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Theorem znunit 21600
Description: The units of ℤ/n are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑌)
znunit.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znunit ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem znunit
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 21581 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
32adantr 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ CRing)
4 znunit.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑌)
5 eqid 2735 . . . 4 (1r𝑌) = (1r𝑌)
6 eqid 2735 . . . 4 (∥r𝑌) = (∥r𝑌)
74, 5, 6crngunit 20395 . . 3 (𝑌 ∈ CRing → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌)))
83, 7syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌)))
9 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
10 znunit.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
111, 9, 10znzrhfo 21584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
13 fof 6821 . . . . 5 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
15 ffvelcdm 7101 . . . 4 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
1614, 15sylancom 588 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
17 eqid 2735 . . . 4 (.r𝑌) = (.r𝑌)
189, 6, 17dvdsr2 20380 . . 3 ((𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌) → ((𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
1916, 18syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
20 forn 6824 . . . . . 6 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
2112, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
2221rexeqdv 3325 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
23 ffn 6737 . . . . 5 (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
24 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐿𝑛) → (𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)))
2524eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐿𝑛) → ((𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
2625rexrn 7107 . . . . 5 (𝐿 Fn ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
2714, 23, 263syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
2822, 27bitr3d 281 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
29 crngring 20263 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
303, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
3110zrhrhm 21540 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
3332adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
34 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
35 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
36 zringbas 21482 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
37 zringmulr 21486 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℤring)
3836, 37, 17rhmmul 20503 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)))
3933, 34, 35, 38syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)))
4030adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
4110, 5zrh1 21541 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑌))
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘1) = (1r𝑌))
4339, 42eqeq12d 2751 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
44 simpll 767 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4534, 35zmulcld 12726 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
46 1zzd 12646 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
471, 10zndvds 21586 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
4844, 45, 46, 47syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
4943, 48bitr3d 281 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
5049rexbidva 3175 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
51 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
52 nn0z 12636 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
5352ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
54 gcddvds 16537 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5551, 53, 54syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5655simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴)
5751, 53gcdcld 16542 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
5857nn0zd 12637 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
5934adantrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
60 dvdsmultr2 16332 . . . . . . . . 9 (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
6158, 59, 51, 60syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
6256, 61mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴))
6345adantrr 717 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
64 1zzd 12646 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
65 peano2zm 12658 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
6663, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
6755simprd 495 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
68 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
6958, 53, 66, 67, 68dvdstrd 16329 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
70 dvdssub2 16335 . . . . . . . 8 ((((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
7158, 63, 64, 69, 70syl31anc 1372 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
7262, 71mpbid 232 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1)
73 dvds1 16353 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
7457, 73syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
7572, 74mpbid 232 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
7675rexlimdvaa 3154 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
77 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
7852adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
79 bezout 16577 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
8077, 78, 79syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
81 eqeq1 2739 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ((𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
82812rexbidv 3220 . . . . . 6 ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
8380, 82syl5ibcom 245 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
8452ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
85 dvdsmul1 16312 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
8684, 85sylancom 588 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
87 zmulcl 12664 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
8884, 87sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
89 dvdsnegb 16308 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
9084, 88, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
9186, 90mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚))
9235adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
9392zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
94 zcn 12616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
9594ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
9693, 95mulcomd 11280 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑛) = (𝑛 · 𝐴))
9796oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
9895, 93mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
9988zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
10098, 99subnegd 11625 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
10197, 100eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)))
102101oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))))
10399negcld 11605 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -(𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
10498, 103nncand 11623 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
105102, 104eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
10691, 105breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
107 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
108107breq2d 5160 . . . . . . . 8 (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))))
109106, 108syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
110109rexlimdva 3153 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
111110reximdva 3166 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
11283, 111syld 47 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
11376, 112impbid 212 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
11428, 50, 1133bitrd 305 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
1158, 19, 1143bitrd 305 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068   class class class wbr 5148  ran crn 5690   Fn wfn 6558  wf 6559  ontowfo 6561  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491  0cn0 12524  cz 12611  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  rcdsr 20371  Unitcui 20372   RingHom crh 20486  ringczring 21475  ℤRHomczrh 21528  ℤ/nczn 21531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535
This theorem is referenced by:  znunithash  21601  znrrg  21602  dchrelbas4  27302  lgsdchr  27414  rpvmasumlem  27546  dirith  27588  aks6d1c4  42106
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