MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm7 16413
Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to 𝑃 in order to ensure primality. This version of isprm5 16412 combines the primality and bound on 𝑧 into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
isprm7 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm7
StepHypRef Expression
1 isprm5 16412 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
2 prmz 16380 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
32zred 12426 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
4 0red 10978 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 0 ∈ ℝ)
5 1red 10976 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
6 0lt1 11497 . . . . . . . . . 10 0 < 1
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 1)
8 prmgt1 16402 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 1 < 𝑧)
94, 5, 3, 7, 8lttrd 11136 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 𝑧)
104, 3, 9ltled 11123 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
113, 10jca 512 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧))
12 eluzelre 12593 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
13 0red 10978 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ∈ ℝ)
14 2re 12047 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
16 0le2 12075 . . . . . . . . 9 0 ≤ 2
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 2)
18 eluzle 12595 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑃)
1913, 15, 12, 17, 18letrd 11132 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑃)
2012, 19jca 512 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃))
21 resqcl 13844 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
22 sqge0 13855 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑧↑2))
2321, 22jca 512 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
25 sqrtle 14972 . . . . . . . 8 ((((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
2624, 25sylan 580 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
27 sqrtsq 14981 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → (√‘(𝑧↑2)) = 𝑧)
2827breq1d 5084 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
2928adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
3026, 29bitrd 278 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
3111, 20, 30syl2anr 597 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
3231imbi1d 342 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
3332ralbidva 3111 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
3433pm5.32i 575 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
35 impexp 451 . . . . 5 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
3612, 19resqrtcld 15129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
3736flcld 13518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ)
3837, 2anim12i 613 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
40 prmuz2 16401 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
41 eluzle 12595 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑧)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑧)
4342ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 2 ≤ 𝑧)
44 flge 13525 . . . . . . . . . . . . 13 (((√‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
4536, 2, 44syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
4645biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
47 2z 12352 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
48 elfz4 13249 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
4947, 48mp3anl1 1454 . . . . . . . . . . 11 ((((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
5039, 43, 46, 49syl12anc 834 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
5150anasss 467 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
52 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℙ)
5351, 52elind 4128 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ))
5453ex 413 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
55 elin 3903 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ))
56 elfzelz 13256 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℤ)
5756zred 12426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℝ)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
59 reflcl 13516 . . . . . . . . . . . . . 14 ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
6036, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
6236adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
63 elfzle2 13260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
6463adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
65 flle 13519 . . . . . . . . . . . . . 14 ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
6636, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
6858, 61, 62, 64, 67letrd 11132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃))
6968ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
7069anim1d 611 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
7155, 70syl5bi 241 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
72 ancom 461 . . . . . . . 8 ((𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
7371, 72syl6ib 250 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))))
7454, 73impbid 211 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
7574imbi1d 342 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧𝑃)))
7635, 75bitr3id 285 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧𝑃)))
7776ralbidv2 3110 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
7877pm5.32i 575 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
791, 34, 783bitri 297 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wral 3064  cin 3886   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009  cle 11010  2c2 12028  cz 12319  cuz 12582  ...cfz 13239  cfl 13510  cexp 13782  csqrt 14944  cdvds 15963  cprime 16376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  45027  31prm  45049
  Copyright terms: Public domain W3C validator