MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrmul 20255
Description: A left-multiple of ๐‘‹ is divisible by ๐‘‹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
dvdsr.2 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
dvdsr.3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘‹))

Proof of Theorem dvdsrmul
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
2 simpr 483 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
3 eqid 2730 . . 3 (๐‘Œ ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)
4 oveq1 7418 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
54eqeq1d 2732 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹) โ†” (๐‘Œ ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)))
65rspcev 3611 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Œ ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
72, 3, 6sylancl 584 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
8 dvdsr.1 . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
9 dvdsr.2 . . 3 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
10 dvdsr.3 . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
118, 9, 10dvdsr 20253 . 2 (๐‘‹ โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘‹) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)))
121, 7, 11sylanbrc 581 1 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  โˆฅrcdsr 20245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7414  df-dvdsr 20248
This theorem is referenced by:  dvdsrid  20258  dvdsrtr  20259  dvdsrmul1  20260  dvdsrneg  20261  unitmulclb  20272  unitgrp  20274  subrguss  20477  subrgunit  20480  isdrng2  20514  fidomndrnglem  21125  invrvald  22398  dvdsq1p  25913  r1pcyc  32952  matunitlindflem2  36788
  Copyright terms: Public domain W3C validator