MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsr02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsr02 20086
Description: Only zero is divisible by zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr0.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr0.d = (∥r𝑅)
dvdsr0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsr02 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem dvdsr02
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvdsr0.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
31, 2ring0cl 19991 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
43adantr 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
5 dvdsr0.d . . . 4 = (∥r𝑅)
6 eqid 2737 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
71, 5, 6dvdsr2 20077 . . 3 ( 0𝐵 → ( 0 𝑋 ↔ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋))
84, 7syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋 ↔ ∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋))
91, 6, 2ringrz 20013 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 0 )
109eqeq1d 2739 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋0 = 𝑋))
11 eqcom 2744 . . . . . 6 ( 0 = 𝑋𝑋 = 0 )
1210, 11bitrdi 287 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋𝑋 = 0 ))
1312rexbidva 3174 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ ∃𝑥𝐵 𝑋 = 0 ))
14 ringgrp 19970 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
151grpbn0 18780 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
16 r19.9rzv 4458 . . . . 5 (𝐵 ≠ ∅ → (𝑋 = 0 ↔ ∃𝑥𝐵 𝑋 = 0 ))
1714, 15, 163syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 = 0 ↔ ∃𝑥𝐵 𝑋 = 0 ))
1813, 17bitr4d 282 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋𝑋 = 0 ))
1918adantr 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑥𝐵 (𝑥(.r𝑅) 0 ) = 𝑋𝑋 = 0 ))
208, 19bitrd 279 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wrex 3074  c0 4283   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  .rcmulr 17135  0gc0g 17322  Grpcgrp 18749  Ringcrg 19965  rcdsr 20068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-mgp 19898  df-ring 19967  df-dvdsr 20071
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator