Theorem 4bc2eq6 14364

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12601	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12627	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12625	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1356	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12342	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12314	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12324	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12417	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11332	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13544	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 704	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14340	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12521	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14313	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12304	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6885	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7422	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2802	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12325	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12374	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11546	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6885	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14314	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7423	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12403	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7423	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14318	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12242	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12351	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11961	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14315	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2792	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2792	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2792	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   ≤ cle 11243   − cmin 11440   / cdiv 11870  ℕcn 12232  2c2 12294  3c3 12295  4c4 12296  6c6 12298  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ...cfz 13534  !cfa 14308  Ccbc 14337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-seq 14037  df-fac 14309  df-bc 14338

This theorem is referenced by:  bpoly4  16112  ex-bc  30743  5bc2eq10  42798