Theorem 4bc2eq6 14328

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12607	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12634	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12632	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1336	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12352	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12324	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12334	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12425	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11375	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 469	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13534	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 690	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14304	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12528	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14277	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12315	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6905	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7437	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2766	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12335	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12325	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12385	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11587	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6905	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14278	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7438	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12414	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7438	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14282	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12260	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12358	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11999	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14279	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2756	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2756	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   ≤ cle 11287   − cmin 11482   / cdiv 11909  ℕcn 12250  2c2 12305  3c3 12306  4c4 12307  6c6 12309  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  ...cfz 13524  !cfa 14272  Ccbc 14301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-fac 14273  df-bc 14302

This theorem is referenced by:  bpoly4  16043  ex-bc  30282  5bc2eq10  41646