Theorem 4bc2eq6 14236

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12479	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12506	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12504	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1340	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12227	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12199	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12209	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12295	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11236	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13417	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14212	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12399	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14185	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12190	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6825	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7357	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2764	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12210	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12200	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11450	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6825	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14186	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7358	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12284	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7358	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14190	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12135	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12233	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11868	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14187	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2754	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2754	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   ≤ cle 11147   − cmin 11344   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  3c3 12181  4c4 12182  6c6 12184  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ...cfz 13407  !cfa 14180  Ccbc 14209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-fac 14181  df-bc 14210

This theorem is referenced by:  bpoly4  15966  ex-bc  30432  5bc2eq10  42245