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Theorem znunit 21340
Description: The units of β„€/nβ„€ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znunit.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
znunit.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
znunit ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄) ∈ π‘ˆ ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem znunit
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . 5 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
21zncrng 21321 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ CRing)
32adantr 479 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ π‘Œ ∈ CRing)
4 znunit.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2730 . . . 4 (1rβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘Œ)
6 eqid 2730 . . . 4 (βˆ₯rβ€˜π‘Œ) = (βˆ₯rβ€˜π‘Œ)
74, 5, 6crngunit 20271 . . 3 (π‘Œ ∈ CRing β†’ ((πΏβ€˜π΄) ∈ π‘ˆ ↔ (πΏβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)))
83, 7syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄) ∈ π‘ˆ ↔ (πΏβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)))
9 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
10 znunit.l . . . . . . 7 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
111, 9, 10znzrhfo 21324 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
1211adantr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
13 fof 6806 . . . . 5 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
15 ffvelcdm 7084 . . . 4 ((𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
1614, 15sylancom 586 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
17 eqid 2730 . . . 4 (.rβ€˜π‘Œ) = (.rβ€˜π‘Œ)
189, 6, 17dvdsr2 20256 . . 3 ((πΏβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) β†’ ((πΏβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
1916, 18syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
20 forn 6809 . . . . . 6 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ ran 𝐿 = (Baseβ€˜π‘Œ))
2112, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ran 𝐿 = (Baseβ€˜π‘Œ))
2221rexeqdv 3324 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran 𝐿(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
23 ffn 6718 . . . . 5 (𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐿 Fn β„€)
24 oveq1 7420 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘›) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)))
2524eqeq1d 2732 . . . . . 6 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘›) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
2625rexrn 7089 . . . . 5 (𝐿 Fn β„€ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran 𝐿(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
2714, 23, 263syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran 𝐿(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
2822, 27bitr3d 280 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
29 crngring 20141 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
303, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
3110zrhrhm 21282 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
3332adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
34 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
35 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
36 zringbas 21226 . . . . . . . 8 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
37 zringmulr 21230 . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
3836, 37, 17rhmmul 20379 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(𝑛 Β· 𝐴)) = ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)))
3933, 34, 35, 38syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(𝑛 Β· 𝐴)) = ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)))
4030adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
4110, 5zrh1 21283 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘Œ))
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘Œ))
4339, 42eqeq12d 2746 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(𝑛 Β· 𝐴)) = (πΏβ€˜1) ↔ ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
44 simpll 763 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4534, 35zmulcld 12678 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑛 Β· 𝐴) ∈ β„€)
46 1zzd 12599 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 1 ∈ β„€)
471, 10zndvds 21326 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(𝑛 Β· 𝐴)) = (πΏβ€˜1) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
4844, 45, 46, 47syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(𝑛 Β· 𝐴)) = (πΏβ€˜1) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
4943, 48bitr3d 280 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
5049rexbidva 3174 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
51 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
52 nn0z 12589 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5352ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
54 gcddvds 16450 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁))
5551, 53, 54syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁))
5655simpld 493 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝐴)
5751, 53gcdcld 16455 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) ∈ β„•0)
5857nn0zd 12590 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) ∈ β„€)
5934adantrr 713 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
60 dvdsmultr2 16247 . . . . . . . . 9 (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝐴 β†’ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ (𝑛 Β· 𝐴)))
6158, 59, 51, 60syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝐴 β†’ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ (𝑛 Β· 𝐴)))
6256, 61mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ (𝑛 Β· 𝐴))
6345adantrr 713 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝑛 Β· 𝐴) ∈ β„€)
64 1zzd 12599 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ 1 ∈ β„€)
65 peano2zm 12611 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 Β· 𝐴) ∈ β„€ β†’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ β„€)
6663, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ β„€)
6755simprd 494 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁)
68 simprr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))
6958, 53, 66, 67, 68dvdstrd 16244 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))
70 dvdssub2 16250 . . . . . . . 8 ((((𝐴 gcd 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑛 Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ (𝑛 Β· 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 1))
7158, 63, 64, 69, 70syl31anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ (𝑛 Β· 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 1))
7262, 71mpbid 231 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 1)
73 dvds1 16268 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
7457, 73syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
7572, 74mpbid 231 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
7675rexlimdvaa 3154 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
77 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
7852adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
79 bezout 16491 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)))
8077, 78, 79syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)))
81 eqeq1 2734 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) ↔ 1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š))))
82812rexbidv 3217 . . . . . 6 ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆƒπ‘š ∈ β„€ 1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š))))
8380, 82syl5ibcom 244 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆƒπ‘š ∈ β„€ 1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š))))
8452ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
85 dvdsmul1 16227 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 Β· π‘š))
8684, 85sylancom 586 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 Β· π‘š))
87 zmulcl 12617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝑁 Β· π‘š) ∈ β„€)
8884, 87sylancom 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝑁 Β· π‘š) ∈ β„€)
89 dvdsnegb 16223 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑁 Β· π‘š) ∈ β„€) β†’ (𝑁 βˆ₯ (𝑁 Β· π‘š) ↔ 𝑁 βˆ₯ -(𝑁 Β· π‘š)))
9084, 88, 89syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝑁 βˆ₯ (𝑁 Β· π‘š) ↔ 𝑁 βˆ₯ -(𝑁 Β· π‘š)))
9186, 90mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ -(𝑁 Β· π‘š))
9235adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
9392zcnd 12673 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
94 zcn 12569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„€ β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
9594ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
9693, 95mulcomd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝐴 Β· 𝑛) = (𝑛 Β· 𝐴))
9796oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) = ((𝑛 Β· 𝐴) + (𝑁 Β· π‘š)))
9895, 93mulcld 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝑛 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
9988zcnd 12673 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝑁 Β· π‘š) ∈ β„‚)
10098, 99subnegd 11584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ -(𝑁 Β· π‘š)) = ((𝑛 Β· 𝐴) + (𝑁 Β· π‘š)))
10197, 100eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) = ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ -(𝑁 Β· π‘š)))
102101oveq2d 7429 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š))) = ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ -(𝑁 Β· π‘š))))
10399negcld 11564 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ -(𝑁 Β· π‘š) ∈ β„‚)
10498, 103nncand 11582 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ -(𝑁 Β· π‘š))) = -(𝑁 Β· π‘š))
105102, 104eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š))) = -(𝑁 Β· π‘š))
10691, 105breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š))))
107 oveq2 7421 . . . . . . . . 9 (1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) β†’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1) = ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š))))
108107breq2d 5161 . . . . . . . 8 (1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)))))
109106, 108syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
110109rexlimdva 3153 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ 1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
111110reximdva 3166 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆƒπ‘š ∈ β„€ 1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
11283, 111syld 47 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
11376, 112impbid 211 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
11428, 50, 1133bitrd 304 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
1158, 19, 1143bitrd 304 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄) ∈ π‘ˆ ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   class class class wbr 5149  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  β„‚cc 11112  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   βˆ’ cmin 11450  -cneg 11451  β„•0cn0 12478  β„€cz 12564   βˆ₯ cdvds 16203   gcd cgcd 16441  Basecbs 17150  .rcmulr 17204  1rcur 20077  Ringcrg 20129  CRingccrg 20130  βˆ₯rcdsr 20247  Unitcui 20248   RingHom crh 20362  β„€ringczring 21219  β„€RHomczrh 21270  β„€/nβ„€czn 21273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16204  df-gcd 16442  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-imas 17460  df-qus 17461  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-nsg 19042  df-eqg 19043  df-ghm 19130  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-cring 20132  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-rhm 20365  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-lidl 20934  df-rsp 20935  df-2idl 21008  df-cnfld 21147  df-zring 21220  df-zrh 21274  df-zn 21277
This theorem is referenced by:  znunithash  21341  znrrg  21342  dchrelbas4  26980  lgsdchr  27092  rpvmasumlem  27224  dirith  27266
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