Theorem 4bc2eq6 14288

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12568	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12595	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12593	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1339	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12313	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12285	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12295	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12386	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11336	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13493	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 690	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14264	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12489	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14237	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12276	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6894	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7419	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2770	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12296	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12346	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11548	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6894	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14238	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12375	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7420	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14242	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12221	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12319	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11960	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14239	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2760	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2760	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   ≤ cle 11248   − cmin 11443   / cdiv 11870  ℕcn 12211  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  6c6 12270  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ...cfz 13483  !cfa 14232  Ccbc 14261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-fac 14233  df-bc 14262

This theorem is referenced by:  bpoly4  16002  ex-bc  29702  5bc2eq10  40953