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Theorem isdrng4 33279
Description: A division ring is a ring in which 1 ≠ 0 and every nonzero element has a left and right inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrng4.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng4.0 0 = (0g𝑅)
isdrng4.1 1 = (1r𝑅)
isdrng4.x · = (.r𝑅)
isdrng4.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isdrng4.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
isdrng4 (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 10 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   0 (𝑦)

Proof of Theorem isdrng4
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isdrng4.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 isdrng4.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3 isdrng4.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3isdrng 20750 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })))
5 isdrng4.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
65biantrurd 532 . . 3 (𝜑 → (𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))))
74, 6bitr4id 290 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })))
8 isdrng4.1 . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑅)
92, 81unit 20391 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 1𝑈)
105, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑1𝑈)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 1𝑈)
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))
1311, 12eleqtrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
14 eldifsni 4795 . . . . 5 ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 10 )
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 10 )
16 simpll 767 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝜑)
1712eleq2d 2825 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
1817biimpar 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥𝑈)
19 isdrng4.x . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r𝑅)
205ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑅 ∈ Ring)
211, 2unitcl 20392 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑈𝑥𝐵)
2221ad5antlr 735 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑥𝐵)
23 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑦𝐵)
24 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑧𝐵)
25 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑧) = 1 )
271, 3, 8, 19, 2, 20, 22, 23, 24, 25, 26ringinveu 33278 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑧 = 𝑦)
2827oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥 · 𝑦))
2928, 26eqtr3d 2777 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
3021ad3antlr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥𝐵)
31 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
32 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
33 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
342, 8, 31, 32, 33isunit 20390 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑈 ↔ (𝑥(∥r𝑅) 1𝑥(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
3534simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑈𝑥(∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
3635ad3antlr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
3732, 1opprbas 20358 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘(oppr𝑅))
38 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
3937, 33, 38dvdsr2 20380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵 → (𝑥(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ↔ ∃𝑦𝐵 (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = 1 ))
4039biimpa 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐵𝑥(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ) → ∃𝑦𝐵 (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = 1 )
411, 19, 32, 38opprmul 20354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (𝑥 · 𝑦)
4241eqeq1i 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = 1 ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1 )
4342rexbii 3092 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦𝐵 (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
4440, 43sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐵𝑥(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ) → ∃𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
45 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑧))
4645eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ↔ (𝑥 · 𝑧) = 1 ))
4746cbvrexvw 3236 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 ↔ ∃𝑧𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
4844, 47sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐵𝑥(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
4930, 36, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑧𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
5029, 49r19.29a 3160 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
51 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
5250, 51jca 511 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
5352anasss 466 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
5421adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑥𝐵)
5534simplbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑈𝑥(∥r𝑅) 1 )
5655adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝑥(∥r𝑅) 1 )
571, 31, 19dvdsr2 20380 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑥(∥r𝑅) 1 ↔ ∃𝑦𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
5857biimpa 476 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑥(∥r𝑅) 1 ) → ∃𝑦𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
5954, 56, 58syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → ∃𝑦𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
6053, 59reximddv 3169 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑈) → ∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
6116, 18, 60syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
6261ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝜑𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
6315, 62jca 511 . . 3 ((𝜑𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 10 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )))
641, 2unitss 20393 . . . . . 6 𝑈𝐵
6564a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ( 10 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈𝐵)
665adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( 10 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
67 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( 10 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 10 )
682, 3, 80unit 20413 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ( 0𝑈1 = 0 ))
6968necon3bbid 2976 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0𝑈10 ))
7069biimpar 477 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 10 ) → ¬ 0𝑈)
7166, 67, 70syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ( 10 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → ¬ 0𝑈)
72 ssdifsn 4793 . . . . 5 (𝑈 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑈𝐵 ∧ ¬ 0𝑈))
7365, 71, 72sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( 10 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
74 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑10 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
7574eldifad 3975 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑10 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥𝐵)
76 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
7776reximi 3082 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑦𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
7877adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑10 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
7957biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r𝑅) 1 )
8075, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑10 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥(∥r𝑅) 1 )
81 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
8281reximi 3082 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
8382adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑10 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
8483, 43sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑10 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦𝐵 (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = 1 )
8539biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
8675, 84, 85syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑10 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
8780, 86, 34sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((((𝜑10 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥𝑈)
8887ex 412 . . . . . . 7 (((𝜑10 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥𝑈))
8988ralimdva 3165 . . . . . 6 ((𝜑10 ) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥𝑈))
9089impr 454 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ( 10 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥𝑈)
91 dfss3 3984 . . . . 5 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥𝑈)
9290, 91sylibr 234 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( 10 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈)
9373, 92eqssd 4013 . . 3 ((𝜑 ∧ ( 10 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))
9463, 93impbida 801 . 2 (𝜑 → (𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 10 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))
957, 94bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 10 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  1rcur 20199  Ringcrg 20251  opprcoppr 20350  rcdsr 20371  Unitcui 20372  DivRingcdr 20746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748
This theorem is referenced by:  fracfld  33290  drngidl  33441  opprqusdrng  33501  qsdrngi  33503
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