Theorem 4bc2eq6 14294

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12540	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12567	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12565	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1340	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12288	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12260	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12270	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12356	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11297	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13478	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14270	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12460	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14243	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12251	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6861	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7398	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12261	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12316	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11511	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6861	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14244	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7399	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12345	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7399	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14248	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12196	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12294	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11929	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14245	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2752	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2752	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  6c6 12245  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ...cfz 13468  !cfa 14238  Ccbc 14267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-seq 13967  df-fac 14239  df-bc 14268

This theorem is referenced by:  bpoly4  16025  ex-bc  30381  5bc2eq10  42130