Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmdvdsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmdvdsr 31511
Description: A ring homomorphism preserves the divisibility relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmdvdsr.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmdvdsr.m = (∥r𝑅)
rhmdvdsr.n / = (∥r𝑆)
Assertion
Ref Expression
rhmdvdsr (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → (𝐹𝐴) / (𝐹𝐵))

Proof of Theorem rhmdvdsr
Dummy variables 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 simpl2 1191 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → 𝐴𝑋)
3 rhmdvdsr.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2740 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
53, 4rhmf 19966 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
65ffvelrnda 6956 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
71, 2, 6syl2anc 584 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
8 simpll1 1211 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
9 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐𝑋)
105ffvelrnda 6956 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
118, 9, 10syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
1211ralrimiva 3110 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∀𝑐𝑋 (𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
132adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → 𝐴𝑋)
14 eqid 2740 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
15 eqid 2740 . . . . . . . 8 (.r𝑆) = (.r𝑆)
163, 14, 15rhmmul 19967 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑐𝑋𝐴𝑋) → (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
178, 9, 13, 16syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
1817ralrimiva 3110 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∀𝑐𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
19 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → 𝐴 𝐵)
20 rhmdvdsr.m . . . . . . . 8 = (∥r𝑅)
213, 20, 14dvdsr2 19885 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵))
2221biimpac 479 . . . . . 6 ((𝐴 𝐵𝐴𝑋) → ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵)
2319, 2, 22syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵)
24 r19.29 3186 . . . . . 6 ((∀𝑐𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵))
25 simpl 483 . . . . . . . 8 (((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
26 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵)
2726fveq2d 6773 . . . . . . . 8 (((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = (𝐹𝐵))
2825, 27eqtr3d 2782 . . . . . . 7 (((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
2928reximi 3177 . . . . . 6 (∃𝑐𝑋 ((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
3024, 29syl 17 . . . . 5 ((∀𝑐𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
3118, 23, 30syl2anc 584 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
32 r19.29 3186 . . . 4 ((∀𝑐𝑋 (𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)))
3312, 31, 32syl2anc 584 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)))
34 oveq1 7276 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐹𝑐) → (𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
3534eqeq1d 2742 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝑐) → ((𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵) ↔ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)))
3635rspcev 3561 . . . 4 (((𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
3736rexlimivw 3213 . . 3 (∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
3833, 37syl 17 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
39 rhmdvdsr.n . . 3 / = (∥r𝑆)
404, 39, 15dvdsr 19884 . 2 ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)))
417, 38, 40sylanbrc 583 1 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → (𝐹𝐴) / (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  wrex 3067   class class class wbr 5079  cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16908  .rcmulr 16959  rcdsr 19876   RingHom crh 19952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-map 8598  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-plusg 16971  df-0g 17148  df-mhm 18426  df-ghm 18828  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781  df-dvdsr 19879  df-rnghom 19955
This theorem is referenced by:  elrhmunit  31513
  Copyright terms: Public domain W3C validator