Theorem 4bc2eq6 14361

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12597	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12623	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12621	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1358	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12338	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12310	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12320	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12413	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11328	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13540	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 704	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14337	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14310	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12300	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2796	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12311	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12370	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11542	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14311	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12399	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7422	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14315	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12238	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12347	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11957	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14312	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2786	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   ≤ cle 11239   − cmin 11436   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  6c6 12294  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ...cfz 13530  !cfa 14305  Ccbc 14334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-seq 14034  df-fac 14306  df-bc 14335

This theorem is referenced by:  bpoly4  16108  ex-bc  30803  5bc2eq10  42909