Theorem isdrng4 33389

Description: A division ring is a ring in which 1 ≠ 0 and every nonzero element has a left and right inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng4.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng4.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng4.x	⊢ · = (.r‘𝑅)
isdrng4.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isdrng4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
isdrng4	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   0 (𝑦)

Proof of Theorem isdrng4

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng4.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isdrng4.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		isdrng4.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdrng 20678	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })))
5		isdrng4.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))))
7	4, 6	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })))
8		isdrng4.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
9	2, 8	1unit 20322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
10	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑈)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 1 ∈ 𝑈)
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))
13	11, 12	eleqtrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
14		eldifsni 4748	. . . . 5 ⊢ ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 1 ≠ 0 )
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 1 ≠ 0 )
16		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝜑)
17	12	eleq2d 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
18	17	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑈)
19		isdrng4.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	5	ad5antr 735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑅 ∈ Ring)
21	1, 2	unitcl 20323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
22	21	ad5antlr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
24		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑧 ∈ 𝐵)
25		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑧) = 1 )
27	1, 3, 8, 19, 2, 20, 22, 23, 24, 25, 26	ringinveu 33388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑧 = 𝑦)
28	27	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥 · 𝑦))
29	28, 26	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
30	21	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
31		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
32		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
33		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
34	2, 8, 31, 32, 33	isunit 20321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
35	34	simprbi 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
36	35	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
37	32, 1	opprbas 20291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
38		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
39	37, 33, 38	dvdsr2 20311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ))
40	39	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 )
41	1, 19, 32, 38	opprmul 20288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥 · 𝑦)
42	41	eqeq1i 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1 )
43	42	rexbii 3085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
44	40, 43	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
45		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑧))
46	45	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ↔ (𝑥 · 𝑧) = 1 ))
47	46	cbvrexvw 3217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
48	44, 47	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
49	30, 36, 48	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
50	29, 49	r19.29a 3146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
51		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
52	50, 51	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
53	52	anasss 466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
54	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
55	34	simplbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
56	55	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
57	1, 31, 19	dvdsr2 20311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(∥r‘𝑅) 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
58	57	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘𝑅) 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
59	54, 56, 58	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
60	53, 59	reximddv 3154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
61	16, 18, 60	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
62	61	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
63	15, 62	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )))
64	1, 2	unitss 20324	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
66	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
67		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 1 ≠ 0 )
68	2, 3, 8	0unit 20344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ 𝑈 ↔ 1 = 0 ))
69	68	necon3bbid 2970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ 𝑈 ↔ 1 ≠ 0 ))
70	69	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → ¬ 0 ∈ 𝑈)
71	66, 67, 70	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → ¬ 0 ∈ 𝑈)
72		ssdifsn 4746	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑈 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑈))
73	65, 71, 72	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
74		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
75	74	eldifad 3915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥 ∈ 𝐵)
76		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
77	76	reximi 3076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
79	57	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
80	75, 78, 79	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
81		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
82	81	reximi 3076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
84	83, 43	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 )
85	39	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
86	75, 84, 85	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
87	80, 86, 34	sylanbrc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥 ∈ 𝑈)
88	87	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝑈))
89	88	ralimdva 3150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈))
90	89	impr 454	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈)
91		dfss3 3924	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈)
92	90, 91	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈)
93	73, 92	eqssd 3953	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))
94	63, 93	impbida 801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))
95	7, 94	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  opp_rcoppr 20284  ∥_rcdsr 20302  Unitcui 20303  DivRingcdr 20674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-drng 20676

This theorem is referenced by:  fracfld  33402  drngidl  33526  opprqusdrng  33586  qsdrngi  33588