Theorem 4bc2eq6 14480

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12711	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12737	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12735	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1358	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12452	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12424	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12434	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12527	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11440	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13656	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 705	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14456	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12631	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14429	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12414	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6893	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7435	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2793	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12484	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11654	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6893	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14430	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7436	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12513	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7436	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14434	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12352	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12461	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 12071	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14431	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2783	1 ⊢ (4C2) = 6

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   ≤ cle 11351   − cmin 11548   / cdiv 11980  ℕcn 12342  2c2 12404  3c3 12405  4c4 12406  6c6 12408  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ...cfz 13646  !cfa 14424  Ccbc 14453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-seq 14152  df-fac 14425  df-bc 14454

This theorem is used by:  bpoly4  16234  ex-bc  31062  5bc2eq10  43329