Theorem znunit 20395

Description: The units of ℤ/nℤ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
znunit.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znunit	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem znunit

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znchr.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 20376	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3	2	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ CRing)
4		znunit.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
5		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
6		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑌) = (∥r‘𝑌)
7	4, 5, 6	crngunit 19547	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌)))
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌)))
9		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
10		znunit.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
11	1, 9, 10	znzrhfo 20379	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
12	11	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
13		fof 6603	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
15		ffvelrn 6872	. . . 4 ⊢ ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
16	14, 15	sylancom 591	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
17		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
18	9, 6, 17	dvdsr2 19532	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌) → ((𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
19	16, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
20		forn 6606	. . . . . 6 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
21	12, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
22	21	rexeqdv 3318	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
23		ffn 6515	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
24		oveq1 7190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑛) → (𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
25	24	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑛) → ((𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
26	25	rexrn 6876	. . . . 5 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
27	14, 23, 26	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
28	22, 27	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
29		crngring 19441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
30	3, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
31	10	zrhrhm 20345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
33	32	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
34		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
35		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
36		zringbas 20308	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
37		zringmulr 20311	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℤring)
38	36, 37, 17	rhmmul 19614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
39	33, 34, 35, 38	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
40	30	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
41	10, 5	zrh1 20346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
43	39, 42	eqeq12d 2755	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
44		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
45	34, 35	zmulcld 12187	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
46		1zzd 12107	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
47	1, 10	zndvds 20381	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
49	43, 48	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
50	49	rexbidva 3207	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
51		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
52		nn0z 12099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
53	52	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
54		gcddvds 15959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
55	51, 53, 54	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
56	55	simpld 498	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴)
57	51, 53	gcdcld 15964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
58	57	nn0zd 12179	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
59	34	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
60		dvdsmultr2 15756	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
61	58, 59, 51, 60	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
62	56, 61	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴))
63	45	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
64		1zzd 12107	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
65		peano2zm 12119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
67	55	simprd 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
68		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
69	58, 53, 66, 67, 68	dvdstrd 15753	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
70		dvdssub2 15759	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
71	58, 63, 64, 69, 70	syl31anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
72	62, 71	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1)
73		dvds1 15777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
74	57, 73	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
75	72, 74	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
76	75	rexlimdvaa 3196	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
77		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
78	52	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
79		bezout 16000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
80	77, 78, 79	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
81		eqeq1 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ((𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
82	81	2rexbidv 3211	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
83	80, 82	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
84	52	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
85		dvdsmul1 15736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
86	84, 85	sylancom 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
87		zmulcl 12125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
88	84, 87	sylancom 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
89		dvdsnegb 15732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
90	84, 88, 89	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
91	86, 90	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚))
92	35	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
93	92	zcnd 12182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
94		zcn 12080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
95	94	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
96	93, 95	mulcomd 10753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑛) = (𝑛 · 𝐴))
97	96	oveq1d 7198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
98	95, 93	mulcld 10752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
99	88	zcnd 12182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
100	98, 99	subnegd 11095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
101	97, 100	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)))
102	101	oveq2d 7199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))))
103	99	negcld 11075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -(𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
104	98, 103	nncand 11093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
105	102, 104	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
106	91, 105	breqtrrd 5068	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
107		oveq2 7191	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
108	107	breq2d 5052	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))))
109	106, 108	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
110	109	rexlimdva 3195	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
111	110	reximdva 3185	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
112	83, 111	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
113	76, 112	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
114	28, 50, 113	3bitrd 308	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
115	8, 19, 114	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3055   class class class wbr 5040  ran crn 5536   Fn wfn 6345  ⟶wf 6346  –onto→wfo 6348  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  ℂcc 10626  1c1 10629   + caddc 10631   · cmul 10633   − cmin 10961  -cneg 10962  ℕ₀cn0 11989  ℤcz 12075   ∥ cdvds 15712   gcd cgcd 15950  Basecbs 16599  ._rcmulr 16682  1_rcur 19383  Ringcrg 19429  CRingccrg 19430  ∥_rcdsr 19523  Unitcui 19524   RingHom crh 19599  ℤ_ringzring 20302  ℤRHomczrh 20333  ℤ/nℤczn 20336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-tpos 7934  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-ec 8335  df-qs 8339  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-sup 8992  df-inf 8993  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-rp 12486  df-fz 12995  df-fl 13266  df-mod 13342  df-seq 13474  df-exp 13535  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-dvds 15713  df-gcd 15951  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-0g 16831  df-imas 16897  df-qus 16898  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-mhm 18085  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-mulg 18356  df-subg 18407  df-nsg 18408  df-eqg 18409  df-ghm 18487  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-cring 19432  df-oppr 19508  df-dvdsr 19526  df-unit 19527  df-rnghom 19602  df-subrg 19665  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-lsp 19876  df-sra 20076  df-rgmod 20077  df-lidl 20078  df-rsp 20079  df-2idl 20137  df-cnfld 20231  df-zring 20303  df-zrh 20337  df-zn 20340

This theorem is referenced by:  znunithash  20396  znrrg  20397  dchrelbas4  25992  lgsdchr  26104  rpvmasumlem  26236  dirith  26278