Theorem isprm7 16641

Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to √𝑃 in order to ensure primality. This version of isprm5 16640 combines the primality and bound on 𝑧 into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
isprm7	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5 16640	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
2		prmz 16608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
3	2	zred 12662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
4		0red 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 ∈ ℝ)
5		1red 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
6		0lt1 11732	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 1)
8		prmgt1 16630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 < 𝑧)
9	4, 5, 3, 7, 8	lttrd 11371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 𝑧)
10	4, 3, 9	ltled 11358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
11	3, 10	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧))
12		eluzelre 12829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
13		0red 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ ℝ)
14		2re 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
16		0le2 12310	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 2)
18		eluzle 12831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
19	13, 15, 12, 17, 18	letrd 11367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝑃)
20	12, 19	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃))
21		resqcl 14085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
22		sqge0 14097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑧↑2))
23	21, 22	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
25		sqrtle 15203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
26	24, 25	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
27		sqrtsq 15212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → (√‘(𝑧↑2)) = 𝑧)
28	27	breq1d 5157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
30	26, 29	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
31	11, 20, 30	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
32	31	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
33	32	ralbidva 3175	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
34	33	pm5.32i 575	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
35		impexp 451	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
36	12, 19	resqrtcld 15360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
37	36	flcld 13759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ)
38	37, 2	anim12i 613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
40		prmuz2 16629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
41		eluzle 12831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑧)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑧)
43	42	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 2 ≤ 𝑧)
44		flge 13766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((√‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
45	36, 2, 44	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
46	45	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
47		2z 12590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
48		elfz4 13490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
49	47, 48	mp3anl1 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
50	39, 43, 46, 49	syl12anc 835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
51	50	anasss 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
52		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℙ)
53	51, 52	elind 4193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ))
54	53	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
55		elin 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ))
56		elfzelz 13497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℤ)
57	56	zred 12662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℝ)
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
59		reflcl 13757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
60	36, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
62	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
63		elfzle2 13501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
65		flle 13760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
66	36, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
68	58, 61, 62, 64, 67	letrd 11367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃))
69	68	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
70	69	anim1d 611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
71	55, 70	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
72		ancom 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
73	71, 72	imbitrdi 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))))
74	54, 73	impbid 211	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
75	74	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
76	35, 75	bitr3id 284	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
77	76	ralbidv2 3173	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
78	77	pm5.32i 575	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
79	1, 34, 78	3bitri 296	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ∩ cin 3946   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244   ≤ cle 11245  2c2 12263  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  ...cfz 13480  ⌊cfl 13751  ↑cexp 14023  √csqrt 15176   ∥ cdvds 16193  ℙcprime 16604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-prm 16605

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  46229  31prm  46251