Theorem cnfdmsn 45880

Description: A function with a singleton domain is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cnfdmsn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem cnfdmsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptsnxp 45163	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = ({𝐴} × {𝐵}))
2		snex 5391	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
3		distopon 22884	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∈ V → 𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}))
4	2, 3	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}))
5		snex 5391	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ V
6		distopon 22884	. . . 4 ⊢ ({𝐵} ∈ V → 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}))
7	5, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}))
8		snidg 4624	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ {𝐵})
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ {𝐵})
10		cnconst2 23170	. . 3 ⊢ ((𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}) ∧ 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}) ∧ 𝐵 ∈ {𝐵}) → ({𝐴} × {𝐵}) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
11	4, 7, 9, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
12	1, 11	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  𝒫 cpw 4563  {csn 4589   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  TopOnctopon 22797   Cn ccn 23111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8801  df-topgen 17406  df-top 22781  df-topon 22798  df-cn 23114  df-cnp 23115

This theorem is referenced by:  cncfdmsn  45888