MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitgrp 20399
Description: The group of units is a group under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitmulcl.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
unitgrp (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem unitgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unitmulcl.1 . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2 unitgrp.2 . . . 4 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
31, 2unitgrpbas 20398 . . 3 𝑈 = (Base‘𝐺)
43a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Base‘𝐺))
51fvexi 6920 . . 3 𝑈 ∈ V
6 eqid 2734 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7 eqid 2734 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
86, 7mgpplusg 20155 . . . 4 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
92, 8ressplusg 17335 . . 3 (𝑈 ∈ V → (.r𝑅) = (+g𝐺))
105, 9mp1i 13 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (.r𝑅) = (+g𝐺))
111, 7unitmulcl 20396 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑈)
12 eqid 2734 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1312, 1unitcl 20391 . . . 4 (𝑥𝑈𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
1412, 1unitcl 20391 . . . 4 (𝑦𝑈𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
1512, 1unitcl 20391 . . . 4 (𝑧𝑈𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
1613, 14, 153anim123i 1150 . . 3 ((𝑥𝑈𝑦𝑈𝑧𝑈) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
1712, 7ringass 20270 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
1816, 17sylan2 593 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈𝑧𝑈)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑥(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
19 eqid 2734 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
201, 191unit 20390 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
2112, 7, 19ringlidm 20282 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥)
2213, 21sylan2 593 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥)
23 simpr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
24 eqid 2734 . . . . 5 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
25 eqid 2734 . . . . 5 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
26 eqid 2734 . . . . 5 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
271, 19, 24, 25, 26isunit 20389 . . . 4 (𝑥𝑈 ↔ (𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
2823, 27sylib 218 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
2913adantl 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
3012, 24, 7dvdsr2 20379 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → (𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅)))
3129, 30syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅)))
3225, 12opprbas 20357 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
33 eqid 2734 . . . . . . 7 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
3432, 26, 33dvdsr2 20379 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → (𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅) ↔ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))
3529, 34syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅) ↔ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))
3631, 35anbi12d 632 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → ((𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)) ↔ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅))))
37 reeanv 3226 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)) ↔ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))
38 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
3929ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4012, 24, 7dvdsrmul 20380 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑚(∥r𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑚))
4138, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → 𝑚(∥r𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑚))
42 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → 𝑅 ∈ Ring)
43 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
4412, 7ringass 20270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑚) = (𝑦(.r𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑚)))
4542, 43, 39, 38, 44syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑚) = (𝑦(.r𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑚)))
46 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅))
4746oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(.r𝑅)𝑚) = ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑚))
4812, 7, 25, 33opprmul 20353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (𝑥(.r𝑅)𝑚)
49 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅))
5048, 49eqtr3id 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → (𝑥(.r𝑅)𝑚) = (1r𝑅))
5150oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → (𝑦(.r𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑚)) = (𝑦(.r𝑅)(1r𝑅)))
5245, 47, 513eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑚) = (𝑦(.r𝑅)(1r𝑅)))
5312, 7, 19ringlidm 20282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑚) = 𝑚)
5442, 38, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑚) = 𝑚)
5512, 7, 19ringridm 20283 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑦)
5642, 43, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → (𝑦(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑦)
5752, 54, 563eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → 𝑚 = 𝑦)
5841, 57, 503brtr3d 5178 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → 𝑦(∥r𝑅)(1r𝑅))
5932, 26, 33dvdsrmul 20380 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑦(∥r‘(oppr𝑅))(𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑦))
6043, 39, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → 𝑦(∥r‘(oppr𝑅))(𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑦))
6112, 7, 25, 33opprmul 20353 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)
6261, 46eqtrid 2786 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑦) = (1r𝑅))
6360, 62breqtrd 5173 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → 𝑦(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
641, 19, 24, 25, 26isunit 20389 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑈 ↔ (𝑦(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑦(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
6558, 63, 64sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → 𝑦𝑈)
6665, 46jca 511 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)))) → (𝑦𝑈 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅)))
6766rexlimdvaa 3153 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)) → (𝑦𝑈 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅))))
6867expimpd 453 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → ((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅))) → (𝑦𝑈 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅))))
6968reximdv2 3161 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)) → ∃𝑦𝑈 (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅)))
7037, 69biimtrrid 243 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → ((∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr𝑅))𝑥) = (1r𝑅)) → ∃𝑦𝑈 (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅)))
7136, 70sylbid 240 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → ((𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)) → ∃𝑦𝑈 (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅)))
7228, 71mpd 15 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈) → ∃𝑦𝑈 (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (1r𝑅))
734, 10, 11, 18, 20, 22, 72isgrpde 18987 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  Vcvv 3477   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  s cress 17273  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Grpcgrp 18963  mulGrpcmgp 20151  1rcur 20198  Ringcrg 20250  opprcoppr 20349  rcdsr 20370  Unitcui 20371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374
This theorem is referenced by:  unitabl  20400  unitsubm  20402  unitinvcl  20406  unitinvinv  20407  unitlinv  20409  unitrinv  20410  rdivmuldivd  20429  rhmunitinv  20527  subrgugrp  20607  isdrng2  20759  expghm  21503  invrvald  22697  nrginvrcn  24728  nrgtdrg  24729  dchrfi  27313  dchrghm  27314  dchrabs  27318  dchrptlem1  27322  dchrptlem2  27323  dchrptlem3  27324  dchrsum2  27326  dvrcan5  33225  unitscyglem5  42180  idomodle  43179  proot1mul  43182  proot1hash  43183  proot1ex  43184
  Copyright terms: Public domain W3C validator