Theorem dvdsr02 20288

Description: Only zero is divisible by zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr0.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsr0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsr02	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∥ 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem dvdsr02

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsr0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	ring0cl 20183	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
5		dvdsr0.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7	1, 5, 6	dvdsr2 20279	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ( 0 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋))
8	4, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋))
9	1, 6, 2	ringrz 20210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
10	9	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ 0 = 𝑋))
11		eqcom 2737	. . . . . 6 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
12	10, 11	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))
13	12	rexbidva 3156	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = 0 ))
14		ringgrp 20154	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
15	1	grpbn0 18905	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
16		r19.9rzv 4466	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝑋 = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = 0 ))
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑋 = 0 ))
18	13, 17	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))
19	18	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))
20	8, 19	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∥ 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  Ringcrg 20149  ∥_rcdsr 20270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-dvdsr 20273

This theorem is referenced by:  rprmasso  33503