Theorem isdrng4 33379

Description: A division ring is a ring in which 1 ≠ 0 and every nonzero element has a left and right inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng4.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng4.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng4.x	⊢ · = (.r‘𝑅)
isdrng4.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isdrng4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
isdrng4	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   0 (𝑦)

Proof of Theorem isdrng4

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng4.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isdrng4.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		isdrng4.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdrng 20705	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })))
5		isdrng4.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	biantrurd 537	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))))
7	4, 6	bitr4id 291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })))
8		isdrng4.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
9	2, 8	1unit 20345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
10	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑈)
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 1 ∈ 𝑈)
12		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))
13	11, 12	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
14		eldifsni 4723	. . . . 5 ⊢ ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 1 ≠ 0 )
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 1 ≠ 0 )
16		simpll 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝜑)
17	12	eleq2d 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
18	17	biimpar 478	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑈)
19		isdrng4.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	5	ad5antr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑅 ∈ Ring)
21	1, 2	unitcl 20346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
22	21	ad5antlr 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simp-4r 789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
24		simplr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑧 ∈ 𝐵)
25		simpllr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
26		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑧) = 1 )
27	1, 3, 8, 19, 2, 20, 22, 23, 24, 25, 26	ringinveu 33378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑧 = 𝑦)
28	27	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥 · 𝑦))
29	28, 26	eqtr3d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
30	21	ad3antlr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
31		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
32		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
33		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
34	2, 8, 31, 32, 33	isunit 20344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
35	34	simprbi 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
36	35	ad3antlr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
37	32, 1	opprbas 20314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
38		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
39	37, 33, 38	dvdsr2 20334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ))
40	39	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 )
41	1, 19, 32, 38	opprmul 20311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥 · 𝑦)
42	41	eqeq1i 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1 )
43	42	rexbii 3086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
44	40, 43	sylib 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
45		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑧))
46	45	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ↔ (𝑥 · 𝑧) = 1 ))
47	46	cbvrexvw 3218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
48	44, 47	sylib 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
49	30, 36, 48	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
50	29, 49	r19.29a 3147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
51		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
52	50, 51	jca 516	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
53	52	anasss 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
54	21	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
55	34	simplbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
56	55	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
57	1, 31, 19	dvdsr2 20334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(∥r‘𝑅) 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
58	57	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘𝑅) 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
59	54, 56, 58	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
60	53, 59	reximddv 3155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
61	16, 18, 60	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
62	61	ralrimiva 3131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
63	15, 62	jca 516	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )))
64	1, 2	unitss 20347	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
66	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
67		simprl 776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 1 ≠ 0 )
68	2, 3, 8	0unit 20367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ 𝑈 ↔ 1 = 0 ))
69	68	necon3bbid 2971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ 𝑈 ↔ 1 ≠ 0 ))
70	69	biimpar 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → ¬ 0 ∈ 𝑈)
71	66, 67, 70	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → ¬ 0 ∈ 𝑈)
72		ssdifsn 4721	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑈 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑈))
73	65, 71, 72	sylanbrc 589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
74		simplr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
75	74	eldifad 3895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥 ∈ 𝐵)
76		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
77	76	reximi 3077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
79	57	biimpar 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
80	75, 78, 79	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
81		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
82	81	reximi 3077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
84	83, 43	sylibr 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 )
85	39	biimpar 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
86	75, 84, 85	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
87	80, 86, 34	sylanbrc 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥 ∈ 𝑈)
88	87	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝑈))
89	88	ralimdva 3151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈))
90	89	impr 455	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈)
91		dfss3 3904	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈)
92	90, 91	sylibr 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈)
93	73, 92	eqssd 3932	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))
94	63, 93	impbida 806	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))
95	7, 94	bitrd 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4555   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  opp_rcoppr 20307  ∥_rcdsr 20325  Unitcui 20326  DivRingcdr 20701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20703

This theorem is referenced by:  fracfld  33392  drngidl  33516  opprqusdrng  33576  qsdrngi  33578