Theorem dvdsq1p 25525

Description: Divisibility in a polynomial ring is witnessed by the quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsq1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
dvdsq1p.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
dvdsq1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
dvdsq1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
dvdsq1p.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
dvdsq1p.q	⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsq1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))

Proof of Theorem dvdsq1p

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsq1p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		dvdsq1p.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		dvdsq1p.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
4	1, 2, 3	uc1pcl 25508	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
6		dvdsq1p.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
7		dvdsq1p.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑃)
8	2, 6, 7	dvdsr2 20076	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹))
10		eqcom 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹 ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
11		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))
12		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑞 ∈ 𝐵)
13		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
14	1	ply1ring 21619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
16		ringgrp 19969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
18		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
19		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
20	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
21	2, 7	ringcl 19981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
22	15, 19, 20, 21	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵)
23		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
24		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
25	2, 23, 24	grpsubeq0 18833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝑞 · 𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
26	17, 18, 22, 25	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃) ↔ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺)))
27	26	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃)))
28	27	impr 455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺)) = (0g‘𝑃))
29	28	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = (( deg1 ‘𝑅)‘(0g‘𝑃)))
30		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝑅 ∈ Ring)
31		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
32	31, 1, 23	deg1z 25452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (( deg1 ‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1 ‘𝑅)‘(0g‘𝑃)) = -∞)
34	29, 33	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) = -∞)
35	31, 3	uc1pdeg 25512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
36	35	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺) ∈ ℝ)
39	38	mnfltd 13045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → -∞ < (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺))
40	34, 39	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺))
41		dvdsq1p.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
42	41, 1, 2, 31, 24, 7, 3	q1peqb 25519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑞 · 𝐺))) < (( deg1 ‘𝑅)‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞))
44	12, 40, 43	mpbi2and 710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → (𝐹𝑄𝐺) = 𝑞)
45	44	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) = (𝑞 · 𝐺))
46	11, 45	eqtr4d 2779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = (𝑞 · 𝐺))) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
47	46	expr 457	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 = (𝑞 · 𝐺) → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
48	10, 47	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝑞 · 𝐺) = 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
49	48	rexlimdva 3152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝑞 · 𝐺) = 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
50	9, 49	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 → 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
51	41, 1, 2, 3	q1pcl 25520	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵)
52	2, 6, 7	dvdsrmul 20077	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑄𝐺) ∈ 𝐵) → 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
53	5, 51, 52	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺))
54		breq2 5109	. . 3 ⊢ (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐺 ∥ ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))
55	53, 54	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺) → 𝐺 ∥ 𝐹))
56	50, 55	impbid 211	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹𝑄𝐺) · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  -∞cmnf 11187   < clt 11189  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17083  ._rcmulr 17134  0_gc0g 17321  Grpcgrp 18748  -_gcsg 18750  Ringcrg 19964  ∥_rcdsr 20067  Poly₁cpl1 21548   deg₁ cdg1 25416  Unic_1pcuc1p 25491  quot_1pcq1p 25492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-rlreg 20753  df-cnfld 20797  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mdeg 25417  df-deg1 25418  df-uc1p 25496  df-q1p 25497

This theorem is referenced by:  dvdsr1p  25526  fta1glem1  25530  fta1glem2  25531