Theorem 4bc2eq6 14378

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12650	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12677	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12675	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1339	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12395	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12367	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12377	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12468	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11413	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13577	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 691	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14354	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12571	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14327	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12358	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6923	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7459	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2778	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12378	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12368	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12428	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11625	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6923	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14328	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12457	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7460	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14332	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12303	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12401	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 12041	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14329	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2768	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2768	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2768	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  6c6 12352  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ...cfz 13567  !cfa 14322  Ccbc 14351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-fac 14323  df-bc 14352

This theorem is referenced by:  bpoly4  16107  ex-bc  30484  5bc2eq10  42099