MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsq1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsq1p 26202
Description: Divisibility in a polynomial ring is witnessed by the quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsq1p.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
dvdsq1p.d = (∥r𝑃)
dvdsq1p.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
dvdsq1p.c 𝐶 = (Unic1p𝑅)
dvdsq1p.t · = (.r𝑃)
dvdsq1p.q 𝑄 = (quot1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsq1p ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))

Proof of Theorem dvdsq1p
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsq1p.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 dvdsq1p.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 dvdsq1p.c . . . . . 6 𝐶 = (Unic1p𝑅)
41, 2, 3uc1pcl 26183 . . . . 5 (𝐺𝐶𝐺𝐵)
543ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺𝐵)
6 dvdsq1p.d . . . . 5 = (∥r𝑃)
7 dvdsq1p.t . . . . 5 · = (.r𝑃)
82, 6, 7dvdsr2 20363 . . . 4 (𝐺𝐵 → (𝐺 𝐹 ↔ ∃𝑞𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
95, 8syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹 ↔ ∃𝑞𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
10 eqcom 2744 . . . . 5 ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
11 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
12 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑞𝐵)
13 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
141ply1ring 22249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
16 ringgrp 20235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
18 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝐹𝐵)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝑞𝐵)
205adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → 𝐺𝐵)
212, 7ringcl 20247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑞𝐵𝐺𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
2215, 19, 20, 21syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
23 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑃) = (0g𝑃)
24 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-g𝑃) = (-g𝑃)
252, 23, 24grpsubeq0 19044 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
2617, 18, 22, 25syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
2726biimprd 248 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → (𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃)))
2827impr 454 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g𝑃))
2928fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = ((deg1𝑅)‘(0g𝑃)))
30 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑅 ∈ Ring)
31 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (deg1𝑅) = (deg1𝑅)
3231, 1, 23deg1z 26126 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → ((deg1𝑅)‘(0g𝑃)) = -∞)
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1𝑅)‘(0g𝑃)) = -∞)
3429, 33eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = -∞)
3531, 3uc1pdeg 26187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐶) → ((deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
36353adant2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
3736nn0red 12588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
3938mnfltd 13166 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → -∞ < ((deg1𝑅)‘𝐺))
4034, 39eqbrtrd 5165 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1𝑅)‘𝐺))
41 dvdsq1p.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (quot1p𝑅)
4241, 1, 2, 31, 24, 7, 3q1peqb 26195 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝑞𝐵 ∧ ((deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝑞𝐵 ∧ ((deg1𝑅)‘(𝐹(-g𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
4412, 40, 43mpbi2and 712 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞)
4544oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) = (𝑞 · 𝐺))
4611, 45eqtr4d 2780 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ (𝑞𝐵𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
4746expr 456 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
4810, 47biimtrid 242 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑞𝐵) → ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
4948rexlimdva 3155 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (∃𝑞𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
509, 49sylbid 240 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
5141, 1, 2, 3q1pcl 26196 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)
522, 6, 7dvdsrmul 20364 . . . 4 ((𝐺𝐵 ∧ (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵) → 𝐺 ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
535, 51, 52syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺 ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
54 breq2 5147 . . 3 (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → (𝐺 𝐹𝐺 ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
5553, 54syl5ibrcom 247 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → 𝐺 𝐹))
5650, 55impbid 212 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  -∞cmnf 11293   < clt 11295  0cn0 12526  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  Ringcrg 20230  rcdsr 20354  Poly1cpl1 22178  deg1cdg1 26093  Unic1pcuc1p 26166  quot1pcq1p 26167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-uc1p 26171  df-q1p 26172
This theorem is referenced by:  dvdsr1p  26203  fta1glem1  26207  fta1glem2  26208  r1pcyc  33627
  Copyright terms: Public domain W3C validator