Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsq1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsq1p 24764
 Description: Divisibility in a polynomial ring is witnessed by the quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsq1p.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
dvdsq1p.d = (∥r𝑃)
dvdsq1p.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
dvdsq1p.c 𝐶 = (Unic1p𝑅)
dvdsq1p.t · = (.r𝑃)
dvdsq1p.q 𝑄 = (quot1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsq1p ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))

Proof of Theorem dvdsq1p
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsq1p.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 dvdsq1p.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 dvdsq1p.c . . . . . 6 𝐶 = (Unic1p𝑅)
41, 2, 3uc1pcl 24747 . . . . 5 (𝐺𝐶𝐺𝐵)
543ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺𝐵)
6 dvdsq1p.d . . . . 5 = (∥r𝑃)
7 dvdsq1p.t . . . . 5 · = (.r𝑃)
82, 6, 7dvdsr2 19396 . . . 4 (𝐺𝐵 → (𝐺 𝐹 ↔ ∃𝑞𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
95, 8syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹 ↔ ∃𝑞𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
10 eqcom 2808 . . . . 5 ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
11 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
12 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑞𝐵)
13 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
141ply1ring 20880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
16 ringgrp 19298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
18 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝐹𝐵)
19 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑞𝐵)
205adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝐺𝐵)
212, 7ringcl 19310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑞𝐵𝐺𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
2215, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
23 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑃) = (0g𝑃)
24 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-g𝑃) = (-g𝑃)
252, 23, 24grpsubeq0 18180 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
2617, 18, 22, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
2726biimprd 251 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → (𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃)))
2827impr 458 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃))
2928fveq2d 6653 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = (( deg1𝑅)‘(0g𝑃)))
30 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑅 ∈ Ring)
31 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
3231, 1, 23deg1z 24691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (( deg1𝑅)‘(0g𝑃)) = -∞)
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1𝑅)‘(0g𝑃)) = -∞)
3429, 33eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = -∞)
3531, 3uc1pdeg 24751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐶) → (( deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
36353adant2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (( deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
3736nn0red 11948 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (( deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
3837adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
3938mnfltd 12511 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → -∞ < (( deg1𝑅)‘𝐺))
4034, 39eqbrtrd 5055 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < (( deg1𝑅)‘𝐺))
41 dvdsq1p.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (quot1p𝑅)
4241, 1, 2, 31, 24, 7, 3q1peqb 24758 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝑞𝐵 ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < (( deg1𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
4342adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝑞𝐵 ∧ (( deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < (( deg1𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
4412, 40, 43mpbi2and 711 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞)
4544oveq1d 7154 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) = (𝑞 · 𝐺))
4611, 45eqtr4d 2839 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
4746expr 460 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
4810, 47syl5bi 245 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
4948rexlimdva 3246 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (∃𝑞𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
509, 49sylbid 243 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
5141, 1, 2, 3q1pcl 24759 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)
522, 6, 7dvdsrmul 19397 . . . 4 ((𝐺𝐵 ∧ (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵) → 𝐺 ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
535, 51, 52syl2anc 587 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺 ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
54 breq2 5037 . . 3 (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → (𝐺 𝐹𝐺 ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
5553, 54syl5ibrcom 250 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → 𝐺 𝐹))
5650, 55impbid 215 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3110   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  -∞cmnf 10666   < clt 10668  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  0gc0g 16708  Grpcgrp 18098  -gcsg 18100  Ringcrg 19293  ∥rcdsr 19387  Poly1cpl1 20809   deg1 cdg1 24658  Unic1pcuc1p 24730  quot1pcq1p 24731 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-rlreg 20052  df-cnfld 20095  df-psr 20597  df-mvr 20598  df-mpl 20599  df-opsr 20601  df-psr1 20812  df-vr1 20813  df-ply1 20814  df-coe1 20815  df-mdeg 24659  df-deg1 24660  df-uc1p 24735  df-q1p 24736 This theorem is referenced by:  dvdsr1p  24765  fta1glem1  24769  fta1glem2  24770
 Copyright terms: Public domain W3C validator