Theorem dvdsr2 20272

Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsr.3	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsr2	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑅   𝑧, ·

Allowed substitution hint:   ∥ (𝑧)

Proof of Theorem dvdsr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsr.2	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		dvdsr.3	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20271	. 2 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))
5	4	baib 535	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  ∥_rcdsr 20263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-dvdsr 20266

This theorem is referenced by:  dvdsr01  20280  dvdsr02  20281  unitgrp  20292  rhmdvdsr  20417  rspsn  21243  znunit  21473  dvdsq1p  26068  isdrng4  33245  rprmasso2  33497