Theorem 4bc2eq6 13692

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11995	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12019	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12017	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1335	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 11742	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 11714	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 11724	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 11815	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 10765	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 12904	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 690	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 13668	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 11918	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 13641	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 11705	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6675	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7169	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2856	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 11725	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 11715	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 11775	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 10977	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6675	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 13642	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2846	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7170	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 11804	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7170	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 13646	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 11650	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 11748	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11389	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 13643	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2846	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2846	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2846	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  6c6 11699  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ...cfz 12895  !cfa 13636  Ccbc 13665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-seq 13373  df-fac 13637  df-bc 13666

This theorem is referenced by:  bpoly4  15415  ex-bc  28233