MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsr02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsr02 19397
Description: Only zero is divisible by zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr0.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr0.d = (∥r𝑅)
dvdsr0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsr02 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem dvdsr02
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvdsr0.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
31, 2ring0cl 19310 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
43adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
5 dvdsr0.d . . . 4 = (∥r𝑅)
6 eqid 2824 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
71, 5, 6dvdsr2 19388 . . 3 ( 0𝐵 → ( 0 𝑋 ↔ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋))
84, 7syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋 ↔ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋))
91, 6, 2ringrz 19329 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 0 )
109eqeq1d 2826 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋0 = 𝑋))
11 eqcom 2831 . . . . . 6 ( 0 = 𝑋𝑋 = 0 )
1210, 11syl6bb 290 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋𝑋 = 0 ))
1312rexbidva 3288 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ ∃𝑥𝐵 𝑋 = 0 ))
14 ringgrp 19293 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
151grpbn0 18123 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
16 r19.9rzv 4426 . . . . 5 (𝐵 ≠ ∅ → (𝑋 = 0 ↔ ∃𝑥𝐵 𝑋 = 0 ))
1714, 15, 163syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 = 0 ↔ ∃𝑥𝐵 𝑋 = 0 ))
1813, 17bitr4d 285 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋𝑋 = 0 ))
1918adantr 484 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋𝑋 = 0 ))
208, 19bitrd 282 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wrex 3133  c0 4274   class class class wbr 5049  cfv 6338  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  .rcmulr 16557  0gc0g 16704  Grpcgrp 18094  Ringcrg 19288  rcdsr 19379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-mgp 19231  df-ring 19290  df-dvdsr 19382
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator