Theorem subfacp1lem1 34468

Description: Lemma for subfacp1 34475. The set 𝐾 together with {1, 𝑀} partitions the set 1...(𝑁 + 1). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x	⊢ 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k	⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})

Assertion

Ref	Expression
subfacp1lem1	⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj 4446	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ¬ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})
2		eldifi 4125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
3		elfzle1 13508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 2 ≤ 𝑥)
4		1lt2 12387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
5		1re 11218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		2re 12290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	5, 6	ltnlei 11339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
8	4, 7	mpbi 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
9		breq2 5151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 ≤ 𝑥 ↔ 2 ≤ 1))
10	8, 9	mtbiri 326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → ¬ 2 ≤ 𝑥)
11	10	necon2ai 2968	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≤ 𝑥 → 𝑥 ≠ 1)
12	2, 3, 11	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥 ≠ 1)
13		eldifsni 4792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥 ≠ 𝑀)
14	12, 13	jca 510	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → (𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ 𝑀))
15		subfacp1lem1.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
16	14, 15	eleq2s 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 → (𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ 𝑀))
17		neanior 3033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ 𝑀) ↔ ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
18	16, 17	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
19		vex 3476	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
20	19	elpr 4650	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {1, 𝑀} ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
21	18, 20	sylnibr 328	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾 → ¬ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})
22	1, 21	mprgbir 3066	. . 3 ⊢ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)
24		uncom 4152	. . . 4 ⊢ ({1} ∪ (𝐾 ∪ {𝑀})) = ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1})
25		1z 12596	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
26		fzsn 13547	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...1) = {1}
28	15	uneq1i 4158	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∪ {𝑀}) = (((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀})
29		undif1 4474	. . . . . 6 ⊢ (((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})
30	28, 29	eqtr2i 2759	. . . . 5 ⊢ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (𝐾 ∪ {𝑀})
31	27, 30	uneq12i 4160	. . . 4 ⊢ ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = ({1} ∪ (𝐾 ∪ {𝑀}))
32		df-pr 4630	. . . . . . 7 ⊢ {1, 𝑀} = ({1} ∪ {𝑀})
33	32	equncomi 4154	. . . . . 6 ⊢ {1, 𝑀} = ({𝑀} ∪ {1})
34	33	uneq2i 4159	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (𝐾 ∪ ({𝑀} ∪ {1}))
35		unass 4165	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1}) = (𝐾 ∪ ({𝑀} ∪ {1}))
36	34, 35	eqtr4i 2761	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1})
37	24, 31, 36	3eqtr4i 2768	. . 3 ⊢ ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = (𝐾 ∪ {1, 𝑀})
38		subfacp1lem1.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
39	38	snssd 4811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ⊆ (2...(𝑁 + 1)))
40		ssequn2 4182	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑀} ⊆ (2...(𝑁 + 1)) ↔ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (2...(𝑁 + 1)))
41	39, 40	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (2...(𝑁 + 1)))
42		df-2 12279	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
43	42	oveq1i 7421	. . . . . 6 ⊢ (2...(𝑁 + 1)) = ((1 + 1)...(𝑁 + 1))
44	41, 43	eqtrdi 2786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = ((1 + 1)...(𝑁 + 1)))
45	44	uneq2d 4162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
46		subfacp1lem1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
47	46	peano2nnd 12233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
48		nnuz 12869	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
49	47, 48	eleqtrdi 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
50		eluzfz1 13512	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
51		fzsplit 13531	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
52	49, 50, 51	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
53	45, 52	eqtr4d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = (1...(𝑁 + 1)))
54	37, 53	eqtr3id 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
55	42	oveq2i 7422	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) − 2) = ((𝑁 + 1) − (1 + 1))
56		fzfi 13941	. . . . . . . . 9 ⊢ (2...(𝑁 + 1)) ∈ Fin
57		diffi 9181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2...(𝑁 + 1)) ∈ Fin → ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∈ Fin
59	15, 58	eqeltri 2827	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ Fin
60		prfi 9324	. . . . . . 7 ⊢ {1, 𝑀} ∈ Fin
61		hashun 14346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Fin ∧ {1, 𝑀} ∈ Fin ∧ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅) → (♯‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = ((♯‘𝐾) + (♯‘{1, 𝑀})))
62	59, 60, 22, 61	mp3an 1459	. . . . . 6 ⊢ (♯‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = ((♯‘𝐾) + (♯‘{1, 𝑀}))
63	54	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = (♯‘(1...(𝑁 + 1))))
64		neeq1 3001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 𝑀 ≠ 1))
65	3, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 𝑥 ≠ 1)
66	64, 65	vtoclga 3565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 𝑀 ≠ 1)
67	38, 66	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 1)
68	67	necomd 2994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝑀)
69		1ex 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
70		subfacp1lem1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 ∈ V
71		hashprg 14359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ V) → (1 ≠ 𝑀 ↔ (♯‘{1, 𝑀}) = 2))
72	69, 70, 71	mp2an 688	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ≠ 𝑀 ↔ (♯‘{1, 𝑀}) = 2)
73	68, 72	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘{1, 𝑀}) = 2)
74	73	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) + (♯‘{1, 𝑀})) = ((♯‘𝐾) + 2))
75	62, 63, 74	3eqtr3a 2794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = ((♯‘𝐾) + 2))
76	47	nnnn0d 12536	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
77		hashfz1 14310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
78	76, 77	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
79	75, 78	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) + 2) = (𝑁 + 1))
80	47	nncnd 12232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
81		2cnd 12294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
82		hashcl 14320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
83	59, 82	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐾) ∈ ℕ0
84	83	nn0cni 12488	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐾) ∈ ℂ
85	84	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℂ)
86	80, 81, 85	subadd2d 11594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) − 2) = (♯‘𝐾) ↔ ((♯‘𝐾) + 2) = (𝑁 + 1)))
87	79, 86	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 2) = (♯‘𝐾))
88	46	nncnd 12232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
89		1cnd 11213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
90	88, 89, 89	pnpcan2d 11613	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (1 + 1)) = (𝑁 − 1))
91	55, 87, 90	3eqtr3a 2794	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1))
92	23, 54, 91	3jca 1126	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2707   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  Vcvv 3472   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  –1-1-onto→wf1o 6541  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  ℂcc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℕcn 12216  2c2 12271  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13488  ♯chash 14294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295

This theorem is referenced by:  subfacp1lem2a  34469  subfacp1lem3  34471  subfacp1lem4  34472