Theorem 4bc2eq6 14473

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12704	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12730	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12728	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1358	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12445	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12417	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12427	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12520	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11433	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13649	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 705	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14449	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12624	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14422	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12407	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2794	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12428	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12418	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12477	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11647	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6888	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14423	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7432	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12506	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7432	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14427	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12345	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12454	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 12064	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14424	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2784	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2784	1 ⊢ (4C2) = 6

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  6c6 12401  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ...cfz 13639  !cfa 14417  Ccbc 14446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-fac 14418  df-bc 14447

This theorem is used by:  bpoly4  16225  ex-bc  31053  5bc2eq10  43192