Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdsrmul | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A left-multiple of ๐ is divisible by ๐. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsr.1 | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
dvdsr.2 | โข โฅ = (โฅrโ๐ ) |
dvdsr.3 | โข ยท = (.rโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsrmul | โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpl 484 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
2 | simpr 486 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
3 | eqid 2736 | . . 3 โข (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) | |
4 | oveq1 7314 | . . . . 5 โข (๐ง = ๐ โ (๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
5 | 4 | eqeq1d 2738 | . . . 4 โข (๐ง = ๐ โ ((๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
6 | 5 | rspcev 3566 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ต โง (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) โ โ๐ง โ ๐ต (๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) |
7 | 2, 3, 6 | sylancl 587 | . 2 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ โ๐ง โ ๐ต (๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) |
8 | dvdsr.1 | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
9 | dvdsr.2 | . . 3 โข โฅ = (โฅrโ๐ ) | |
10 | dvdsr.3 | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
11 | 8, 9, 10 | dvdsr 19933 | . 2 โข (๐ โฅ (๐ ยท ๐) โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ง โ ๐ต (๐ง ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
12 | 1, 7, 11 | sylanbrc 584 | 1 โข ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1539 โ wcel 2104 โwrex 3071 class class class wbr 5081 โcfv 6458 (class class class)co 7307 Basecbs 16957 .rcmulr 17008 โฅrcdsr 19925 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2707 ax-rep 5218 ax-sep 5232 ax-nul 5239 ax-pow 5297 ax-pr 5361 ax-un 7620 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rab 3287 df-v 3439 df-sbc 3722 df-csb 3838 df-dif 3895 df-un 3897 df-in 3899 df-ss 3909 df-nul 4263 df-if 4466 df-pw 4541 df-sn 4566 df-pr 4568 df-op 4572 df-uni 4845 df-iun 4933 df-br 5082 df-opab 5144 df-mpt 5165 df-id 5500 df-xp 5606 df-rel 5607 df-cnv 5608 df-co 5609 df-dm 5610 df-rn 5611 df-res 5612 df-ima 5613 df-iota 6410 df-fun 6460 df-fv 6466 df-ov 7310 df-dvdsr 19928 |
This theorem is referenced by: dvdsrid 19938 dvdsrtr 19939 dvdsrmul1 19940 dvdsrneg 19941 unitmulclb 19952 unitgrp 19954 isdrng2 20046 subrguss 20084 subrgunit 20087 fidomndrnglem 20623 invrvald 21870 dvdsq1p 25370 matunitlindflem2 35818 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |