Theorem rhmdvdsr 20509

Description: A ring homomorphism preserves the divisibility relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmdvdsr.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmdvdsr.m	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rhmdvdsr.n	⊢ / = (∥r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmdvdsr	⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵))

Proof of Theorem rhmdvdsr

Dummy variables 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		simpl2 1192	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		rhmdvdsr.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5	3, 4	rhmf 20486	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
6	5	ffvelcdmda 7103	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
8		simpll1 1212	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝑐 ∈ 𝑋)
10	5	ffvelcdmda 7103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
12	11	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
13	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
14		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
16	3, 14, 15	rhmmul 20487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
17	8, 9, 13, 16	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
18	17	ralrimiva 3145	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵)
20		rhmdvdsr.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
21	3, 20, 14	dvdsr2 20364	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵))
22	21	biimpac 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∥ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵)
23	19, 2, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵)
24		r19.29 3113	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵))
25		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
26		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵)
27	26	fveq2d 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
28	25, 27	eqtr3d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
29	28	reximi 3083	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
30	24, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r‘𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
31	18, 23, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
32		r19.29 3113	. . . 4 ⊢ ((∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)))
33	12, 31, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)))
34		oveq1 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → (𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)))
35	34	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑐) → ((𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)))
36	35	rspcev 3621	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
37	36	rexlimivw 3150	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑐)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
38	33, 37	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵))
39		rhmdvdsr.n	. . 3 ⊢ / = (∥r‘𝑆)
40	4, 39, 15	dvdsr 20363	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐵)))
41	7, 38, 40	sylanbrc 583	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  ._rcmulr 17299  ∥_rcdsr 20355   RingHom crh 20470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mhm 18797  df-ghm 19232  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-dvdsr 20358  df-rhm 20473

This theorem is referenced by:  elrhmunit  20511