Theorem 4bc2eq6 14264

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12511	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12537	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12535	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1341	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12259	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12231	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12241	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12327	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11268	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13445	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 693	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14240	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12431	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14213	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12222	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6845	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7379	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2770	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12242	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12232	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12287	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11482	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6845	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14214	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7380	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12316	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7380	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14218	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12167	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12265	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11900	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14215	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2760	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2760	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11179   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  6c6 12216  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ...cfz 13435  !cfa 14208  Ccbc 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-fac 14209  df-bc 14238

This theorem is referenced by:  bpoly4  15994  ex-bc  30539  5bc2eq10  42512