Theorem 4bc2eq6 14236

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12482	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12509	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12507	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1340	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12230	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12202	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12212	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12298	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11239	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13420	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14212	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12402	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14185	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12193	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6825	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7360	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12213	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12203	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12258	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11453	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6825	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14186	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7361	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12287	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7361	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14190	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12138	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12236	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11871	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14187	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2752	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2752	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   ≤ cle 11150   − cmin 11347   / cdiv 11777  ℕcn 12128  2c2 12183  3c3 12184  4c4 12185  6c6 12187  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ...cfz 13410  !cfa 14180  Ccbc 14209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-seq 13909  df-fac 14181  df-bc 14210

This theorem is referenced by:  bpoly4  15966  ex-bc  30396  5bc2eq10  42119