Theorem 4bc2eq6 14043

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12330	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12354	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12352	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1338	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12075	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12047	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12057	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12148	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11098	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13249	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 689	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14019	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12251	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 13992	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12038	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6777	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7286	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2776	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12058	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12048	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12108	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6777	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 13993	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12137	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7287	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 13997	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 11983	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12081	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11722	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 13994	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2766	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2766	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  6c6 12032  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  !cfa 13987  Ccbc 14016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-fac 13988  df-bc 14017

This theorem is referenced by:  bpoly4  15769  ex-bc  28816  5bc2eq10  40098