Theorem dvdsq1p 26115

Description: Divisibility in a polynomial ring is witnessed by the quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsq1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
dvdsq1p.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
dvdsq1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
dvdsq1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
dvdsq1p.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
dvdsq1p.q	⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsq1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))

Proof of Theorem dvdsq1p

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsq1p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		dvdsq1p.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		dvdsq1p.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	uc1pcl 26096	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
6		dvdsq1p.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
7		dvdsq1p.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑃)
8	2, 6, 7	dvdsr2 20290	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
10		eqcom 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹 ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
11		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
12		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
13		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
14	1	ply1ring 22179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
16		ringgrp 20164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
18		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
20	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
21	2, 7	ringcl 20176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
22	15, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
23		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
24		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
25	2, 23, 24	grpsubeq0 18947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
26	17, 18, 22, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
27	26	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃)))
28	27	impr 454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃))
29	28	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)))
30		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑅 ∈ Ring)
31		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
32	31, 1, 23	deg1z 26039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
34	29, 33	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = -∞)
35	31, 3	uc1pdeg 26100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
36	35	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
39	38	mnfltd 13029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → -∞ < ((deg1‘𝑅)‘𝐺))
40	34, 39	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺))
41		dvdsq1p.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
42	41, 1, 2, 31, 24, 7, 3	q1peqb 26108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
44	12, 40, 43	mpbi2and 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞)
45	44	oveq1d 7370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) = (𝑞 · 𝐺))
46	11, 45	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
47	46	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
48	10, 47	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
49	48	rexlimdva 3134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
50	9, 49	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
51	41, 1, 2, 3	q1pcl 26109	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)
52	2, 6, 7	dvdsrmul 20291	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵) → 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
53	5, 51, 52	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
54		breq2 5099	. . 3 ⊢ (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
55	53, 54	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → 𝐺 ∥ 𝐹))
56	50, 55	impbid 212	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  -∞cmnf 11155   < clt 11157  ℕ₀cn0 12392  Basecbs 17127  ._rcmulr 17169  0_gc0g 17350  Grpcgrp 18854  -_gcsg 18856  Ringcrg 20159  ∥_rcdsr 20281  Poly₁cpl1 22108  deg₁cdg1 26006  Unic_1pcuc1p 26079  quot_1pcq1p 26080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-invr 20315  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-rlreg 20618  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-cnfld 21301  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22111  df-vr1 22112  df-ply1 22113  df-coe1 22114  df-mdeg 26007  df-deg1 26008  df-uc1p 26084  df-q1p 26085

This theorem is referenced by:  dvdsr1p  26116  fta1glem1  26120  fta1glem2  26121  r1pcyc  33616