MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrmul 19121
Description: A left-multiple of 𝑋 is divisible by 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2 = (∥r𝑅)
dvdsr.3 · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem dvdsrmul
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
2 simpr 477 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
3 eqid 2779 . . 3 (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)
4 oveq1 6983 . . . . 5 (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
54eqeq1d 2781 . . . 4 (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)))
65rspcev 3536 . . 3 ((𝑌𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)) → ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
72, 3, 6sylancl 577 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋))
8 dvdsr.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 dvdsr.2 . . 3 = (∥r𝑅)
10 dvdsr.3 . . 3 · = (.r𝑅)
118, 9, 10dvdsr 19119 . 2 (𝑋 (𝑌 · 𝑋) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑧𝐵 (𝑧 · 𝑋) = (𝑌 · 𝑋)))
121, 7, 11sylanbrc 575 1 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑌 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wrex 3090   class class class wbr 4929  cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  .rcmulr 16422  rcdsr 19111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-dvdsr 19114
This theorem is referenced by:  dvdsrid  19124  dvdsrtr  19125  dvdsrmul1  19126  dvdsrneg  19127  unitmulclb  19138  unitgrp  19140  isdrng2  19235  subrguss  19273  subrgunit  19276  fidomndrnglem  19800  invrvald  20989  dvdsq1p  24457  matunitlindflem2  34327
  Copyright terms: Public domain W3C validator