Theorem 4bc2eq6 14250

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12497	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 12523	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 12521	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1340	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 12245	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 12217	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 12227	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 12313	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 11254	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 13431	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 692	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 14226	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 12417	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 14199	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 12208	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6835	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 7367	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2767	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 12218	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 11468	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6835	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 14200	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 7368	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 12302	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 7368	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 14204	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 12153	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 12251	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11886	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 14201	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2757	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2757	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2757	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   ≤ cle 11165   − cmin 11362   / cdiv 11792  ℕcn 12143  2c2 12198  3c3 12199  4c4 12200  6c6 12202  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ...cfz 13421  !cfa 14194  Ccbc 14223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-seq 13923  df-fac 14195  df-bc 14224

This theorem is referenced by:  bpoly4  15980  ex-bc  30476  5bc2eq10  42335