Theorem 4bc2eq6 14514

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12744	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12770	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12768	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1358	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12485	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12457	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12467	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12560	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11472	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13689	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 705	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14490	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12664	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14463	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12447	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6919	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7462	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2796	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12468	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12458	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11686	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6919	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14464	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12546	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7463	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14468	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12385	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12494	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 12104	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14465	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2786	1 ⊢ (4C2) = 6

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   ≤ cle 11383   − cmin 11580   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  6c6 12441  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ...cfz 13679  !cfa 14458  Ccbc 14487

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-seq 14185  df-fac 14459  df-bc 14488

This theorem is used by:  bpoly4  16269  ex-bc  31110  5bc2eq10  43458