Theorem dvdsr01 19992

Description: In a ring, zero is divisible by all elements. ("Zero divisor" as a term has a somewhat different meaning, see df-rlreg 20660.) (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr0.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsr0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsr01	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ 0 )

Proof of Theorem dvdsr01

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsr0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	ring0cl 19903	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 4, 2	ringlz 19921	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
6		oveq1 7349	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑋) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑋))
7	6	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑋) = 0 ↔ ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 ))
8	7	rspcev 3574	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 ) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
9	3, 5, 8	syl2an2r 683	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
10		dvdsr0.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
11	1, 10, 4	dvdsr2 19984	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∥ 0 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑋) = 0 ))
12	11	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∥ 0 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑋) = 0 ))
13	9, 12	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∥ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3071   class class class wbr 5097  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  Basecbs 17010  ._rcmulr 17061  0_gc0g 17248  Ringcrg 19878  ∥_rcdsr 19975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-plusg 17073  df-0g 17250  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-mgp 19816  df-ring 19880  df-dvdsr 19978

This theorem is referenced by:  ig1pdvds  25447