Theorem 4bc2eq6 14342

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12579	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12605	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12603	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1353	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12320	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12292	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12302	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12395	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11306	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13522	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 702	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14318	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12499	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14291	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12282	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6870	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7407	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2795	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11520	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6870	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14292	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7408	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12381	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7408	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14296	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12220	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12329	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11938	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14293	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2785	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2785	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   ≤ cle 11217   − cmin 11414   / cdiv 11844  ℕcn 12210  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  6c6 12276  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ...cfz 13512  !cfa 14286  Ccbc 14315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-seq 14015  df-fac 14287  df-bc 14316

This theorem is referenced by:  bpoly4  16089  ex-bc  30654  5bc2eq10  42759