MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrmul 20256
Description: A left-multiple of ๐‘‹ is divisible by ๐‘‹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
dvdsr.2 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
dvdsr.3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘‹))

Proof of Theorem dvdsrmul
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
2 simpr 484 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
3 eqid 2731 . . 3 (๐‘Œ ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)
4 oveq1 7419 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
54eqeq1d 2733 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹) โ†” (๐‘Œ ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)))
65rspcev 3612 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Œ ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
72, 3, 6sylancl 585 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
8 dvdsr.1 . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
9 dvdsr.2 . . 3 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
10 dvdsr.3 . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
118, 9, 10dvdsr 20254 . 2 (๐‘‹ โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘‹) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)))
121, 7, 11sylanbrc 582 1 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆƒwrex 3069   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  โˆฅrcdsr 20246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7415  df-dvdsr 20249
This theorem is referenced by:  dvdsrid  20259  dvdsrtr  20260  dvdsrmul1  20261  dvdsrneg  20262  unitmulclb  20273  unitgrp  20275  subrguss  20478  subrgunit  20481  isdrng2  20515  fidomndrnglem  21126  invrvald  22399  dvdsq1p  25914  r1pcyc  32953  matunitlindflem2  36789
  Copyright terms: Public domain W3C validator