Theorem dvdsq1p 26222

Description: Divisibility in a polynomial ring is witnessed by the quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsq1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
dvdsq1p.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
dvdsq1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
dvdsq1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
dvdsq1p.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
dvdsq1p.q	⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsq1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))

Proof of Theorem dvdsq1p

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsq1p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		dvdsq1p.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		dvdsq1p.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	uc1pcl 26203	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
6		dvdsq1p.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
7		dvdsq1p.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑃)
8	2, 6, 7	dvdsr2 20389	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
10		eqcom 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹 ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
11		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
12		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
13		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
14	1	ply1ring 22270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
16		ringgrp 20265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
18		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
20	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
21	2, 7	ringcl 20277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
22	15, 19, 20, 21	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
23		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
24		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
25	2, 23, 24	grpsubeq0 19066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
26	17, 18, 22, 25	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
27	26	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃)))
28	27	impr 454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃))
29	28	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)))
30		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑅 ∈ Ring)
31		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
32	31, 1, 23	deg1z 26146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
34	29, 33	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = -∞)
35	31, 3	uc1pdeg 26207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
36	35	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
39	38	mnfltd 13187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → -∞ < ((deg1‘𝑅)‘𝐺))
40	34, 39	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺))
41		dvdsq1p.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
42	41, 1, 2, 31, 24, 7, 3	q1peqb 26215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
44	12, 40, 43	mpbi2and 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞)
45	44	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) = (𝑞 · 𝐺))
46	11, 45	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
47	46	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
48	10, 47	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
49	48	rexlimdva 3161	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
50	9, 49	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
51	41, 1, 2, 3	q1pcl 26216	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)
52	2, 6, 7	dvdsrmul 20390	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵) → 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
53	5, 51, 52	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
54		breq2 5170	. . 3 ⊢ (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
55	53, 54	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → 𝐺 ∥ 𝐹))
56	50, 55	impbid 212	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  -∞cmnf 11322   < clt 11324  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  -_gcsg 18975  Ringcrg 20260  ∥_rcdsr 20380  Poly₁cpl1 22199  deg₁cdg1 26113  Unic_1pcuc1p 26186  quot_1pcq1p 26187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-rlreg 20716  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-cnfld 21388  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-mdeg 26114  df-deg1 26115  df-uc1p 26191  df-q1p 26192

This theorem is referenced by:  dvdsr1p  26223  fta1glem1  26227  fta1glem2  26228  r1pcyc  33592