MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsr2 19123
Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2 = (∥r𝑅)
dvdsr.3 · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsr2 (𝑋𝐵 → (𝑋 𝑌 ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑅   𝑧, ·
Allowed substitution hint:   (𝑧)

Proof of Theorem dvdsr2
StepHypRef Expression
1 dvdsr.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvdsr.2 . . 3 = (∥r𝑅)
3 dvdsr.3 . . 3 · = (.r𝑅)
41, 2, 3dvdsr 19122 . 2 (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))
54baib 528 1 (𝑋𝐵 → (𝑋 𝑌 ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1507  wcel 2050  wrex 3089   class class class wbr 4930  cfv 6190  (class class class)co 6978  Basecbs 16342  .rcmulr 16425  rcdsr 19114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-ov 6981  df-dvdsr 19117
This theorem is referenced by:  dvdsr01  19131  dvdsr02  19132  unitgrp  19143  rspsn  19751  znunit  20415  dvdsq1p  24460  rhmdvdsr  30570
  Copyright terms: Public domain W3C validator