Theorem 4bc2eq6 13502

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11802	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 11827	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 11825	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1320	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 11547	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 11512	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 11523	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 11620	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 10561	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 463	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 12715	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 680	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 13478	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 11725	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 13451	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 11503	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 6499	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 6985	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2805	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 11524	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 11513	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 11580	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 10774	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 6499	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 13452	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2795	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 6986	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 11609	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2795	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 6986	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 13456	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 11448	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ne0 11553	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
37	35, 22, 36	divcan4i 11186	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 13453	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2795	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2795	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2795	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338   ≤ cle 10473   − cmin 10668   / cdiv 11096  ℕcn 11437  2c2 11493  3c3 11494  4c4 11495  6c6 11497  ℕ₀cn0 11705  ℤcz 11791  ...cfz 12706  !cfa 13446  Ccbc 13475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-seq 13183  df-fac 13447  df-bc 13476

This theorem is referenced by:  bpoly4  15271  ex-bc  28024