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Theorem znunit 20127
Description: The units of ℤ/n are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑌)
znunit.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znunit ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem znunit
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 20108 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
32adantr 466 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ CRing)
4 znunit.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑌)
5 eqid 2771 . . . 4 (1r𝑌) = (1r𝑌)
6 eqid 2771 . . . 4 (∥r𝑌) = (∥r𝑌)
74, 5, 6crngunit 18870 . . 3 (𝑌 ∈ CRing → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌)))
83, 7syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌)))
9 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
10 znunit.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
111, 9, 10znzrhfo 20111 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
1211adantr 466 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
13 fof 6256 . . . . 5 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
15 ffvelrn 6500 . . . 4 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
1614, 15sylancom 576 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
17 eqid 2771 . . . 4 (.r𝑌) = (.r𝑌)
189, 6, 17dvdsr2 18855 . . 3 ((𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌) → ((𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
1916, 18syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
20 forn 6259 . . . . . 6 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
2112, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
2221rexeqdv 3294 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
23 ffn 6185 . . . . 5 (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
24 oveq1 6800 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐿𝑛) → (𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)))
2524eqeq1d 2773 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐿𝑛) → ((𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
2625rexrn 6504 . . . . 5 (𝐿 Fn ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
2714, 23, 263syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
2822, 27bitr3d 270 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
29 crngring 18766 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
303, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
3110zrhrhm 20075 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
3332adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
34 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
35 simplr 752 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
36 zringbas 20039 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
37 zringmulr 20042 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℤring)
3836, 37, 17rhmmul 18937 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)))
3933, 34, 35, 38syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)))
4030adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
4110, 5zrh1 20076 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑌))
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘1) = (1r𝑌))
4339, 42eqeq12d 2786 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
44 simpll 750 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4534, 35zmulcld 11690 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
46 1zzd 11610 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
471, 10zndvds 20113 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
4844, 45, 46, 47syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
4943, 48bitr3d 270 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
5049rexbidva 3197 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
51 simplr 752 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
52 nn0z 11602 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
5352ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
54 gcddvds 15433 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5551, 53, 54syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5655simpld 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴)
5751, 53gcdcld 15438 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
5857nn0zd 11682 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
5934adantrr 696 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
60 dvdsmultr2 15230 . . . . . . . . 9 (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
6158, 59, 51, 60syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
6256, 61mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴))
6345adantrr 696 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
64 1zzd 11610 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
6555simprd 483 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
66 simprr 756 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
67 peano2zm 11622 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
6863, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
69 dvdstr 15227 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ) → (((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
7058, 53, 68, 69syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
7165, 66, 70mp2and 679 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
72 dvdssub2 15232 . . . . . . . 8 ((((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
7358, 63, 64, 71, 72syl31anc 1479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
7462, 73mpbid 222 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1)
75 dvds1 15250 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
7657, 75syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
7774, 76mpbid 222 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
7877rexlimdvaa 3180 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
79 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8052adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
81 bezout 15468 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
8279, 80, 81syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
83 eqeq1 2775 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ((𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
84832rexbidv 3205 . . . . . 6 ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
8582, 84syl5ibcom 235 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
8652ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
87 dvdsmul1 15212 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
8886, 87sylancom 576 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
89 zmulcl 11628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
9086, 89sylancom 576 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
91 dvdsnegb 15208 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
9286, 90, 91syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
9388, 92mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚))
9435adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
9594zcnd 11685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
96 zcn 11584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
9796ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
9895, 97mulcomd 10263 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑛) = (𝑛 · 𝐴))
9998oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
10097, 95mulcld 10262 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
10190zcnd 11685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
102100, 101subnegd 10601 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
10399, 102eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)))
104103oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))))
105101negcld 10581 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -(𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
106100, 105nncand 10599 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
107104, 106eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
10893, 107breqtrrd 4814 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
109 oveq2 6801 . . . . . . . . 9 (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
110109breq2d 4798 . . . . . . . 8 (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))))
111108, 110syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
112111rexlimdva 3179 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
113112reximdva 3165 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
11485, 113syld 47 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
11578, 114impbid 202 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
11628, 50, 1153bitrd 294 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
1178, 19, 1163bitrd 294 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4786  ran crn 5250   Fn wfn 6026  wf 6027  ontowfo 6029  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  cmin 10468  -cneg 10469  0cn0 11494  cz 11579  cdvds 15189   gcd cgcd 15424  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  1rcur 18709  Ringcrg 18755  CRingccrg 18756  rcdsr 18846  Unitcui 18847   RingHom crh 18922  ringzring 20033  ℤRHomczrh 20063  ℤ/nczn 20066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-imas 16376  df-qus 16377  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-nsg 17800  df-eqg 17801  df-ghm 17866  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-rnghom 18925  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-lidl 19389  df-rsp 19390  df-2idl 19447  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zrh 20067  df-zn 20070
This theorem is referenced by:  znunithash  20128  znrrg  20129  dchrelbas4  25189  lgsdchr  25301  rpvmasumlem  25397  dirith  25439
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