Theorem elfz4 12627

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz4	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfz4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 12625	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
2	1	biimpri 220	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4872  (class class class)co 6904   ≤ cle 10391  ℤcz 11703  ...cfz 12618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-fv 6130  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-neg 10587  df-z 11704  df-fz 12619

This theorem is referenced by:  4bc2eq6  13408  isprm7  15790  axlowdimlem6  26245  oddpwdc  30960  ballotlemsdom  31118  ballotlemsel1i  31119  ballotlemsima  31122  ballotlemfrcn0  31136  fsum2dsub  31233  circlemeth  31266  binomcxplemnn0  39387  stoweidlem20  41030