MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsr2 20084
Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
dvdsr.2 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
dvdsr.3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
dvdsr2 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ต   ๐‘ง,๐‘‹   ๐‘ง,๐‘Œ   ๐‘ง,๐‘…   ๐‘ง, ยท
Allowed substitution hint:   โˆฅ (๐‘ง)

Proof of Theorem dvdsr2
StepHypRef Expression
1 dvdsr.1 . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 dvdsr.2 . . 3 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
3 dvdsr.3 . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
41, 2, 3dvdsr 20083 . 2 (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ))
54baib 537 1 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  โˆฅrcdsr 20075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7364  df-dvdsr 20078
This theorem is referenced by:  dvdsr01  20092  dvdsr02  20093  unitgrp  20104  rhmdvdsr  20191  rspsn  20769  znunit  20993  dvdsq1p  25548
  Copyright terms: Public domain W3C validator