Theorem rhmdvdsr 20558

Description: A ring homomorphism preserves the divisibility relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmdvdsr.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmdvdsr.m	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rhmdvdsr.n	⊢ / = (∥r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmdvdsr	⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵))

Proof of Theorem rhmdvdsr

Dummy variables 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1205	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		simpl2 1206	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		rhmdvdsr.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5	3, 4	rhmf 20533	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
6	5	ffvelcdmda 7065	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
7	1, 2, 6	syl2anc 593	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
8		simpll1 1226	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
9		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝑐 ∈ 𝑋)
10	5	ffvelcdmda 7065	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
11	8, 9, 10	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
12	11	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
13	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
14		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
16	3, 14, 15	rhmmul 20535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
17	8, 9, 13, 16	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
18	17	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
19		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵)
20		rhmdvdsr.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
21	3, 20, 14	dvdsr2 20412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵))
22	21	biimpac 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵)
23	19, 2, 22	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵)
24		r19.29 3125	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵))
25		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
26		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵)
27	26	fveq2d 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
28	25, 27	eqtr3d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
29	28	reximi 3100	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
30	24, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
31	18, 23, 30	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
32		r19.29 3125	. . . 4 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)))
33	12, 31, 32	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)))
34		oveq1 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → (𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
35	34	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → ((𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)))
36	35	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
37	36	rexlimivw 3159	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
38	33, 37	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
39		rhmdvdsr.n	. . 3 ⊢ / = (∥r‘𝑆)
40	4, 39, 15	dvdsr 20411	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)))
41	7, 38, 40	sylanbrc 592	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  ._rcmulr 17287  ∥_rcdsr 20403   RingHom crh 20518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-0g 17470  df-mhm 18817  df-ghm 19254  df-mgp 20187  df-ur 20232  df-ring 20285  df-dvdsr 20406  df-rhm 20521

This theorem is referenced by:  elrhmunit  20560