Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnfdmsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfdmsn 40613
Description: A function with a singleton domain is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
cnfdmsn ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem cnfdmsn
StepHypRef Expression
1 fmptsnxp 39869 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = ({𝐴} × {𝐵}))
2 snex 5036 . . . 4 {𝐴} ∈ V
3 distopon 21022 . . . 4 ({𝐴} ∈ V → 𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}))
42, 3mp1i 13 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}))
5 snex 5036 . . . 4 {𝐵} ∈ V
6 distopon 21022 . . . 4 ({𝐵} ∈ V → 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}))
75, 6mp1i 13 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}))
8 snidg 4345 . . . 4 (𝐵𝑊𝐵 ∈ {𝐵})
98adantl 467 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵 ∈ {𝐵})
10 cnconst2 21308 . . 3 ((𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}) ∧ 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}) ∧ 𝐵 ∈ {𝐵}) → ({𝐴} × {𝐵}) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
114, 7, 9, 10syl3anc 1476 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
121, 11eqeltrd 2850 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  Vcvv 3351  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  cmpt 4863   × cxp 5247  cfv 6031  (class class class)co 6793  TopOnctopon 20935   Cn ccn 21249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-map 8011  df-topgen 16312  df-top 20919  df-topon 20936  df-cn 21252  df-cnp 21253
This theorem is referenced by:  cncfdmsn  40621
  Copyright terms: Public domain W3C validator