Theorem 4bc2eq6 14365

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12622	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12649	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12647	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1338	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12366	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12338	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12348	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12439	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11382	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13554	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14341	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14314	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12329	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6910	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2773	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12349	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12399	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11596	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6910	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14315	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12428	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14319	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12274	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12372	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 12012	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14316	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2763	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2763	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   ≤ cle 11294   − cmin 11490   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  6c6 12323  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ...cfz 13544  !cfa 14309  Ccbc 14338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-fac 14310  df-bc 14339

This theorem is referenced by:  bpoly4  16092  ex-bc  30481  5bc2eq10  42124