 11722 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
4342oveq1i 7153 . . . . . 6 (2...(𝑁 + 1)) = ((1 + 1)...(𝑁 + 1))
4441, 43eqtrdi 2810 . . . . 5 (𝜑 → ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = ((1 + 1)...(𝑁 + 1)))
4544uneq2d 4064 . . . 4 (𝜑 → ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
46 subfacp1lem1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4746peano2nnd 11676 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
48 nnuz 12306 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
4947, 48eleqtrdi 2861 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
50 eluzfz1 12948 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
51 fzsplit 12967 . . . . 5 (1 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
5249, 50, 513syl 18 . . . 4 (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
5345, 52eqtr4d 2797 . . 3 (𝜑 → ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = (1...(𝑁 + 1)))
5437, 53syl5eqr 2808 . 2 (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
5542oveq2i 7154 . . 3 ((𝑁 + 1) − 2) = ((𝑁 + 1) − (1 + 1))
56 fzfi 13374 . . . . . . . . 9 (2...(𝑁 + 1)) ∈ Fin
57 diffi 8764 . . . . . . . . 9 ((2...(𝑁 + 1)) ∈ Fin → ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∈ Fin
5915, 58eqeltri 2847 . . . . . . 7 𝐾 ∈ Fin
60 prfi 8811 . . . . . . 7 {1, 𝑀} ∈ Fin
61 hashun 13778 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Fin ∧ {1, 𝑀} ∈ Fin ∧ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅) → (♯‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = ((♯‘𝐾) + (♯‘{1, 𝑀})))
6259, 60, 22, 61mp3an 1459 . . . . . 6 (♯‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = ((♯‘𝐾) + (♯‘{1, 𝑀}))
6354fveq2d 6655 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = (♯‘(1...(𝑁 + 1))))
64 neeq1 3011 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 𝑀 ≠ 1))
653, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 𝑥 ≠ 1)
6664, 65vtoclga 3490 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 𝑀 ≠ 1)
6738, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ≠ 1)
6867necomd 3004 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≠ 𝑀)
69 1ex 10660 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
70 subfacp1lem1.x . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ V
71 hashprg 13791 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ V) → (1 ≠ 𝑀 ↔ (♯‘{1, 𝑀}) = 2))
7269, 70, 71mp2an 692 . . . . . . . 8 (1 ≠ 𝑀 ↔ (♯‘{1, 𝑀}) = 2)
7368, 72sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘{1, 𝑀}) = 2)
7473oveq2d 7159 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐾) + (♯‘{1, 𝑀})) = ((♯‘𝐾) + 2))
7562, 63, 743eqtr3a 2818 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = ((♯‘𝐾) + 2))
7647nnnn0d 11979 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
77 hashfz1 13741 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7876, 77syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7975, 78eqtr3d 2796 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐾) + 2) = (𝑁 + 1))
8047nncnd 11675 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
81 2cnd 11737 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
82 hashcl 13752 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
8359, 82ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝐾) ∈ ℕ0
8483nn0cni 11931 . . . . . 6 (♯‘𝐾) ∈ ℂ
8584a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℂ)
8680, 81, 85subadd2d 11039 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 + 1) − 2) = (♯‘𝐾) ↔ ((♯‘𝐾) + 2) = (𝑁 + 1)))
8779, 86mpbird 260 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 2) = (♯‘𝐾))
8846nncnd 11675 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
89 1cnd 10659 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9088, 89, 89pnpcan2d 11058 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (1 + 1)) = (𝑁 − 1))
9155, 87, 903eqtr3a 2818 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1))
9223, 54, 913jca 1126 1 (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 845   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  {cab 2736   ≠ wne 2949  ∀wral 3068  Vcvv 3407   ∖ cdif 3851   ∪ cun 3852   ∩ cin 3853   ⊆ wss 3854  ∅c0 4221  {csn 4515  {cpr 4517   class class class wbr 5025   ↦ cmpt 5105  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  Fincfn 8520  ℂcc 10558  1c1 10561   + caddc 10563   < clt 10698   ≤ cle 10699   − cmin 10893  ℕcn 11659  2c2 11714  ℕ0cn0 11919  ℤcz 12005  ℤ≥cuz 12267  ...cfz 12924  ♯chash 13725 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-dju 9348  df-card 9386  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-fz 12925  df-hash 13726 This theorem is referenced by:  subfacp1lem2a  32643  subfacp1lem3  32645  subfacp1lem4  32646
 Copyright terms: Public domain W3C validator