Theorem elfz5 13467

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz5	⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elfz5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12795	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		eluzel2 12790	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
4		elfz 13464	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5	4	3expa 1119	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	3, 5	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
7		eluzle 12798	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
8	7	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
10	6, 9	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364   ≤ cle 11177  ℤcz 12521  ℤ_≥cuz 12785  ...cfz 13458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5374  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5523  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fv 6504  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-neg 11377  df-z 12522  df-uz 12786  df-fz 13459

This theorem is referenced by:  fzsplit2  13500  fznn0sub2  13586  predfz  13604  bcval5  14277  hashf1  14416  seqcoll  14423  limsupgre  15440  isercolllem2  15625  isercoll  15627  fsumcvg3  15688  fsum0diaglem  15735  climcndslem2  15812  mertenslem1  15846  ncoprmlnprm  16695  pcfac  16867  prmreclem2  16885  prmreclem3  16886  prmreclem5  16888  1arith  16895  vdwlem1  16949  vdwlem3  16951  vdwlem10  16958  sylow1lem1  19570  psrbaglefi  21922  ovoliunlem1  25485  ovolicc2lem4  25503  uniioombllem3  25568  mbfi1fseqlem3  25700  plyeq0lem  26191  coeeulem  26205  coeidlem  26218  coeid3  26221  coeeq2  26223  coemulhi  26235  vieta1lem2  26294  birthdaylem2  26935  birthdaylem3  26936  ftalem5  27060  basellem2  27065  basellem3  27066  basellem5  27068  musum  27174  fsumvma2  27197  chpchtsum  27202  lgsne0  27318  lgsquadlem2  27364  rplogsumlem2  27468  dchrisumlem1  27472  dchrisum0lem1  27499  ostth2lem3  27618  eupth2lems  30329  fzsplit3  32887  eulerpartlems  34526  eulerpartlemb  34534  erdszelem7  35401  cvmliftlem7  35495