Theorem 4bc2eq6 14285

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12529	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12555	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12553	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1341	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12277	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12249	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12259	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12345	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11263	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13465	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 693	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14261	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12449	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14234	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12240	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6838	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7372	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2770	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12305	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11477	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6838	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14235	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7373	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12334	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7373	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14239	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12178	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12283	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11896	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14236	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2760	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2760	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   ≤ cle 11174   − cmin 11371   / cdiv 11801  ℕcn 12168  2c2 12230  3c3 12231  4c4 12232  6c6 12234  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ...cfz 13455  !cfa 14229  Ccbc 14258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-seq 13958  df-fac 14230  df-bc 14259

This theorem is referenced by:  bpoly4  16018  ex-bc  30540  5bc2eq10  42598