Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnfdmsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfdmsn 44213
Description: A function with a singleton domain is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
cnfdmsn ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝐡) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐡}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)

Proof of Theorem cnfdmsn
StepHypRef Expression
1 fmptsnxp 43478 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝐡) = ({𝐴} Γ— {𝐡}))
2 snex 5392 . . . 4 {𝐴} ∈ V
3 distopon 22370 . . . 4 ({𝐴} ∈ V β†’ 𝒫 {𝐴} ∈ (TopOnβ€˜{𝐴}))
42, 3mp1i 13 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝒫 {𝐴} ∈ (TopOnβ€˜{𝐴}))
5 snex 5392 . . . 4 {𝐡} ∈ V
6 distopon 22370 . . . 4 ({𝐡} ∈ V β†’ 𝒫 {𝐡} ∈ (TopOnβ€˜{𝐡}))
75, 6mp1i 13 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝒫 {𝐡} ∈ (TopOnβ€˜{𝐡}))
8 snidg 4624 . . . 4 (𝐡 ∈ π‘Š β†’ 𝐡 ∈ {𝐡})
98adantl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 ∈ {𝐡})
10 cnconst2 22657 . . 3 ((𝒫 {𝐴} ∈ (TopOnβ€˜{𝐴}) ∧ 𝒫 {𝐡} ∈ (TopOnβ€˜{𝐡}) ∧ 𝐡 ∈ {𝐡}) β†’ ({𝐴} Γ— {𝐡}) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐡}))
114, 7, 9, 10syl3anc 1372 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ({𝐴} Γ— {𝐡}) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐡}))
121, 11eqeltrd 2834 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝐡) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐡}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  π’« cpw 4564  {csn 4590   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-cn 22601  df-cnp 22602
This theorem is referenced by:  cncfdmsn  44221
  Copyright terms: Public domain W3C validator