Theorem cnfdmsn 43313

Description: A function with a singleton domain is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cnfdmsn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem cnfdmsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptsnxp 42594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = ({𝐴} × {𝐵}))
2		snex 5349	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
3		distopon 22055	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∈ V → 𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}))
4	2, 3	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}))
5		snex 5349	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ V
6		distopon 22055	. . . 4 ⊢ ({𝐵} ∈ V → 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}))
7	5, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}))
8		snidg 4592	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ {𝐵})
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ {𝐵})
10		cnconst2 22342	. . 3 ⊢ ((𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}) ∧ 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}) ∧ 𝐵 ∈ {𝐵}) → ({𝐴} × {𝐵}) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
11	4, 7, 9, 10	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
12	1, 11	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  𝒫 cpw 4530  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  TopOnctopon 21967   Cn ccn 22283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-map 8575  df-topgen 17071  df-top 21951  df-topon 21968  df-cn 22286  df-cnp 22287

This theorem is referenced by:  cncfdmsn  43321