Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnfdmsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfdmsn 45738
Description: A function with a singleton domain is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
cnfdmsn ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem cnfdmsn
StepHypRef Expression
1 fmptsnxp 45011 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = ({𝐴} × {𝐵}))
2 snex 5454 . . . 4 {𝐴} ∈ V
3 distopon 23018 . . . 4 ({𝐴} ∈ V → 𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}))
42, 3mp1i 13 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}))
5 snex 5454 . . . 4 {𝐵} ∈ V
6 distopon 23018 . . . 4 ({𝐵} ∈ V → 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}))
75, 6mp1i 13 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}))
8 snidg 4682 . . . 4 (𝐵𝑊𝐵 ∈ {𝐵})
98adantl 481 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵 ∈ {𝐵})
10 cnconst2 23305 . . 3 ((𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}) ∧ 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}) ∧ 𝐵 ∈ {𝐵}) → ({𝐴} × {𝐵}) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
114, 7, 9, 10syl3anc 1371 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
121, 11eqeltrd 2838 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2103  Vcvv 3482  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  cmpt 5252   × cxp 5697  cfv 6572  (class class class)co 7445  TopOnctopon 22930   Cn ccn 23246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-map 8882  df-topgen 17498  df-top 22914  df-topon 22931  df-cn 23249  df-cnp 23250
This theorem is referenced by:  cncfdmsn  45746
  Copyright terms: Public domain W3C validator