Theorem unitgrp 19937

Description: The group of units is a group under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitgrp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem unitgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitmulcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		unitgrp.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
3	1, 2	unitgrpbas 19936	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Base‘𝐺))
5	1	fvexi 6806	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ V
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	6, 7	mgpplusg 19752	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9	2, 8	ressplusg 17028	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺))
10	5, 9	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺))
11	1, 7	unitmulcl 19934	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑈)
12		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	12, 1	unitcl 19929	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
14	12, 1	unitcl 19929	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 1	unitcl 19929	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑈 → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
16	13, 14, 15	3anim123i 1149	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
17	12, 7	ringass 19831	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
18	16, 17	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
19		eqid 2733	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	1, 19	1unit 19928	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
21	12, 7, 19	ringlidm 19838	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
22	13, 21	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
23		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
24		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
25		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
26		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
27	1, 19, 24, 25, 26	isunit 19927	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
28	23, 27	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
29	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
30	12, 24, 7	dvdsr2 19917	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
32	25, 12	opprbas 19897	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
33		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
34	32, 26, 33	dvdsr2 19917	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → (𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅) ↔ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))
35	29, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅) ↔ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))
36	31, 35	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) ↔ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅))))
37		reeanv 3211	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)) ↔ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))
38		simprl 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
39	29	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
40	12, 24, 7	dvdsrmul 19918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑚(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑚))
41	38, 39, 40	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑚(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑚))
42		simplll 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑅 ∈ Ring)
43		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
44	12, 7	ringass 19831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑚) = (𝑦(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑚)))
45	42, 43, 39, 38, 44	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑚) = (𝑦(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑚)))
46		simprrl 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
47	46	oveq1d 7310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑚) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑚))
48	12, 7, 25, 33	opprmul 19893	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑚)
49		simprrr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅))
50	48, 49	eqtr3id 2787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅))
51	50	oveq2d 7311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → (𝑦(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑚)) = (𝑦(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
52	45, 47, 51	3eqtr3d 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑚) = (𝑦(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
53	12, 7, 19	ringlidm 19838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑚) = 𝑚)
54	42, 38, 53	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑚) = 𝑚)
55	12, 7, 19	ringridm 19839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑦)
56	42, 43, 55	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → (𝑦(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑦)
57	52, 54, 56	3eqtr3d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑚 = 𝑦)
58	41, 57, 50	3brtr3d 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑦(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
59	32, 26, 33	dvdsrmul 19918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑦(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦))
60	43, 39, 59	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑦(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦))
61	12, 7, 25, 33	opprmul 19893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
62	61, 46	eqtrid 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) = (1r‘𝑅))
63	60, 62	breqtrd 5103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑦(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
64	1, 19, 24, 25, 26	isunit 19927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ (𝑦(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑦(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
65	58, 63, 64	sylanbrc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
66	65, 46	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
67	66	rexlimdvaa 3147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)) → (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))))
68	67	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅))) → (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))))
69	68	reximdv2 3155	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
70	37, 69	syl5bir 242	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
71	36, 70	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
72	28, 71	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
73	4, 10, 11, 18, 20, 22, 72	isgrpde 18628	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  ∃wrex 3068  Vcvv 3434   class class class wbr 5077  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  Basecbs 16940   ↾_s cress 16969  +_gcplusg 16990  ._rcmulr 16991  Grpcgrp 18605  mulGrpcmgp 19748  1_rcur 19765  Ringcrg 19811  opp_rcoppr 19889  ∥_rcdsr 19908  Unitcui 19909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-2nd 7852  df-tpos 8062  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-0g 17180  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-grp 18608  df-mgp 19749  df-ur 19766  df-ring 19813  df-oppr 19890  df-dvdsr 19911  df-unit 19912

This theorem is referenced by:  unitabl  19938  unitsubm  19940  unitinvcl  19944  unitinvinv  19945  unitlinv  19947  unitrinv  19948  isdrng2  20029  subrgugrp  20071  expghm  20725  invrvald  21853  nrginvrcn  23884  nrgtdrg  23885  dchrfi  26431  dchrghm  26432  dchrabs  26436  dchrptlem1  26440  dchrptlem2  26441  dchrptlem3  26442  dchrsum2  26444  rdivmuldivd  31516  dvrcan5  31518  rhmunitinv  31549  idomodle  41045  proot1mul  41048  proot1hash  41049  proot1ex  41050