Theorem znunit 20771

Description: The units of ℤ/nℤ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
znunit.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znunit	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem znunit

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znchr.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 20752	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ CRing)
4		znunit.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑌) = (∥r‘𝑌)
7	4, 5, 6	crngunit 19904	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌)))
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌)))
9		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
10		znunit.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
11	1, 9, 10	znzrhfo 20755	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
12	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
13		fof 6688	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
15		ffvelrn 6959	. . . 4 ⊢ ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
16	14, 15	sylancom 588	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
17		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
18	9, 6, 17	dvdsr2 19889	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌) → ((𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
19	16, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
20		forn 6691	. . . . . 6 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
21	12, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
22	21	rexeqdv 3349	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
23		ffn 6600	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
24		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑛) → (𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
25	24	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑛) → ((𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
26	25	rexrn 6963	. . . . 5 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
27	14, 23, 26	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
28	22, 27	bitr3d 280	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
29		crngring 19795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
30	3, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
31	10	zrhrhm 20713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
34		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
35		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
36		zringbas 20676	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
37		zringmulr 20679	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℤring)
38	36, 37, 17	rhmmul 19971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
39	33, 34, 35, 38	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
40	30	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
41	10, 5	zrh1 20714	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
43	39, 42	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
44		simpll 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
45	34, 35	zmulcld 12432	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
46		1zzd 12351	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
47	1, 10	zndvds 20757	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
49	43, 48	bitr3d 280	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
50	49	rexbidva 3225	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
51		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
52		nn0z 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
53	52	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
54		gcddvds 16210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
55	51, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
56	55	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴)
57	51, 53	gcdcld 16215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
58	57	nn0zd 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
59	34	adantrr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
60		dvdsmultr2 16007	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
61	58, 59, 51, 60	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
62	56, 61	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴))
63	45	adantrr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
64		1zzd 12351	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
65		peano2zm 12363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
67	55	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
68		simprr 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
69	58, 53, 66, 67, 68	dvdstrd 16004	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
70		dvdssub2 16010	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
71	58, 63, 64, 69, 70	syl31anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
72	62, 71	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1)
73		dvds1 16028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
74	57, 73	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
75	72, 74	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
76	75	rexlimdvaa 3214	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
77		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
78	52	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
79		bezout 16251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
80	77, 78, 79	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
81		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ((𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
82	81	2rexbidv 3229	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
83	80, 82	syl5ibcom 244	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
84	52	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
85		dvdsmul1 15987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
86	84, 85	sylancom 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
87		zmulcl 12369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
88	84, 87	sylancom 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
89		dvdsnegb 15983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
90	84, 88, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
91	86, 90	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚))
92	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
93	92	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
94		zcn 12324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
95	94	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
96	93, 95	mulcomd 10996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑛) = (𝑛 · 𝐴))
97	96	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
98	95, 93	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
99	88	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
100	98, 99	subnegd 11339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
101	97, 100	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)))
102	101	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))))
103	99	negcld 11319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -(𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
104	98, 103	nncand 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
105	102, 104	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
106	91, 105	breqtrrd 5102	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
107		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
108	107	breq2d 5086	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))))
109	106, 108	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
110	109	rexlimdva 3213	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
111	110	reximdva 3203	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
112	83, 111	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
113	76, 112	impbid 211	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
114	28, 50, 113	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
115	8, 19, 114	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ran crn 5590   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  –onto→wfo 6431  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319   ∥ cdvds 15963   gcd cgcd 16201  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784  ∥_rcdsr 19880  Unitcui 19881   RingHom crh 19956  ℤ_ringczring 20670  ℤRHomczrh 20701  ℤ/nℤczn 20704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-imas 17219  df-qus 17220  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-nsg 18753  df-eqg 18754  df-ghm 18832  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436  df-rsp 20437  df-2idl 20503  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705  df-zn 20708

This theorem is referenced by:  znunithash  20772  znrrg  20773  dchrelbas4  26391  lgsdchr  26503  rpvmasumlem  26635  dirith  26677