Theorem dvdsq1p 26068

Description: Divisibility in a polynomial ring is witnessed by the quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsq1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
dvdsq1p.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
dvdsq1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
dvdsq1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
dvdsq1p.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
dvdsq1p.q	⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsq1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))

Proof of Theorem dvdsq1p

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsq1p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		dvdsq1p.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		dvdsq1p.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	uc1pcl 26049	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
6		dvdsq1p.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
7		dvdsq1p.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑃)
8	2, 6, 7	dvdsr2 20272	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
10		eqcom 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹 ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
11		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
12		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
13		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
14	1	ply1ring 22132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
16		ringgrp 20147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
18		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
20	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
21	2, 7	ringcl 20159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
22	15, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
23		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
24		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
25	2, 23, 24	grpsubeq0 18958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
26	17, 18, 22, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
27	26	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃)))
28	27	impr 454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃))
29	28	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)))
30		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑅 ∈ Ring)
31		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
32	31, 1, 23	deg1z 25992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
34	29, 33	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = -∞)
35	31, 3	uc1pdeg 26053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
36	35	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
39	38	mnfltd 13084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → -∞ < ((deg1‘𝑅)‘𝐺))
40	34, 39	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺))
41		dvdsq1p.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
42	41, 1, 2, 31, 24, 7, 3	q1peqb 26061	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
44	12, 40, 43	mpbi2and 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞)
45	44	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) = (𝑞 · 𝐺))
46	11, 45	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
47	46	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
48	10, 47	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
49	48	rexlimdva 3134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
50	9, 49	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
51	41, 1, 2, 3	q1pcl 26062	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)
52	2, 6, 7	dvdsrmul 20273	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵) → 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
53	5, 51, 52	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
54		breq2 5111	. . 3 ⊢ (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
55	53, 54	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → 𝐺 ∥ 𝐹))
56	50, 55	impbid 212	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  -∞cmnf 11206   < clt 11208  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18865  -_gcsg 18867  Ringcrg 20142  ∥_rcdsr 20263  Poly₁cpl1 22061  deg₁cdg1 25959  Unic_1pcuc1p 26032  quot_1pcq1p 26033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-rlreg 20603  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-cnfld 21265  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066  df-coe1 22067  df-mdeg 25960  df-deg1 25961  df-uc1p 26037  df-q1p 26038

This theorem is referenced by:  dvdsr1p  26069  fta1glem1  26073  fta1glem2  26074  r1pcyc  33572