MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4bc2eq6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4bc2eq6 13685
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6 (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 11980 . . . . 5 0 ∈ ℤ
2 4z 12004 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2z 12002 . . . . 5 2 ∈ ℤ
41, 2, 33pm3.2i 1336 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5 0le2 11727 . . . . 5 0 ≤ 2
6 2re 11699 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 4re 11709 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8 2lt4 11800 . . . . . 6 2 < 4
96, 7, 8ltleii 10752 . . . . 5 2 ≤ 4
105, 9pm3.2i 474 . . . 4 (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11 elfz4 12895 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
124, 10, 11mp2an 691 . . 3 2 ∈ (0...4)
13 bcval2 13661 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
1412, 13ax-mp 5 . 2 (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15 3nn0 11903 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
16 facp1 13634 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18 df-4 11690 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
1918fveq2i 6648 . . . . 5 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
2018oveq2i 7146 . . . . 5 ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
2117, 19, 203eqtr4i 2831 . . . 4 (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22 4cn 11710 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
23 2cn 11700 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
24 2p2e4 11760 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
2522, 23, 23, 24subaddrii 10964 . . . . . . . 8 (4 − 2) = 2
2625fveq2i 6648 . . . . . . 7 (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27 fac2 13635 . . . . . . 7 (!‘2) = 2
2826, 27eqtri 2821 . . . . . 6 (!‘(4 − 2)) = 2
2928, 27oveq12i 7147 . . . . 5 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30 2t2e4 11789 . . . . 5 (2 · 2) = 4
3129, 30eqtri 2821 . . . 4 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
3221, 31oveq12i 7147 . . 3 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33 faccl 13639 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (!‘3) ∈ ℕ
3534nncni 11635 . . . . 5 (!‘3) ∈ ℂ
36 4ne0 11733 . . . . 5 4 ≠ 0
3735, 22, 36divcan4i 11376 . . . 4 (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38 fac3 13636 . . . 4 (!‘3) = 6
3937, 38eqtri 2821 . . 3 (((!‘3) · 4) / 4) = 6
4032, 39eqtri 2821 . 2 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
4114, 40eqtri 2821 1 (4C2) = 6
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  6c6 11684  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12885  !cfa 13629  Ccbc 13658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-fac 13630  df-bc 13659
This theorem is referenced by:  bpoly4  15405  ex-bc  28237  5bc2eq10  39344
  Copyright terms: Public domain W3C validator