Theorem 4bc2eq6 14116

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12403	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12427	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12425	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1338	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12148	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12120	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12130	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12221	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11171	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13322	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 689	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14092	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12324	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14065	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12111	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6814	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7326	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2775	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12131	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12121	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11383	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6814	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14066	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7327	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12210	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7327	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14070	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12056	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12154	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11795	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14067	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2765	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2765	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5087  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  0cc0 10944  1c1 10945   + caddc 10947   · cmul 10949   ≤ cle 11083   − cmin 11278   / cdiv 11705  ℕcn 12046  2c2 12101  3c3 12102  4c4 12103  6c6 12105  ℕ₀cn0 12306  ℤcz 12392  ...cfz 13312  !cfa 14060  Ccbc 14089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-fz 13313  df-seq 13795  df-fac 14061  df-bc 14090

This theorem is referenced by:  bpoly4  15841  ex-bc  28925  5bc2eq10  40306