Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnfdmsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfdmsn 43404
Description: A function with a singleton domain is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
cnfdmsn ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem cnfdmsn
StepHypRef Expression
1 fmptsnxp 42686 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = ({𝐴} × {𝐵}))
2 snex 5352 . . . 4 {𝐴} ∈ V
3 distopon 22157 . . . 4 ({𝐴} ∈ V → 𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}))
42, 3mp1i 13 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}))
5 snex 5352 . . . 4 {𝐵} ∈ V
6 distopon 22157 . . . 4 ({𝐵} ∈ V → 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}))
75, 6mp1i 13 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}))
8 snidg 4595 . . . 4 (𝐵𝑊𝐵 ∈ {𝐵})
98adantl 482 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵 ∈ {𝐵})
10 cnconst2 22444 . . 3 ((𝒫 {𝐴} ∈ (TopOn‘{𝐴}) ∧ 𝒫 {𝐵} ∈ (TopOn‘{𝐵}) ∧ 𝐵 ∈ {𝐵}) → ({𝐴} × {𝐵}) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
114, 7, 9, 10syl3anc 1370 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
121, 11eqeltrd 2839 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  Vcvv 3429  𝒫 cpw 4533  {csn 4561  cmpt 5156   × cxp 5582  cfv 6426  (class class class)co 7267  TopOnctopon 22069   Cn ccn 22385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-map 8604  df-topgen 17164  df-top 22053  df-topon 22070  df-cn 22388  df-cnp 22389
This theorem is referenced by:  cncfdmsn  43412
  Copyright terms: Public domain W3C validator