MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrmul 19935
Description: A left-multiple of ๐‘‹ is divisible by ๐‘‹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
dvdsr.2 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
dvdsr.3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘‹))

Proof of Theorem dvdsrmul
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
2 simpr 486 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
3 eqid 2736 . . 3 (๐‘Œ ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)
4 oveq1 7314 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
54eqeq1d 2738 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹) โ†” (๐‘Œ ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)))
65rspcev 3566 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Œ ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
72, 3, 6sylancl 587 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
8 dvdsr.1 . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
9 dvdsr.2 . . 3 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
10 dvdsr.3 . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
118, 9, 10dvdsr 19933 . 2 (๐‘‹ โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘‹) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)))
121, 7, 11sylanbrc 584 1 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5081  โ€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  .rcmulr 17008  โˆฅrcdsr 19925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466  df-ov 7310  df-dvdsr 19928
This theorem is referenced by:  dvdsrid  19938  dvdsrtr  19939  dvdsrmul1  19940  dvdsrneg  19941  unitmulclb  19952  unitgrp  19954  isdrng2  20046  subrguss  20084  subrgunit  20087  fidomndrnglem  20623  invrvald  21870  dvdsq1p  25370  matunitlindflem2  35818
  Copyright terms: Public domain W3C validator