Theorem fvinim0ffz 13927

Description: The function values for the borders of a finite interval of integers, which is the domain of the function, are not in the image of the interior of the interval iff the intersection of the images of the interior and the borders is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 5-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fvinim0ffz	⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐹 “ {0, 𝐾}) ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))) = ∅ ↔ ((𝐹‘0) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ∧ (𝐹‘𝐾) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)))))

Proof of Theorem fvinim0ffz

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6709	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 → 𝐹 Fn (0...𝐾))
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐹 Fn (0...𝐾))
3		0nn0 12624	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
5		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6		nn0ge0 12634	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
7	6	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
8		elfz2nn0 13755	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0...𝐾) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐾))
9	4, 5, 7, 8	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ (0...𝐾))
10		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
11		nn0re 12618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	leidd 11885	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ≤ 𝐾)
13		elfz2nn0 13755	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐾))
14	10, 10, 12, 13	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ (0...𝐾))
15	14	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ (0...𝐾))
16		fnimapr 6968	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn (0...𝐾) ∧ 0 ∈ (0...𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝐾)) → (𝐹 “ {0, 𝐾}) = {(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)})
17	2, 9, 15, 16	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐹 “ {0, 𝐾}) = {(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)})
18	17	ineq1d 4116	. . 3 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐹 “ {0, 𝐾}) ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))) = ({(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)} ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
19	18	eqeq1d 2762	. 2 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐹 “ {0, 𝐾}) ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))) = ∅ ↔ ({(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)} ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))) = ∅))
20		disj 4402	. . 3 ⊢ (({(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)} ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))) = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ {(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)} ¬ 𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)))
21		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
22		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐾) ∈ V
23		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘0) → (𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ (𝐹‘0) ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
24	23	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘0) → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ ¬ (𝐹‘0) ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
25		df-nel 3062	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘0) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ ¬ (𝐹‘0) ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)))
26	24, 25	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘0) → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ (𝐹‘0) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
27		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝐾) → (𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ (𝐹‘𝐾) ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
28	27	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝐾) → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ ¬ (𝐹‘𝐾) ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
29		df-nel 3062	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐾) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ ¬ (𝐹‘𝐾) ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)))
30	28, 29	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝐾) → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ (𝐹‘𝐾) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
31	21, 22, 26, 30	ralpr 4657	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ {(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)} ¬ 𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ ((𝐹‘0) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ∧ (𝐹‘𝐾) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
32	20, 31	bitri 278	. 2 ⊢ (({(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)} ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))) = ∅ ↔ ((𝐹‘0) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ∧ (𝐹‘𝐾) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
33	19, 32	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐹 “ {0, 𝐾}) ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))) = ∅ ↔ ((𝐹‘0) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ∧ (𝐹‘𝐾) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  {cpr 4586   class class class wbr 5102   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   ≤ cle 11347  ℕ₀cn0 12609  ...cfz 13642  ..^cfzo 13791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643

This theorem is used by:  injresinjlem  13928  pthdivtx  30317  pthdlem2  30359