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Theorem znunit 21119
Description: The units of β„€/nβ„€ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
znunit.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
znunit.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
znunit ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄) ∈ π‘ˆ ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem znunit
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . 5 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
21zncrng 21100 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ π‘Œ ∈ CRing)
32adantr 482 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ π‘Œ ∈ CRing)
4 znunit.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2733 . . . 4 (1rβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘Œ)
6 eqid 2733 . . . 4 (βˆ₯rβ€˜π‘Œ) = (βˆ₯rβ€˜π‘Œ)
74, 5, 6crngunit 20192 . . 3 (π‘Œ ∈ CRing β†’ ((πΏβ€˜π΄) ∈ π‘ˆ ↔ (πΏβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)))
83, 7syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄) ∈ π‘ˆ ↔ (πΏβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)))
9 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
10 znunit.l . . . . . . 7 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
111, 9, 10znzrhfo 21103 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
1211adantr 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ))
13 fof 6806 . . . . 5 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
15 ffvelcdm 7084 . . . 4 ((𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
1614, 15sylancom 589 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
17 eqid 2733 . . . 4 (.rβ€˜π‘Œ) = (.rβ€˜π‘Œ)
189, 6, 17dvdsr2 20177 . . 3 ((πΏβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) β†’ ((πΏβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
1916, 18syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄)(βˆ₯rβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
20 forn 6809 . . . . . 6 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ ran 𝐿 = (Baseβ€˜π‘Œ))
2112, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ran 𝐿 = (Baseβ€˜π‘Œ))
2221rexeqdv 3327 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran 𝐿(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
23 ffn 6718 . . . . 5 (𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐿 Fn β„€)
24 oveq1 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘›) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)))
2524eqeq1d 2735 . . . . . 6 (π‘₯ = (πΏβ€˜π‘›) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
2625rexrn 7089 . . . . 5 (𝐿 Fn β„€ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran 𝐿(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
2714, 23, 263syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran 𝐿(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
2822, 27bitr3d 281 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
29 crngring 20068 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
303, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
3110zrhrhm 21061 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
3332adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
34 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
35 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
36 zringbas 21023 . . . . . . . 8 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
37 zringmulr 21027 . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
3836, 37, 17rhmmul 20264 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(𝑛 Β· 𝐴)) = ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)))
3933, 34, 35, 38syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(𝑛 Β· 𝐴)) = ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)))
4030adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘Œ ∈ Ring)
4110, 5zrh1 21062 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘Œ))
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘Œ))
4339, 42eqeq12d 2749 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(𝑛 Β· 𝐴)) = (πΏβ€˜1) ↔ ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
44 simpll 766 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4534, 35zmulcld 12672 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑛 Β· 𝐴) ∈ β„€)
46 1zzd 12593 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 1 ∈ β„€)
471, 10zndvds 21105 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (𝑛 Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(𝑛 Β· 𝐴)) = (πΏβ€˜1) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
4844, 45, 46, 47syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(𝑛 Β· 𝐴)) = (πΏβ€˜1) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
4943, 48bitr3d 281 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
5049rexbidva 3177 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ ((πΏβ€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
51 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
52 nn0z 12583 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
54 gcddvds 16444 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁))
5551, 53, 54syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁))
5655simpld 496 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝐴)
5751, 53gcdcld 16449 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) ∈ β„•0)
5857nn0zd 12584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) ∈ β„€)
5934adantrr 716 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
60 dvdsmultr2 16241 . . . . . . . . 9 (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝐴 β†’ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ (𝑛 Β· 𝐴)))
6158, 59, 51, 60syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝐴 β†’ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ (𝑛 Β· 𝐴)))
6256, 61mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ (𝑛 Β· 𝐴))
6345adantrr 716 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝑛 Β· 𝐴) ∈ β„€)
64 1zzd 12593 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ 1 ∈ β„€)
65 peano2zm 12605 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 Β· 𝐴) ∈ β„€ β†’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ β„€)
6663, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ β„€)
6755simprd 497 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 𝑁)
68 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))
6958, 53, 66, 67, 68dvdstrd 16238 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))
70 dvdssub2 16244 . . . . . . . 8 ((((𝐴 gcd 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑛 Β· 𝐴) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ (𝑛 Β· 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 1))
7158, 63, 64, 69, 70syl31anc 1374 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ (𝑛 Β· 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 1))
7262, 71mpbid 231 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 1)
73 dvds1 16262 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
7457, 73syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) βˆ₯ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
7572, 74mpbid 231 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
7675rexlimdvaa 3157 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
77 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
7852adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
79 bezout 16485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)))
8077, 78, 79syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)))
81 eqeq1 2737 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) ↔ 1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š))))
82812rexbidv 3220 . . . . . 6 ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆƒπ‘š ∈ β„€ 1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š))))
8380, 82syl5ibcom 244 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆƒπ‘š ∈ β„€ 1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š))))
8452ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
85 dvdsmul1 16221 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 Β· π‘š))
8684, 85sylancom 589 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝑁 Β· π‘š))
87 zmulcl 12611 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝑁 Β· π‘š) ∈ β„€)
8884, 87sylancom 589 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝑁 Β· π‘š) ∈ β„€)
89 dvdsnegb 16217 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑁 Β· π‘š) ∈ β„€) β†’ (𝑁 βˆ₯ (𝑁 Β· π‘š) ↔ 𝑁 βˆ₯ -(𝑁 Β· π‘š)))
9084, 88, 89syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝑁 βˆ₯ (𝑁 Β· π‘š) ↔ 𝑁 βˆ₯ -(𝑁 Β· π‘š)))
9186, 90mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ -(𝑁 Β· π‘š))
9235adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
9392zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
94 zcn 12563 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„€ β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
9594ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
9693, 95mulcomd 11235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝐴 Β· 𝑛) = (𝑛 Β· 𝐴))
9796oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) = ((𝑛 Β· 𝐴) + (𝑁 Β· π‘š)))
9895, 93mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝑛 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
9988zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝑁 Β· π‘š) ∈ β„‚)
10098, 99subnegd 11578 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ -(𝑁 Β· π‘š)) = ((𝑛 Β· 𝐴) + (𝑁 Β· π‘š)))
10197, 100eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) = ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ -(𝑁 Β· π‘š)))
102101oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š))) = ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ -(𝑁 Β· π‘š))))
10399negcld 11558 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ -(𝑁 Β· π‘š) ∈ β„‚)
10498, 103nncand 11576 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ -(𝑁 Β· π‘š))) = -(𝑁 Β· π‘š))
105102, 104eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š))) = -(𝑁 Β· π‘š))
10691, 105breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š))))
107 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) β†’ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1) = ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š))))
108107breq2d 5161 . . . . . . . 8 (1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) β†’ (𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ↔ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)))))
109106, 108syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
110109rexlimdva 3156 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ 1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) β†’ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
111110reximdva 3169 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆƒπ‘š ∈ β„€ 1 = ((𝐴 Β· 𝑛) + (𝑁 Β· π‘š)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
11283, 111syld 47 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
11376, 112impbid 211 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑁 βˆ₯ ((𝑛 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
11428, 50, 1133bitrd 305 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(π‘₯(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
1158, 19, 1143bitrd 305 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄) ∈ π‘ˆ ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558   βˆ₯ cdvds 16197   gcd cgcd 16435  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  1rcur 20004  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  βˆ₯rcdsr 20168  Unitcui 20169   RingHom crh 20248  β„€ringczring 21017  β„€RHomczrh 21049  β„€/nβ„€czn 21052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056
This theorem is referenced by:  znunithash  21120  znrrg  21121  dchrelbas4  26746  lgsdchr  26858  rpvmasumlem  26990  dirith  27032
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