Theorem isdrng4 21043

Description: A division ring is a ring in which 1 ≠ 0 and every nonzero element has a left and right inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng4.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdrng4.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isdrng4.x	⊢ · = (.r‘𝑅)
isdrng4.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isdrng4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
isdrng4	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥, 1 ,𝑦   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   0 (𝑦)

Proof of Theorem isdrng4

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng4.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isdrng4.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		isdrng4.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdrng 21035	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })))
5		isdrng4.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	biantrurd 542	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))))
7	4, 6	bitr4id 293	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })))
8		isdrng4.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
9	2, 8	1unit 20655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
10	5, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑈)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 1 ∈ 𝑈)
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))
13	11, 12	eleqtrd 2866	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
14		eldifsni 4755	. . . . 5 ⊢ ( 1 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 1 ≠ 0 )
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → 1 ≠ 0 )
16		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝜑)
17	12	eleq2d 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
18	17	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝑈)
19		isdrng4.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	5	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑅 ∈ Ring)
21	1, 2	unitcl 20656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
22	21	ad5antlr 748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
24		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑧 ∈ 𝐵)
25		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
26		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑧) = 1 )
27	1, 3, 8, 19, 2, 20, 22, 23, 24, 25, 26	ringinveu 21042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → 𝑧 = 𝑦)
28	27	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑧) = (𝑥 · 𝑦))
29	28, 26	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑧) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
30	21	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
31		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
32		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
33		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
34	2, 8, 31, 32, 33	isunit 20654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(∥r‘𝑅) 1 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
35	34	simprbi 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
36	35	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
37	32, 1	opprbas 20624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
38		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
39	37, 33, 38	dvdsr2 20644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ))
40	39	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 )
41	1, 19, 32, 38	opprmul 20621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥 · 𝑦)
42	41	eqeq1i 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1 )
43	42	rexbii 3113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
44	40, 43	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
45		oveq2 7459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 𝑧))
46	45	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ↔ (𝑥 · 𝑧) = 1 ))
47	46	cbvrexvw 3245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
48	44, 47	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
49	30, 36, 48	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑧) = 1 )
50	29, 49	r19.29a 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
51		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
52	50, 51	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
53	52	anasss 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
54	21	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐵)
55	34	simplbi 502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
56	55	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
57	1, 31, 19	dvdsr2 20644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(∥r‘𝑅) 1 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
58	57	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥(∥r‘𝑅) 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
59	54, 56, 58	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
60	53, 59	reximddv 3182	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
61	16, 18, 60	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
62	61	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))
63	15, 62	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })) → ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )))
64	1, 2	unitss 20657	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
66	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
67		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 1 ≠ 0 )
68	2, 3, 8	0unit 20677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ 𝑈 ↔ 1 = 0 ))
69	68	necon3bbid 2996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ∈ 𝑈 ↔ 1 ≠ 0 ))
70	69	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) → ¬ 0 ∈ 𝑈)
71	66, 67, 70	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → ¬ 0 ∈ 𝑈)
72		ssdifsn 4753	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑈 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑈))
73	65, 71, 72	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
74		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
75	74	eldifad 4054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥 ∈ 𝐵)
76		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑦 · 𝑥) = 1 )
77	76	reximi 3104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
78	77	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 )
79	57	biimpar 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
80	75, 78, 79	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥(∥r‘𝑅) 1 )
81		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → (𝑥 · 𝑦) = 1 )
82	81	reximi 3104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
83	82	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = 1 )
84	83, 43	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 )
85	39	biimpar 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = 1 ) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
86	75, 84, 85	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
87	80, 86, 34	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 )) → 𝑥 ∈ 𝑈)
88	87	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → 𝑥 ∈ 𝑈))
89	88	ralimdva 3178	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≠ 0 ) → (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈))
90	89	impr 460	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈)
91		dfss3 3902	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })𝑥 ∈ 𝑈)
92	90, 91	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑈)
93	73, 92	eqssd 3930	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))) → 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))
94	63, 93	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))
95	7, 94	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 1 ≠ 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 1 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 1 ))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  opp_rcoppr 20617  ∥_rcdsr 20635  Unitcui 20636  DivRingcdr 21031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-drng 21033

This theorem is used by:  drngidl  21590  fracfld  33974  opprqusdrng  34121  qsdrngi  34123