MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrmul 20171
Description: A left-multiple of 𝑋 is divisible by 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2 = (∥r𝑅)
dvdsr.3 · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem dvdsrmul
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
2 simpr 486 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
3 eqid 2733 . . 3 (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)
4 oveq1 7413 . . . . 5 (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
54eqeq1d 2735 . . . 4 (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)))
65rspcev 3613 . . 3 ((𝑌𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)) → ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
72, 3, 6sylancl 587 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
8 dvdsr.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 dvdsr.2 . . 3 = (∥r𝑅)
10 dvdsr.3 . . 3 · = (.r𝑅)
118, 9, 10dvdsr 20169 . 2 (𝑋 (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)))
121, 7, 11sylanbrc 584 1 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑌 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071   class class class wbr 5148  cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  .rcmulr 17195  rcdsr 20161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7409  df-dvdsr 20164
This theorem is referenced by:  dvdsrid  20174  dvdsrtr  20175  dvdsrmul1  20176  dvdsrneg  20177  unitmulclb  20188  unitgrp  20190  isdrng2  20322  subrguss  20371  subrgunit  20374  fidomndrnglem  20918  invrvald  22170  dvdsq1p  25670  matunitlindflem2  36474
  Copyright terms: Public domain W3C validator