MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrmul 20292
Description: A left-multiple of ๐‘‹ is divisible by ๐‘‹. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
dvdsr.2 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
dvdsr.3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘‹))

Proof of Theorem dvdsrmul
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
2 simpr 484 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
3 eqid 2727 . . 3 (๐‘Œ ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)
4 oveq1 7421 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
54eqeq1d 2729 . . . 4 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹) โ†” (๐‘Œ ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)))
65rspcev 3607 . . 3 ((๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Œ ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
72, 3, 6sylancl 585 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
8 dvdsr.1 . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
9 dvdsr.2 . . 3 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
10 dvdsr.3 . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
118, 9, 10dvdsr 20290 . 2 (๐‘‹ โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘‹) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = (๐‘Œ ยท ๐‘‹)))
121, 7, 11sylanbrc 582 1 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  .rcmulr 17225  โˆฅrcdsr 20282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7417  df-dvdsr 20285
This theorem is referenced by:  dvdsrid  20295  dvdsrtr  20296  dvdsrmul1  20297  dvdsrneg  20298  unitmulclb  20309  unitgrp  20311  subrguss  20515  subrgunit  20518  isdrng2  20627  fidomndrnglem  21247  invrvald  22565  dvdsq1p  26084  r1pcyc  33209  matunitlindflem2  37025
  Copyright terms: Public domain W3C validator