Theorem 4bc2eq6 14397

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12630	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12656	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12654	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1358	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12371	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12343	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12353	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12446	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11361	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13575	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 705	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14373	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12550	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14346	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12333	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6885	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7428	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2795	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12344	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12403	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11575	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6885	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14347	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7429	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12432	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7429	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14351	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12271	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12380	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11990	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14348	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2785	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2785	1 ⊢ (4C2) = 6

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   ≤ cle 11272   − cmin 11469   / cdiv 11899  ℕcn 12261  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  6c6 12327  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ...cfz 13565  !cfa 14341  Ccbc 14370

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-seq 14070  df-fac 14342  df-bc 14371

This theorem is used by:  bpoly4  16151  ex-bc  30940  5bc2eq10  43016