![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdsrmul | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A left-multiple of ๐ is divisible by ๐. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsr.1 | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
dvdsr.2 | โข โฅ = (โฅrโ๐ ) |
dvdsr.3 | โข ยท = (.rโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsrmul | โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpl 481 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
2 | simpr 483 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
3 | eqid 2730 | . . 3 โข (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) | |
4 | oveq1 7418 | . . . . 5 โข (๐ง = ๐ โ (๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
5 | 4 | eqeq1d 2732 | . . . 4 โข (๐ง = ๐ โ ((๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
6 | 5 | rspcev 3611 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) โ โ๐ง โ ๐ต (๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) |
7 | 2, 3, 6 | sylancl 584 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ โ๐ง โ ๐ต (๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) |
8 | dvdsr.1 | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
9 | dvdsr.2 | . . 3 โข โฅ = (โฅrโ๐ ) | |
10 | dvdsr.3 | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
11 | 8, 9, 10 | dvdsr 20253 | . 2 โข (๐ โฅ (๐ ยท ๐) โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ง โ ๐ต (๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
12 | 1, 7, 11 | sylanbrc 581 | 1 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1539 โ wcel 2104 โwrex 3068 class class class wbr 5147 โcfv 6542 (class class class)co 7411 Basecbs 17148 .rcmulr 17202 โฅrcdsr 20245 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fv 6550 df-ov 7414 df-dvdsr 20248 |
This theorem is referenced by: dvdsrid 20258 dvdsrtr 20259 dvdsrmul1 20260 dvdsrneg 20261 unitmulclb 20272 unitgrp 20274 subrguss 20477 subrgunit 20480 isdrng2 20514 fidomndrnglem 21125 invrvald 22398 dvdsq1p 25913 r1pcyc 32952 matunitlindflem2 36788 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |