Theorem isprm7 16766

Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to √𝑃 in order to ensure primality. This version of isprm5 16765 combines the primality and bound on 𝑧 into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
isprm7	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5 16765	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
2		prmz 16732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
3	2	zred 12699	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
4		0red 11210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 ∈ ℝ)
5		1red 11208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
6		0lt1 11735	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 1)
8		prmgt1 16755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 < 𝑧)
9	4, 5, 3, 7, 8	lttrd 11370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 𝑧)
10	4, 3, 9	ltled 11357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
11	3, 10	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧))
12		eluzelre 12872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
13		0red 11210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ ℝ)
14		2re 12314	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
16		0le2 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 2)
18		eluzle 12874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
19	13, 15, 12, 17, 18	letrd 11366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝑃)
20	12, 19	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃))
21		resqcl 14160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
22		sqge0 14172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑧↑2))
23	21, 22	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
24	23	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
25		sqrtle 15311	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
26	24, 25	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
27		sqrtsq 15320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → (√‘(𝑧↑2)) = 𝑧)
28	27	breq1d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
29	28	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
30	26, 29	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
31	11, 20, 30	syl2anr 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
32	31	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
33	32	ralbidva 3184	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
34	33	pm5.32i 584	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
35		impexp 455	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
36	12, 19	resqrtcld 15469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
37	36	flcld 13831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ)
38	37, 2	anim12i 624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
39	38	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
40		prmuz2 16753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
41		eluzle 12874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑧)
42	40, 41	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑧)
43	42	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 2 ≤ 𝑧)
44		flge 13838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((√‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
45	36, 2, 44	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
46	45	biimpa 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
47		2z 12625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
48		elfz4 13544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
49	47, 48	mp3anl1 1482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
50	39, 43, 46, 49	syl12anc 849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
51	50	anasss 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
52		simprl 782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℙ)
53	51, 52	elind 4152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ))
54	53	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
55		elin 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ))
56		elfzelz 13551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℤ)
57	56	zred 12699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℝ)
58	57	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
59		reflcl 13829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
60	36, 59	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
61	60	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
62	36	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
63		elfzle2 13555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
64	63	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
65		flle 13832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
66	36, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
67	66	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
68	58, 61, 62, 64, 67	letrd 11366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃))
69	68	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
70	69	anim1d 622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
71	55, 70	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
72		ancom 465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
73	71, 72	imbitrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))))
74	54, 73	impbid 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
75	74	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
76	35, 75	bitr3id 288	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
77	76	ralbidv2 3182	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
78	77	pm5.32i 584	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
79	1, 34, 78	3bitri 300	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077   ∩ cin 3903   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   < clt 11242   ≤ cle 11243  2c2 12294  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534  ⌊cfl 13823  ↑cexp 14097  √csqrt 15284   ∥ cdvds 16309  ℙcprime 16728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16310  df-prm 16729

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  48294  31prm  48316