Theorem dvdsq1p 26128

Description: Divisibility in a polynomial ring is witnessed by the quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsq1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
dvdsq1p.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
dvdsq1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
dvdsq1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
dvdsq1p.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
dvdsq1p.q	⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsq1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))

Proof of Theorem dvdsq1p

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsq1p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		dvdsq1p.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		dvdsq1p.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	uc1pcl 26109	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
5	4	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
6		dvdsq1p.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
7		dvdsq1p.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑃)
8	2, 6, 7	dvdsr2 20343	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
10		eqcom 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹 ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
11		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
12		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
13		simpl1 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
14	1	ply1ring 22211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
16		ringgrp 20219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
18		simpl2 1194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
20	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
21	2, 7	ringcl 20231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
22	15, 19, 20, 21	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
23		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
24		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
25	2, 23, 24	grpsubeq0 19002	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
26	17, 18, 22, 25	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
27	26	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃)))
28	27	impr 454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃))
29	28	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)))
30		simpl1 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑅 ∈ Ring)
31		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
32	31, 1, 23	deg1z 26052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
34	29, 33	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = -∞)
35	31, 3	uc1pdeg 26113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
36	35	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
39	38	mnfltd 13075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → -∞ < ((deg1‘𝑅)‘𝐺))
40	34, 39	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺))
41		dvdsq1p.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
42	41, 1, 2, 31, 24, 7, 3	q1peqb 26121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ ((deg1‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
44	12, 40, 43	mpbi2and 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞)
45	44	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) = (𝑞 · 𝐺))
46	11, 45	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
47	46	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
48	10, 47	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
49	48	rexlimdva 3138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
50	9, 49	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
51	41, 1, 2, 3	q1pcl 26122	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)
52	2, 6, 7	dvdsrmul 20344	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵) → 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
53	5, 51, 52	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
54		breq2 5089	. . 3 ⊢ (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
55	53, 54	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → 𝐺 ∥ 𝐹))
56	50, 55	impbid 212	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  -∞cmnf 11177   < clt 11179  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  -_gcsg 18911  Ringcrg 20214  ∥_rcdsr 20334  Poly₁cpl1 22140  deg₁cdg1 26019  Unic_1pcuc1p 26092  quot_1pcq1p 26093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-rlreg 20671  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-cnfld 21353  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-psr1 22143  df-vr1 22144  df-ply1 22145  df-coe1 22146  df-mdeg 26020  df-deg1 26021  df-uc1p 26097  df-q1p 26098

This theorem is referenced by:  dvdsr1p  26129  fta1glem1  26133  fta1glem2  26134  r1pcyc  33667