Theorem stoweidlem59 47068

Description: This lemma proves that there exists a function 𝑥 as in the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 91, after Lemma 2: x_j is in the subalgebra, 0 <= x_j <= 1, x_j < ε / n on A_j (meaning A in the paper), x_j > 1 - \epsilon / n on B_j. Here 𝐷 is used to represent A in the paper (because A is used for the subalgebra of functions), 𝐸 is used to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem59.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem59.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem59.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem59.4	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem59.5	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem59.6	⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
stoweidlem59.7	⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
stoweidlem59.8	⊢ 𝑌 = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1)}
stoweidlem59.9	⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))})
stoweidlem59.10	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem59.11	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem59.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem59.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem59.14	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑦) ∈ 𝐴)
stoweidlem59.15	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem59.16	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweidlem59.17	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem59.18	⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
stoweidlem59.19	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem59	⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥:(0...𝑁)⟶𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ (0...𝑁)(∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ∧ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)((𝑥‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑥‘𝑗)‘𝑡))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡   𝑓,𝑗,𝜑,𝑦,𝑞,𝑟   𝑗,𝑁,𝑡,𝑦,𝑓   𝑔,𝑁,𝑞,𝑟   𝑡,𝑇,𝑥,𝑦   𝑥,𝐻   𝐵,𝑓,𝑔,𝑞,𝑟   𝑓,𝐽,𝑔,𝑟,𝑡   𝑥,𝐷   𝑇,𝑓,𝑔,𝑞,𝑟   𝑥,𝐵,𝑦   𝑓,𝐸,𝑔,𝑟   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴,𝑦   𝑗,𝑌,𝑥   𝐷,𝑓,𝑔,𝑞,𝑟   𝑡,𝐾   𝑡,𝐸,𝑥,𝑦   𝑦,𝐷   𝑥,𝑓   𝑔,𝑗,𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑡, 𝑗)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑡, 𝑓, 𝑔, 𝑗, 𝑟, 𝑞)   𝐷(𝑡, 𝑗)   𝑇(𝑗)   𝐸(𝑗, 𝑞)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑡, 𝑓, 𝑔, 𝑗, 𝑟, 𝑞)   𝐻(𝑦, 𝑡, 𝑓, 𝑔, 𝑗, 𝑟, 𝑞)   𝐽(𝑥, 𝑦, 𝑗, 𝑞)   𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑔, 𝑗, 𝑟, 𝑞)   𝑌(𝑦, 𝑡, 𝑓, 𝑔, 𝑟, 𝑞)

Proof of Theorem stoweidlem59

Dummy variables 𝑧 ℎ 𝑎 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem59.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1)}
2		nfrab1 3432	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1)}
3	1, 2	nfcxfr 2921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦𝑌
4		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧𝑌
5		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧(∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))
6		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑧‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑧‘𝑡))
7		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦‘𝑡) = (𝑧‘𝑡))
8	7	breq1d 5113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ (𝑧‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
9	8	ralbidv 3186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑧‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
10	7	breq2d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡) ↔ (1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑧‘𝑡)))
11	10	ralbidv 3186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑧‘𝑡)))
12	9, 11	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡)) ↔ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑧‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑧‘𝑡))))
13	3, 4, 5, 6, 12	cbvrabw 3447	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))} = {𝑧 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑧‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑧‘𝑡))}
14		ovexd 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
15		stoweidlem59.11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
16		stoweidlem59.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
17	15, 16	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
18	14, 17	ssexd 5286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
19	1, 18	rabexd 5301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
20	13, 19	rabexd 5301	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))} ∈ V)
21	20	ralrimivw 3159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0...𝑁){𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))} ∈ V)
22		stoweidlem59.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))})
23	22	fnmpt 6679	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑗 ∈ (0...𝑁){𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))} ∈ V → 𝐻 Fn (0...𝑁))
24	21, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (0...𝑁))
25		fzfi 14115	. . . . 5 ⊢ (0...𝑁) ∈ Fin
26		fnfi 9193	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 Fn (0...𝑁) ∧ (0...𝑁) ∈ Fin) → 𝐻 ∈ Fin)
27	24, 25, 26	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Fin)
28		rnfi 9329	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Fin → ran 𝐻 ∈ Fin)
29	27, 28	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ∈ Fin)
30		fnchoice 46045	. . 3 ⊢ (ran 𝐻 ∈ Fin → ∃ℎ(ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤)))
31	29, 30	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤)))
32		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → ℎ Fn ran 𝐻)
33		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑁) ∈ V
34	33	mptex 7229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))}) ∈ V
35	22, 34	eqeltri 2857	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ V
36	35	rnex 7922	. . . . 5 ⊢ ran 𝐻 ∈ V
37		fnex 7223	. . . . 5 ⊢ ((ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ran 𝐻 ∈ V) → ℎ ∈ V)
38	32, 36, 37	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → ℎ ∈ V)
39		coexg 7941	. . . 4 ⊢ ((ℎ ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → (ℎ ∘ 𝐻) ∈ V)
40	38, 35, 39	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → (ℎ ∘ 𝐻) ∈ V)
41		dffn3 6722	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ Fn ran 𝐻 ↔ ℎ:ran 𝐻⟶ran ℎ)
42	32, 41	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → ℎ:ran 𝐻⟶ran ℎ)
43		nfv 1947	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
44		nfv 1947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑤 ℎ Fn ran 𝐻
45		nfra1 3287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤)
46	44, 45	nfan 1932	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑤(ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))
47	43, 46	nfan 1932	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤)))
48		simplrr 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐻) → ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))
49		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐻) → 𝑤 ∈ ran 𝐻)
50		fvelrnb 6945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐻 Fn (0...𝑁) → (𝑤 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑎 ∈ (0...𝑁)(𝐻‘𝑎) = 𝑤))
51		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐻‘𝑗) = 𝑤
52		nfmpt1 5204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))})
53	22, 52	nfcxfr 2921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝐻
54		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝑎
55	53, 54	nffv 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐻‘𝑎)
56		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗𝑤
57	55, 56	nfeq 2936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐻‘𝑎) = 𝑤
58		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (𝐻‘𝑗) = (𝐻‘𝑎))
59	58	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → ((𝐻‘𝑗) = 𝑤 ↔ (𝐻‘𝑎) = 𝑤))
60	51, 57, 59	cbvrexw 3306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐻‘𝑗) = 𝑤 ↔ ∃𝑎 ∈ (0...𝑁)(𝐻‘𝑎) = 𝑤)
61	50, 60	bitr4di 292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐻 Fn (0...𝑁) → (𝑤 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐻‘𝑗) = 𝑤))
62	24, 61	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐻‘𝑗) = 𝑤))
63	62	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐻) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐻‘𝑗) = 𝑤)
64		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐻‘𝑗) = 𝑤) → (𝐻‘𝑗) = 𝑤)
65		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
66	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))} ∈ V)
67	22	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))} ∈ V) → (𝐻‘𝑗) = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))})
68	65, 66, 67	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐻‘𝑗) = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))})
69		stoweidlem59.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
70		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑡(0...𝑁)
71		nfrab1 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}
72	70, 71	nfmpt 5203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
73	69, 72	nfcxfr 2921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑡𝐷
74		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑡𝑗
75	73, 74	nffv 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐷‘𝑗)
76		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
77		stoweidlem59.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
78		nfrab1 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)}
79	70, 78	nfmpt 5203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
80	77, 79	nfcxfr 2921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑡𝐵
81	80, 74	nffv 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐵‘𝑗)
82	76, 81	nfdif 4077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ (𝐵‘𝑗))
83		stoweidlem59.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
84		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑗 ∈ (0...𝑁)
85	83, 84	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁))
86		stoweidlem59.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
87		stoweidlem59.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
88		stoweidlem59.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
89	88	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝐽 ∈ Comp)
90	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
91		stoweidlem59.12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
92	91	3adant1r 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
93		stoweidlem59.13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
94	93	3adant1r 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
95		stoweidlem59.14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑦) ∈ 𝐴)
96	95	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑦) ∈ 𝐴)
97		stoweidlem59.15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
98	97	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
99	88	uniexd 7759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
100	87, 99	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
101	100	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑇 ∈ V)
102		rabexg 5299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ∈ V)
103	101, 102	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ∈ V)
104	77	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ∈ V) → (𝐵‘𝑗) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
105	65, 103, 104	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
106		stoweidlem59.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
107		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)}
108		elfzelz 13656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
109	108	zred 12803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
110		3re 12423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 3 ∈ ℝ
111		3ne0 12452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 3 ≠ 0
112	110, 111	rereccli 12082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
113		readdcl 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (1 / 3) ∈ ℝ) → (𝑗 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
114	109, 112, 113	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → (𝑗 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
115	114	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑗 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
116		stoweidlem59.17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
117	116	rpred 13164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
118	117	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
119	115, 118	remulcld 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
120		stoweidlem59.16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
121	120, 16	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
122	121	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
123	106, 86, 87, 107, 119, 122	rfcnpre3 46049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ∈ (Clsd‘𝐽))
124	105, 123	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) ∈ (Clsd‘𝐽))
125		rabexg 5299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
126	101, 125	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
127	69	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V) → (𝐷‘𝑗) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
128	65, 126, 127	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑗) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
129		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}
130		resubcl 11622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (1 / 3) ∈ ℝ) → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
131	109, 112, 130	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
132	131	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
133	132, 118	remulcld 11339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
134	106, 86, 87, 129, 133, 122	rfcnpre4 46050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ (Clsd‘𝐽))
135	128, 134	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑗) ∈ (Clsd‘𝐽))
136	133	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
137	119	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
138	86, 87, 16, 120	fcnre 46041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
139	138	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
140		ssrab2 4028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ⊆ 𝑇
141	105, 140	eqsstrdi 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵‘𝑗) ⊆ 𝑇)
142	141	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
143	139, 142	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
144	112, 130	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
145		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ∈ ℝ)
146	112, 113	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
147		3pos 12451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ 0 < 3
148	110, 147	recgt0ii 12223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ 0 < (1 / 3)
149	112, 148	elrpii 13123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ+
150		ltsubrp 13158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (1 / 3) ∈ ℝ+) → (𝑗 − (1 / 3)) < 𝑗)
151	149, 150	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − (1 / 3)) < 𝑗)
152		ltaddrp 13159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (1 / 3) ∈ ℝ+) → 𝑗 < (𝑗 + (1 / 3)))
153	149, 152	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 < (𝑗 + (1 / 3)))
154	144, 145, 146, 151, 153	lttrd 11471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − (1 / 3)) < (𝑗 + (1 / 3)))
155	109, 154	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → (𝑗 − (1 / 3)) < (𝑗 + (1 / 3)))
156	155	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑗 − (1 / 3)) < (𝑗 + (1 / 3)))
157	116	rpregt0d 13170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
158	157	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
159		ltmul1 12167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝑗 + (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑗 − (1 / 3)) < (𝑗 + (1 / 3)) ↔ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸)))
160	132, 115, 158, 159	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) < (𝑗 + (1 / 3)) ↔ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸)))
161	156, 160	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
162	161	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
163	105	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗) ↔ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)}))
164	163	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
165		rabid 3433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)))
166	164, 165	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)))
167	166	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡))
168	136, 137, 143, 162, 167	ltletrd 11470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡))
169	136, 143	ltnled 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
170	168, 169	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
171	170	intnand 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → ¬ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
172		rabid 3433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
173	171, 172	sylnibr 332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
174	128	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → (𝐷‘𝑗) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
175	173, 174	neleqtrrd 2884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
176	175	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)))
177	85, 176	ralrimi 3261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗) ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
178		disj 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐵‘𝑗) ∩ (𝐷‘𝑗)) = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ (𝐵‘𝑗) ¬ 𝑎 ∈ (𝐷‘𝑗))
179		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐵‘𝑗)
180	75	nfcri 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑎 ∈ (𝐷‘𝑗)
181	180	nfn 1890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑡 ¬ 𝑎 ∈ (𝐷‘𝑗)
182		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑎 ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)
183		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (𝑎 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)))
184	183	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (¬ 𝑎 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)))
185	179, 81, 181, 182, 184	cbvralfw 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∀𝑎 ∈ (𝐵‘𝑗) ¬ 𝑎 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗) ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
186	178, 185	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐵‘𝑗) ∩ (𝐷‘𝑗)) = ∅ ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗) ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
187	177, 186	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵‘𝑗) ∩ (𝐷‘𝑗)) = ∅)
188		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑇 ∖ (𝐵‘𝑗)) = (𝑇 ∖ (𝐵‘𝑗))
189		stoweidlem59.19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
190	189	nnrpd 13162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
191	116, 190	rpdivcld 13181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ+)
192	191	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ+)
193	117, 189	nndivred 12392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ)
194	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
195	189	nnge1d 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
196		1re 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 1 ∈ ℝ
197		0lt1 11838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 0 < 1
198	196, 197	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
199	198	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
200	189	nnred 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
201	189	nngt0d 12387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
202		lediv2 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (𝐸 / 𝑁) ≤ (𝐸 / 1)))
203	199, 200, 201, 157, 202	syl121anc 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (𝐸 / 𝑁) ≤ (𝐸 / 1)))
204	195, 203	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ≤ (𝐸 / 1))
205	116	rpcnd 13166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
206	205	div1d 12085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 1) = 𝐸)
207	204, 206	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ≤ 𝐸)
208		stoweidlem59.18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
209	193, 117, 194, 207, 208	lelttrd 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) < (1 / 3))
210	209	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 / 𝑁) < (1 / 3))
211	75, 82, 85, 86, 87, 16, 89, 90, 92, 94, 96, 98, 124, 135, 187, 188, 192, 210	stoweidlem58 47067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡)))
212		df-rex 3088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡))))
213	211, 212	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡))))
214		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡)))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
215		simprr1 1240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡)))) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1))
216		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦‘𝑡) = (𝑥‘𝑡))
217	216	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ↔ 0 ≤ (𝑥‘𝑡)))
218	216	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦‘𝑡) ≤ 1 ↔ (𝑥‘𝑡) ≤ 1))
219	217, 218	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1)))
220	219	ralbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1)))
221	220, 1	elrab2 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1)))
222	214, 215, 221	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡)))) → 𝑥 ∈ 𝑌)
223		simprr2 1241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡)))) → ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
224		simprr3 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡)))) → ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡))
225	223, 224	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡)))) → (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡)))
226		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑦𝑥
227		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑦(∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡))
228	216	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ (𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
229	228	ralbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
230	216	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡) ↔ (1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡)))
231	230	ralbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡)))
232	229, 231	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡)) ↔ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡))))
233	226, 3, 227, 232	elrabf 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))} ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡))))
234	222, 225, 233	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡)))) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))})
235	234	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡))) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))}))
236	235	eximdv 1950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑥‘𝑡) ∧ (𝑥‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑥‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑥‘𝑡))) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))}))
237	213, 236	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))})
238		ne0i 4287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))} → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))} ≠ ∅)
239	238	exlimiv 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))} → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))} ≠ ∅)
240	237, 239	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))} ≠ ∅)
241	68, 240	eqnetrd 3023	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐻‘𝑗) ≠ ∅)
242	241	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐻‘𝑗) = 𝑤) → (𝐻‘𝑗) ≠ ∅)
243	64, 242	eqnetrrd 3024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐻‘𝑗) = 𝑤) → 𝑤 ≠ ∅)
244	243	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ (0...𝑁) → ((𝐻‘𝑗) = 𝑤 → 𝑤 ≠ ∅)))
245	244	rexlimdv 3162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐻‘𝑗) = 𝑤 → 𝑤 ≠ ∅))
246	245	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐻) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐻‘𝑗) = 𝑤 → 𝑤 ≠ ∅))
247	63, 246	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐻) → 𝑤 ≠ ∅)
248	247	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐻) → 𝑤 ≠ ∅)
249		rsp 3251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤) → (𝑤 ∈ ran 𝐻 → (𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤)))
250	48, 49, 248, 249	syl3c 67	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐻) → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤)
251	250	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → (𝑤 ∈ ran 𝐻 → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))
252	47, 251	ralrimi 3261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤)
253		chfnrn 7048	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤) → ran ℎ ⊆ ∪ ran 𝐻)
254	32, 252, 253	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → ran ℎ ⊆ ∪ ran 𝐻)
255		nfv 1947	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
256		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦ℎ
257		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦(0...𝑁)
258		nfrab1 3432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))}
259	257, 258	nfmpt 5203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))})
260	22, 259	nfcxfr 2921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝐻
261	260	nfrn 5934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦ran 𝐻
262	256, 261	nffn 6638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 ℎ Fn ran 𝐻
263		nfv 1947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤)
264	261, 263	nfralw 3310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤)
265	262, 264	nfan 1932	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))
266	255, 265	nfan 1932	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤)))
267	261	nfuni 4874	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦∪ ran 𝐻
268		fnunirn 7257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐻 Fn (0...𝑁) → (𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻 ↔ ∃𝑧 ∈ (0...𝑁)𝑦 ∈ (𝐻‘𝑧)))
269		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗𝑧
270	53, 269	nffv 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐻‘𝑧)
271	270	nfcri 2915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑧)
272		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)
273		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑗 → (𝐻‘𝑧) = (𝐻‘𝑗))
274	273	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑗 → (𝑦 ∈ (𝐻‘𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)))
275	271, 272, 274	cbvrexw 3306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑧 ∈ (0...𝑁)𝑦 ∈ (𝐻‘𝑧) ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗))
276	268, 275	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐻 Fn (0...𝑁) → (𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)))
277	24, 276	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻 ↔ ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)))
278	277	biimpa 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗))
279		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
280	53	nfrn 5934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗ran 𝐻
281	280	nfuni 4874	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗∪ ran 𝐻
282	281	nfcri 2915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻
283	279, 282	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻)
284		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ 𝑌
285		simp1l 1216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)) → 𝜑)
286		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
287		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗))
288	68	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))}))
289	288	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)) → 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))})
290		rabid 3433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))} ↔ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))))
291	289, 290	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)) → (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))))
292	291	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)) → 𝑦 ∈ 𝑌)
293	285, 286, 287, 292	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)) → 𝑦 ∈ 𝑌)
294	293	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻) → (𝑗 ∈ (0...𝑁) → (𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗) → 𝑦 ∈ 𝑌)))
295	283, 284, 294	rexlimd 3270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗) → 𝑦 ∈ 𝑌))
296	278, 295	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻) → 𝑦 ∈ 𝑌)
297	296	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻) → 𝑦 ∈ 𝑌)
298	297	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → (𝑦 ∈ ∪ ran 𝐻 → 𝑦 ∈ 𝑌))
299	266, 267, 3, 298	ssrd 3936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → ∪ ran 𝐻 ⊆ 𝑌)
300		ssrab2 4028	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1)} ⊆ 𝐴
301	1, 300	eqsstri 3977	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
302	299, 301	sstrdi 3943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → ∪ ran 𝐻 ⊆ 𝐴)
303	254, 302	sstrd 3941	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → ran ℎ ⊆ 𝐴)
304	42, 303	fssd 6727	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → ℎ:ran 𝐻⟶𝐴)
305		dffn3 6722	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 Fn (0...𝑁) ↔ 𝐻:(0...𝑁)⟶ran 𝐻)
306	24, 305	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0...𝑁)⟶ran 𝐻)
307	306	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → 𝐻:(0...𝑁)⟶ran 𝐻)
308		fco 6734	. . . . 5 ⊢ ((ℎ:ran 𝐻⟶𝐴 ∧ 𝐻:(0...𝑁)⟶ran 𝐻) → (ℎ ∘ 𝐻):(0...𝑁)⟶𝐴)
309	304, 307, 308	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → (ℎ ∘ 𝐻):(0...𝑁)⟶𝐴)
310		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗ℎ
311	310, 280	nffn 6638	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 ℎ Fn ran 𝐻
312		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤)
313	280, 312	nfralw 3310	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤)
314	311, 313	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))
315	279, 314	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤)))
316		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
317		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
318	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝐻 Fn (0...𝑁))
319		fvco2 6982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐻 Fn (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) = (ℎ‘(𝐻‘𝑗)))
320	318, 319	sylancom 600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) = (ℎ‘(𝐻‘𝑗)))
321		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))
322		fnfun 6639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐻 Fn (0...𝑁) → Fun 𝐻)
323	24, 322	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
324	323	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → Fun 𝐻)
325	24	fndmd 6644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝐻 = (0...𝑁))
326	325	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → dom 𝐻 = (0...𝑁))
327	65, 326	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ dom 𝐻)
328	327	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ dom 𝐻)
329		fvelrn 7076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun 𝐻 ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐻) → (𝐻‘𝑗) ∈ ran 𝐻)
330	324, 328, 329	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐻‘𝑗) ∈ ran 𝐻)
331	321, 330	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤) ∧ (𝐻‘𝑗) ∈ ran 𝐻))
332	241	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐻‘𝑗) ≠ ∅)
333		neeq1 3018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝐻‘𝑗) → (𝑤 ≠ ∅ ↔ (𝐻‘𝑗) ≠ ∅))
334		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝐻‘𝑗) → (ℎ‘𝑤) = (ℎ‘(𝐻‘𝑗)))
335		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝐻‘𝑗) → 𝑤 = (𝐻‘𝑗))
336	334, 335	eleq12d 2855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝐻‘𝑗) → ((ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤 ↔ (ℎ‘(𝐻‘𝑗)) ∈ (𝐻‘𝑗)))
337	333, 336	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐻‘𝑗) → ((𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤) ↔ ((𝐻‘𝑗) ≠ ∅ → (ℎ‘(𝐻‘𝑗)) ∈ (𝐻‘𝑗))))
338	337	rspccva 3576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤) ∧ (𝐻‘𝑗) ∈ ran 𝐻) → ((𝐻‘𝑗) ≠ ∅ → (ℎ‘(𝐻‘𝑗)) ∈ (𝐻‘𝑗)))
339	331, 332, 338	sylc 66	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (ℎ‘(𝐻‘𝑗)) ∈ (𝐻‘𝑗))
340	320, 339	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗))
341	256, 260	nfco 5843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦(ℎ ∘ 𝐻)
342		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦𝑗
343	341, 342	nffv 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)
344		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁))
345	260, 342	nffv 6895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐻‘𝑗)
346	343, 345	nfel 2937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗)
347	344, 346	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗))
348	343, 3	nfel 2937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ 𝑌
349	347, 348	nfim 1929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗)) → ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ 𝑌)
350		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → (𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗) ↔ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗)))
351	350	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗))))
352		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → (𝑦 ∈ 𝑌 ↔ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ 𝑌))
353	351, 352	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)) → 𝑦 ∈ 𝑌) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗)) → ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ 𝑌)))
354	343, 349, 353, 292	vtoclgf 3530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗) → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗)) → ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ 𝑌))
355	354	anabsi7 684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗)) → ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ 𝑌)
356	316, 317, 340, 355	syl21anc 851	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ 𝑌)
357	1	eleq2i 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ 𝑌 ↔ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1)})
358		nfcv 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
359		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝑇
360		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦0
361		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
362		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝑡
363	343, 362	nffv 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡)
364	360, 361, 363	nfbr 5152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡)
365		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦1
366	363, 361, 365	nfbr 5152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1
367	364, 366	nfan 1932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)
368	359, 367	nfralw 3310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)
369		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡𝑦
370		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑡ℎ
371		nfra1 3287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)
372		nfra1 3287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡)
373	371, 372	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑡(∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))
374		nfra1 3287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1)
375		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑡𝐴
376	374, 375	nfrabw 3448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1)}
377	1, 376	nfcxfr 2921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑡𝑌
378	373, 377	nfrabw 3448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))}
379	70, 378	nfmpt 5203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))})
380	22, 379	nfcxfr 2921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑡𝐻
381	370, 380	nfco 5843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑡(ℎ ∘ 𝐻)
382	381, 74	nffv 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)
383	369, 382	nfeq 2936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)
384		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → (𝑦‘𝑡) = (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡))
385	384	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ↔ 0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡)))
386	384	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → ((𝑦‘𝑡) ≤ 1 ↔ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1))
387	385, 386	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → ((0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)))
388	383, 387	ralbid 3276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)))
389	343, 358, 368, 388	elrabf 3642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑦‘𝑡) ∧ (𝑦‘𝑡) ≤ 1)} ↔ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)))
390	357, 389	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ 𝑌 ↔ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)))
391	356, 390	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)))
392	391	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1))
393		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐷‘𝑗)
394		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 <
395		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐸 / 𝑁)
396	363, 394, 395	nfbr 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)
397	393, 396	nfralw 3310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)
398	347, 397	nfim 1929	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗)) → ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
399	384	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → ((𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
400	383, 399	ralbid 3276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
401	351, 400	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)) → ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗)) → ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))))
402	291	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)) → (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡)))
403	402	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)) → ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(𝑦‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
404	343, 398, 401, 403	vtoclgf 3530	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗) → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗)) → ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
405	404	anabsi7 684	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗)) → ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
406	316, 317, 340, 405	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
407		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵‘𝑗)
408		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦(1 − (𝐸 / 𝑁))
409	408, 394, 363	nfbr 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡)
410	407, 409	nfralw 3310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡)
411	347, 410	nfim 1929	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗)) → ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡))
412	384	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡) ↔ (1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡)))
413	383, 412	ralbid 3276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → (∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡)))
414	351, 413	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) → ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)) → ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗)) → ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡))))
415	402	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑗)) → ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (𝑦‘𝑡))
416	343, 411, 414, 415	vtoclgf 3530	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗) → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗)) → ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡)))
417	416	anabsi7 684	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗) ∈ (𝐻‘𝑗)) → ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡))
418	316, 317, 340, 417	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡))
419	392, 406, 418	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡)))
420	419	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → (𝑗 ∈ (0...𝑁) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡))))
421	315, 420	ralrimi 3261	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → ∀𝑗 ∈ (0...𝑁)(∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡)))
422	309, 421	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → ((ℎ ∘ 𝐻):(0...𝑁)⟶𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ (0...𝑁)(∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡))))
423		feq1 6687	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻) → (𝑥:(0...𝑁)⟶𝐴 ↔ (ℎ ∘ 𝐻):(0...𝑁)⟶𝐴))
424		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝑥
425	310, 53	nfco 5843	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(ℎ ∘ 𝐻)
426	424, 425	nfeq 2936	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻)
427		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝑥
428	427, 381	nfeq 2936	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻)
429		fveq1 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻) → (𝑥‘𝑗) = ((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗))
430	429	fveq1d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻) → ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) = (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡))
431	430	breq2d 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻) → (0 ≤ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ↔ 0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡)))
432	430	breq1d 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻) → (((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1 ↔ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1))
433	431, 432	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻) → ((0 ≤ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ∧ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)))
434	428, 433	ralbid 3276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ∧ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)))
435	430	breq1d 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻) → (((𝑥‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
436	428, 435	ralbid 3276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻) → (∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)((𝑥‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
437	430	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻) → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ↔ (1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡)))
438	428, 437	ralbid 3276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻) → (∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡)))
439	434, 436, 438	3anbi123d 1464	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻) → ((∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ∧ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)((𝑥‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑥‘𝑗)‘𝑡)) ↔ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡))))
440	426, 439	ralbid 3276	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻) → (∀𝑗 ∈ (0...𝑁)(∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ∧ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)((𝑥‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑥‘𝑗)‘𝑡)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0...𝑁)(∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡))))
441	423, 440	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (ℎ ∘ 𝐻) → ((𝑥:(0...𝑁)⟶𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ (0...𝑁)(∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ∧ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)((𝑥‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑥‘𝑗)‘𝑡))) ↔ ((ℎ ∘ 𝐻):(0...𝑁)⟶𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ (0...𝑁)(∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡)))))
442	441	spcegv 3552	. . 3 ⊢ ((ℎ ∘ 𝐻) ∈ V → (((ℎ ∘ 𝐻):(0...𝑁)⟶𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ (0...𝑁)(∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ∧ (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)(((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < (((ℎ ∘ 𝐻)‘𝑗)‘𝑡))) → ∃𝑥(𝑥:(0...𝑁)⟶𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ (0...𝑁)(∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ∧ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)((𝑥‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑥‘𝑗)‘𝑡)))))
443	40, 422, 442	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℎ Fn ran 𝐻 ∧ ∀𝑤 ∈ ran 𝐻(𝑤 ≠ ∅ → (ℎ‘𝑤) ∈ 𝑤))) → ∃𝑥(𝑥:(0...𝑁)⟶𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ (0...𝑁)(∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ∧ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)((𝑥‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑥‘𝑗)‘𝑡))))
444	31, 443	exlimddv 1968	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝑥:(0...𝑁)⟶𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ (0...𝑁)(∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ∧ ((𝑥‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)((𝑥‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑥‘𝑗)‘𝑡))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2908   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ran crn 5652   ∘ ccom 5655  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  3c3 12398  ℝ⁺crp 13120  (,)cioo 13476  ...cfz 13639  topGenctg 17608  Clsdccld 23334   Cn ccn 23542  Compccmp 23704

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641

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