Theorem fvinim0ffz 13792

Description: The function values for the borders of a finite interval of integers, which is the domain of the function, are not in the image of the interior of the interval iff the intersection of the images of the interior and the borders is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 5-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fvinim0ffz	⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐹 “ {0, 𝐾}) ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))) = ∅ ↔ ((𝐹‘0) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ∧ (𝐹‘𝐾) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)))))

Proof of Theorem fvinim0ffz

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6687	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 → 𝐹 Fn (0...𝐾))
2	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐹 Fn (0...𝐾))
3		0nn0 12493	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
5		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
6		nn0ge0 12503	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
7	6	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
8		elfz2nn0 13620	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0...𝐾) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐾))
9	4, 5, 7, 8	syl3anbrc 1356	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ (0...𝐾))
10		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
11		nn0re 12487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	leidd 11750	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ≤ 𝐾)
13		elfz2nn0 13620	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝐾))
14	10, 10, 12, 13	syl3anbrc 1356	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ (0...𝐾))
15	14	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ (0...𝐾))
16		fnimapr 6946	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn (0...𝐾) ∧ 0 ∈ (0...𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝐾)) → (𝐹 “ {0, 𝐾}) = {(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)})
17	2, 9, 15, 16	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐹 “ {0, 𝐾}) = {(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)})
18	17	ineq1d 4171	. . 3 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐹 “ {0, 𝐾}) ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))) = ({(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)} ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
19	18	eqeq1d 2763	. 2 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐹 “ {0, 𝐾}) ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))) = ∅ ↔ ({(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)} ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))) = ∅))
20		disj 4403	. . 3 ⊢ (({(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)} ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))) = ∅ ↔ ∀𝑣 ∈ {(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)} ¬ 𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)))
21		fvex 6876	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) ∈ V
22		fvex 6876	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐾) ∈ V
23		eleq1 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘0) → (𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ (𝐹‘0) ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
24	23	notbid 320	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘0) → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ ¬ (𝐹‘0) ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
25		df-nel 3061	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘0) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ ¬ (𝐹‘0) ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)))
26	24, 25	bitr4di 291	. . . 4 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘0) → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ (𝐹‘0) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
27		eleq1 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝐾) → (𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ (𝐹‘𝐾) ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
28	27	notbid 320	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝐾) → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ ¬ (𝐹‘𝐾) ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
29		df-nel 3061	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐾) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ ¬ (𝐹‘𝐾) ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)))
30	28, 29	bitr4di 291	. . . 4 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝐾) → (¬ 𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ (𝐹‘𝐾) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
31	21, 22, 26, 30	ralpr 4658	. . 3 ⊢ (∀𝑣 ∈ {(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)} ¬ 𝑣 ∈ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ↔ ((𝐹‘0) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ∧ (𝐹‘𝐾) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
32	20, 31	bitri 277	. 2 ⊢ (({(𝐹‘0), (𝐹‘𝐾)} ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))) = ∅ ↔ ((𝐹‘0) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ∧ (𝐹‘𝐾) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾))))
33	19, 32	bitrdi 289	1 ⊢ ((𝐹:(0...𝐾)⟶𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐹 “ {0, 𝐾}) ∩ (𝐹 “ (1..^𝐾))) = ∅ ↔ ((𝐹‘0) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)) ∧ (𝐹‘𝐾) ∉ (𝐹 “ (1..^𝐾)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3060  ∀wral 3075   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {cpr 4583   class class class wbr 5099   “ cima 5648   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071   ≤ cle 11214  ℕ₀cn0 12478  ...cfz 13509  ..^cfzo 13656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510

This theorem is referenced by:  injresinjlem  13793  pthdivtx  29873  pthdlem2  29914