MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmndtmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmndtmd 23604
Description: The monoid of endofunctions on a set 𝐴 is a topological monoid. Formerly part of proof for symgtgp 23609. (Contributed by AV, 23-Feb-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
efmndtmd.g 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
efmndtmd (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem efmndtmd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efmndtmd.g . . 3 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
21efmndmnd 18769 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
3 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
41, 3efmndtopn 18763 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) = (TopOpenβ€˜π‘€))
5 distopon 22499 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄))
6 eqid 2732 . . . . . . 7 (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))
76pttoponconst 23100 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄)) β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ↑m 𝐴)))
85, 7mpdan 685 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ↑m 𝐴)))
91, 3efmndbas 18751 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘€) = (𝐴 ↑m 𝐴)
109eleq2i 2825 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
1110biimpi 215 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐴)))
1312ssrdv 3988 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) βŠ† (𝐴 ↑m 𝐴))
14 resttopon 22664 . . . . 5 (((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ↑m 𝐴)) ∧ (Baseβ€˜π‘€) βŠ† (𝐴 ↑m 𝐴)) β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘€)))
158, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘€)))
164, 15eqeltrrd 2834 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (TopOpenβ€˜π‘€) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘€)))
17 eqid 2732 . . . 4 (TopOpenβ€˜π‘€) = (TopOpenβ€˜π‘€)
183, 17istps 22435 . . 3 (𝑀 ∈ TopSp ↔ (TopOpenβ€˜π‘€) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘€)))
1916, 18sylibr 233 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ TopSp)
20 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
211, 3, 20efmndplusg 18760 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))
22 eqid 2732 . . . . . . 7 ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) = ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€))
23 distop 22497 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ Top)
24 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)
2524xkotopon 23103 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝒫 𝐴 ∈ Top) β†’ (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜(𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴)))
2623, 23, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜(𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴)))
27 cndis 22794 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄)) β†’ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴))
285, 27mpdan 685 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴))
2913, 28sseqtrrd 4023 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) βŠ† (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴))
30 disllycmp 23001 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ Locally Comp)
31 llynlly 22980 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∈ Locally Comp β†’ 𝒫 𝐴 ∈ 𝑛-Locally Comp)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ 𝑛-Locally Comp)
33 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴), 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) = (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴), 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))
3433xkococn 23163 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝒫 𝐴 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ 𝒫 𝐴 ∈ Top) β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴), 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) ∈ (((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) Γ—t (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)))
3523, 32, 23, 34syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴), 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) ∈ (((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) Γ—t (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)))
3622, 26, 29, 22, 26, 29, 35cnmpt2res 23180 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) ∈ ((((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) Γ—t ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€))) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)))
3721, 36eqeltrid 2837 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜π‘€) ∈ ((((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) Γ—t ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€))) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)))
38 xkopt 23158 . . . . . . . . . 10 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})))
3923, 38mpancom 686 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})))
4039oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) = ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)))
4140, 4eqtrd 2772 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) = (TopOpenβ€˜π‘€))
4241, 41oveq12d 7426 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) Γ—t ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€))) = ((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)))
4342oveq1d 7423 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) Γ—t ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€))) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)) = (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)))
4437, 43eleqtrd 2835 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)))
45 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
46 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
4745, 46coex 7920 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∘ 𝑦) ∈ V
4821, 47fnmpoi 8055 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘€) Fn ((Baseβ€˜π‘€) Γ— (Baseβ€˜π‘€))
49 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (+π‘“β€˜π‘€) = (+π‘“β€˜π‘€)
503, 20, 49plusfeq 18568 . . . . . . . . 9 ((+gβ€˜π‘€) Fn ((Baseβ€˜π‘€) Γ— (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (+π‘“β€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (+π‘“β€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
5251eqcomi 2741 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+π‘“β€˜π‘€)
533, 52mndplusf 18642 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (+gβ€˜π‘€):((Baseβ€˜π‘€) Γ— (Baseβ€˜π‘€))⟢(Baseβ€˜π‘€))
54 frn 6724 . . . . . 6 ((+gβ€˜π‘€):((Baseβ€˜π‘€) Γ— (Baseβ€˜π‘€))⟢(Baseβ€˜π‘€) β†’ ran (+gβ€˜π‘€) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
552, 53, 543syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ran (+gβ€˜π‘€) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
56 cnrest2 22789 . . . . 5 (((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜(𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴)) ∧ ran (+gβ€˜π‘€) βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (Baseβ€˜π‘€) βŠ† (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴)) β†’ ((+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)) ↔ (+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)))))
5726, 55, 29, 56syl3anc 1371 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)) ↔ (+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)))))
5844, 57mpbid 231 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€))))
5941oveq2d 7424 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€))) = (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn (TopOpenβ€˜π‘€)))
6058, 59eleqtrd 2835 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn (TopOpenβ€˜π‘€)))
6152, 17istmd 23577 . 2 (𝑀 ∈ TopMnd ↔ (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ TopSp ∧ (+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn (TopOpenβ€˜π‘€))))
622, 19, 60, 61syl3anbrc 1343 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ TopMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   ↑m cmap 8819  Basecbs 17143  +gcplusg 17196   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  βˆtcpt 17383  +𝑓cplusf 18557  Mndcmnd 18624  EndoFMndcefmnd 18748  Topctop 22394  TopOnctopon 22411  TopSpctps 22433   Cn ccn 22727  Compccmp 22889  Locally clly 22967  π‘›-Locally cnlly 22968   Γ—t ctx 23063   ↑ko cxko 23064  TopMndctmd 23573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-plusf 18559  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-efmnd 18749  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-ntr 22523  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cmp 22890  df-lly 22969  df-nlly 22970  df-tx 23065  df-xko 23066  df-tmd 23575
This theorem is referenced by:  symgtgp  23609
  Copyright terms: Public domain W3C validator