Theorem dvdsrmul 20447

Description: A left-multiple of 𝑋 is divisible by 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsr.3	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrmul	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem dvdsrmul

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)
4		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
5	4	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)))
6	5	rspcev 3582	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
7	2, 3, 6	sylancl 597	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
8		dvdsr.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		dvdsr.2	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
10		dvdsr.3	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	8, 9, 10	dvdsr 20445	. 2 ⊢ (𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)))
12	1, 7, 11	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  ∥_rcdsr 20437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7415  df-dvdsr 20440

This theorem is referenced by:  dvdsrid  20450  dvdsrtr  20451  dvdsrmul1  20452  dvdsrneg  20453  unitmulclb  20464  unitgrp  20466  subrguss  20673  subrgunit  20676  isdrng2  20830  fidomndrnglem  20857  invrvald  22814  dvdsq1p  26301  1arithidom  33808  1arithufdlem3  33817  r1pcyc  33878  matunitlindflem2  38249