MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz5 13497
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz5 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))

Proof of Theorem elfz5
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12836 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 eluzel2 12831 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2jca 512 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
4 elfz 13494 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
543expa 1118 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
63, 5sylan 580 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
7 eluzle 12839 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐾)
87biantrurd 533 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
98adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
106, 9bitr4d 281 1 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7411  cle 11253  cz 12562  cuz 12826  ...cfz 13488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489
This theorem is referenced by:  fzsplit2  13530  fznn0sub2  13612  predfz  13630  bcval5  14282  hashf1  14422  seqcoll  14429  limsupgre  15429  isercolllem2  15616  isercoll  15618  fsumcvg3  15679  fsum0diaglem  15726  climcndslem2  15800  mertenslem1  15834  ncoprmlnprm  16668  pcfac  16836  prmreclem2  16854  prmreclem3  16855  prmreclem5  16857  1arith  16864  vdwlem1  16918  vdwlem3  16920  vdwlem10  16927  sylow1lem1  19507  psrbaglefi  21704  psrbaglefiOLD  21705  ovoliunlem1  25243  ovolicc2lem4  25261  uniioombllem3  25326  mbfi1fseqlem3  25459  plyeq0lem  25948  coeeulem  25962  coeidlem  25975  coeid3  25978  coeeq2  25980  coemulhi  25992  vieta1lem2  26048  birthdaylem2  26681  birthdaylem3  26682  ftalem5  26805  basellem2  26810  basellem3  26811  basellem5  26813  musum  26919  fsumvma2  26941  chpchtsum  26946  lgsne0  27062  lgsquadlem2  27108  rplogsumlem2  27212  dchrisumlem1  27216  dchrisum0lem1  27243  ostth2lem3  27362  eupth2lems  29746  fzsplit3  32260  eulerpartlems  33645  eulerpartlemb  33653  erdszelem7  34474  cvmliftlem7  34568
  Copyright terms: Public domain W3C validator