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Theorem dvafset 39517
Description: The constructed partial vector space A for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 8-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dvaset.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
dvafset (𝐾 ∈ 𝑉 β†’ (DVecAβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ ({⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩})))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐻   𝑓,𝑔,𝑠,𝑀,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓,𝑔,𝑠)   𝑉(𝑀,𝑓,𝑔,𝑠)

Proof of Theorem dvafset
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3465 . 2 (𝐾 ∈ 𝑉 β†’ 𝐾 ∈ V)
2 fveq2 6846 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LHypβ€˜π‘˜) = (LHypβ€˜πΎ))
3 dvaset.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
42, 3eqtr4di 2791 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LHypβ€˜π‘˜) = 𝐻)
5 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LTrnβ€˜π‘˜) = (LTrnβ€˜πΎ))
65fveq1d 6848 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€))
76opeq2d 4841 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟩ = ⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟩)
8 eqidd 2734 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑓 ∘ 𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
96, 6, 8mpoeq123dv 7436 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
109opeq2d 4841 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩ = ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩)
11 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (EDRingβ€˜π‘˜) = (EDRingβ€˜πΎ))
1211fveq1d 6848 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((EDRingβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘€))
1312opeq2d 4841 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟩ = ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟩)
147, 10, 13tpeq123d 4713 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟩})
15 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (TEndoβ€˜π‘˜) = (TEndoβ€˜πΎ))
1615fveq1d 6848 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((TEndoβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘€))
17 eqidd 2734 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (π‘ β€˜π‘“) = (π‘ β€˜π‘“))
1816, 6, 17mpoeq123dv 7436 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜π‘˜)β€˜π‘€), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ↦ (π‘ β€˜π‘“)) = (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (π‘ β€˜π‘“)))
1918opeq2d 4841 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜π‘˜)β€˜π‘€), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩ = ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩)
2019sneqd 4602 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜π‘˜)β€˜π‘€), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩} = {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩})
2114, 20uneq12d 4128 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ({⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜π‘˜)β€˜π‘€), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩}) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩}))
224, 21mpteq12dv 5200 . . 3 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑀 ∈ (LHypβ€˜π‘˜) ↦ ({⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜π‘˜)β€˜π‘€), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩})) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ ({⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩})))
23 df-dveca 39516 . . 3 DVecA = (π‘˜ ∈ V ↦ (𝑀 ∈ (LHypβ€˜π‘˜) ↦ ({⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜π‘˜)β€˜π‘€), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩})))
2422, 23, 3mptfvmpt 7182 . 2 (𝐾 ∈ V β†’ (DVecAβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ ({⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩})))
251, 24syl 17 1 (𝐾 ∈ 𝑉 β†’ (DVecAβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ ({⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘€)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘€), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘€) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912  {csn 4590  {ctp 4594  βŸ¨cop 4596   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500   ∈ cmpo 7363  ndxcnx 17073  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  TEndoctendo 39265  EDRingcedring 39266  DVecAcdveca 39515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-dveca 39516
This theorem is referenced by:  dvaset  39518
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