MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmndtmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmndtmd 23475
Description: The monoid of endofunctions on a set 𝐴 is a topological monoid. Formerly part of proof for symgtgp 23480. (Contributed by AV, 23-Feb-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
efmndtmd.g 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
efmndtmd (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem efmndtmd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efmndtmd.g . . 3 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
21efmndmnd 18707 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
3 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
41, 3efmndtopn 18701 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) = (TopOpenβ€˜π‘€))
5 distopon 22370 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄))
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))
76pttoponconst 22971 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄)) β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ↑m 𝐴)))
85, 7mpdan 686 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ↑m 𝐴)))
91, 3efmndbas 18689 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘€) = (𝐴 ↑m 𝐴)
109eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
1110biimpi 215 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐴)))
1312ssrdv 3954 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) βŠ† (𝐴 ↑m 𝐴))
14 resttopon 22535 . . . . 5 (((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ↑m 𝐴)) ∧ (Baseβ€˜π‘€) βŠ† (𝐴 ↑m 𝐴)) β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘€)))
158, 13, 14syl2anc 585 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘€)))
164, 15eqeltrrd 2835 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (TopOpenβ€˜π‘€) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘€)))
17 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜π‘€) = (TopOpenβ€˜π‘€)
183, 17istps 22306 . . 3 (𝑀 ∈ TopSp ↔ (TopOpenβ€˜π‘€) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘€)))
1916, 18sylibr 233 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ TopSp)
20 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
211, 3, 20efmndplusg 18698 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))
22 eqid 2733 . . . . . . 7 ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) = ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€))
23 distop 22368 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ Top)
24 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)
2524xkotopon 22974 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝒫 𝐴 ∈ Top) β†’ (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜(𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴)))
2623, 23, 25syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜(𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴)))
27 cndis 22665 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄)) β†’ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴))
285, 27mpdan 686 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴))
2913, 28sseqtrrd 3989 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) βŠ† (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴))
30 disllycmp 22872 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ Locally Comp)
31 llynlly 22851 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∈ Locally Comp β†’ 𝒫 𝐴 ∈ 𝑛-Locally Comp)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ 𝑛-Locally Comp)
33 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴), 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) = (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴), 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))
3433xkococn 23034 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝒫 𝐴 ∈ 𝑛-Locally Comp ∧ 𝒫 𝐴 ∈ Top) β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴), 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) ∈ (((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) Γ—t (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)))
3523, 32, 23, 34syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴), 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) ∈ (((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) Γ—t (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)))
3622, 26, 29, 22, 26, 29, 35cnmpt2res 23051 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) ∈ ((((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) Γ—t ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€))) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)))
3721, 36eqeltrid 2838 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜π‘€) ∈ ((((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) Γ—t ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€))) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)))
38 xkopt 23029 . . . . . . . . . 10 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})))
3923, 38mpancom 687 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})))
4039oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) = ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)))
4140, 4eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) = (TopOpenβ€˜π‘€))
4241, 41oveq12d 7379 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) Γ—t ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€))) = ((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)))
4342oveq1d 7376 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)) Γ—t ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€))) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)) = (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)))
4437, 43eleqtrd 2836 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)))
45 vex 3451 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
46 vex 3451 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
4745, 46coex 7871 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∘ 𝑦) ∈ V
4821, 47fnmpoi 8006 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘€) Fn ((Baseβ€˜π‘€) Γ— (Baseβ€˜π‘€))
49 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (+π‘“β€˜π‘€) = (+π‘“β€˜π‘€)
503, 20, 49plusfeq 18513 . . . . . . . . 9 ((+gβ€˜π‘€) Fn ((Baseβ€˜π‘€) Γ— (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (+π‘“β€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (+π‘“β€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
5251eqcomi 2742 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+π‘“β€˜π‘€)
533, 52mndplusf 18582 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (+gβ€˜π‘€):((Baseβ€˜π‘€) Γ— (Baseβ€˜π‘€))⟢(Baseβ€˜π‘€))
54 frn 6679 . . . . . 6 ((+gβ€˜π‘€):((Baseβ€˜π‘€) Γ— (Baseβ€˜π‘€))⟢(Baseβ€˜π‘€) β†’ ran (+gβ€˜π‘€) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
552, 53, 543syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ran (+gβ€˜π‘€) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
56 cnrest2 22660 . . . . 5 (((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜(𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴)) ∧ ran (+gβ€˜π‘€) βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (Baseβ€˜π‘€) βŠ† (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴)) β†’ ((+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)) ↔ (+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)))))
5726, 55, 29, 56syl3anc 1372 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)) ↔ (+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€)))))
5844, 57mpbid 231 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€))))
5941oveq2d 7377 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜π‘€))) = (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn (TopOpenβ€˜π‘€)))
6058, 59eleqtrd 2836 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn (TopOpenβ€˜π‘€)))
6152, 17istmd 23448 . 2 (𝑀 ∈ TopMnd ↔ (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ TopSp ∧ (+gβ€˜π‘€) ∈ (((TopOpenβ€˜π‘€) Γ—t (TopOpenβ€˜π‘€)) Cn (TopOpenβ€˜π‘€))))
622, 19, 60, 61syl3anbrc 1344 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ TopMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  {csn 4590   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363   ↑m cmap 8771  Basecbs 17091  +gcplusg 17141   β†Ύt crest 17310  TopOpenctopn 17311  βˆtcpt 17328  +𝑓cplusf 18502  Mndcmnd 18564  EndoFMndcefmnd 18686  Topctop 22265  TopOnctopon 22282  TopSpctps 22304   Cn ccn 22598  Compccmp 22760  Locally clly 22838  π‘›-Locally cnlly 22839   Γ—t ctx 22934   ↑ko cxko 22935  TopMndctmd 23444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-plusf 18504  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-efmnd 18687  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-ntr 22394  df-nei 22472  df-cn 22601  df-cmp 22761  df-lly 22840  df-nlly 22841  df-tx 22936  df-xko 22937  df-tmd 23446
This theorem is referenced by:  symgtgp  23480
  Copyright terms: Public domain W3C validator