MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz5 12895
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz5 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))

Proof of Theorem elfz5
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12247 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 eluzel2 12242 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2jca 512 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
4 elfz 12893 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
543expa 1112 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
63, 5sylan 580 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
7 eluzle 12250 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐾)
87biantrurd 533 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
98adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
106, 9bitr4d 283 1 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  cle 10670  cz 11975  cuz 12237  ...cfz 12887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-neg 10867  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888
This theorem is referenced by:  fzsplit2  12927  fznn0sub2  13009  predfz  13027  bcval5  13673  hashf1  13810  seqcoll  13817  limsupgre  14833  isercolllem2  15017  isercoll  15019  fsumcvg3  15081  fsum0diaglem  15126  climcndslem2  15200  mertenslem1  15235  ncoprmlnprm  16063  pcfac  16230  prmreclem2  16248  prmreclem3  16249  prmreclem5  16251  1arith  16258  vdwlem1  16312  vdwlem3  16314  vdwlem10  16321  sylow1lem1  18659  psrbaglefi  20087  ovoliunlem1  24037  ovolicc2lem4  24055  uniioombllem3  24120  mbfi1fseqlem3  24252  plyeq0lem  24734  coeeulem  24748  coeidlem  24761  coeid3  24764  coeeq2  24766  coemulhi  24778  vieta1lem2  24834  birthdaylem2  25463  birthdaylem3  25464  ftalem5  25587  basellem2  25592  basellem3  25593  basellem5  25595  musum  25701  fsumvma2  25723  chpchtsum  25728  lgsne0  25844  lgsquadlem2  25890  rplogsumlem2  25994  dchrisumlem1  25998  dchrisum0lem1  26025  ostth2lem3  26144  eupth2lems  27950  fzsplit3  30449  eulerpartlems  31523  eulerpartlemb  31531  erdszelem7  32347  cvmliftlem7  32441
  Copyright terms: Public domain W3C validator