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Theorem znunit 20395
Description: The units of ℤ/n are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑌)
znunit.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znunit ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem znunit
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 20376 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
32adantr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ CRing)
4 znunit.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑌)
5 eqid 2739 . . . 4 (1r𝑌) = (1r𝑌)
6 eqid 2739 . . . 4 (∥r𝑌) = (∥r𝑌)
74, 5, 6crngunit 19547 . . 3 (𝑌 ∈ CRing → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌)))
83, 7syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌)))
9 eqid 2739 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
10 znunit.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
111, 9, 10znzrhfo 20379 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
1211adantr 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
13 fof 6603 . . . . 5 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
15 ffvelrn 6872 . . . 4 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
1614, 15sylancom 591 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
17 eqid 2739 . . . 4 (.r𝑌) = (.r𝑌)
189, 6, 17dvdsr2 19532 . . 3 ((𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌) → ((𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
1916, 18syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
20 forn 6606 . . . . . 6 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
2112, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
2221rexeqdv 3318 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
23 ffn 6515 . . . . 5 (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
24 oveq1 7190 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐿𝑛) → (𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)))
2524eqeq1d 2741 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐿𝑛) → ((𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
2625rexrn 6876 . . . . 5 (𝐿 Fn ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
2714, 23, 263syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
2822, 27bitr3d 284 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
29 crngring 19441 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
303, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
3110zrhrhm 20345 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
3332adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
34 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
35 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
36 zringbas 20308 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
37 zringmulr 20311 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℤring)
3836, 37, 17rhmmul 19614 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)))
3933, 34, 35, 38syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)))
4030adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
4110, 5zrh1 20346 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑌))
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘1) = (1r𝑌))
4339, 42eqeq12d 2755 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
44 simpll 767 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4534, 35zmulcld 12187 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
46 1zzd 12107 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
471, 10zndvds 20381 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
4844, 45, 46, 47syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
4943, 48bitr3d 284 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
5049rexbidva 3207 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
51 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
52 nn0z 12099 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
5352ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
54 gcddvds 15959 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5551, 53, 54syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5655simpld 498 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴)
5751, 53gcdcld 15964 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
5857nn0zd 12179 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
5934adantrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
60 dvdsmultr2 15756 . . . . . . . . 9 (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
6158, 59, 51, 60syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
6256, 61mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴))
6345adantrr 717 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
64 1zzd 12107 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
65 peano2zm 12119 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
6663, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
6755simprd 499 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
68 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
6958, 53, 66, 67, 68dvdstrd 15753 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
70 dvdssub2 15759 . . . . . . . 8 ((((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
7158, 63, 64, 69, 70syl31anc 1374 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
7262, 71mpbid 235 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1)
73 dvds1 15777 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
7457, 73syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
7572, 74mpbid 235 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
7675rexlimdvaa 3196 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
77 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
7852adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
79 bezout 16000 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
8077, 78, 79syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
81 eqeq1 2743 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ((𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
82812rexbidv 3211 . . . . . 6 ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
8380, 82syl5ibcom 248 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
8452ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
85 dvdsmul1 15736 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
8684, 85sylancom 591 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
87 zmulcl 12125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
8884, 87sylancom 591 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
89 dvdsnegb 15732 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
9084, 88, 89syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
9186, 90mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚))
9235adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
9392zcnd 12182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
94 zcn 12080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
9594ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
9693, 95mulcomd 10753 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑛) = (𝑛 · 𝐴))
9796oveq1d 7198 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
9895, 93mulcld 10752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
9988zcnd 12182 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
10098, 99subnegd 11095 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
10197, 100eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)))
102101oveq2d 7199 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))))
10399negcld 11075 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -(𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
10498, 103nncand 11093 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
105102, 104eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
10691, 105breqtrrd 5068 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
107 oveq2 7191 . . . . . . . . 9 (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
108107breq2d 5052 . . . . . . . 8 (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))))
109106, 108syl5ibrcom 250 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
110109rexlimdva 3195 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
111110reximdva 3185 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
11283, 111syld 47 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
11376, 112impbid 215 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
11428, 50, 1133bitrd 308 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
1158, 19, 1143bitrd 308 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3055   class class class wbr 5040  ran crn 5536   Fn wfn 6345  wf 6346  ontowfo 6348  cfv 6350  (class class class)co 7183  cc 10626  1c1 10629   + caddc 10631   · cmul 10633  cmin 10961  -cneg 10962  0cn0 11989  cz 12075  cdvds 15712   gcd cgcd 15950  Basecbs 16599  .rcmulr 16682  1rcur 19383  Ringcrg 19429  CRingccrg 19430  rcdsr 19523  Unitcui 19524   RingHom crh 19599  ringzring 20302  ℤRHomczrh 20333  ℤ/nczn 20336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-tpos 7934  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-ec 8335  df-qs 8339  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-sup 8992  df-inf 8993  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-rp 12486  df-fz 12995  df-fl 13266  df-mod 13342  df-seq 13474  df-exp 13535  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-dvds 15713  df-gcd 15951  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-0g 16831  df-imas 16897  df-qus 16898  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-mhm 18085  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-mulg 18356  df-subg 18407  df-nsg 18408  df-eqg 18409  df-ghm 18487  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-cring 19432  df-oppr 19508  df-dvdsr 19526  df-unit 19527  df-rnghom 19602  df-subrg 19665  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-lsp 19876  df-sra 20076  df-rgmod 20077  df-lidl 20078  df-rsp 20079  df-2idl 20137  df-cnfld 20231  df-zring 20303  df-zrh 20337  df-zn 20340
This theorem is referenced by:  znunithash  20396  znrrg  20397  dchrelbas4  25992  lgsdchr  26104  rpvmasumlem  26236  dirith  26278
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