Theorem unitgrp 20363

Description: The group of units is a group under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitgrp.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
unitgrp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem unitgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitmulcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		unitgrp.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
3	1, 2	unitgrpbas 20362	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Base‘𝐺))
5	1	fvexi 6855	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ V
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	6, 7	mgpplusg 20125	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9	2, 8	ressplusg 17254	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺))
10	5, 9	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺))
11	1, 7	unitmulcl 20360	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑈)
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	12, 1	unitcl 20355	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
14	12, 1	unitcl 20355	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 1	unitcl 20355	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑈 → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
16	13, 14, 15	3anim123i 1152	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
17	12, 7	ringass 20234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
18	16, 17	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
19		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	1, 19	1unit 20354	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
21	12, 7, 19	ringlidm 20250	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
22	13, 21	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
23		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
24		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
25		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
26		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
27	1, 19, 24, 25, 26	isunit 20353	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
28	23, 27	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
29	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
30	12, 24, 7	dvdsr2 20343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
32	25, 12	opprbas 20323	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
33		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
34	32, 26, 33	dvdsr2 20343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → (𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅) ↔ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))
35	29, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅) ↔ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))
36	31, 35	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) ↔ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅))))
37		reeanv 3210	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)) ↔ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))
38		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
39	29	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
40	12, 24, 7	dvdsrmul 20344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑚(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑚))
41	38, 39, 40	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑚(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑚))
42		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑅 ∈ Ring)
43		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
44	12, 7	ringass 20234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑚) = (𝑦(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑚)))
45	42, 43, 39, 38, 44	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑚) = (𝑦(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑚)))
46		simprrl 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
47	46	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥)(.r‘𝑅)𝑚) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑚))
48	12, 7, 25, 33	opprmul 20320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑚)
49		simprrr 782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅))
50	48, 49	eqtr3id 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅))
51	50	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → (𝑦(.r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑚)) = (𝑦(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
52	45, 47, 51	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑚) = (𝑦(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
53	12, 7, 19	ringlidm 20250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑚) = 𝑚)
54	42, 38, 53	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑚) = 𝑚)
55	12, 7, 19	ringridm 20251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑦)
56	42, 43, 55	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → (𝑦(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑦)
57	52, 54, 56	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑚 = 𝑦)
58	41, 57, 50	3brtr3d 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑦(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
59	32, 26, 33	dvdsrmul 20344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑦(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦))
60	43, 39, 59	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑦(∥r‘(oppr‘𝑅))(𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦))
61	12, 7, 25, 33	opprmul 20320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
62	61, 46	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) = (1r‘𝑅))
63	60, 62	breqtrd 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑦(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
64	1, 19, 24, 25, 26	isunit 20353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 ↔ (𝑦(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑦(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
65	58, 63, 64	sylanbrc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
66	65, 46	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))) → (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
67	66	rexlimdvaa 3140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)) → (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))))
68	67	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅))) → (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))))
69	68	reximdv2 3148	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ (𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
70	37, 69	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ∧ ∃𝑚 ∈ (Base‘𝑅)(𝑚(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
71	36, 70	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
72	28, 71	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝑈 (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
73	4, 10, 11, 18, 20, 22, 72	isgrpde 18933	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Grpcgrp 18909  mulGrpcmgp 20121  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  opp_rcoppr 20316  ∥_rcdsr 20334  Unitcui 20335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338

This theorem is referenced by:  unitabl  20364  unitsubm  20366  unitinvcl  20370  unitinvinv  20371  unitlinv  20373  unitrinv  20374  rdivmuldivd  20393  rhmunitinv  20488  subrgugrp  20568  isdrng2  20720  expghm  21455  invrvald  22641  nrginvrcn  24657  nrgtdrg  24658  dchrfi  27218  dchrghm  27219  dchrabs  27223  dchrptlem1  27227  dchrptlem2  27228  dchrptlem3  27229  dchrsum2  27231  dvrcan5  33297  unitscyglem5  42638  idomodle  43619  proot1mul  43622  proot1hash  43623  proot1ex  43624