Theorem dvdsrmul 20434

Description: A left-multiple of 𝑋 is divisible by 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsr.3	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrmul	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem dvdsrmul

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)
4		oveq1 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
5	4	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)))
6	5	rspcev 3584	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
7	2, 3, 6	sylancl 597	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
8		dvdsr.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		dvdsr.2	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
10		dvdsr.3	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	8, 9, 10	dvdsr 20432	. 2 ⊢ (𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)))
12	1, 7, 11	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ (𝑌 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  ._rcmulr 17299  ∥_rcdsr 20424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-ov 7403  df-dvdsr 20427

This theorem is referenced by:  dvdsrid  20437  dvdsrtr  20438  dvdsrmul1  20439  dvdsrneg  20440  unitmulclb  20451  unitgrp  20453  subrguss  20660  subrgunit  20663  isdrng2  20815  fidomndrnglem  20842  invrvald  22790  dvdsq1p  26277  1arithidom  33739  1arithufdlem3  33748  r1pcyc  33809  matunitlindflem2  38123