Theorem 4bc2eq6 13860

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12152	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12176	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12174	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1341	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 11897	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 11869	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 11879	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 11970	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 10920	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13070	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 13836	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12073	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 13809	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 11860	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6698	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7202	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 11880	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 11870	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 11930	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11132	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6698	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 13810	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7203	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 11959	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7203	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 13814	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 11805	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 11903	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11544	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 13811	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2759	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2759	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  0cc0 10694  1c1 10695   + caddc 10697   · cmul 10699   ≤ cle 10833   − cmin 11027   / cdiv 11454  ℕcn 11795  2c2 11850  3c3 11851  4c4 11852  6c6 11854  ℕ₀cn0 12055  ℤcz 12141  ...cfz 13060  !cfa 13804  Ccbc 13833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-seq 13540  df-fac 13805  df-bc 13834

This theorem is referenced by:  bpoly4  15584  ex-bc  28489  5bc2eq10  39767