![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdsrmul | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A left-multiple of ๐ is divisible by ๐. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsr.1 | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
dvdsr.2 | โข โฅ = (โฅrโ๐ ) |
dvdsr.3 | โข ยท = (.rโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsrmul | โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpl 482 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
2 | simpr 484 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
3 | eqid 2731 | . . 3 โข (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) | |
4 | oveq1 7419 | . . . . 5 โข (๐ง = ๐ โ (๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
5 | 4 | eqeq1d 2733 | . . . 4 โข (๐ง = ๐ โ ((๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
6 | 5 | rspcev 3612 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) โ โ๐ง โ ๐ต (๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) |
7 | 2, 3, 6 | sylancl 585 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ โ๐ง โ ๐ต (๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) |
8 | dvdsr.1 | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
9 | dvdsr.2 | . . 3 โข โฅ = (โฅrโ๐ ) | |
10 | dvdsr.3 | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
11 | 8, 9, 10 | dvdsr 20254 | . 2 โข (๐ โฅ (๐ ยท ๐) โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ง โ ๐ต (๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
12 | 1, 7, 11 | sylanbrc 582 | 1 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1540 โ wcel 2105 โwrex 3069 class class class wbr 5148 โcfv 6543 (class class class)co 7412 Basecbs 17149 .rcmulr 17203 โฅrcdsr 20246 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7728 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5574 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fv 6551 df-ov 7415 df-dvdsr 20249 |
This theorem is referenced by: dvdsrid 20259 dvdsrtr 20260 dvdsrmul1 20261 dvdsrneg 20262 unitmulclb 20273 unitgrp 20275 subrguss 20478 subrgunit 20481 isdrng2 20515 fidomndrnglem 21126 invrvald 22399 dvdsq1p 25914 r1pcyc 32953 matunitlindflem2 36789 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |