MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4bc2eq6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4bc2eq6 14235
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6 (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 12515 . . . . 5 0 ∈ ℤ
2 4z 12542 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2z 12540 . . . . 5 2 ∈ ℤ
41, 2, 33pm3.2i 1340 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5 0le2 12260 . . . . 5 0 ≤ 2
6 2re 12232 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 4re 12242 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8 2lt4 12333 . . . . . 6 2 < 4
96, 7, 8ltleii 11283 . . . . 5 2 ≤ 4
105, 9pm3.2i 472 . . . 4 (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11 elfz4 13440 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
124, 10, 11mp2an 691 . . 3 2 ∈ (0...4)
13 bcval2 14211 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
1412, 13ax-mp 5 . 2 (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15 3nn0 12436 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
16 facp1 14184 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18 df-4 12223 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
1918fveq2i 6846 . . . . 5 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
2018oveq2i 7369 . . . . 5 ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
2117, 19, 203eqtr4i 2771 . . . 4 (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22 4cn 12243 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
23 2cn 12233 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
24 2p2e4 12293 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
2522, 23, 23, 24subaddrii 11495 . . . . . . . 8 (4 − 2) = 2
2625fveq2i 6846 . . . . . . 7 (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27 fac2 14185 . . . . . . 7 (!‘2) = 2
2826, 27eqtri 2761 . . . . . 6 (!‘(4 − 2)) = 2
2928, 27oveq12i 7370 . . . . 5 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30 2t2e4 12322 . . . . 5 (2 · 2) = 4
3129, 30eqtri 2761 . . . 4 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
3221, 31oveq12i 7370 . . 3 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33 faccl 14189 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (!‘3) ∈ ℕ
3534nncni 12168 . . . . 5 (!‘3) ∈ ℂ
36 4ne0 12266 . . . . 5 4 ≠ 0
3735, 22, 36divcan4i 11907 . . . 4 (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38 fac3 14186 . . . 4 (!‘3) = 6
3937, 38eqtri 2761 . . 3 (((!‘3) · 4) / 4) = 6
4032, 39eqtri 2761 . 2 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
4114, 40eqtri 2761 1 (4C2) = 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   · cmul 11061  cle 11195  cmin 11390   / cdiv 11817  cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  6c6 12217  0cn0 12418  cz 12504  ...cfz 13430  !cfa 14179  Ccbc 14208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-fac 14180  df-bc 14209
This theorem is referenced by:  bpoly4  15947  ex-bc  29438  5bc2eq10  40596
  Copyright terms: Public domain W3C validator