MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsq1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsq1p 26217
Description: Divisibility in a polynomial ring is witnessed by the quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsq1p.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
dvdsq1p.d = (∥r𝑃)
dvdsq1p.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
dvdsq1p.c 𝐶 = (Unic1p𝑅)
dvdsq1p.t · = (.r𝑃)
dvdsq1p.q 𝑄 = (quot1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsq1p ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))

Proof of Theorem dvdsq1p
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsq1p.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 dvdsq1p.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 dvdsq1p.c . . . . . 6 𝐶 = (Unic1p𝑅)
41, 2, 3uc1pcl 26198 . . . . 5 (𝐺𝐶𝐺𝐵)
543ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺𝐵)
6 dvdsq1p.d . . . . 5 = (∥r𝑃)
7 dvdsq1p.t . . . . 5 · = (.r𝑃)
82, 6, 7dvdsr2 20380 . . . 4 (𝐺𝐵 → (𝐺 𝐹 ↔ ∃𝑞𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
95, 8syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹 ↔ ∃𝑞𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
10 eqcom 2742 . . . . 5 ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
11 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
12 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑞𝐵)
13 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
141ply1ring 22265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
16 ringgrp 20256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
18 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝐹𝐵)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑞𝐵)
205adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝐺𝐵)
212, 7ringcl 20268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑞𝐵𝐺𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
2215, 19, 20, 21syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
23 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑃) = (0g𝑃)
24 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-g𝑃) = (-g𝑃)
252, 23, 24grpsubeq0 19057 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
2617, 18, 22, 25syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
2726biimprd 248 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → (𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃)))
2827impr 454 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃))
2928fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = ((deg1𝑅)‘(0g𝑃)))
30 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑅 ∈ Ring)
31 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (deg1𝑅) = (deg1𝑅)
3231, 1, 23deg1z 26141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → ((deg1𝑅)‘(0g𝑃)) = -∞)
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1𝑅)‘(0g𝑃)) = -∞)
3429, 33eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = -∞)
3531, 3uc1pdeg 26202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐶) → ((deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
36353adant2 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
3736nn0red 12586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
3938mnfltd 13164 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → -∞ < ((deg1𝑅)‘𝐺))
4034, 39eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1𝑅)‘𝐺))
41 dvdsq1p.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (quot1p𝑅)
4241, 1, 2, 31, 24, 7, 3q1peqb 26210 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝑞𝐵 ∧ ((deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝑞𝐵 ∧ ((deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
4412, 40, 43mpbi2and 712 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞)
4544oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) = (𝑞 · 𝐺))
4611, 45eqtr4d 2778 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
4746expr 456 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
4810, 47biimtrid 242 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
4948rexlimdva 3153 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (∃𝑞𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
509, 49sylbid 240 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
5141, 1, 2, 3q1pcl 26211 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)
522, 6, 7dvdsrmul 20381 . . . 4 ((𝐺𝐵 ∧ (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵) → 𝐺 ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
535, 51, 52syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺 ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
54 breq2 5152 . . 3 (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → (𝐺 𝐹𝐺 ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
5553, 54syl5ibrcom 247 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → 𝐺 𝐹))
5650, 55impbid 212 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  -∞cmnf 11291   < clt 11293  0cn0 12524  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  Ringcrg 20251  rcdsr 20371  Poly1cpl1 22194  deg1cdg1 26108  Unic1pcuc1p 26181  quot1pcq1p 26182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-cnfld 21383  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-mdeg 26109  df-deg1 26110  df-uc1p 26186  df-q1p 26187
This theorem is referenced by:  dvdsr1p  26218  fta1glem1  26222  fta1glem2  26223  r1pcyc  33607
  Copyright terms: Public domain W3C validator