Theorem rspsn 20884

Description: Membership in principal ideals is closely related to divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspsn.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspsn.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspsn	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐺   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥, ∥

Proof of Theorem rspsn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥)
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
3	2	rexbidv 3178	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
4		rlmlmod 20819	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
5		rlmsca2 20815	. . . . 5 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
6		baseid 17143	. . . . . 6 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
7		rspsn.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	6, 7	strfvi 17119	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘( I ‘𝑅))
9		rlmbas 20809	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
10	7, 9	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
11		rlmvsca 20816	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
12		rspsn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
13		rspval 20807	. . . . . 6 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
14	12, 13	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
15	5, 8, 10, 11, 14	lspsnel 20606	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺)))
16	4, 15	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎(.r‘𝑅)𝐺)))
17		rspsn.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
18		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	7, 17, 18	dvdsr2 20169	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐺 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
20	19	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎(.r‘𝑅)𝐺) = 𝑥))
21	3, 16, 20	3bitr4d 310	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝐺 ∥ 𝑥))
22	21	eqabdv 2867	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥 ∣ 𝐺 ∥ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  ∃wrex 3070  {csn 4627   class class class wbr 5147   I cid 5572  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  ._rcmulr 17194  Ringcrg 20049  ∥_rcdsr 20160  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574  ringLModcrglmod 20774  RSpancrsp 20776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-dvdsr 20163  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-rsp 20780

This theorem is referenced by:  lidldvgen  20885  zndvds  21096