Theorem 4bc2eq6 14352

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12604	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12631	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12629	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1340	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12347	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12319	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12329	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12420	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11363	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13539	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14328	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12524	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14301	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12310	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12330	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12320	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12380	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11577	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14302	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12409	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7422	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14306	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12255	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12353	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11993	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14303	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2759	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2759	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   ≤ cle 11275   − cmin 11471   / cdiv 11899  ℕcn 12245  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  6c6 12304  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ...cfz 13529  !cfa 14296  Ccbc 14325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-seq 14025  df-fac 14297  df-bc 14326

This theorem is referenced by:  bpoly4  16080  ex-bc  30438  5bc2eq10  42160