Theorem 4bc2eq6 14369

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12626	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12653	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12651	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1339	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12369	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12341	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12351	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12442	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11385	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13558	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14345	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12546	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14318	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12332	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6908	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7443	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2774	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12402	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11599	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6908	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14319	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7444	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12431	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7444	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14323	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12277	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12375	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 12015	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14320	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2764	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2764	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   ≤ cle 11297   − cmin 11493   / cdiv 11921  ℕcn 12267  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  6c6 12326  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ...cfz 13548  !cfa 14313  Ccbc 14342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-seq 14044  df-fac 14314  df-bc 14343

This theorem is referenced by:  bpoly4  16096  ex-bc  30472  5bc2eq10  42144