MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4bc2eq6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4bc2eq6 14328
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6 (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 12607 . . . . 5 0 ∈ ℤ
2 4z 12634 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2z 12632 . . . . 5 2 ∈ ℤ
41, 2, 33pm3.2i 1336 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5 0le2 12352 . . . . 5 0 ≤ 2
6 2re 12324 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 4re 12334 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8 2lt4 12425 . . . . . 6 2 < 4
96, 7, 8ltleii 11375 . . . . 5 2 ≤ 4
105, 9pm3.2i 469 . . . 4 (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11 elfz4 13534 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
124, 10, 11mp2an 690 . . 3 2 ∈ (0...4)
13 bcval2 14304 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
1412, 13ax-mp 5 . 2 (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15 3nn0 12528 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
16 facp1 14277 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18 df-4 12315 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
1918fveq2i 6905 . . . . 5 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
2018oveq2i 7437 . . . . 5 ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
2117, 19, 203eqtr4i 2766 . . . 4 (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22 4cn 12335 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
23 2cn 12325 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
24 2p2e4 12385 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
2522, 23, 23, 24subaddrii 11587 . . . . . . . 8 (4 − 2) = 2
2625fveq2i 6905 . . . . . . 7 (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27 fac2 14278 . . . . . . 7 (!‘2) = 2
2826, 27eqtri 2756 . . . . . 6 (!‘(4 − 2)) = 2
2928, 27oveq12i 7438 . . . . 5 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30 2t2e4 12414 . . . . 5 (2 · 2) = 4
3129, 30eqtri 2756 . . . 4 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
3221, 31oveq12i 7438 . . 3 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33 faccl 14282 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (!‘3) ∈ ℕ
3534nncni 12260 . . . . 5 (!‘3) ∈ ℂ
36 4ne0 12358 . . . . 5 4 ≠ 0
3735, 22, 36divcan4i 11999 . . . 4 (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38 fac3 14279 . . . 4 (!‘3) = 6
3937, 38eqtri 2756 . . 3 (((!‘3) · 4) / 4) = 6
4032, 39eqtri 2756 . 2 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
4114, 40eqtri 2756 1 (4C2) = 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151  cle 11287  cmin 11482   / cdiv 11909  cn 12250  2c2 12305  3c3 12306  4c4 12307  6c6 12309  0cn0 12510  cz 12596  ...cfz 13524  !cfa 14272  Ccbc 14301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-fac 14273  df-bc 14302
This theorem is referenced by:  bpoly4  16043  ex-bc  30282  5bc2eq10  41646
  Copyright terms: Public domain W3C validator