Theorem 4bc2eq6 14385

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12619	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12645	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12643	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1358	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12360	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12332	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12342	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12435	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11350	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13563	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 705	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14361	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12539	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14334	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12322	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2798	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12333	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12392	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11564	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6888	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14335	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12421	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7431	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14339	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12260	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12369	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11979	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14336	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2788	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2788	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2788	1 ⊢ (4C2) = 6

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122   ≤ cle 11261   − cmin 11458   / cdiv 11888  ℕcn 12250  2c2 12312  3c3 12313  4c4 12314  6c6 12316  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  ...cfz 13553  !cfa 14329  Ccbc 14358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-seq 14058  df-fac 14330  df-bc 14359

This theorem is used by:  bpoly4  16137  ex-bc  30876  5bc2eq10  42969