Theorem 4bc2eq6 13971

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12260	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12284	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12282	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1337	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12005	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 11977	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 11987	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12078	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11028	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13178	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 688	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 13947	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12181	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 13920	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 11968	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6759	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2776	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 11988	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 11978	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12038	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11240	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6759	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 13921	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12067	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7267	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 13925	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 11913	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12011	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11652	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 13922	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2766	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2766	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  6c6 11962  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168  !cfa 13915  Ccbc 13944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-fac 13916  df-bc 13945

This theorem is referenced by:  bpoly4  15697  ex-bc  28717  5bc2eq10  40026