MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distgp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem distgp 23602
Description: Any group equipped with the discrete topology is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
distgp.1 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
distgp.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
distgp ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
Proof of Theorem distgp
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 simpr 485 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐡) β†’ 𝐽 = 𝒫 𝐡)
3 distgp.1 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
43fvexi 6905 . . . . 5 𝐡 ∈ V
5 distopon 22499 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ 𝒫 𝐡 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 𝒫 𝐡 ∈ (TopOnβ€˜π΅)
72, 6eqeltrdi 2841 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
8 distgp.2 . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
93, 8istps 22435 . . 3 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
107, 9sylibr 233 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
11 eqid 2732 . . . . . 6 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
123, 11grpsubf 18901 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
1312adantr 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐡) β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
144, 4xpex 7739 . . . . 5 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
154, 14elmap 8864 . . . 4 ((-gβ€˜πΊ) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)) ↔ (-gβ€˜πΊ):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡)
1613, 15sylibr 233 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐡) β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
172, 2oveq12d 7426 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐡) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) = (𝒫 𝐡 Γ—t 𝒫 𝐡))
18 txdis 23135 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (𝒫 𝐡 Γ—t 𝒫 𝐡) = 𝒫 (𝐡 Γ— 𝐡))
194, 4, 18mp2an 690 . . . . . 6 (𝒫 𝐡 Γ—t 𝒫 𝐡) = 𝒫 (𝐡 Γ— 𝐡)
2017, 19eqtrdi 2788 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐡) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) = 𝒫 (𝐡 Γ— 𝐡))
2120oveq1d 7423 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐡) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) = (𝒫 (𝐡 Γ— 𝐡) Cn 𝐽))
22 cndis 22794 . . . . 5 (((𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ (𝒫 (𝐡 Γ— 𝐡) Cn 𝐽) = (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
2314, 7, 22sylancr 587 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐡) β†’ (𝒫 (𝐡 Γ— 𝐡) Cn 𝐽) = (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
2421, 23eqtrd 2772 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐡) β†’ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) = (𝐡 ↑m (𝐡 Γ— 𝐡)))
2516, 24eleqtrrd 2836 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐡) β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
268, 11istgp2 23594 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)))
271, 10, 25, 26syl3anbrc 1343 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = 𝒫 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  π’« cpw 4602   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  Basecbs 17143  TopOpenctopn 17366  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  TopOnctopon 22411  TopSpctps 22433   Cn ccn 22727   Γ—t ctx 23063  TopGrpctgp 23574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-plusf 18559  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-tx 23065  df-tmd 23575  df-tgp 23576
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator