Theorem elfz5 13556

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz5	⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elfz5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12888	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		eluzel2 12883	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
4		elfz 13553	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5	4	3expa 1119	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	3, 5	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
7		eluzle 12891	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
8	7	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
10	6, 9	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by:  fzsplit2  13589  fznn0sub2  13675  predfz  13693  bcval5  14357  hashf1  14496  seqcoll  14503  limsupgre  15517  isercolllem2  15702  isercoll  15704  fsumcvg3  15765  fsum0diaglem  15812  climcndslem2  15886  mertenslem1  15920  ncoprmlnprm  16765  pcfac  16937  prmreclem2  16955  prmreclem3  16956  prmreclem5  16958  1arith  16965  vdwlem1  17019  vdwlem3  17021  vdwlem10  17028  sylow1lem1  19616  psrbaglefi  21946  ovoliunlem1  25537  ovolicc2lem4  25555  uniioombllem3  25620  mbfi1fseqlem3  25752  plyeq0lem  26249  coeeulem  26263  coeidlem  26276  coeid3  26279  coeeq2  26281  coemulhi  26293  vieta1lem2  26353  birthdaylem2  26995  birthdaylem3  26996  ftalem5  27120  basellem2  27125  basellem3  27126  basellem5  27128  musum  27234  fsumvma2  27258  chpchtsum  27263  lgsne0  27379  lgsquadlem2  27425  rplogsumlem2  27529  dchrisumlem1  27533  dchrisum0lem1  27560  ostth2lem3  27679  eupth2lems  30257  fzsplit3  32795  eulerpartlems  34362  eulerpartlemb  34370  erdszelem7  35202  cvmliftlem7  35296