Theorem isprm7 16611

Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to √𝑃 in order to ensure primality. This version of isprm5 16610 combines the primality and bound on 𝑧 into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
isprm7	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5 16610	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
2		prmz 16578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
3	2	zred 12569	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
4		0red 11107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 ∈ ℝ)
5		1red 11105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
6		0lt1 11631	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 1)
8		prmgt1 16600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 < 𝑧)
9	4, 5, 3, 7, 8	lttrd 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 𝑧)
10	4, 3, 9	ltled 11253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
11	3, 10	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧))
12		eluzelre 12735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
13		0red 11107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ ℝ)
14		2re 12191	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
16		0le2 12219	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 2)
18		eluzle 12737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
19	13, 15, 12, 17, 18	letrd 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝑃)
20	12, 19	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃))
21		resqcl 14023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
22		sqge0 14035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑧↑2))
23	21, 22	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
25		sqrtle 15159	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
26	24, 25	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
27		sqrtsq 15168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → (√‘(𝑧↑2)) = 𝑧)
28	27	breq1d 5099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
30	26, 29	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
31	11, 20, 30	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
32	31	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
33	32	ralbidva 3151	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
34	33	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
35		impexp 450	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
36	12, 19	resqrtcld 15317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
37	36	flcld 13694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ)
38	37, 2	anim12i 613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
40		prmuz2 16599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
41		eluzle 12737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑧)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑧)
43	42	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 2 ≤ 𝑧)
44		flge 13701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((√‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
45	36, 2, 44	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
46	45	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
47		2z 12496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
48		elfz4 13409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
49	47, 48	mp3anl1 1457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
50	39, 43, 46, 49	syl12anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
51	50	anasss 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
52		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℙ)
53	51, 52	elind 4148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ))
54	53	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
55		elin 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ))
56		elfzelz 13416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℤ)
57	56	zred 12569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℝ)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
59		reflcl 13692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
60	36, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
62	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
63		elfzle2 13420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
65		flle 13695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
66	36, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
68	58, 61, 62, 64, 67	letrd 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃))
69	68	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
70	69	anim1d 611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
71	55, 70	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
72		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
73	71, 72	imbitrdi 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))))
74	54, 73	impbid 212	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
75	74	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
76	35, 75	bitr3id 285	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
77	76	ralbidv2 3149	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
78	77	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
79	1, 34, 78	3bitri 297	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045   ∩ cin 3899   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999   < clt 11138   ≤ cle 11139  2c2 12172  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724  ...cfz 13399  ⌊cfl 13686  ↑cexp 13960  √csqrt 15132   ∥ cdvds 16155  ℙcprime 16574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-fz 13400  df-fl 13688  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-dvds 16156  df-prm 16575

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  47585  31prm  47607