Theorem distgp 24365

Description: Any group equipped with the discrete topology is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
distgp.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
distgp.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
distgp	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐵) → 𝐺 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem distgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐵) → 𝐽 = 𝒫 𝐵)
3		distgp.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	fvexi 6888	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		distopon 23262	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ (TopOn‘𝐵))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝐵 ∈ (TopOn‘𝐵)
7	2, 6	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
8		distgp.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
9	3, 8	istps 23199	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
10	7, 9	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐵) → 𝐺 ∈ TopSp)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
12	3, 11	grpsubf 19176	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐵) → (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
14	4, 4	xpex 7751	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
15	4, 14	elmap 8878	. . . 4 ⊢ ((-g‘𝐺) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)) ↔ (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
16	13, 15	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐵) → (-g‘𝐺) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
17	2, 2	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐵) → (𝐽 ×t 𝐽) = (𝒫 𝐵 ×t 𝒫 𝐵))
18		txdis 23898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝒫 𝐵 ×t 𝒫 𝐵) = 𝒫 (𝐵 × 𝐵))
19	4, 4, 18	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐵 ×t 𝒫 𝐵) = 𝒫 (𝐵 × 𝐵)
20	17, 19	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐵) → (𝐽 ×t 𝐽) = 𝒫 (𝐵 × 𝐵))
21	20	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐵) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = (𝒫 (𝐵 × 𝐵) Cn 𝐽))
22		cndis 23556	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 × 𝐵) ∈ V ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) → (𝒫 (𝐵 × 𝐵) Cn 𝐽) = (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
23	14, 7, 22	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐵) → (𝒫 (𝐵 × 𝐵) Cn 𝐽) = (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
24	21, 23	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐵) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = (𝐵 ↑m (𝐵 × 𝐵)))
25	16, 24	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐵) → (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
26	8, 11	istgp2 24357	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)))
27	1, 10, 25, 26	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐵) → 𝐺 ∈ TopGrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4557   × cxp 5646  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8826  Basecbs 17334  TopOpenctopn 17539  Grpcgrp 19091  -_gcsg 19093  TopOnctopon 23175  TopSpctps 23197   Cn ccn 23489   ×_t ctx 23826  TopGrpctgp 24337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-map 8828  df-0g 17559  df-topgen 17561  df-plusf 18762  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-tx 23828  df-tmd 24338  df-tgp 24339

This theorem is used by: (None)