Theorem 4bc2eq6 14246

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12489	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12516	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12514	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1340	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12237	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12209	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12219	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12305	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11246	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13427	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14222	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12409	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14195	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12200	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6834	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7366	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2766	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12220	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12210	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12265	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11460	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6834	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14196	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7367	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12294	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7367	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14200	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12145	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12243	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11878	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14197	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2756	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2756	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11016  1c1 11017   + caddc 11019   · cmul 11021   ≤ cle 11157   − cmin 11354   / cdiv 11784  ℕcn 12135  2c2 12190  3c3 12191  4c4 12192  6c6 12194  ℕ₀cn0 12391  ℤcz 12478  ...cfz 13417  !cfa 14190  Ccbc 14219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-seq 13919  df-fac 14191  df-bc 14220

This theorem is referenced by:  bpoly4  15976  ex-bc  30443  5bc2eq10  42245