Theorem rhmdvdsr 20767

Description: A ring homomorphism preserves the divisibility relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmdvdsr.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmdvdsr.m	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rhmdvdsr.n	⊢ / = (∥r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmdvdsr	⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵))

Proof of Theorem rhmdvdsr

Dummy variables 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		rhmdvdsr.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5	3, 4	rhmf 20724	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
6	5	ffvelcdmda 7089	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
7	1, 2, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
8		simpll1 1231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝑐 ∈ 𝑋)
10	5	ffvelcdmda 7089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
12	11	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
13	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
14		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
16	3, 14, 15	rhmmul 20729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
17	8, 9, 13, 16	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
18	17	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
19		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵)
20		rhmdvdsr.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
21	3, 20, 14	dvdsr2 20602	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵))
22	21	biimpac 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵)
23	19, 2, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵)
24		r19.29 3125	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵))
25		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
26		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵)
27	26	fveq2d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
28	25, 27	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
29	28	reximi 3100	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
30	24, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
31	18, 23, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
32		r19.29 3125	. . . 4 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)))
33	12, 31, 32	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)))
34		oveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → (𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
35	34	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → ((𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)))
36	35	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
37	36	rexlimivw 3159	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
38	33, 37	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
39		rhmdvdsr.n	. . 3 ⊢ / = (∥r‘𝑆)
40	4, 39, 15	dvdsr 20601	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)))
41	7, 38, 40	sylanbrc 595	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  ._rcmulr 17438  ∥_rcdsr 20593   RingHom crh 20708

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-mhm 18987  df-ghm 19437  df-mgp 20370  df-ur 20417  df-ring 20470  df-dvdsr 20596  df-rhm 20711

This theorem is used by:  elrhmunit  20769