Theorem isdrng4 33555

Description: A division ring is a ring in which 1 ≠ 0 and every nonzero element has a left and right inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng4.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng4.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng4.x	⊢ · = (.r‘𝑅)
isdrng4.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isdrng4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
isdrng4	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   0 (𝑦)

Proof of Theorem isdrng4

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng4.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isdrng4.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		isdrng4.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdrng 20813	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })))
5		isdrng4.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	biantrurd 541	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))))
7	4, 6	bitr4id 293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })))
8		isdrng4.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
9	2, 8	1unit 20452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
10	5, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑈)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 1 ∈ 𝑈)
12		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))
13	11, 12	eleqtrd 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
14		eldifsni 4759	. . . . 5 ⊢ ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 1 ≠ 0 )
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 1 ≠ 0 )
16		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝜑)
17	12	eleq2d 2855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
18	17	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑈)
19		isdrng4.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	5	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑅 ∈ Ring)
21	1, 2	unitcl 20453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
22	21	ad5antlr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
24		simplr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑧 ∈ 𝐵)
25		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
26		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑧) = 1 )
27	1, 3, 8, 19, 2, 20, 22, 23, 24, 25, 26	ringinveu 33554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑧 = 𝑦)
28	27	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥 · 𝑦))
29	28, 26	eqtr3d 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
30	21	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
31		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
32		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
33		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
34	2, 8, 31, 32, 33	isunit 20451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
35	34	simprbi 502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
36	35	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
37	32, 1	opprbas 20421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
38		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
39	37, 33, 38	dvdsr2 20441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ))
40	39	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 )
41	1, 19, 32, 38	opprmul 20418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥 · 𝑦)
42	41	eqeq1i 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1 )
43	42	rexbii 3118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
44	40, 43	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
45		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑧))
46	45	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ↔ (𝑥 · 𝑧) = 1 ))
47	46	cbvrexvw 3250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
48	44, 47	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
49	30, 36, 48	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
50	29, 49	r19.29a 3179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
51		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
52	50, 51	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
53	52	anasss 471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
54	21	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
55	34	simplbi 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
56	55	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
57	1, 31, 19	dvdsr2 20441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(∥r‘𝑅) 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
58	57	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘𝑅) 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
59	54, 56, 58	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
60	53, 59	reximddv 3187	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
61	16, 18, 60	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
62	61	ralrimiva 3163	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
63	15, 62	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )))
64	1, 2	unitss 20454	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
66	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
67		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 1 ≠ 0 )
68	2, 3, 8	0unit 20474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ 𝑈 ↔ 1 = 0 ))
69	68	necon3bbid 3001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ 𝑈 ↔ 1 ≠ 0 ))
70	69	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → ¬ 0 ∈ 𝑈)
71	66, 67, 70	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → ¬ 0 ∈ 𝑈)
72		ssdifsn 4757	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑈 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑈))
73	65, 71, 72	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
74		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
75	74	eldifad 3925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥 ∈ 𝐵)
76		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
77	76	reximi 3109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
78	77	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
79	57	biimpar 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
80	75, 78, 79	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
81		simpl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
82	81	reximi 3109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
83	82	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
84	83, 43	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 )
85	39	biimpar 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
86	75, 84, 85	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
87	80, 86, 34	sylanbrc 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥 ∈ 𝑈)
88	87	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝑈))
89	88	ralimdva 3183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈))
90	89	impr 459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈)
91		dfss3 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈)
92	90, 91	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈)
93	73, 92	eqssd 3962	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))
94	63, 93	impbida 812	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))
95	7, 94	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4591   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  ._rcmulr 17307  0_gc0g 17488  1_rcur 20259  Ringcrg 20311  opp_rcoppr 20414  ∥_rcdsr 20432  Unitcui 20433  DivRingcdr 20809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-drng 20811

This theorem is referenced by:  fracfld  33568  drngidl  33681  opprqusdrng  33716  qsdrngi  33718