MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsr 20083
Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
dvdsr.2 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
dvdsr.3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
dvdsr (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ต   ๐‘ง,๐‘‹   ๐‘ง,๐‘Œ   ๐‘ง,๐‘…   ๐‘ง, ยท
Allowed substitution hint:   โˆฅ (๐‘ง)

Proof of Theorem dvdsr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr.2 . . . 4 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
21reldvdsr 20081 . . 3 Rel โˆฅ
32brrelex12i 5691 . 2 (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V))
4 elex 3465 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘‹ โˆˆ V)
5 id 22 . . . . 5 ((๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)
6 ovex 7394 . . . . 5 (๐‘ง ยท ๐‘‹) โˆˆ V
75, 6eqeltrrdi 2843 . . . 4 ((๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ V)
87rexlimivw 3145 . . 3 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ V)
94, 8anim12i 614 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V))
10 simpl 484 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
1110eleq1d 2819 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
1210oveq2d 7377 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ง ยท ๐‘‹))
13 simpr 486 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Œ)
1412, 13eqeq12d 2749 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ))
1514rexbidv 3172 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ))
1611, 15anbi12d 632 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)))
17 dvdsr.1 . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
18 dvdsr.3 . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
1917, 1, 18dvdsrval 20082 . . 3 โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
2016, 19brabga 5495 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ V) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)))
213, 9, 20pm5.21nii 380 1 (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  โˆฅrcdsr 20075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7364  df-dvdsr 20078
This theorem is referenced by:  dvdsr2  20084  dvdsrmul  20085  dvdsrcl  20086  dvdsrcl2  20087  dvdsrtr  20089  dvdsrmul1  20090  opprunit  20098  crngunit  20099  rhmdvdsr  20191  subrgdvds  20278
  Copyright terms: Public domain W3C validator