MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4bc2eq6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4bc2eq6 14369
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6 (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 12626 . . . . 5 0 ∈ ℤ
2 4z 12653 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2z 12651 . . . . 5 2 ∈ ℤ
41, 2, 33pm3.2i 1339 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5 0le2 12369 . . . . 5 0 ≤ 2
6 2re 12341 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 4re 12351 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8 2lt4 12442 . . . . . 6 2 < 4
96, 7, 8ltleii 11385 . . . . 5 2 ≤ 4
105, 9pm3.2i 470 . . . 4 (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11 elfz4 13558 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
124, 10, 11mp2an 692 . . 3 2 ∈ (0...4)
13 bcval2 14345 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
1412, 13ax-mp 5 . 2 (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15 3nn0 12546 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
16 facp1 14318 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18 df-4 12332 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
1918fveq2i 6908 . . . . 5 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
2018oveq2i 7443 . . . . 5 ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
2117, 19, 203eqtr4i 2774 . . . 4 (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22 4cn 12352 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
23 2cn 12342 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
24 2p2e4 12402 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
2522, 23, 23, 24subaddrii 11599 . . . . . . . 8 (4 − 2) = 2
2625fveq2i 6908 . . . . . . 7 (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27 fac2 14319 . . . . . . 7 (!‘2) = 2
2826, 27eqtri 2764 . . . . . 6 (!‘(4 − 2)) = 2
2928, 27oveq12i 7444 . . . . 5 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30 2t2e4 12431 . . . . 5 (2 · 2) = 4
3129, 30eqtri 2764 . . . 4 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
3221, 31oveq12i 7444 . . 3 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33 faccl 14323 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (!‘3) ∈ ℕ
3534nncni 12277 . . . . 5 (!‘3) ∈ ℂ
36 4ne0 12375 . . . . 5 4 ≠ 0
3735, 22, 36divcan4i 12015 . . . 4 (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38 fac3 14320 . . . 4 (!‘3) = 6
3937, 38eqtri 2764 . . 3 (((!‘3) · 4) / 4) = 6
4032, 39eqtri 2764 . 2 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
4114, 40eqtri 2764 1 (4C2) = 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cle 11297  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  6c6 12326  0cn0 12528  cz 12615  ...cfz 13548  !cfa 14313  Ccbc 14342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-seq 14044  df-fac 14314  df-bc 14343
This theorem is referenced by:  bpoly4  16096  ex-bc  30472  5bc2eq10  42144
  Copyright terms: Public domain W3C validator